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高二数学人教A版2-2《函数的极值与导数》教案正式版

1.3.2 函数的极值与导数(教案)
文昌华侨中学数学组 王娜 一、教学目标 1 知识与技能 〈1〉结合函数图象,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充 分条件 〈2〉理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值 2 过程与方法
结合实例,借助函数图形直观感知,并探索函数的极值与导数的关 系。 3 情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性,通过学习让学生体会 极值是函数的局部性质,增强学生数形结合的思维意识。 二、重点:利用导数求函数的极值 难点:函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程
回忆函数的单调性与导数的关系,与已有知识的联系
提出问题,激发求知欲
组织学生自主探索,获得函数的极值定义
通过例题和练习,深化提高对函数的极值定义的理解
四、教学过程 〈一〉、创设情景,导入新课

1、通过上节课的学习,导数和函数单调性的关系是什么? (提高学生回答) 2.观察图 1.3.8 表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t) =-4.9t2+6.5t+10 的图象,回答以 下问题
h

a

o

t

(1)当 t=a 时,高台跳水运动员距水面的高度最大,那么函数 h?t? 在
t=a 处的导数是多少呢? (2)在点 t=a 附近的图象有什么特点? (3)点 t=a 附近的导数符号有什么变化规律?
共同归纳: 函数 h(t)在 a 点处 h/(a)=0,在 t=a 的附近,当 t<a 时,
函数 h?t? 单调递增, h' ?t? >0;当 t>a 时,函数 h?t? 单调递减, h' ?t? <0, 即当 t 在 a 的附近从小到大经过 a 时, h' ?t? 先正后负,且 h' ?t? 连续变化,
于是 h/(a)=0. 3、对于这一事例是这样,对其他的连续函数是不是也有这种性质呢? <二>、探索研讨 1、观察 1.3.9 图所表示的 y=f(x)的图象,回答以下问题:

(1)函数 y=f(x)在 a.b 点的 函数值与这些点附近的函数 值有什么关系? (2) 函数 y=f(x)在 a.b.点 的导数值是多少? (3)在 a.b 点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么,并且有什么关 系呢?
2、极值的定义:
我们把点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小 值; 点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极大值。 极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值. 3、通过以上探索,你能归纳出可导函数在某点 x0 取得极值的充要条件 吗? 充要条件:f(x0)=0 且点 x0 的左右附近的导数值符号要相反 4、引导学生观察图 1.3.11,回答以下问题: (1)找出图中的极点,并说明哪些点为极大值点,哪些点为极小值点? (2)极大值一定大于极小值吗? 5、随堂练习: 1 如图是函数 y=f(x)的函数,试找出函数 y=f(x)的极值点,并指出哪
些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数 y= f ' ?x?
的图象?

<三>、讲解例题
例4 求函数 f ? x? ? 1 x3 ? 4x ? 4 的极值
3
教师分析:①求 f/(x),解出 f/(x)=0,找函数极点; ②由函数单调性确 定在极点 x0附近 f/(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极 小值点,从而求出函数的极值. 学生动手做,教师引导
x

解:∵ f ? x? ? 1 x3 ? 4x ? 4 ∴ f ' ? x? =x2-4=(x-2)(x+2)
3
令 f ' ?x? =0,解得 x=2,或 x=-2.

下面分两种情况讨论:

(1)当 f ' ?x? >0,即 x>2,或 x<-2 时;

(2) 当 f ' ?x? <0,即-2<x<2 时.

当 x 变化时, f ' ?x? ,f(x)的变化情况如下表:

x

(-∞,-2) -2

(-2,2)

2

(2,+∞)

f ' ?x? +

0

_

0

+

f(x)

单调递增 28
3

单调递减

?4

单调递增

3

因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值,且极大值为 f(-2)= 28 ;当 x=2 时,f(x)有极
3

小值,且极小值为 f(2)= ? 4
3

f ? x? ? 1 x3 ? 4x ? 4
3

函数 f ? x? ? 1 x3 ? 4x ? 4 的图象如:
3

归纳:求函数 y=f(x)极值的方法是:
1 求 f ' ? x? ,解方程 f ' ? x? =0,当 f ' ? x? =0 时:

2
?2

(1) 如果在 x0 附近的左边 f ' ? x? >0,右边 f ' ? x? <0,那么 f(x0)是极大值.

(2) 如果在 x0 附近的左边 f ' ? x? <0,右边 f ' ? x? >0,那么 f(x0)是极小值

<四>、课堂练习 1、求函数 f(x)=3x-x3 的极值 2、思考:已知函数 f(x)=ax3+bx2-2x 在 x=-2,x=1 处取得极值, 求函数 f(x)的解析式及单调区间。 <五>、课后思考题: 1、 若函数 f(x)=x3-3bx+3b 在(0,1)内有极小值,求实数 b 的范围。 2、 已知 f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1 有极大值和极小值,求实数 a 的范围。 <六>、课堂小结:

1、 函数极值的定义

2、 函数极值求解步骤

3、 一个点为函数的极值点的充要条件。

<七>、作业 P32 5 ① ④

教学反思: 本节的教学内容是导数的极值,有了上节课导数的单调性作铺垫,借助 函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极 值.教学反馈中主要是书写格式存在着问题.为了统一要求主张用列表 的方式表示,刚开始学生都不愿接受这种格式,但随着几道例题与练习 题的展示,学生体会到列表方式的简便,同时为能够快速判断导数的正

负,我要求学生尽量把导数因式分解.本节课的难点是函数在某点取得 极值的必要条件与充分条件,为了说明这一点多举几个例题是很有必 要的.在解答过程中学生还暴露出对复杂函数的求导的准确率比较底, 以及求函数的极值的过程板书仍不规范,看样子这些方面还要不断加 强训练. 研讨评议:
教学内容整体设计合理,重点突出,难点突破,充分体现教师为主导,学生为 主体的双主体课堂地位,充分调动学生的积极性,教师合理清晰的引导思 路,使学生的数学思维得到培养和提高,教学内容容量与难度适中,符合学 情,并关注学生的个体差异,使不同程度的学生都得到不同效果的收获.
学习不是一朝一夕的事情,需要平时积累,需要平时的勤学苦练。有个故事:古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说:“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽 量往前甩,然后再尽量往后甩。”说着,苏格拉底示范做了一遍,“从今天开始,每天做 300 下,大家能做到吗?”学生们都笑了,这么简单的事,有什么做不到的?过了一个月,苏格拉底问学生: 每天甩手 300 下,哪个同学坚持了,有 90%的学生骄傲的举起了手,又过了一个月,苏格拉底又问,这回,坚持下来的学生只剩下了 80%。一年过后,苏格拉底再一次问大家:“请告诉我,最简 单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了?”这时,整个教室里,只有一个人举起了手,这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们,柏拉图之所以能成为大哲学家,其中一个 重要原因,就是,柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业,必须有持之以恒的精神,大家都熟悉愚公移山的故事,愚公之所以能够感动天帝,移走太行、王屋二山。正是因为他具 有锲而不舍的精神。戎马一生,他前十次革命均告失败,但他百折不挠,终于在第十一次革命的时候,推翻了清王朝的统治,建立了中华民国。这些故事,情节不同,但意义都是一样的,它告诉 无们,做事要有恒心。旬子讲:“锲而不舍,朽木不折;锲而舍之,金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有恒心,一些困难的事情便可以做到,没有恒心,再简单的事也做不成。学习是一条 慢长而艰苦的道路,不能靠一时激情,也不是熬几天几夜就能学好的,必须养成平时努力学习的习惯。所以我说:学习贵在坚持! 当下市面上关于教授学习方法的书籍不少,其所载内容也的确 很有道理,然而当读者实际应用时,很多看似实用的方法用来效果却并不明显,之后的结果无非是两种:要么认为自己没有掌握其精髓要领,要么抱怨那本书的华而不实,但最终肯定还是会回归 到当初的原点。这本《学会学习》在一开始并没有急于兜售自己的方法,而是通过测试让读者真正了解自己,从而找到适合自己思维方式的学习方法,书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和 视觉、听觉和动觉学习模式测试,经过有效分类后,针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点,有针对性的分别给出建议,从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法 章节的最开始,都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议,这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点,这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉,除了能够得到最 适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己,不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外,本书第二大特点就是“全面”,全书都是由一篇篇短文、图表集成,更像是一本博 文或者 PPT 课件合集,每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找,但也因此有些章节内容安排的比较混乱,所幸每一章节关联性并不太强,每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时 间规划”、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题,文中文字精炼没有过分的渲染,完全是纯纯的“干货”,可以设身处地的想象:当自己面对学海之中手足无措之时,长 篇大论的方法肯定会无心查看,明了的编排,让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的,一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息,是一部值得学习的人们不断自我提高的有 力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法”、“错误的方法”和“积极的行为”、“消极的行为”,来自由搭配,看如何搭配出最好和最坏的结果,“正确方法”配合“积极的行为”无 疑是最好的结果,然而我们会很“惯性”想当然的认为,“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果,其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果,这会让人在错误的路上越 走越远,学习也是同理,一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远,而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的,起码

在学生的时候如果遇到,或者人生会少一些遗憾,我只恨我遇见的晚了点,可是现在已是终身学习的年代,错过了最恰当的时候,但只要有心又怎会嫌晚呢?本书归类为学习方法-青年读物,是本 工具书,学习手册,但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力”,正是本书的宗旨,本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面,可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲 主要包括 7 个方面,分别是学习模式,时间管理和学习技巧规划,笔记记录技巧,阅读技巧,记忆,应试技巧,拾遗。全书的结构采取的是总分的形式,前三个方面是总的部分,算是增加学习技 能的准备,从认识自己的学习模式开始,然后采取任何事都需要的时间管理技巧,再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分,将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述,分 别有笔记记录,阅读,记忆,应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高,在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此, 说句题外话,我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的,但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇,因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗,简直比我们中国还要 应试。那个考试应对细节的部分放在中国,一点也没有违和感的,好吗?所以他们能出现这样的情况,从没到过日本的人能够写出描写日本人的书,然后让日本人都觉得是经典的,没有在企业里 做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师,其理念影响了全世界……不得不说,美国的教育真不是盖的。细节上,我印象比较深的是,作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式,运用了 一些测试题目,然后根据结果找出与自己最近似的学习模式,她把学习模式分为几种情况,分别有左脑型,右脑型,还有另外的分法,为视觉的,听觉的,动作的。我看了一下,确实有跟自己近 的类型,我就是视觉的,对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后,作者说了,做任何事情,时间管理技巧都是不可缺少的,她不仅教导的是学习的技能,还有很多其他的道理,对我们 人生都是有益的,我相信,如果我们的孩子从小就学习这些,将会受用终生。还有,作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统,将我们现在工作中的管理引进了学习中,这是一个非常好的学习 习惯,如果孩子持续的做,严格地做,获得的收益将无法估量,因为,这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能,实在是太可贵了,孩子将这种技能与阅读结合起来,保管好自己思维历 程,可以获得持续的提高,直到最后展翅翱翔,他最可贵的是,可以系统地提升自己,从而达到书中简介里提到的那样,碰到不会的领域的时候,可以很快的用这些方法,工具建立起模型,系统, 游刃有余地攻克自己之前没接触的领域,提升自己的理解力,我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。最后,我影响比较深的就是作者提供的那些小工具了,包括笔记的表格,辅助记忆的 表格,帮助整理文档的夹子,应对考试的技巧,缓解紧张的方法……我觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的,我也相信通过实践作者在书上所提到的方法,定能在学习中得到 提高。但是,那也不是一朝一夕的事情,就像我们大家都知道的那个故事,在美国得到诺贝尔奖的科学家说,自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理,就是说要和郭靖一样,不 要贪多吃不烂,认定他就要好好地坚持去做,不要停。我自己喜欢的是家庭归档系统,虽然不是学习过程中的技能,只属于学习准备的东西,但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维, 对自己的收益将难以估量。稍显不足的地方是,第一,本书的语言太过精练,感觉就像没有主观感情一样,要命的是有很多词语或者概念读的时候甚至不知道什么意思,书中也没做讲解,本来就 看的比较费力,现在好了,作者也不等你,直接把你撂那。第二,作者很多地方就像立一个提纲一样,直接让你自己去参考多少多少页,这个太不习惯了。第三,作者在书中提到各种学习的类型, 但是并没有就这种类型合适他们的学习方法做开展或者介绍,比如,将学习分为好几种类型的那个部分,有内省的,有外联的之类,然而并没有对各种类型进行针对性的指导。从而她的有些观点 就不太适用,像成立学习小组的,这个对于内向的人,在我国这样的学习环境中是比较的困难,但作者没有就如何做提出建议,只是告诉读者这么做,会显得不够全面或者落空。


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