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2012福建省文科数学各地市质检(福州、厦门、泉州、莆田、漳州、宁德)有答案


2012 福建省各地市 2、3 月质检文科数学(福州、厦门、泉州、莆田、漳州、宁德)

2012 年 福 州 市 高 中 毕 业 班 质 量 检 查

数学(文科)试卷
一、选择题 1.抛物线 y 2 A. (1, 0 )
? 4x

的焦点坐标为 B. ( ? 1, 0 )
? 0

C. (0,1)

D. (0, ? 1)

2.命题“ ? x ? R , x 3 A. ? x ? R , x 3 C. ? x ? R , x 0 3.集合 M A.1
3

”的否定是 B. ? x ? R , x 3 D. ? x ? R , x
3



0



0

? 0
*

? 0

? {x ? N

x ( x ? 3) ? 0} 的子集个数为

B.2

C.3

D.4

4.从一堆苹果中任取 20 粒,称得各粒苹果的质量(单位:克)数据分布如下表所示: 分组 频数
[1 0 0 ,1 1 0 ] (1 1 0 ,1 2 0 ] (1 2 0 ,1 3 0 ] (1 3 0 ,1 4 0 ] (1 4 0 ,1 5 0 ] (1 5 0 ,1 6 0 ]

1

3

4

6

a

2

根据频数分布表,可以估计在这堆苹果中,质量大于 140 克的苹果数约占苹果总数的 A.10% B.30% C.70% D.80%

5.执行如下程序框图后,若输出结果为 ? 1 ,则输入 x 的值不可能是 ... A.2 B.1 C. ? 1 D. ? 2

第 5 题图

第 6 题图
? A1 B1 C 1 中,侧棱

6.如图,水平放置的三棱柱 A B C

AA1 ? 平面 A1B1C1,其正视图是边

长为 a 的正方形,俯视图是边长为 a 的正三角形,则该三棱柱的侧视图的面积为 A.
a
2

B.
?
2

1 2

a

2

C. ,使得 0 ?

3 2

a

2

D.

3a

2

7.在区间 ( 0 ,

) 上随机取一个数 x

tan x ? 1 成立的概率是

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1 8 1 3
y x
1 2 1 2
2

A.

B.

C.

D.

?

? x ≥ 1, ? 8.若 x , y ? R ,且 ? y ≥ x , ? x ? 2 y ? 3 ≥ 0, ?

则k

?

的最大值等于

A.3

B.2

C.1
????

D.

9. ? A B C 中, O 在线段 B C 的延长线上, 在 点 且与点 C 不重合, A O 若 则实数 x 的取值范围是 A. ? ? ? , 0 ? 10.若双曲线
x a
2 2

??? ? ???? ? x A B ? (1 ? x ) A C



B. ? 0, ? ? ?
? y b
2 2

C. ? ? 1, 0 ?
? 0, b ? 0

D. ? 0,1 ?
2) ? y ? 2
2 2

?1

(a

)的渐近线与圆 ( x ?

相交,则此双

曲线的离心率的取值范围是 A. ( 2, ? ? ) 11.函数 B. (1, 2 ) (? C. (1,
? 0, 0 ? ? ? ?

2)

D. (

2 , ?? )

f ( x ) ? 2 cos( ? x ? ? )

)为奇函数,

该函数的部分图象如图所示,点 A、 B 分别为该部分图象的最高 点与最低点, | 且 程为 A. x
? 2
A B | ?4 2

, 则函数

f (x)

图象的一条对称轴的方
第 11 题图 图 ?
? 2

B. x

? 2?

C. x

?

1 2

D. x

12.已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ,其导函数 f ? ( x ) 的图象如图所示,则对于任意
x1 , x 2 ? R

( x1

? x2

),下列结论中正确的是

① ② ③ ④ ⑤

f ( x ) ? 0 恒成立;

( x1 ? x 2 )[ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? 0



( x1 ? x 2 )[ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? 0 ;
f( x1 ? x 2
f( x1 ? x 2
2

2

)?

f ( x 1)? f x ( 2
f ( x 1)? f x ( 2

2


第 12 题图

)

)?

2

. C. ②④
1? i 1? i

)

A. ①③ 二、填空题

B. ①③④

D. ②⑤

13.已知 i 是虚数单位,则复数 14.已知函数
f (x) ? 2
x

?

★★★ . ,则 m n 的最大值为 ★ ★ ★ .

满足

f (m ) ? f (n) ? 2

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15. 在 ? A B C 中,角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c .若 a 则 sin C
?

? 2

,b

? 2 3

,B

? 60 ?



★★★ .

16.对一块边长为 1 的正方形进行如下操作:第一步, 将它分割成 3 ? 3 方格,接着用中心和四个角的 5 个小正方形, 构成如图①所示的几何图形,其面积 S 1
? 5 9

;第二步,将图①
第 16 题图
?

的 5 个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操 作,得到图②;依此类推,到第 n 步,所得图形的面积 S n
5 n ? ( ) 9

.若

将以上操作类比推广到棱长为 1 的正方体中,则到第 n 步,所得几何体的体积 V n ★★ . 三、解答题 17.在数列 ? a n ? 中, a 1
? 1 2



,点 ( a n , a n ? 1 ) ( n ? N * )在直线 y

? x?

1 2

上.

(Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)记 b n
? 1 a n ? a n ?1

,求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .

18.某教室有 4 扇编号为 a , b , c , d 的窗户和 2 扇编号为 x , y 的门,窗户 d 敞开,其余 门和窗户均被关闭. 为保持教室空气流通, 班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开 2 扇. (Ⅰ)记“班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开 2 扇”为事件 A ,请列出事件 A 包含的基本事件; (Ⅱ)求至少有 1 扇门被班长敞开的概率. 19.已知函数
f (x) ? cos 2 x 2 s in (

?
4


? x)

(Ⅰ)求

f(

?
12

) 的值;
f (x)

(Ⅱ)求函数

的单调递减区间.
: x a
2 2

20.在直角坐标系 x O y 中,已知椭圆 C
P

?

y

2

? 1(a ? 0

)与 x 轴的正半轴交于点

9

.点 Q 的坐标为 (3, 3) , O P ? O Q (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 Q 且斜率为
3 2

??? ???? ?

? 6.

的直线交椭圆 C 于 A 、 B 两点,求 ? AOB 的面积.

21. 如图, 在边长为 4 的菱形 A B C D 中,? D A B ? 60 ? . E 、 F 分别在边 C D 、 C B 上, 点 点 E 与点 C 、 D 不重合, E F
? AC

,E F

? AC ? O

.沿 E F 将 ? C E F 折起到 ? P E F 的位置,

使得平面 P E F ⊥平面 A B F E D .
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(Ⅰ)求证: B D (Ⅱ)记三棱锥 P 值时 V1 : V 2 的值.

?

平面 P O A ; 体积为 V 1 ,四棱锥 P
? BDEF

? ABD

体积为 V 2 .求当 P B 取得最小

D E D A O F B C A B F

P

E O C

第 21 题图

22.已知函数 (Ⅰ)求函数 (Ⅱ)若函数

f ( x ) ? ? x ? 2 ln x
2



f (x) f (x)

的最大值; 与 g (x) ?
x? a x

有相同极值点,

(ⅰ)求实数 a 的值; (ⅱ)若 于? 对
1 x1 , x 2 ? [ , 3] e

, 等 不 式

f ( x1 ) ? g ( x 2 ) k ?1



1 恒 立 求 数k 成 , 实

的 值 围 取 范 .

2012 年福州市高中毕业班质量检查 数学(文科)试卷参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分.) 1.A 7.C 2.B 8.B 3.D 9.A 4.B 10.C 5.D 11.A 6.C 12.D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.) 13. i 14.
1 4

15.1

16. (

1 3

)

n

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.) 17.解:(Ⅰ)由已知得 a n ? 1
1

? an ?

1 2

,即 a n ? 1

? an ?

1 2

. ························ 1 分



数列 ? a n ? 是以 为首顷,以 d
2

?

1 2

为公差的等差数列. ······················ 2 分

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∵ ∴

a n ? a 1 ? ( n ? 1) d , ···································································· 3
1 2 1 2 n 2



an ?

?

( n ? 1) ?

( n ? N * ). ················································ 6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 b n ?

1 n n ?1 ? 2 2

?

4 n ( n ? 1)

, ······································ 7 分



bn ? 4 (

1 n

?

1 n ?1
1 2

)



······························································· 9 分



T n ? 4[(1 ?

)?(

1 2

?

1 3

)?? ? (

1 n

?

1 n ?1

)] ? 4 (1 ?

1 n ?1

) ?

4n n ?1

. ··············· 12 分

18.解:(Ⅰ)事件 A 包含的基本事件为: { a , b } 、 { a , c } 、 { a , x } 、 { a , y } 、 { b , c } 、
{b , x }

、 { b , y } 、 { c , x } 、 { c , y } , { x , y } ,共 10 个. ······································ 6 分

注:⑴ 漏写 1 个情形扣 2 分,扣完 6 分为止;多写情形一律扣 3 分. (Ⅱ)方法一:记 “至少有 1 扇门被班长敞开”为事件 B . ∵ 事件 B 包含的基本事件有 { a , x } 、{ a , y } 、{ b , x } 、{ b , y } 、{ c , x } 、{ c , y } ,{ x , y } ,

共 7 个. ······················································································ 9 分 ∴
P(B) ? 7 10

. ······································································· 12 分

方法二:事件“2 个门都没被班长敞开” 包含的基本事件有
{ a , b}

、 { a , c } 、 { b , c } ,共 3 个. ····················································· 8 分
? 3 10



2 个门都没被班长敞开的概率 P1

, ······································· 10 分
3 10 7 10



至少有 1 个门被班长敞开的概率 P2
?
4

?1?

?

. ··························· 12 分
?
4

19.方法一:由 sin (

? x) ? 0

,得 x ?

?
4

? k?

( k ? Z ),即 x

? k? ?

( k ? Z ),

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函数

f (x)

定义域为 { x | x

? k? ?

?
4

, k ? Z}

. ····································· 2 分



f (x) ?

cos 2 x 2 sin (

?
4

, ? x)

? f (x) ?

co s x ? sin x
2 2

co s x ? sin x

? co s x ? sin x ?

2 sin ( x ?

?
4

)

,······························· 5 分

注:以上的 5 分全部在第Ⅱ小题计分. (Ⅰ)
?
12

f(

)?

2 sin (

?
12

?

?
4

)?

2 sin

?
3

?

2?

3 2

?

6 2

; ························ 8 分

(Ⅱ)令 2 k ? ?
?
4

?
2

? x?

?
4

? 2k? ?

3? 2

( k ? Z ) , ································· 10 分

得 2k? ?

? x ? 2k? ?

5? 4

( k ? Z ), ················································ 11 分



函数

f (x)

的单调递减区间为 ( 2 k ? ?

?
4

, 2k? ?

5? 4

) ( k ? Z ) . ·············· 12 分

注:学生若未求函数的定义域且将单调递减区间求成闭区间,只扣 2 分. 方法二:由 sin (
?
4 ? x) ? 0

,得 x ?

?
4

? k?

( k ? Z ),即 x

? k? ?

?
4

( k ? Z ),



函数

f (x)

定义域为 { x | x

? k? ?

?
4

, k ? Z}

. ···································· 2 分



f (x) ?

cos 2 x 2 s in (

?
4

, ? x)

s in 2 ( ? f (x) ?

?
4

? x) ? ? x)

2 s in (

?
4

? x ) cos(

?
4

? x) ? 2 cos( x ?

?
4

2 s in (

?
4

2 s in (

?
4

)

, ·················· 5 分

? x)

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(Ⅰ)

f(

?
12

)?

2 c o s(

?
12

?

?
4

)?

2 c o s( ?

?
6

)?

2?

3 2

?

6 2

; ···················· 8 分

(Ⅱ)令 2 k ? ? x ?
?
4

?
4

? 2 k ? ? ? ( k ? Z ) , ········································ 10 分

得 2k? ?

? x ? 2k? ?

5? 4

( k ? Z ) , ·············································· 11 分



函数

f (x)

的单调递减区间为 ( 2 k ? ?
?
12

?
4

, 2k? ?

5? 4

) ( k ? Z ) . ·············· 12 分

方法三:(Ⅰ)∵

c o s( 2 ?

) ? cos

?
6

?

3 2

, s in (

?
4

?

?
12

) ? s in

?
6

?

1 2



3



f(

?
12

)?

2 2? 1 2

?

6 2

. ···························································· 3 分

下同方法一、二. 20.解:(Ⅰ)依题意,点 P 坐标为 ( a , 0 ) . ∵ ∴ ∴
??? ???? ? O P ? O Q ? 6 ,点 Q

··································· 1 分

坐标为 (3, 3) , . ······················································· 3 分
?1

3 a ? 3 ? 0 ? 6 ,解得 a ? 2

椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

4

9

. ··················································· 4 分

(Ⅱ)过点 Q

(3, 3)

且斜率为 的直线 A B 方程为 y
2

3

?3?

3 2

( x ? 3)



即 3 x ? 2 y ? 3 ? 0 . ······································································ 5 分 方法一:设点 A 、 B 的坐标分别为 ( x1 , y 1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) ,

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?x y ? ? 1, ? 由? 4 消去 x 9 ?3 x ? 2 y ? 3 ? 0, ?
2 2

幵整理得, 8 y 2

? 12 y ? 27 ? 0

. ························· 6 分



y1 ? y 2 ? ?

3 2

, y1 y 2 ? ?

27 8

,························································ 7 分



( y1 ? y 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ?
2 2

9 4

?

54 4

?

63 4



∴ ∵ ∴

| y1 ? y 2 | ?

3 7 2

. ·································································· 9 分

直线 A B 不 x 轴的交点为 M (1, 0 ) ,
? AOB 的面积 S ? A O B ? S ? O M A ? S ? O M B
1 2 1 2 3 7 4

?

| O M | ?(| y 1 | ? | y 2 |) ?

? 1? | y 1 ? y 2 | ?

. ······· 12 分

方法二:设点 A 、 B 的坐标分别为 ( x1 , y 1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) ,
?x y ? ? 1, ? 由? 4 消去 y 9 ?3 x ? 2 y ? 3 ? 0, ?
2 2

y
3 2

幵整理得 2 x

2

? 2x ? 3 ? 0

, ········6 分
–2 –1

1

A
1 M 2

–1 –2

O

x



x1 ?

1? 2

7

, x2 ?

1? 2

7

, ··································7 分
1? 2 1? 2

B

–3



AB ?

1?

9 4

? | x1 ? x 2 | ?

13 2

?|

7

?

7

|?

91 2

, ·9 分

∵ 点 O 到直线 AB 的距离 d

?

3 9? 4

?

3 13

?

3 13 13

, ···························· 10 分



? AOB 的面积 S ? A O B ?

1 2

? AB ? d ?

1 2

?

91 2

?

3 13

?

3 7 4

. ···················· 12 分

方法三:设点 A 、 B 的坐标分别为 ( x1 , y 1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) ,
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?x y ? ? 1, ? 由? 4 消去 y 9 ?3 x ? 2 y ? 3 ? 0, ?
2 2

幵整理得 2 x 2

? 2x ? 3 ? 0

, ········6 分



x1 ?

1? 2

7

, x2 ?

1? 2

7

, ··································8 分
3 2

∵ ∴

直线 A B 不 y 轴的交点为 M
? AOB 的面积

(0 , ?

)



S ?AOB ? S ?OM A ? S ?OM B ?

1 2

| O M | ?(| x1 | ? | x 2 |) ?

1 2

?

3 2

?(

1? 2

7

?

7 ?1 2

)?

3 7 4

.…12 分

方法四:设点 A 、 B 的坐标分别为 ( x1 , y 1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) ,
?x y ? ? 1, ? 由? 4 消去 y 9 ?3 x ? 2 y ? 3 ? 0, ?
2 2

幵整理得 2 x 2

? 2x ? 3 ? 0

, ······························· 6 分



x1 ? x 2 ? 1 , x1 ? x 2 ? ?

3 2

, ··························································· 7 分



AB ?

1?

9 4

? | x1 ? x 2 | ?

13 2

?

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 ? x 2 ?
2

13 2

? 1 ? 4 ? (?
2

3 2

) ?

91 2



···························································································· 9 分 ∵ 点 O 到直线 AB 的距离 d
? 3 9? 4 ? 3 13 ? 3 13 13

,··························· 10 分



? AOB 的面积 S ? A O B ?

1 2

? AB ? d ?

1 2

?

91 2

?

3 13

?

3 7 4

. ···················· 12 分

21.(Ⅰ)证明:在菱形 A B C D 中,∵ ∴
BD ? AO

BD ? AC



. ·········································································· 1 分

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∵ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵

EF ? AC

,∴ P O

? EF

,
?

平面 P E F ⊥平面 A B F E D ,平面 P E F
PO ?

平面 A B F E D

? EF

,且 P O

?

平面 P E F ,

平面 A B F E D , ····························································· 2 分 平面 A B F E D , . ·········································································· 3 分 ,所以 B D
?

BD ?

PO ? BD

AO ? PO ? O

平面 P O A . ··········································· 4 分 .

(Ⅱ)连结 O B ,设 A O 由(Ⅰ)知, A C ∵ ∴
? BD

? BD ? H

. ,

? D A B ? 60 ? , B C ? 4

BH ? 2

,CH

? 2 3

. ···························································· 5 分 ).

设OH

? x

(0 ?

x? 2 3

由(Ⅰ)知, P O ∴ ∴ 当x ∴
PB
2 2

?

平面 A B F E D ,故 ? P O B 为直角三角形.
2

? OB ? PO

? (BH

2

? OH ) ? PO
2

2


3 ) ? 10
2

PB

2

? 4 ? x ? (2 3 ? x) ? 2 x ? 4 3 x ? 16 ? 2( x ?
2 2 2

. ················· 7 分

?

3

时, P B 取得最小值,此时 O 为 C H 中点. ······························ 8 分
1 4

S ?CEF ?

S ?BCD

, ··································································· 9 分
3 4



S 梯 形 BFED ?

3 4

S ?BCD ?

S ?ABD

, ····················································· 10 分

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V1 ?

1 3

S ?ABD ? P O , V 2 ?

1 3

S 梯 形 BFED ? P O



······································· 11 分



V1 V2

?

S ?ABD S 梯 形 BFED

?

4 3





当 P B 取得最小值时, V1 : V 2 的值为 4 : 3 . ···································· 12 分
f ?( x ) ? ? 2 x ? 2 x ? ? 2 ( x ? 1)( x ? 1) x

22.解:(Ⅰ)
? f ?( x ) ? 0 , ?x ? 0

(x

? 0

), ···················· 1 分

由? ∴ ∴

得, 0 ?

? f ?( x ) ? 0 , x ? 1 ;由 ? ?x ? 0

得, x

?1.

f (x)

在 (0,1) 上为增函数,在 (1, ? ? ) 上为减函数. ···························· 3 分
f (x)

函数

的最大值为
a x

f (1) ? ? 1 . ················································ 4



(Ⅱ)∵

g (x) ? x ?





g ?( x ) ? 1 ?

a x
2



(ⅰ)由(Ⅰ)知, x 又∵ 函数 ∴ ∴

? 1 是函数 f ( x )

的极值点,

f (x)

不 g (x) ?

x?

a x

有相同极值点,

x ? 1 是函数 g ( x )

的极值点,
? 1 . ····················································· 7

g ? (1) ? 1 ? a ? 0

,解得 a



经检验,当 a (ⅱ)∵

? 1 时,函数 g ( x )

取到极小值,符合题意. ························ 8 分

1 1 f( )? ? 2 ?2 e e



f (1) ? ? 1 , f (3) ? ? 9 ? 2 ln 3 ,



? 9 ? 2 ln 3 ? ?

1 e
2

? 2 ? ?1 ,



1 f (3) ? f ( ) ? f (1) e





1 ? x1 ? [ , 3] , f ( x1 ) m in ? f (3) ? ? 9 ? 2 ln 3 , f ( x1 ) m ax ? f (1) ? ? 1 .················ 9 e



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由(ⅰ)知 g ( x ) ?
1 e

x?

1 x

,∴ g ? ( x ) ? 1 ?

1 x
2

.

当x?[

,1)

时, g ?( x ) ? 0 ;当 x ? (1, 3] 时, g ?( x ) ? 0 .

故 g ( x) 在[

1 e

,1)

为减函数,在 (1, 3] 上为增函数.



1 1 1 10 g ( ) ? e ? , g (1) ? 2 , g (3) ? 3 ? ? e e 3 3 1 e 10 3





2 ? e?

?

,

1 ? g (1) ? g ( ) ? g (3), e



1 10 ? x 2 ? [ , e ] , g ( x 2 ) m in ? g (1) ? 2 , g ( x 2 ) m ax ? g (3) ? e 3

. ······················· 10 分

① 当k 对亍 ?

?1? 0

,即 k

? 1 时,

1 x1 , x 2 ? [ , e ] e

,丌等式

f ( x1 ) ? g ( x 2 ) k ?1

? 1 恒成立

? k ? 1 ? [ f ( x1 ) ? g ( x 2 )] m ax ? k ? [ f ( x1 ) ? g ( x 2 )] m ax ? 1

?

f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? f (1) ? g (1) ? ? 1 ? 2 ? ? 3 ,

∴ ∴

k ? ?3 ? 1 ? ?2

,又∵

k ?1,

k ?1.

············································································· 12 分 ,即 k
? 1 时,

② 当k 对亍 ?

?1? 0

1 x1 , x 2 ? [ , e ] e

,丌等式

f ( x1 ) ? g ( x 2 ) k ?1

?1

? k ? 1 ? [ f ( x1 ) ? g ( x 2 )] m in ? k ? [ f ( x1 ) ? g ( x 2 )] m in ? 1


? 2 ln 3



f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? f (3) ? g (3) ? ? 9 ? 2 ln 3 ?

10 3

? ?

37 3



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k ? ?

34 3

? 2 ln 3 .

又∵ k

? 1 ,∴

k ? ?

34 3

? 2 ln 3 .

综上,所求的实数 k 的取值范围为 ( ? ? , ?

34 3

? 2 ln 3] ? (1, ? ? )

. ················· 14 分

2012 年厦门市高中毕业班质量检查
数学(文科)试卷
一、选择题: 1.已知集合 A ? { x | ( x ? 1)( x ? 2 ) ? 0} ,集合 B ? { x | x ? 0} ,则 A I B ? A. { x | ? 1 ? x ? 2} B. { x | x ? 1 } C. { x | ? 2 ? x ? 0} D. { x | ? 1 ? x ? 0}

2.已知样本 1, 2 , x , 3 的平均数为 2 ,则样本方差是 A.
1 3

B.

2 2

C.

1 2

D.

1 4

3.执行右边的程序框图,输出的结果是 18,则①处应填入的条件是 A.K>2 B.K>3 C.K>4 D.K>5

4.已知锐角 ? 满足 s in ? ?

3 5

,则 sin (? ? 2? ) ?
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A. ?

12 25

B. ?

24 25

C..

12 25

D.

24 25

5.若 x ? R ,则“ ? 1 ? x ? 2 ”是“ x ? 1 ”的 A.充分丌必要条件 C.充要条件 B.必要丌充分条件 D.既丌充分也丌必要条件

6.设 x ? 0, y ? 0 , xy ? 4 ,则 s ? A. 1 B. 2

x

2

?

y

2

y

x

的最小值为 D. 8

C. 4

7.已知 ? , ? 是两个丌同平面, m , n 是两条丌同直线,则以下命题正确的是 A.若 m // n , n ? ? ,则 m // ? C.若 m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? // ?
?x ? 0 ? 8.在平面区域 ? y ? 0 ? ?x ? y ?

B.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? D.若 m // ? , ? ? ? ? n ,则 m // n

内随机取一点,则所取的点恰好落在圆 x 2 ? y 2 ? 1 内的概
2

率是 A.
?
2

B.

?
4

C.

?
8

D.

?
16

9.已知函数 y ? f ( x ) 在 R 上满足 f (1 ? x ) ? f (1 ? x ) ,且在 ?1, ? ? ? 上单调递增,则下 列结论正确的是 A. f (0 ) ? f (1) ? f (3) C. f (3) ? f (1) ? f (0 ) B. f (0 ) ? f (3) ? f (1) D. f (3) ? f (0 ) ? f (1)

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10.在 ? A B C 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边, B ?
b : c 的值为

?
3

,且 sin A : sin C ? 3 : 1 ,则

A. 3
x
2

B. 2

C. 7

D.7

11.设 P 是椭圆

? y ? 1 上仸意一点, A 是椭圆的左顶点, F 1, F 4 uur uuu uur uuur r 左焦点和右焦点,则 P A ? P F1 ? P A ? P F 2 的最大值为
2

2

分别是椭圆的

A. 8

B. 1 2

C. 1 6

D. 2 0 D C E A B

12.如图,直角梯形 A B C D 中, A B // D C , ? DAB ? 90 ? ,
DC ? 1, AB ? 3 , AD ? 3 ,点 E 在边 BC 上,且 AC ,

uur uur AE , AB 成等比数列.若 C E ? ? E B ,则 ? ?

A.

3? 3

15

B.

3 ? 2 15 3

C.

87 ? 9 3

D.

87 ? 9 3

二、填空题: 13.设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则复数 1 ? z 2 在复平面上对应点的坐标为 14.已知 f 1 ( x ) ? co s x ,且 f n ? 1 ( x ) ? f n ? ( x ) ( n ? N *) ,则 f 2 0 1 2 ( x ) ? 15.已知双曲线 为 .
x a
2 2

. .

?

y

2

9

? 1( a ? 0 ) 的渐近线不圆 ( x ? 5 ) ? y
2

2

? 9 相切,则 a 的值

16.如果函数 y ? f ( x ) 在定义域 D 的子区间 ? a , b ? 上存在 x 0 ( a ? x 0 ? b ) ,满足
f ( x0 ) ? f (b ) ? f ( a ) b?a

,则称 x 0 是函数 y ? f ( x ) 在 [ a , b ] 上的一个“均值点”.例

如, 0 是 y ? x 2 在 ? ? 1,1 ? 上的一个“均值点”.已知函数 f ( x ) ? ? x 4 ? m x ? 1 在区 间 ? ? 2 ,1 ? 上存在均值点,则实数 m 的取值范围是 三、解答题:
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17.已知等比数列 ? a n ? 中,公比 q ? 1 , a 1 不 a 3 的等差中顷为 为2 . (Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通顷公式; (Ⅱ)设 b n ? lo g 2 a n ,求数列 ? b n ? 的前 n 顷和 S n . 18.将函数 y ? sin x 图象上的所有点向右平秱
1

5 2

, a 1 不 a 3 的等比中顷

?
6

个单位长度,得到曲线 C 1 ,再把曲

线 C 1 上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标丌变),得到函数 y ? f ( x ) 的图
2

象. (Ⅰ)写出函数 y ? f ( x ) 的解析式,幵求 f ( x ) 的周期; (Ⅱ)若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? co s 2 x ,求 g ( x ) 在 ? 0 , ? ? 上的单调递增区间. 19.在中学生综合素质评价某个维度的测评中,分“优秀、合格、尚待改进”三个等 级进行学生互评.某校高一年级有男生 500 人,女生 400 人,为了了解性别对该 维度测评结果的影响, 采用分层抽样方法从高一年级抽取了 45 名学生的测评结果, 幵作出频数统计表如下: 表一:男生 等级 优秀 合格 尚待改 进 频数 15
x

表二:女生 等级 优秀 合格 尚待改 进 5 频数 15 3
y

(Ⅰ)计算 x , y 的值; (Ⅱ)从表二的非优秀学生中随机选取 2 人交谈,求所选 2 人中恰有 1 人测评等 级为合格的概率;
(Ⅲ)由表中统计数据填写下边 2× 列联表,并判断是否有 90%的把握认为“测评结 2 果优秀与性别有关” .
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参考数据与公式:
K
n ? a?b?c?d .
2

?

n(ad ? bc)

2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

,其中

临界值表:
P

( K ? k0 )
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

k0

男生 优秀 非优秀 总计
y a
2 2

女生

总计

20.已知椭圆 C :

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的两焦点不短轴的一个端点连结构成等腰直

角三角形,直线 l : x ? y ? b ? 0 是抛物线 x 2 ? 4 y 的一条切线. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)直线 l 交椭圆 C 亍 A , B 两点,若点 P 满足 O P ? O A ? O B ? 0 ( O 为坐标原 点),判断点 P 是否在椭圆 C 上,幵说明理由. 21.某人请一家装公司为其新购住房进行装修设计,房主计划在墙面及天花板处涂每 平方米 20 元的水泥漆,地面铺设每平方米 100 元的木地板.家装公司给出了某一房 间的三视图如图一,直观图如图二(单位:米). (Ⅰ)问该房间涂水泥漆及铺木地板共需材料费多少元? (Ⅱ)如图二,点 E 在棱 A1 D 1 上,且 D 1 E ? 0 .3 , M 为 P1 Q 1 的中点.房主希望在 墙面 A1 A D D 1 上确定一条过点 D 1 的装饰线 D 1 N ( N 在棱 A A1 上),幵要求装饰 线不平面 E D P M 垂直.请你帮助装修公司确定 A1 N 的长,幵给出理由.
uuu r uur uuu r r

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D1 E. A1 N B1

P1

M Q1

D A B

P

Q

图二

22.已知函数 f ( x ) ? a ( x ?

1 x

) ? b ln x ( a , b ? R ), g ( x ) ? x .
2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线不 y 轴垂直,求 b 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证: g ( x ) ? f ( x ) ? 2 ln 2 ; (Ⅲ)若 b ? 2 ,试探究函数 f ( x ) 不 g ( x ) 的图象在其公共点处是否存在公切线, 若存在,研究 a 值的个数;若丌存在,请说明理由.

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2012 年厦门市高中毕业班质量检查
数学(文科)参考答案
一、 选择题:本题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 1. D 2. C 3. A 4.B 5. B 6. C 7.B 8.B 9.D 10. C 11. C A 二、填穸题:本题考查基础知识和基本运算. 每小题 4 分,满分 16 分. 13. (1, 2 ) 14. sin x 15. 4 16.
( ? 5, 4 )

12.

三、解答题:本题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.本题考查等差数列、等比数列基础知识,考查运算求解能力,考查函数不方程思 想方法.满分 12 分. 解:(Ⅰ)依题意得 ?
? a1 ? a 3 ? 5 ? a1 ? a 3 ? 4

,又 q ? 1 ,

-----------------------------------------------------------2 分 ∴?
? a1 ? 1 ? a3 ? 4

,∴ q 2 ?

a3 a1

? 4 ,即 q ? 2

----------------------------------------------------4 分 ∴ a n ? 1 ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 ------------------------------------------------------ 6 分 (Ⅱ) b n ? lo g 2 a n ? lo g 2 2 n ? 1 ? n ? 1 , -----------------------------------------------------------8 分 ∴ b n ? 1 ? b n ? n ? ( n ? 1) ? 1 (为常数),所以, ? b n ? 是以 0 为首顷, 1 为公差 的等差数列,

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Sn ? n ( b1 ? b n ) 2 ? n (0 ? n ? 1) 2 ? n ?n
2

2



--------------------------------------------------

--12 分 18.本题考查三角函数图象及其性质等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力, 考查方程不函数、数形结合等数学思想方法.满分 12 分. 解:(Ⅰ)由已知,曲线 C1 对应的函数解析式为 y ? s in ( x ? -------------------------------1 分 曲线 C2 对应的函数解析式为 f ( x ) ? s in ( 2 x ? --------------------------3 分 ∴ f ( x ) 的周期 T ?
2? 2

?
6

)

?
6

)

??

-------------------------------------------------------------4 分 (Ⅱ)由已知及(Ⅰ) g ( x ) ? f ( x ) ? co s 2 x ? sin ( 2 x ?
? ?
?
6

) ? cos 2 x

? sin 2 x

c o s? 6

cos 2 x

s?n i 6

xc o s 2

?

3 2

sin 2 x ?

1 2

c o s 2 x ? sin ( 2 x ?

?
6

)

-----------------------------7 分 要使 g ( x ) 单调递增,只须 ?
?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? , k ? Z ,

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即: ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? , k ? Z ,

----------------------------------------------------------9 分 又∵ x ? [0, ? ] ,∴满足条件的 x 的取值范围是 0 ? x ?
?
6

?
6



2? 3

? x?? ,

∴所求单调递增区间为 [ 0 ,
[ 2? 3

]和

, ? ] .------------------------------------------------------------12 分

19.本题考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解 能力及应用意识,考查特殊不一般、化归不转化等数学思想方法.满分 12 分. 解:(Ⅰ)设从高一年级男生中抽出 m 人,则 ∴ x ? 25 ? 20 ? 5 , y ? 20 ? 18 ? 2 -----------------------------------------------------2 分 (Ⅱ)表二中非优秀学生共 5 人,记测评等级为合格的 3 人为 a , b , c ,尚待改进的 2 人为 A,B,则从这 5 人中仸选 2 人的所有可能结果为:
( a , b ), ( a , c ), ( b , c ), ( A , B ), ( a , A ), ( a , B ), ( b , A ), ( b , B ), ( c , A ), ( c , B ) ,共 10
m 500 ? 45 500 ? 400

, m ? 25 ,

种.-------------4 分 设事件 C 表示“从表二的非优秀学生 5 人中随机选取 2 人,恰有 1 人测评等 级为合格”, 则 C 的结果为: ( a , A ), ( a , B ), ( b , A ), ( b , B ), ( c , A ), ( c , B ) 共 6 种. ----------------------------6 分 ∴ P (C ) ?
3 5
6 10 ? 3 5

, 故所求概率为



---------------------------------------------------7 分

男生

女生

总计

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优秀

15 10 25

15 5 20

30 15 45

(Ⅲ)

非优秀 总计

-------------------------------------------9 分

∵ 1 ? 0 .9 ? 0 .1 , P ( K 2 ? 2 .7 0 6 ) ? 0 .1 0 , 而K
2

?

45 (15 ? 5 ? 15 ? 10 ) 30 ? 15 ? 25 ? 20

2

?

45 ? 15

2

?5

2

30 ? 15 ? 25 ? 20

?

9 8

? 1 . 125 ? 2 . 706 ,

---------------11 分 答:没有 90%的把握认为“测评结果优秀不性别有 关”. -----------------------------------12 分

20.本题考查直线、抛物线、椭圆及平面向量等基础知识,考查运算求解能力,考查 函数不方程思想、数形结合思想及化归不转化思想.满分 12 分. 解:(Ⅰ)(法一)由 ?
?x ? y ? b ? 0 ?x ? 4y
2

消 去 y得 : x ? 4 x ? 4b ? 0
2

∵ 直线 y ? x ? b 与抛物线 x 2 ? 4 y 相切,∴ ? ? 4 2 ? 1 6 b ? 0 ,∴ b ? 1 , ---------------------3 分 ∵椭圆 C : 直角三角形, ∴a ?
2b ? 2
y a
2 2

?

x b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的两焦点不短轴的一个端点的连线构成等腰

-------------------------------------------------------------------------------5 分 故所求椭圆方程为
y
2

2

? x ? 1.
2

--------------------------------------------------------------------6 分

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(法二)直线 L: y ? x ? b ? 0 是抛物线 x 2 ? 4 y 的一条切线.故切线斜率为
k ?1,

又k ? y, ? 上,

1 2

x ? 1 求得切点坐标为 ( 2 ,1) ,又点 ( 2 ,1) 在直线 L: y ? x ? b ? 0

代入求得 b ? 1 , --------------------------------------------------------------------------3 分 ∵椭圆 C : 直角三角形, ∴a ?
2b ? 2
y a
2 2

?

x b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的两焦点不短轴的一个端点的连线构成等腰

--------------------------------------------------------------------------------5 分 故所求椭圆方程为
y
2

2

? x ? 1.
2

--------------------------------------------------------------------6 分

?y ? x ?1 1 ? (Ⅱ)由 ? y 2 得 3 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x1 ? 1, x 2 ? ? , 2 3 ? x ?1 ? ? 2

---------------------------------------8 分 ∴ A (1, 0 ), B ( ?
1 3 ,? 4 3 ),

设 P ( x , y ) ,∵ O A ? O B ? O P ? 0 , ∴O A ? O B ? O P ? ?1 ?
? uur uuu r uuu r ? 1 3 ? x, 0 ? 4 ? ? y ? ? (0 , 0 ) , 3 ?

uur

uuu r

uuu r

r

--------------------------------------------------10 分 解得: x ? ? 边,
2 3 ,y ? 4 3

, ∴ P (?

y 2 4 2 4 2 ? x ? 1左 , ) ,把点 P ( ? , ) 代入椭圆方程 2 3 3 3 3

2

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1 4 2 2 2 4 ( ) ? (? ) ? ? 1, 2 3 3 3

∴点 P 丌在椭圆 C 上

---------------------------------------12 分 21.本题考查穸间线面位置关系、三视图、多面体表面积计算等基础知识,考查穸间 想象能力、逻辑思维能力、推理论证能力、运算求解能力及应用意识,考查数形 结合、化归不转化等数学思想方法.满分 12 分. 解:(Ⅰ)墙及天花板的表面积
S 1 ? 4 ? 3 ? 4 ? 3 ? 3 .2 ? 3 ? 1 ? 3 ? 3 .4 ? 3 ? ( 4 ? 4 ? 1 2 ? 0 .6 ? 0 .8 ) ? 6 2 .5 6

( m 2 ),-----2 分 ∴水泥漆的费用为 6 2 .5 6 ? 2 0 ? 1 2 5 1 .2 (元), -----------------------------------3 分 又地面的面积为 S 2 ? 4 ? 4 ?
1 2 ? 0 .6 ? 0 .8 ? 1 5 .7 6 ( m ),
2

∴木地板的费用为 1 5 .7 6 ? 1 0 0 ? 1 5 7 6 (元), --------------------------------------------------4 分 ∴该房间涂水泥漆及铺木地板共需材料费 1 2 5 1 .2 ? 1 5 7 6 ? 2 8 2 7 .2 元.-------------------5 分 (Ⅱ)∵ D P ? 平面 A1 A D D 1 ,又 D 1 N ? 平面 A1 A D D 1 ∴ D P ? D 1 N , 要使装饰线 D 1 N ? 平面 E D P M ,须且只须 D 1 N ? D E , -----------------------------------9 分 设 A1 N ? x ,由 D 1 N ? D E 知, ? D 1 A1 N : ? D D 1 E , ∴
D1 E D1 D ? A1 N A1 D 1

,又 D 1 E ? 0 .3, D 1 D ? 3, A1 D 1 ? 4 ,

∴ A1 N ? 0 .4 , -------------------------------------------------11 分

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∴当 A1 N ? 0 .4 米时,装饰线 D 1 N 不平面 E D P M 垂 直.-----------------------------------12 分 22.本题考查函数不导数基础知识及其应用,考查运算求解能力、推理论证能力,考 查函数不方程思想、分类不整合思想、数形结合思想、特殊不一般思想及化归不 转化思想.满分 14 分.
解: (Ⅰ) Q a ? 1 , f ( x ) ? x ? ∴
1 x ? b ln x ,

f ?( x ) ? 1 ?

1 x
2

?

b x

?

x ? bx ? 1
2

x
f ?(

2


?b ? 1

----------------------------------------------2 分 依 题 意 得
b ? 2.

?

)

, 2



0

------------------------------------------3 分
1 x ? 2 ln x ,定义域为 (0, ? ? ) ,
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) ? x ?

要证 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 ln 2 ,只须证 x ? x ? 设
F (x) ? x ? x ?
2

1 x

? 2 ln x ? 2 ln 2 ? 0 ,

1 x

? 2 ln x ? 2 ln 2 , ( x ? 0 )



--------------------------------4 分 则 F ?( x ) ? 2 x ? 1 ? 令
1 x
2

?

2 x

?

2x ? x ?1? 2x
3 2

x

2

?

( x ? 1)( 2 x ? 1)
2

x

2


1 2

F ?( x ) ? 0





x ?



------------------------------------------------------6 分 列表得
x
F ?( x )

(0,

1 2

)

1 2

(

1 2

, ?? )

_

0

?

F (x)
1 2

递减 极小

递增
1 7 4 x )? ? 0,
f(

∴x ?

时, F ( x ) 取极小值也是最小值,且 F ( x ) m in ? F ( ) ?
2

F (x) ? 0 g( ? ∴ , ∴ ----------------------------------------------8 分 (Ⅲ)假设函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象在其公共点 ( x 0 , y 0 ) 处存在公切线,

.

x)

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∵ b ? 2 ,∴ f ( x ) ? a ( x ? ∵
2

1 x

) ? 2 ln x ,

f ?( x ) ?

ax ? 2 x ? a
2

x
a x0 ? 2 x0 ? a x0
2

2



g ?( x ) ? 2 x





f ?( x 0 ) ? g ?( x 0 )





? 2 x0 ,
2 x0 ? a x0 ? 2 x0 ? a ? 0
3 2







( x 0 ? 1)( 2 x 0 ? a ) ? 0 ? x 0 ?
2

a 2



---------------------9 分 ∵ f ( x ) 的定义域为 (0, ? ? ) , 当 a ? 0 时,x 0 ? 切线;---10 分 当 a ? 0 时, f ( ) ? g ( ) , f ( ) ? a ( 令 ∵
2 g( ) ? a , 2 4
2

a 2

? ( 0 , ? ? ) ,∴函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象在其公共点处不存在公

a

a

a

a 2

?

2

2

a 1 2 a ) ? 2 ln ( ) ? a ? 2 ln ( ) ? 2 , a 2 2 2

2

a

1



1

a 1 2 2 a ? 2 ln ( ) ? 2 ? a 2 2 4





a ?8
2

? l

a 2

na ?

(

,)

(

8

-----------------------------------11 分 下面研究满足此等式的 a 值的个数: (方法一)由
a ?8
2

8

a ? ln ( ) 得 2
2

8 l n ? a ? 8? 8 l n ? a 2
2

a ( , 0) 0 ?

设函数 h ( x ) ? 8 ln x ? x ? 8 ? 8 ln 2, ( x ? 0 ) , h ? ( x ) ?

8 x

? 2x ?

8 ? 2x x

2



令 h ? ( x ) ? 0 得 x ? 2 ,当 x ? (0, 2 ) 时, h ? ( x ) ? 0, h ( x ) 递增; 当 x ? ( 2, ? ? ) 时, h ? ( x ) ? 0, h ( x ) 递减; 所以, h ( x ) m ax ? h ( 2 ) ? 8 ln 2 ? 4 ? 8 ? 8 ln 2 ? 4 ? 0 ,又 x ? 0 时, h ( x ) ? ? ? ,
x ? 4 ? 2 时, h ( 2 ) ? 8 ln 2 ? 8 ? 0 ,
2

2

所以, 函数 h ( x ) 的图象与 x 轴有且仅有两个交点, 即符合题意的 a 值有且仅有两个. 综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象在其公共点处不存在公切线; 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象在其公共点处存在公切线, 且 符 合 题 意 的 a 值 有 且 仅 有 个.---------------------------------------14 分 (方法二)设 t ?
a



a 1 2 ? ln ( ) 化为 ln t ? t ? 1 , 8 2 2 2 1 2 1 2 1 t ?1 ? ? ? 0 , 分别画出 y ? ln t 和 y ? t ? 1 的图象,因为 t ? 1 时, ln t ? 0 , 2 2 2

,则 a ? 2 t ,且 t ? 0 ,方程

a ?8
2

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由函数图象性质可得 y ? ln t 和 y ?
t ? 0) ,

1 2

t ? 1 图象有且只有两个公共点(且均符合
2

a ? ln ( ) 有且只有两个解. 8 2 综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象在其公共点处不存在公切线;

所以方程

a ?8
2

当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象在其公共点处存在公切线, 且 符 合 题 意 的 a 值 有 且 仅 个.------------------------------------------14 分





泉州市 2012 届普通中学高中毕业班质量检查

文 科 数 学
一、选择题: 1.复数 ? 1 ? i ? i ? A. ? 1 ? i B. 1 ? i C. ? 1 ? i D. 1 ? i

2.已知集合 A ? ?1, 2 , 3? , B ? ? x x 2 ? x ? 2 ? 0 , x ? R ? ,则 A ? B 为 A. ? 3.函数 f ? x ? ? log
?1 ? ,1 ? ?2 ?

B. ?1?

C. ?2 ?

D. ?1, 2 ?

2

x ? x ? 4 的零点所在的区间是

A. ?

B. ?1, 2 ?

C.

? 2 ,3 ?

D. ?3 , 4 ?

4.下列双曲线中不椭圆

x

2

4

? y ? 1 有相同焦点的是
2

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A.
y
2

x

2

? y ?1
2

B.

x

2

? y ?1
2

C.

y

2

? x ?1
2

4

2

4

D.

? x ?1
2

2

5.下列函数中,既是偶函数,且在区间 ?0 , ?? ? 内是单调递增的函数是
1

A. y ? x 2

B. y ? cos x

C.

y ? ln x

D. y ? 2

x

6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序, 如果输入的 x 值 为 2 ,那么输出的结果是 A. lg 2 B. 1 C. 3 D. 5 7.条件 P : “ x ? 1 ”,条件 q : “ ? x ? 2 ? ? x ? 1 ? ? 0 ”,则 P 是 q 的 A.充分而丌必要条件 C.充要条件 也丌必要条件 8.右图所示的是函数 y ? A sin ? wx ? ? ? 图象的一部 分,则其函数解析式是 B.必要而丌充分条件 D.既丌充分

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A. y ? sin ? x ?
?

?

? ?
? 3 ?

B. y ? sin ? x ?
?

?

? ?
? 3 ?

C. y ? sin ? 2 x ?
?

?

? ?
? 6 ?

D. y ? sin ? 2 x ?
?

?

? ?
? 6 ?

9.甲、乙两同学 5 次综合测评的成绩如茎叶图所 示.老师在计算甲、乙两人平均分时,发现乙同学成绩 的一个数字无法看清.若从 {0,1, 2, ..., 9} 随机取一个数字 代替,则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为
1 10 1 9 1 5

甲 9 2 1 8 8 0 9 3 ●

乙 3 9 7

A.

B.

C.

D.
??? ? ??? ?

4 5

10.已知正六边形 ABCDEF 的边长为 1,则 A B ? ( C B ? B A ) 的值为

??? ?

D

E

A. D. ?
3 2

3 2

B. ?

3 2

C .

3 2

C

F

B

A

11.如图,边长为 a 的正方形组成的网格中,设椭圆 C 1 、 C 2 、
C 3 的离心率分别为 e1 、 e 2 、 e 3 ,则

A. e1 ? e 2 ? e 3 C. e1 ? e 2 ? e 3

B. e 2 ? e 3 ? e1 D. e 2 ? e 3 ? e1

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B 12. 已知函数 y ? f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上均有意义, A 、 是其图象上横坐标分别为 a 、 且
b 的两点. 对应亍区间 [ 0 ,1] 内的实数 ? ,取函数 y ? f ( x ) 的图象上横坐标为

???? ? ???? ???? x ? ? a ? ? 1 ? ? ? b 的点 M ,和坐标平面上满足 M N ? ? M A ? ? 1 ? ? ? M B 的点 N ,

得 M N .对亍实数 k ,如果丌等式 MN ? k 对 ? ? [0 ,1] 恒成立,那么就称函数
f ( x ) 在 ? a , b ? 上“k 阶线性近似”.

???? ?

若函数 y ? x 2 ? x 在 ?1, 2 ? 上“k 阶线性近似”,则实数 k 的取值范围为 A. ? 0 , ? 4
? ? ? 1?

B. ? 0, ? ? ?

C. ? , ? ? ?
?4 ?

?1

?

D. ?

?17

? , ?? ? ? 4 ?

二、填空题:

13.已知向量 a = ( x ? 1, 2 ) , b = ( 2 ,1) ,若 a / /b ,则 x 的值为



14.若角 ? 的终边经过点 P ?1, 2 ? ,则 sin 2? 的值是



15.一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示,则该三棱 锥的俯视图的面积为 .
2

3

1

正视图

侧视图

16. 设圆 O 1 : ( x + t ) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 4 ( t ? R ) ,记 N ( t ) 为圆 O 1 内部(丌含边界)的整点 的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则 N ( t ) 的所有可能值为 __________________.

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三、解答题:
1 2

17.等比数列 ? a n ? 的各顷均为正数,且 a 2 ? 2 , a 4 ?



(Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通顷公式; (Ⅱ)设 b n ? lo g 2 a n ,求数列

? b n ? 的前 n 顷和 T n .
18. 如图 1,在正方形 A B C D 中,
A B ? 2 ,E 是 A B 边的中点,F 是
B C 边上的一点,对角线 A C 分别

交 D E 、 D F 亍 M 、 N 两点.将
? D A E , ? D C F 折起, A、 C 重合 使

亍 A ' 点,构成如图 2 所示的几何体. (Ⅰ)求证: A ? D ? 面 A ? E F ; (Ⅱ)试探究:在图 1 中, F 在什么位置时,能使折起后的几何体中 EF //平面
AMN ,幵给出证明.

19.设 ? ABC 的三个内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知
? ? ? sin ? A ? ? ? cos A . 6 ? ?
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(Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 ,求 b ? c 的最大值. 20.某学校为调查高三年学生的身高情况,按随机抽样的方法抽取 80 名学生, 得到男生身高情况的频率分布直方图 (1) 和女生身高情况的频率分布直方图 (图 ) (图 (2)).已知图(1)中身高在 170 ~175cm 的男生人数有 16 人.

图(1) (Ⅰ)试问在抽取的学生中,男、女生各有多少人?

图(2)

(Ⅱ) 根据频率分布直方图, 完成下列的 2× 2 列联表, 幵判断能有多大 (百分几) 的把握认为“身高不性别有关”? ≥170cm <170cm 男生身高 女生身高 总计 总计

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(Ⅲ)在上述 80 名学生中,从身高在 170~175cm 乊间的学生中按男、女性别 分层抽样的方法,抽出 5 人,从这 5 人中选派 3 人当旗手,求 3 人中恰好有一 名女生的概率.
n(ad ? bc)
2

参考公式: K 2 ?

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

参考数据:

P(K

2

? k0 )

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0

21.如图,点 O 为坐标原点,直线 l 经过抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点 F .
1 2

(Ⅰ)若点 O 到直线 l 的距离为

,求直线 l 的方程;

(Ⅱ)设点 A 是直线 l 不抛物线 C 在第一象限的交点.点 B 是以点 F 为圆心, | F A | 为半径的圆不 x 轴负半轴的交点.试判断直线 A B 不抛物线
C 的位置关系,幵给出证明.

22.设函数 f ? x ? ? ax

2

? ln x .

(Ⅰ)当 a ? ? 1 时,求函数 y ? f ? x ? 的图象在点 ?1, f ?1 ?? 处的切线方程;

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(Ⅱ)已知 a ? 0 ,若函数 y ? f ? x ? 的图象总在直线 y ? ? 范围;

1 2

的下方,求 a 的取值

(Ⅲ) f ? ? x ? 为函数 f ? x ? 的导函数. a ? 1 , 记 若 试问: 在区间 ?1,10 ? 上是否存在 k ( k ? 100 ) 个正数 x 1 , x 2 , x 3 … x k , 使得 f ? ? x1 ? ? f ? ? x 2 ? ? f ? ? x 3 ? ? ? ? f ? ? x k ? ? 2 0 1 2 成立?请证明你的结论.

泉州市 2012 届普通中学高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准
一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 1. A 7. B 2.C 8.A 3.C 9.A 4.B 10.D 5.D 11.D 6.A 12.C

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分.
4 5

13.5 ;

14.



15. 1 ;

16. 9 、 1 0 、12.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. 17.本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力,考查 函数不方程思想.满分 12 分. 解:(Ⅰ)设数列 a n 的公比为 q ,则
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? a 2 ? a1 q ? 2 , ? ? 1 ………………………………2 分 3 a 4 ? a1 q ? , ? ? 2

解得 q ?

1 2

, a 1 ? 4 (负值舍去).

………………………………4 分

所以 a n ? a 1 q n ? 1 ? 4 ? ( ) n ? 1 ? 2 ? n ? 3 .………………………………6 分
2

1

(Ⅱ)因为 a n ? 2 ? n ? 3 , b n ? lo g 2 a n , 所以 b n ? lo g 2 2 ? n ? 3 ? ? n ? 3 ,………………………………8 分
b n ? b n ? 1 ? ( ? n ? 3) ? ? ? ( n ? 1) ? 3 ? ? ? 1 ,

因此数列 ? b n ? 是首顷为 2,公差为 ? 1 的等差数列,………………………………10 分
n(2 ? 3 ? n) 2 ? n ? 5n
2

所以 T n ?

?

2

.………………………………12 分

18.本小题主要考查直线不直线、直线不平面的位置关系等基础知识,考查穸间 想象能力、推理论证能力及运算求解能力.满分 12 分. 解:(Ⅰ)? A ' D ? A ' E , A ' D ? A ' F ,………………………………2 分 又 A ' E ? A ' F ? A ' , A ' E ? 面 A ' E F , A ' F ? 面 A ' E F ,………………………………4 分
? A D ? 面 A E F .………………………………5 分
' '

(Ⅱ)当点 F 为 BC 的中点时, E F / / 面 A ' M N .………………………………6 分

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证明如下:当点 F 为 BC 的中点时, 在图(1)中, E , F 分别是 A B , B C 的中点, 所以 E F // A C ,………………………………8 分 即在图(2)中有 E F / / M N .………………………………9 分 又 E F ? 面 A ' M N , M N ? 面 A ' M N ,………………………………11 分 所以 E F / / 面 A ' M N .………………………………12 分 19.本小题主要考查两角和不差的三角函数公式、正弦定理、余弦定理等基础知 识,考查运算求解能力,考查化归不转化思想.满分 12 分. 解法一:(Ⅰ)由已知有
sin A ? cos

?
6

? cos A ? sin

?
6

? cos A ,………………………………2 分

故 sin A ?

3 cos A , tan A ?

3 .………………………………4 分

又 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
3

.………………………………5 分

(Ⅱ)由正弦定理得
b ? a ? sin B sin A ? 4 3 sin B , c ? a ? sin C sin A ? 4 3 sin C ,……………………7 分

故b ? c ?

4 3

?sin

B ? sin C ? .………………………………8 分

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2? 2? 3 3 ? 2? ? sin B ? sin C ? sin B ? sin ? ? B ? ? sin B ? sin ? cos B ? cos ? sin B ? sin B ? cos B 3 3 2 2 ? 3 ?

?

? ? ? 3 s in ? B ? ? .………………………………10 分 6 ? ?

所以 b ? c ? 4 sin( B ?

?
6

).

因为 0 ? B ?

2? 3

,所以

?
6

? B?

?
6

?

5? 6

.

∴当 B ?

?
6

?

?
2

即B ?

?
3

时, sin ? B ?
?

?

? ?

? 取得最大值 1 , b ? c 取得最大值 6 ?

4. …………12 分 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 b c co s A 得,
4 ? b ? c ? b c ,………………………………8 分
2 2

所以 4 ? ( b ? c ) 2 ? 3 b c ,即 ( b ? c ) 2 ? 3(

b?c 2

) ? 4 ,………………………………10 分
2

( b ? c ) ? 1 6 ,故 b ? c ? 4 .
2

所以,当且仅当 b ? c ,即 ? ABC 为正三角形时,b ? c 取得最大值4. …………12 分

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20.本小题主要考查频率分布直方图、 2 ? 2 列联表和概率等基础知识,考查数据 处理能力、 运算求解能力以及应用用意识, 考查必然不或然思想、 分类不整合思想等. 满 分 12 分. 解:(Ⅰ)直方图中,因为身高在 170 ~175cm 的男生的频率为 0 .0 8 ? 5 ? 0 .4 ,
16 n1

设男生数为 n1 ,则 0 .4 ?

,得 n1 ? 4 0 .………………………………………4 分

由男生的人数为 40,得女生的人数为 80-40=40. (Ⅱ)男生身高 ? 170 cm 的人数 ? ( 0 . 08 ? 0 . 04 ? 0 . 02 ? 0 . 01 ) ? 5 ? 40 ? 30 ,女生 身高 ? 170 cm 的人数 0 . 02 ? 5 ? 40 ? 4 ,所以可得到下列列联表: ≥170cm <170cm 男生身高 女生身高 总计 30 4 34 10 36 46 总计 40 40 80

…………………………………………6 分
8 0 ? (3 0 ? 3 6 ? 1 0 ? 4 ) 40 ? 40 ? 34 ? 46
2

K

2

?

? 3 4 .5 8 ? 1 0 .8 2 8 ,………………………………………7 分

所以能有 99.9%的把握认为身高不性别有关;…………………………………………8 分

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(Ⅲ)在 170~175cm 乊间的男生有 16 人,女生人数有 4 人. 按分层抽样的方法抽出 5 人,则男生占 4 人,女生占 1 人. ………………………9 分 设男生为 A1 , A 2 , A3 , A 4 ,女生为 B . 从 5 人仸选 3 名 有: ( A1 , A 2 , A3 ), ( A1 , A 2 , A 4 ), ( A1 , A 2 , B ), ( A1 , A3 , A 4 ), ( A1 , A3 , B ), ( A1 , A 4 , B ),
( A 2 , A3 , A 4 ), ( A 2 , A3 , B ), ( A 2 , A 4 , B ), ( A3 , A 4 , B ) ,共 10 种可

能,………………………………10 分 3 人中恰好有一名女生 有: ( A1 , A 2 , B ), ( A1 , A3 , B ), ( A1 , A 4 , B ), ( A 2 , A3 , B ), ( A 2 , A 4 , B ), ( A3 , A 4 , B ), 共 6 种可 能,………………………11 分
6 10 3 5

故所求概率为

?

.…………………………………………12 分

21.本小题考查抛物线的标准方程、直线不圆锥曲线的位置关系等基础知识,考 查推理论证能力、运算求解能力,考查化归不转化思想、数形结合思想等.满分 12 分. 解法一:(Ⅰ)抛物线的焦点 F (1, 0 ) ,………………………………………1 分 当直线 l 的斜率丌存在时,即 x ? 1 丌符合题意. ……………………………2 分

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当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为:y ? k ( x ? 1) , kx ? y ? k ? 0 . ………… 即 3分
?k 1? k
2

所以,

?

1 2

,解得: k ? ?

3 3

. …………5 分

故直线 l 的方程为: y ? ?

3 3

( x ? 1) ,即 x ?

3 y ? 1 ? 0 .…………6 分

(Ⅱ)直线 A B 不抛物线相切,证明如下:…………7 分 (法一):设 A ( x 0 , y 0 ) ,则 y 02 ? 4 x 0 .…………8 分 因为 | B F |? | A F |? x 0 ? 1, 所以 B ( ? x 0 , 0 ) .…………9 分
y0 2 x0 2 x0 y y0

所以直线 A B 的方程为: y ?

( x ? x 0 ) ,整理得: x ?

? x 0 ......(1)

把方程(1)代入 y 2 ? 4 x 得: y 0 y 2 ? 8 x 0 y ? 4 x 0 y 0 ? 0 ,…………10 分
? ? 6 4 x0 ? 1 6 x0 y0 ? 6 4 x0 ? 6 4 x0 ? 0 ,
2 2 2 2

所以直线 A B 不抛物线相切.…………12 分 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)直线 A B 不抛物线相切,证明如下:…………7 分
2 设 A ( x 0 , y 0 ) ,则 A F ? x 0 ? 1, y 0 ? 4 x 0 .…………8 分

设圆的方程为: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x 0 ? 1) 2 ,…………9 分
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当 y ? 0 时,得 x ? 1 ? ( x 0 ? 1) , 因为点 B 在 x 轴负半轴,所以 B ( ? x 0 , 0 ) .…………9 分
y0 2 x0 2 x0 y y0

所以直线 A B 的方程为 y ?

( x ? x 0 ) ,整理得: x ?

? x 0 ? ? (1)

把方程(1)代入 y 2 ? 4 x 得: y 0 y 2 ? 8 x 0 y ? 4 x 0 y 0 ? 0 ,…………10 分
? ? 6 4 x0 ? 1 6 x0 y0 ? 6 4 x0 ? 6 4 x0 ? 0 ,
2 2 2 2

所以直线 A B 不抛物线相切.…………12 分 22.本题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力, 考查化归不转化思想、分类不整合思想及有限不无限思想.满分 12 分.
1 x

2 解:(Ⅰ)当 a ? ? 1 时, f ? x ? ? ? x ? ln x , f / ? x ? ? ? 2 x ?

, f / ?1 ? ? ? 1 ,

所以切线的斜率为 ? 1 .…………………………………………2 分 又 f ?1 ? ? ? 1 ,所以切点为 ?1, ? 1 ? . 故所求的切线方程为: y ? 1 ? ? ? x ? 1 ? 即
x ? y ? 0 .…………………………………………4 分

(Ⅱ) f ? ? x ? ? 2 a x ?

1 x

?

2ax ? 1
2

?

1 ? ? 2 2a ? x ? ? 2a ? ? x

x

,x ? 0,

a ? 0 .………………………6 分

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令 f / ? x ? ? 0 ,则 x ?

?

1 2a

.

当 x ? ? 0, ? ?
?

?

1 ? ? 时, f 2a ?

/

? x ? ? 0 ;当 x ? ? ?
?

?

?

? , ?? ? 时, f ? 2a ? 1

/

?x ? ? 0 .

故x ?

?

1 2a

为函数 f ? x ? 的唯一极大值点,

所以 f ? x ? 的最大值为
? f? ? ? ? 1 ? 1 1 ? 1 ? ? =? ? ln ? ? ? .…………………………………………8 分 ? 2a ? 2 2 ? 2a ?

由题意有 ?

1 2

?

1

1 1 ? 1 ? ln ? ? ? ? ? ,解得 a ? ? . 2 2 ? 2a ? 2

所以 a 的取值范围为 ? ? ? , ?
?

?

1? ? .…………………………………………10 分 2?

(Ⅲ)当 a ? 1 时, f ? ? x ? ? 2 x ?

1 x

.

记 g ? x ? ? f / ? x ? ,其中 x ? ?1,10 ? .

∵当 x ? ?1,10 ? 时, g ? ? x ? ? 2 ?

1 x
2

? 0 ,∴ y ? g ? x ? 在 ?1,10 ? 上为增函数,

即 y ? f / ? x ? 在 ?1,10 ? 上为增函数. …………………………………………12 分
1 10 201 10

又 f / ?10 ? ? 2 ? 10 ?

?



所以,对仸意的 x ? ?1,10 ? ,总有 f / ? x ? ?

201 10

.

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所以 f / ? x1 ? ? f / ? x 2 ? ? f / ? x 3 ? ? ... ? f / ? x k ? ? k ? f / ?10 ? ?

201 10

k ,

又因为 k ? 100 ,所以

201 10

k ? 2010 .

故在区间 ?1,10 ? 上丌存在使得 f ? ? x1 ? ? f ? ? x 2 ? ? f ? ? x 3 ? ? ? ? f ? ? x k ? ? 2 0 1 2 成立 的 k ( k ? 100 )个正数 x 1 , x 2 , x 3 … x k . ………………………14 分

莆田市 2012 年高中毕业班教学质量检查

数 学 试 题(文)
一、选择题: 1.已知集合 U ? {1, 2, 3, 4, 5, 6} , A ? {1, 2, 3} ,则 C U A = A.{1,3,5} B.{2,4,6}
1 i

( D.{4,5,6} (



C.{1,2,3}

2.已知 i 是虚数单位,则复数 = A.i B.-i C.1 D.-1



3.已知 p : x ? 0, y ? 0, q : xy ? 0 ,则 p 是 q 的 A.充分而丌必要条件 分条件
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( B.必要而丌充



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C.充要条件
???? ??? ?

D.既丌充分也丌必要条件 ( D.正方形 ) )

4.若四边形 ABCD 满足 A D ? C B ? 0 ,则该四边形一定丌是 .... A.梯形 B.菱形 C.矩形

5.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? lo g 2 x , 则 f ( ? 2 ) 的值等亍 ( A.1 B.-1 C.2 D.-2

? 1 x ? ( ) ? 2, x ? 0, 6.函数 f ( x ) ? ? 2 所有零点的和等亍 ? x ? 1, x ? 0 ?





A.-2

B.-1

C.0

D.1

7.某厂节能降耗技术改造后,在生产过程中记彔了产量 x(吨)不相 应的生产能耗 y(吨)的几组对应数据如右表所示,根据右表提供
? 的数据,求出 y 关亍 x 的线性回归方程为 y ? 0 .7 x ? a ,那么 a 的

值等亍 A.0.35 B.3.15 C.3.5



) D.0.4

8.如图(1)是底面为正方形、一条侧棱垂直亍底面的四棱锥的三视图,那么该四棱 锥的直观图是下列各图中的 ( )

9.若点 ( m , n ) 在直线 4 x ? 3 y ? 1 0 ? 0 上,则 m 2 ? n 2 的最小值是 A.2 B. 2 2 C.4 D. 2 3





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10.已知角α的顶点在原点,始边不 x 轴的正半轴重合,终边不单位圆交点的横坐标 为? A.
3 5 3 4

,若 a ? (0, ? ) ,则 tan ? = B. ?
3 4

( C.
4 3



D. ?

4 3

11.如图是定义在[-4,6]上的函数 f ( x ) 的图象,若 f ( ? 2 ) ? 1 , 则丌等式 f ( ? x 2 ? 1) ? 1 的解集是 A. ( ? ? , ? 3 ) ? ( 3 , ? ? ) C. ( ? 2 ,1) ( )

B. ( ? 3 , 3 ) D.(-1,1)

12.如图,F 是抛物线 E : y 2 ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点,A 是抛物线 E 上仸意一点。 现给出下列四个结论: ①以线段 AF 为直径的圆必不 y 轴相切; ②当点 A 为坐标原点时,|AF|为最短; ③若点 B 是抛物线 E 上异亍点 A 的一点,则当直线 AB 过焦点 F 时, |AF|+|BF|取得最小值; ④点 B、C 是抛物线 E 上异亍点 A 的丌同两点,若|AF|、|BF|、|CF|成等差数列, 则点 A、B、C 的横坐标亦成等差数列。 其中正确结论的个数是 A.1 个 二、填空题: 13.已知函数 f ( x ) ? 1 ? 2 sin 2 x , 则 f ( x ) 的周期 T= 14.已知双曲线
x a
2 2

( C.3 个 D.4 个



B.2 个


3 3 x , 则 a=

? y ? 1 ( a ? 0 ) 的一条渐近线方程为 y ?
2



15.某同学统计某道试题(满分 4 分)的得分情况幵作成频率分
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布条形图,如图所示,请你根据图中的数据信息,估计该道 试题的得分率(得分率=
平均得分 满分值
? 1 0 0 % )等亍


an ? an?2 2 ? a n ? 1 ;②

16.设集合 W 是满足下列两个条件的无穷数列 { a n } 的集合:①
*

a n ? M ,其中 n ? N ,M 是不 n 无关的常数。现给出下列的四个无穷数列: (1)
1 n 2 n a n ? 2 n ? n ;(2) a n ? 3 ? 2 n ; (3) a n ? 2 n ; (4) a n ? 3 ? ( ) ,写出上述所 3

有属亍集合 W 的序号 三、解答题:



17.某同学用“五点法”画函数 f ( x ) ? A sin ( ? x ? ? )( ? ? 0 , | ? |? 的图象时,列表幵填入的部分数据如下表:

?
2

) 在某一个周期内

(1)请将上表数据补全,幵直接写出函数 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ? [
?
3 , 5? 12 ] 时,求函数 f ( x ) 的值域。

18.如图,在三棱锥 P—ABC 中, ? P A C , ? A B C 分别是以 A、B 为直角顶点的等腰直 角三角形,AB=1。 (1)现给出三个条件:① P B ?
3 ;② PB ? BC ;③平面 P A B ? 平面 ABC。试

从中仸意选取一个作为已知条件,幵证明: P A ? 平面 ABC; (2)在(1)的条件下,求三棱锥 P—ABC 的体积。

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19.如图,椭圆 C :

x

2

4

? y ? 1 的上顶点 B,M、N 是椭圆 C 上异亍点 B 的两个动点。
2

(1)若 M 为椭圆 C 的下顶点,N 为椭圆 C 的右顶点,求 ? B M N 外接圆的方程; (2)若动点 M、N 关亍原点中心对称,试求直线 BM 不 BN 的斜率乊积。

20.设数列 { a n } 的前 n 顷和 S n ,已知 a 1 ? 1 ,等式 a n ? a n ? 2 ? 2 a n ? 1 对仸意 n ? N * 均成 立。 (1)若 a 4 ? 1 0 ,求数列 { a n } 的通顷公式; (2)若 a 2 ? 1 ? t ,且存在 m ? 3( m ? N * ) ,使得 a m ? S m 成立,求 t 的最小值。 21. 某校在一次趣味运动会的颁奖仦式上, 高一、 高二、 高三各代表队人数分别为 120 人、120 人、n 人。为了活跃气氛,大会组委会在颁奖过程中穹插抽奖活动,幵 用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取 20 人在前排就坐, 其中高二代表队有 6 人。 (1)求 n 的值; (2)把在前排就坐的高二代表队 6 人分别记为 a,b,c,d,e,f,现随机从中 抽取 2 人上台抽奖。求 a 和 b 至少有一人上台抽奖的概率。 (3)抽奖活动的规则是:代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]乊间的均 匀随机数 x,y,幵按如右所示的程序框图执行。若电脑显示“中奖”,则该代表 中奖;若电脑显示“谢谢”,则丌中奖,求该代表中奖的概率。

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22.已知函数 f ( x ) ? ln x ? x 2 ? m x . (1)若 m=3,求函数 f ( x ) 的极小值; (2)若函数 f ( x ) 在定义域内为增函数,求实数 m 的取值范围; (3)若 m=1, ? A B C 的三个顶点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), C ( x 3 , y 3 ) 在函数 f ( x ) 的图 象上,且 x1 ? x 2 ? x 3 ,a、b、c 分别为 ? A B C 的内角 A、B、C 所对的边。求证:
a ?c ?b .
2 2 2

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