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2012-2013第一学期高一期末考试数学试卷


高一数学午练习 2013 年 12 月 11 日星期三 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分 1.设集合 U= ?1, 2,3, 4? , M ? ?1, 2,3? , N ? ?2,3, 4? , 则 CU ?M ? N ? ? 2.已知平行四边形 ABCD 中,对角线 AC , BD 相交于点 O ,已知
D O

. ?1,4?

C

AB ? a, AD ? b ,则 DO ?
3.若 ? 是第四象限角,且 tan ? ? ? 4.已知函数 f ( x) ? ?
2

a?b (用 a, b 表示). 2

A

B

3 3 ,则 sin? ? ________. ? 5 4
. -1

?3 x ( x ? 0)

1 , 则f [ f ( )] ? 2 ?log 2 x( x ? 0)

5.设 a ? ),b ? ) c ? ) ,则 a,b,c 的大小关系是 ( 5 ( 5, ( 5 a>c>b

3 5

2 5

3

2 5

2

.(用>连接)

?? ? 6.为了得到函数 y ? sin ? 3x ? ? 的图象,只需把函数 y ? sin 3x 的图象上所有的点向右至少 4? ?
平移 函数 f ? x ? ? 个单位长度.

? 12

log 1 ( x ? 1) 的定义域为
2
x?2

. ?1,2 ?

?1? 7. 设 函 数 f ? x ? ? x ? ? ? ?2? .1 k?
3

的 零 点 为 x0 , 则 x0 所 在 的 区 间 是 ?k , k ? 1?, k ? Z , 则

8.若函数 f ( x) 为奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? x ,则 f (?2) 的值为
2

. ?6

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 12 分)已知集合 A 是函数 f ? x ? ? log 1 ? x ? 1? 的定义域.
2

(1)求集合 A ,并求出满足不等式 log 1 ? x ? 1? ? 1 的 x 的取值范围;
2

(2)若集合 B 是函数 g ? x ? ? 2 , x ? ? ?1, 2? 的值域,求出集合 B ,并求出 A ? B .
x

高一年级数学试卷

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? ? ? ? ? ? 16. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (3 ,1) 和 b ? (?1, 3) ,若 a ?c ? b ?c ,试求模为 5 的
向量 c 的坐标。 17. (本小题满分 14 分)已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点

?

P(?3, 3) 。
(1)求 sin ? 、 cos? 、 tan ? 的值; (2)若 f (? ) ? cos(2? ? ? ) tan?? ? ? ? ? sin? 值。

?? ? ?? ? ? ? ? cos ? ? ? ,求 f (? ) 的 ? ?2 ? ?2 ?

19.(本小题满分 14 分)已知 f ? x ? 为偶函数,且 x ? 0 时, f ? x ? ? (1)判断函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上的单调性,并证明; (2) f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的值域是 ? , 2 ? , a 的 若 求 2 2 值; (3)求 x ? ? ??, 0 ? 时函数 f ? x ? 的解析式. 20. (本小题满分 14 分) 某公司为帮助尚有 26.8 万元无息贷款没有偿还的 残疾人商店,借出 20 万元将该商店改建成经营状况良

1 1 ? (a ? 0) . a x

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

好的某种消费品专卖店,并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息) 。 已知该种消费品的进价为每件 40 元;该店每月销售量 q (百件)与销售价 p (元/ 件)之间的关系用右图中的一条折线(实线)表示;职工每人每月工资为 600 元,该店应 交付的其它费用为每月 13200 元. (1)若当销售价 p 为 52 元/件时,该店正好收支平衡,求该店的职工人数; (2)若该店只安排 40 名职工,则该店最早可在几年后还清所有债务,此时每件消费 品的价格定为多少元?
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高一年级数学试卷

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2012 学年度第一学期高一年级期末教学质量检测

数学试卷参考答案
一、选择题 二、填空题 15. (本小题满分 12 分)已知集合 A 是 (1)求集合 A ,并求出满足不等式 log 1 ? x ? 1? ? 1 的 x 的取值范围;
2

(2)若集合 B 是函数 g ? x ? ? 2 , x ? ? ?1, 2? 的值域,求出集合 B ,并求出 A ? B .
x

解: (1)∵函数 f ? x ? ? log 1 ? x ? 1? 有意义的条件是 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 , 故函数 f ? x ? ? log 1 ? x ? 1? 的定义域是 ? x | x ? 1? , 即 A ? ? x | x ? 1? . ∵ log 1
2

----2 分

2

2

----3 分 ----4 分

1 1 ? 1 ,∴原不等式变形为 log 1 ? x ? 1? ? og 1 . 2 2 2 2
2

又∵函数 y ? log 1 x 是单调减函数, ∴ x ?1 ?

又因为 x ? 1 ,

1 3 ,得 x ? . 2 2

--5 分

3 2 x (2)∵函数 g ? x ? ? 2 在区间 ? ?1, 2? 上是单调增函数,
∴所求 x 的取值范围是 1 ? x ? ∴ g min ? x ? ? g ? ?1? ? 2
?1

----6 分

?

g max ? x ? ? g ? 2 ? ? 22 ? 4 ,
x

1 , 2
1 ? ? y ? 4? , 2 ?

----7 分 ----8 分 ----9 分 ----10 分 ----12 分

故函数 g ? x ? ? 2 的值域是 ? y |

? ?

? ? ? ? ? ? 16. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (3 ,1) 和 b ? (?1, 3) ,若 a ?c ? b ?c ,试求模为 5 的
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1 ? ? y ? 4? . 2 ? 1? ? ∴ A ? B ? ?x | x ? ? . 2? ?
即 B ? ?y |

? ?

向量 c 的坐标. 解:法 1、设 c ? ( x, y) , 则 a? ? (3 ,1)? x, y) ? 3x ? y, , ( c ------1 分 ------3 分 ------5 分

?

( b? ? ( ? 1,3 )? x, y) ? ? x ? 3 y, c
由 a? ? b? ,得 ? c c

?3 x ? y ? ? x ? 3 y , 2 2 ? x ? y ?5
或?

------8 分

解之得 ?

?x ? 1 ?y ? 2

? x ? ?1 , ? y ? ?2

------10 分

所以 c ? (1, 2) 或 c ? (?1, ?2) .

------12 分 ------2 分 ------3 分 ------5 分 ------7 分 ------9 分

b 法 2、∵ a ? ? 3 ? ? ?1? ? 1? 3 ? 0 ,
∴a ? b. 又∵且 a ? b ? 10 , 从而以 a, b 为邻边的平行四边形是正方形, 且由于 a? ? b? ,所以 c 与 a, b 的夹角相等,从而 c 与正方形的对角线共线。 c c 此外,由于 c ? 故c ?

?

?

? 5 ,即其长度为正方形对角线长度( 2 c ? 10 )的一半,------10 分
------12 分

1 1 (a ? b) ? (1, 2) 或 c ? ? (a ? b) ? (?1, ?2) . 2 2

17. (本小题满分 14 分)已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点

P(?3, 3) .
(1)求 sin ? 、 cos? 、 tan ? 的值; (2)若 f (? ) ? cos(2? ? ? ) tan ?? ? ? ? ?sin ? 解: (1)因为角 ? 终边经过点 P(?3, 3) ,所以

?? ? ?? ? ? ? ?cos ? ? ? ? ,求 f (? ) 的值. ?2 ? ?2 ?

r?

? ?3?

2

?

? 3?

2

?2 3

------1 分 -----3 分

? sin ? ?

1 , 2
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3 , 2 3 tan ? ? ? 3 (2) ∵ f (? ) ? cos ? ? tan ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? , cos ? ? ?

-----5 分 -----------7 分 --------11 分 --------12 分

? cos ? ? tan ? ? cos ? ? sin ? ? 3? ? 3? ? 3? 1 ? ?? ??? ? ???? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ?? 2 ? ? ? ? ? ? ?
? 2? 3 4

--------14 分

18. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) , x ?R ( 其 中

A ? 0, ? ? 0, ?

π π ,其部分图像如图 5 所示. ?? ? ) 2 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)已知横坐标分别为 ? 1、1 、 5 的三点 M 、 N 、 P 都在函数 f ( x) 的图像上,求 ???? ??? ? ? NM 与 NP 所成角的余弦值. y
1
?2 ?1 0 ?1

1
图5

2

3

4

5

6 x

解: (1)由图可知, A ? 1 ,

………………………………………………………1 分 ………………2 分 …………………………………3 分

最小正周期 T ? 4 ? 2 ? 8, 所以 T ?



π ? 8,? ? . ? 4 π ? ?) ? 1 , 4

由图像可知 f (1) ? sin( 又∵ ?

………………4 分

π π ?? ? 2 2 π π 3π ∴ ? ? ?? ? , 4 4 4 π π π ∴ ? ? ? ,? ? . 4 2 4 π ∴ f ( x) ? sin ( x ? 1) . 4
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…………………5 分 …………………6 分 ……………………7 分

(2)因为 f (?1) ? sin

π (?1 ? 1) ? 0 4

………………8 分 ………………9 分 ………………10 分

π f (1) ? sin (1 ? 1) ? 1, 4 π f (5) ? sin (5 ? 1) ? ?1, 4
所以 M (?1,0), N (1,1), P(5, ?1) ,

???? ? ??? ? NM ? (?2, ? 1), NP ? (4, ? 2) ,

……11 分 ……12 分 ……13 分 ………………………14 分

???? ??? ? ? NM ? NP ? ?6 ,
???? ? ??? ? NM ? 5, NP ? 20 ? 2 5 ,

???? ??? ? ? NM ? NP ?6 3 则 cos ?MNP ? ???? ??? ? ?? . ? ? 5 5?2 5 NM ? NP

19. (本小题满分 14 分)已知 f ? x ? 为偶函数,且 x ? 0 时, f ? x ? ? (1)判断函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上的单调性,并证明; (2)若 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的值域是 ? , 2 ? ,求 a 的值; 2 2 (3)求 x ? ? ??, 0 ? 时函数 f ? x ? 的解析式. 解: (1)函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数。 证明如下: 任取 x1 , x2 ? ? 0, ?? ? ,设 x1 ? x2 ,

1 1 ? (a ? 0) . a x

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

.………1 分

?1 1 ? ?1 1 ? 1 1 x ?x f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 x1 x2 ? a x1 ? ? a x2 ? x2 x1
∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 , ∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , ∴ f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数
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.………3 分

..………6 分

(2)由(1)知函数 f ? x ? 在区间 ? , 2 ? 上是增函数,值域为 ? , 2 ? , 2 2 ∴f?

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

.………7 分

?1? 1 ? ? , f ? 2? ? 2 , ?2? 2

.………9 分

1 ?1 ?a ? 2 ? 2 2 ? 即? ,解得 a ? . 5 ?1 ? 1 ? 2 ?a 2 ?
(3)设 x ? ? ??, 0 ? ,则 ? x ? ? 0, ?? ? , ∴ f ??x? ?

.………11 分

1 1 1 1 ? ? ? . a ?x a x 1 1 1 1 ? ? ? .. a ?x a x

.………12 分 ………14 分

又因为 f ? x ? 为偶函数,所以 f ? x ? ? f ? ? x ? ? 20. (本小题满分 14 分)

某公司为帮助尚有 26.8 万元无息贷款没有偿还的残疾人商店,借出 20 万元将该商店改建 成经营状况良好的某种消费品专卖店, 并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均 不计利息). 已知该种消费品的进价为每件 40 元;该店每月销售量 q (百件)与销售价 p (元/ 件)之间的关系用右图中的一条折线(实线)表示;职工每人每月工资为 600 元,该店应 交付的其它费用为每月 13200 元. (1)若当销售价 p 为 52 元/件时,该店正好收支平衡,求该店的职工人数; (2)若该店只安排 40 名职工,则该店最早可在几年后还清所有债务,此时每件消费 品的价格定为多少元? 解: (Ⅰ)设该店的月利润为 S 元,有职工 m 名.则

S ? q? p?4 0? ?1 0 0? 6 0m ? 1 3 2 0 0 0 .
又由图可知: q ? ?

.………2 分 ………5 分

??2 p ? 140, ? ?? p ? 82 ?

? 40 ? p ? 58? . ? 58 ? p ? 81?

所以, S ? ?

?? ?2 p ? 140 ?? p ? 40 ? ?100 ? 600m ? 13200 ? ?? ? p ? 82 ?? p ? 40 ? ?100 ? 600m ? 13200 ?

? 40 ? p ? 58? .……7 分 ? 58 ? p ? 81?
.………9 分

由已知,当 p ? 52 时, S ? 0 ,即 ? ?2 p ? 140 ?? p ? 40 ? ?100 ? 600m ? 13200 ? 0 , 解得 m ? 50 .即此时该店有 50 名职工.
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(Ⅱ)若该店只安排 40 名职工,则月利润

?? ?2 p ? 140 ?? p ? 40 ? ?100 ? 37200 ? S ?? ?? ? p ? 82 ?? p ? 40 ? ?100 ? 37200 ?

? 40 ? p ? 58? . ? 58 ? p ? 81?

.………10 分

当 40 ? p ? 58 时, 求得 p ? 55 时, 取最大值 7800 元. 58 ? p ? 81 时, S 当 求得 p ? 61 时,S 取最大值 6900 元. 综上,当 p ? 55 时,S 有最大值 7800 元. .………12 分

设该店最早可在 n 年后还清债务,依题意,有 12n? 7800 ? 268000 ? 200000 ? 0 . 解得 n ? 5 .所以,该店最早可在 5 年后还清债务,此时消费品的单价定为 55 元. .………14 分

高一年级数学答案

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