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高中数学立体几何知识点总结


高二理科数学立体几何专题(一)
班别: 平面的基本性质 学号: 姓名:
公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理 2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理 3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 推论. 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.

空间线、面的位置关系
共面 (1)直线与直线 平行—没有公共点 相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 直线不在平面内 平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点

(2)直线和平面 (3)平面与平面

线面平行与垂直的判定
(1)两直线平行的判定 ①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线 平行,即若 a∥α ,a ? β ,α ∩β =b,则 a∥b. ③垂直于同一平面的两直线平行,即若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b ④两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α ∥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b,则 a∥b ⑤ 坐标法: a ? ? b ? x1 y2 ? x2 y1

? 0 ? a // b

(2)两直线垂直的判定 ① .定义:若两直线成 90°角,则这两直线互相垂直. ② .一条直线与两条平行直线中的一条垂直,也必与另一条垂直.即若 b∥c,a⊥b,则 a⊥c ③ .一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若 a⊥α ,b ? α ,a⊥b. ④ .如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若 a∥α ,b⊥α , 则 a⊥b. ⑤ 坐标法: a ? b ? 0 ? a ? b (3)直线与平面平行的判定 ①定义:若一条直线和平面没有公共点,则这直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线与这个平面平行.即若

a ? α ,b ? α ,a∥b,则 a∥α . ③两个平面平行,其中一个平面内的直线平行于另一个平面,即若α ∥β ,l ? α ,则 l∥β . (4)直线与平面垂直的判定 ①定义:若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直.
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m ? α ,n ? α ,m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α .

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.即若

③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面.即若 l∥a,a⊥α , 则 l⊥α . ④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面,即若α ∥β ,l⊥β , 则 l⊥α . ⑤如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面,即若 α ⊥β ,a∩β =α ,l ? β ,l⊥a,则 l⊥α .. ①定义:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面平行,即无公共点 ? α ∥β . ②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行,即若 a,b ? α , a∩b=P,a∥β ,b∥β ,则α ∥β . ③垂直于同一直线的两平面平行.即若 a⊥α ,a⊥β ,则α ∥β . ④平行于同一平面的两平面平行.即若α ∥β ,β ∥γ ,则α ∥γ . ⑤ 坐标法:证明两平面法向量共线 (6)两平面垂直的判定 α -a-β =90° ? α ⊥β . ②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,即若 l⊥β ,l ? α ,则 α ⊥β . ③ 坐标法:证明两个法向量垂直 ①定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么这两个平面互相垂直,即二面角 (5)两平面平行的判定

存在性和唯一性定理
(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条; (2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条; (3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个; (4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条; (5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个; (6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个; (7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个; (8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.

空间中的各种角
等角定理及其推论 定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,则这两个角相等. 推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 异面直线所成的角 (1)定义:a、b 是两条异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a′∥a,b′∥b,则 a′和 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角. (2)取值范围:0°<θ ≤90°. (3)求解方法 ①根据定义,通过平移,找到异面直线所成的角θ ; ②解含有θ 的三角形,求出角θ 的大小. 直线和平面所成的角 (1)定义 和平面所成的角有三种: (i)垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面 所成的角.
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(ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面,则它们所成的角是直角. (iii)一条直线和平面平行,或在平面内,则它们所成的角是 0°的角. (2)取值范围 0°≤θ ≤90° (3)求解方法 ①作出斜线在平面上的射影,找到斜线与平面所成的角θ . ②解含θ 的三角形,求出其大小. 二面角及二面角的平面角 (1)半平面 直线把平面分成两个部分,每一部分都叫做半平面. (2)二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱, 这两 个平面叫做二面角的面,即二面角由半平面一棱一半平面组成. 若两个平面相交,则以两个平面的交线为棱形成四个二面角. 二面角的大小用它的平面角来度量,通常认为二面角的平面角θ 的取值范围是 0°<θ ≤180° (3)二面角的平面角 ①以二面角棱上任意一点为端点,分别在两个面内作垂直于棱的射线,这两条射线所组成的角 叫做二面角的平面角. ②二面角的平面角具有下列性质: (i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面,即 AB⊥平面 PCD. (ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线,垂足必在平面角的另 一边(或其反向延长线)上. (iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直,即平面 PCD⊥α ,平面 PCD⊥β . ③找(或作)二面角的平面角的主要方法. (i)定义法 (ii)垂面法 (4)求二面角大小的常见方法 ①先找(或作)出二面角的平面角θ ,再通过解三角形求得θ 的值. ②利用面积射影定理 S′=S·cosα 其中 S 为二面角一个面内平面图形的面积,S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面 积,α 为二面角的大小. ③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小. ④ 转化为求两个平面法向量的夹角(坐标法)

空间的各种距离
点到平面的距离 (1)定义 面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离. (2)求点面距离常用的方法: 1)直接利用定义求 ①找到(或作出)表示距离的线段; ②抓住线段(所求距离)所在三角形解之. 2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上,则已知点到两平面交线的距 离就是所求的点面距离. 3)体积法其步骤是:①在平面内选取适当三点,和已知点构成三棱锥;②求出此三棱锥的体积 V 和所取三点构成三角形的面积 S;③由 V=

1 S·h,求出 h 即为所求.这种方法的优点是不必作出 3

垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.
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4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求. 直线和平面的距离 (1)定义一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离,叫做这条直线和平面的 距离. (2)求线面距离常用的方法 ①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离,然后通过解三角形计算之. ②将线面距离转化为点面距离,然后运用解三角形或体积法求解之. ③作辅助垂直平面,把求线面距离转化为求点线距离.

空间几何体的三视图和直观图
1 三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下

2 画三视图的原则: 长对正、高平齐、宽相等 3 直观图:斜二测画法(角度等于 45 度或者 135 度) 4 斜二测画法的步骤: (1)平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2)平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x 轴的线长度不变; (3)画法要写好。

空间几何体的表面积与体积
(一 )空间几何体的表面积 1、棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 、圆柱的表面积S 4 、圆台的表面积

? 2?rl ? 2?r

2

3 、圆锥的表面积: S

? ? rl ? ? r 2
? 4? R2

S ? ? rl ? ? r 2 ? ? Rl ? ? R2
S扇形 ?

5 、球的表面积 S

6、扇形的面积公式

n? R 2 1 ? lr 360 2 (其中 l 表示弧长, r 表示半径)

注:圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长 (二)空间几何体的体积

1、柱体的体积

V ? S底 ? h
1 V ? (S上 ? 3

V?
2、锥体的体积

1 S ?h 3 底

3、台体的体积

S上 S下 ? S下 ) ? h

4 V ? ? R3 3 4、球体的体积

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高二理科立体几何专题(二)
班别: 学号: 姓名:
一、选择题:(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.给定空间中的直线 l 及平面?,条件“直线 l 与平面?内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面? 垂直”的( A.充要 )条件 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必要 )

2. 设 a , b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则 a ? b 的一个充分条件是( (A) a ? ? , b // ? , ? ? ? (C) a ? ? , b ? ? , ? // ? (B) a ? ? , b ? ? , ? // ? (D) a ? ? , b // ? , ? ? ?

3.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n C. 若m ‖? , m‖ ? , 则?‖ ? 4.下列说法正确的是( )。 B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n



A.直线 a 平行于平面 M,则 a 平行于 M 内的任意一条直线 B.直线 a 与平面 M 相交,则 a 不平行于 M 内的任意一条直线 C.直线 a 不垂直于平面 M,则 a 不垂直于 M 内的任意一条直线 D.直线 a 不垂直于平面 M,则过 a 的平面不垂直于 M 5.已知 ? ∥ ? , a ? ? , B ? ? , 则在 ? 内过点 B 的所有直线中( A.不一定存在与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 题的是( ) B.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ? ? )

B.只有两条与 a 平行的直线 D.存在唯一一条与 a 平行的直线

6、若 l 、m、n是互不相同的空间直线,α 、β 是不重合的平面,则下列命题中为真命 A.若 ? // ? , l ? ? , n ? ? ,则 l // n

C. 若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ? D.若 l ? n, m ? n ,则 l // m 7.已知两个平面垂直,下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是( )
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A.3

B.2

C.1

D.0 A1

D1 B1 D D.90° A B

C1

8.如图长方体中,AB=AD=2 3 ,CC1= 2 ,则二面角 C1—BD—C 的大小为( A.30° )

B.45° C.60°

C

二、填空题:(本题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 9.已知直线 b//平面 ? ,平面 ? //平面 ? ,则直线 b 与 ? 的位置关系为

10.若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是

.

11. 等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ,二面角 C ? AB ? D 的余弦值为

3 , 3

M ,N 分别是 AC,BC 的中点,则 EM ,AN 所成角的余弦值等于
12.已知正四棱柱的对角线的长为 6 ,且对角线与底面所成角的余弦值为 积等于_______。 三、解答题:(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)



3 ,则该正四棱柱的体 3

13. 如 图 , 在 四 棱 锥 O ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 四 边 长 为 1 的 菱 形 , ?ABC ?

?
4

,

OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点
(Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离。

O

M

A B N C

D

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14. 如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEFG 所截而得,其中 AB ? 4 , BC ? 1 , BE ? 3 , CF ? 4 ,若如图所示建立空间直角坐标系. Z ①求 EF 和点 G 的坐标; ②求异面直线 EF 与 AD 所成的角; ③求点 C 到截面 AEFG 的距离. G D A x E B C y F

15. 如图,三棱锥 P—ABC 中, PC ? 平面 ABC,PC=AC=2,AB=BC,D 是 PB 上一点,且 CD ? 平面 PAB. (I) 求证:AB ? 平面 PCB; P (II) 求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小; (III)求二面角 C-PA-B 的余弦值.

D

B

C

A

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16. 已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长为 2,点 M 在侧棱 BB1 上. (Ⅰ)若 P 为 AC 的中点,M 为 BB1 的中点,求证 BP//平面 AMC1; (Ⅱ)若 AM 与平面 AA1CC1 所成角为 30? ,试求 BM 的长.

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高二理科立体几何专题(三)
班别: 学号: 姓名: 1、(2009 广东理科数学第 18 题)如图,已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 2, 点 E 是正方形 BCC1B1 的中心,点 F 、G 分别是棱 C1D1 , AA1 的中点.设点 E1 , G1 分别是点

E , G 在平面 DCC1D1 内的正投影.
(1)求以 E 为顶点,以四边形 FGAE 所在平面

D1 A1 G D A

F B1 E C B

C1

DCC1D1 内的正投影为底面边界的棱锥的体积;
(2)证明:直线 FG1 ? 平面 FEE1 ; (3)求异面直线 E1G1与EA 所成角的正弦值.

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2、(2010 广东理科数学第 18 题)如图 5, ABC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径, 点 E 为 AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点.平面 AEC 外一点 F 满足

FB ? DF ? 5 a, FE ? 6a .
(1)证明: EB ? FD ; (2) 已知点 Q, R 分别为线段 FE, FB 上的点, 使得 BQ ? 平面 RQD 所成二面角的正弦值.
2 2 FE , FR ? FB ,求平面 BED 与 3 3

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3、(2011 广东理科数学第 18 题)如图 5,在椎体 P ? ABCD 中, ABCD 是边长为 1 的 棱形,且 ?DAB ? 600 , PA ? PD ? 2 , PB ? 2, E , F 分别是 BC, PC 的中点, (1)证明: AD ? 平面DEF ;(2)求二面角 P ? AD ? B 的余弦值.

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4、 (2012 广东理科数学第 18 题) 如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? P 平面 ABCD ,点 E 在线段 PC 上, PC ? 平面 BDE . (Ⅰ) 证明: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ) 若 PA ? 1 , AD ? 2 ,求二面角 B ? PC ? A 的正切值.

A E

D

B
第 18 题图

C

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