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2014届高考一轮复习数学4.4函数的图像及三角函数模型的简单应用_图文

第 4 讲 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 及三角函数模型的简单应用

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考纲展示
1. 了解函数 y=Asi ωx+ φ) n( 的物理 意义;能画出函数 y=Asi ωx+ φ) n( 的图象; 了解参数 A, , 对函数 ωφ 图象变化的影响. 2.会用三角函数解决一些简单 实际问题, 了解三角函数是描述 周期变化现象的重要函数模型.

考纲解读
形如 y=Asi ωx+ φ) n( 的函数在高考中为必考内 容, 出现在客观题中时, 通常直接考查函数性 质、解析式的求法及图象的平移和伸缩变 换等, 若在主观题中, 则常与平面向量、解三 角形等知识相结合, 为小型综合题, 难度为中 低档.

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1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念.
振 幅 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞) 表 示 一个振动量时 周期 频率
1 = T

相位

初 相 φ

A

T=

2 ω

f=
ω 2

ωx+φ

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2.用五点法画函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找 五个特征点.如下表所示.
x

0-φ ω
0 0

-φ -φ 3 -φ 2-φ 2 2 ω
ω 2
π 0

ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

ω 3 2

ω

2π 0

A

-A

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3.由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤:

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4.解三角函数应用题的一般步骤: (1)阅读理解材料:将文字语言转化为符号语言; (2)建立变量关系:抽象成数学问题,建立变量关系; (3)讨论变量性质:根据函数性质讨论变量性质; (4)作出结论.

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1.函数 y=2sin 21 π π 4 1 π C.2, ,π 8

π 4

的振幅、频率和初相分别为(
1 π 2π 4 1 π D.2, ,2π 8

)

A.2, ,-

B.2, ,-

【答案】A 2.函数 y=cos x(x∈R)的图象向左平移 个单位长度后,得到函数 y=g(x)的图 象,则 g(x)的解析式应为( ) A.-sin x B.sin x 【答案】A 【解析】由图象的平移得 g(x)=cos +
π 2 π 2

C.-cos x =-sin x.

D.cos x

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3.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ) > 0, > 0,0 < <
π 2

的图象如图所示,则当 t= B.5 安

1 秒时,电流强度是( 100

) D.10 安

A.-5 安

C.5 3安

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【答案】A 【解析】由函数图象知 A=10, = 从而 T= 又∵ 点
π 3 π 2 1 50 2 4 1 ? 300 300

=

1 . 100

=

2π ,即

ω=100π.故 I=10sin(100πt+φ).
1 +φ 300

1 ,10 300

在图象上,∴ 10=10sin 100π ×
π 2 π 6

.

∴ +φ= +2kπ,k∈Z.又∵ 0<φ< ,∴ . φ= ∴ I=10sin 100π +
π 6

.当 t=

1 时,I=10sin 100

100π ×

1 π + 100 6

=-5.

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4.将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位长度后,得到函数 y=sin A.
π 6 π 6

的图象,则 φ 等于( B.
5π 6

) C.
7π 6

D.

11π 6

【答案】D 【解析】 将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ(0≤φ≤2π)个单位长度得到函数 y=sin(x+φ)的图象,在 A,B,C,D 四个选项中,只有 φ=
11π 6 11π 时有 6

y=sin +

=sin -

π 6

,因此选 D.
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5.(2013 届·重庆摸底考试)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示, 则 ω= .

【答案】

3 2 4 2π π ? 3 3

【解析】由题意设函数周期为 T,则 =

= ,即 T= .故 ω=

π 3

4π 3



= .

3 2

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T 题型一五 点法作 y=Asin(ωx+φ)的图象
直线 x= . (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间; (3)画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象. 用“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象应注意的问题. 用“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关键是点的选取,一般令 ωx+φ=0, ,π, ,2π,即可得到所画图象的关键点坐标.其中的横坐标成等差数 列,公差为 .
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T 4 2 3 2 8

例 1 设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是

【解】(1)∵ 是函数 y=f(x)图象的对称轴, x= ∴ 2 × + φ =± sin 1.∴ +φ=kπ+ ,k∈Z. ∵ -π<φ<0,∴ φ=- . (2)由(1)知 φ=- ,因此 y=sin 2x 2 3 4 2 3 4 3 4 3 4 8 4 2

8

.

由题意得 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z. 所以函数 y=sin 2x3 4

的单调递增区间为 k + ,k +

8

5 8

,k∈Z.

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(3)由 y=sin 2x-

3 4

,知

y

0
2 2

π 8
-1

3π 8
0

5π 8
1

7π 8
0

π
2 2

y

-

-

故函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象如图所示:

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用“五点法”作图应明确四点:①先化为 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)或 y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式;②求出周期 T= ;③求出振幅 A;④列出一 个周期内的五个特殊点,当要求画出某指定区间上的图象时,应列出该区间 内的特殊点.
2 ω

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1.已知函数 y=sin + 3cos (x∈R). (1)作出此函数在一个周期上的简图; (2)写出该函数的振幅、周期、初相、最值.

x 2

x 2

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【解】(1)y=sin + 3cos =2 列表:
x
2 - π 3

x 2

x 2

1 3 x + 2 2 2 2

=2sin

+ 2 3

.

π + 0 2 3
y 0

π 4π 7π 10π 3 3 3 3 π 3 π π 2π 2 2
2 0 -2 0

描点画图,如图所示.

(2)函数的振幅为 2,周期为 4π,初相是 ,最大值为 2,最小值为-2.

3

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T 题型二图 象变换
例 2 不作图象,指出如何由函数 y=sin x 的图象得到函数
y=3sin 2x +
3

的图象. 图象变换可以先平移后伸缩,也可以先伸缩后平移.

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【解】方法一:①将函数 y=sin x 图象向左平移 个单位,得函数 y=sin x +
3

3

的图象;
3

②将所得图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短到原来的一半,得函数 y=sin 2x + 的图象;
3

③将所得图象上各点横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 3 倍,即得函数 y=3sin 2x + 的图象. 方法二:①将函数 y=sin x 图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 一半,得函数 y=sin 2x 的图象; ②将所得图象向左平移 个单位,得函数 y=sin 2x + y=3sin 2x +
3 6 3

的图象;

③将所得图象上各点横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 3 倍,就得函数 的图象.

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(1)方法一是先平移,后伸缩;方法二是先伸缩,后平移,表 面上看,两种变换方法中的平移分别是 和 ,是不同的,但由于平移时平移 的对象已有变化,所以得到的结果是一致的. (2)变换法作图象的关键是看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平 移,对于后者可利用 ωx+φ=ω x +
φ ω 3 6

来确定平移的单位长度.

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2.(2012·浙江卷,6)把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长 到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个 单位长度,得到的图象是( )

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【答案】A 【解析】 y=cos 2x+1 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得 y1=cos x+1,再向左平移 1 个单位长度得 y2=cos(x+1)+1,再向下平移 1 个单位 长度得 y3=cos(x+1),故相应的图象为 A.

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T 题型三求 函数解析式
例 3 如图,它是函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象,由图 中条件,写出该函数的解析式.

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【解】由题图知 A=5, 由 =
T 2 5 3 -π= ,得 2 2

T=3π,从而 ω=

2 T

= .此时 y=5sin

2 3

2 x+φ 3

.

下面求初相 φ. 方法一:(单调性法)∵ 点(π,0)在递减的那段曲线上, ∴ +φ∈ 2k + ,2k + 由 sin
2 +φ 3 2 3 2 3 2

(k∈Z).
3 3

=0 得 +φ=2kπ+π,即 φ=2kπ+ (k∈Z).∵ |φ|<π,∴ . φ=
2 ,5 代入 y=5sin x + φ 4 3 =5,从而 +φ=2kπ+ ,即 φ=2kπ+ (k∈Z). 6 2 3

2 3

方法二:(最值点法)将最高点坐标 得 5sin
+φ 6 3

,

又∵ |φ|<π,∴ . φ=

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方法三:(起始点法)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象一般由“五点法”作出,而 起始点的横坐标 x 正是由 ωx+φ=0 解得的.故只要找出起始点横坐标 x0,就 可以迅速求得角 φ. 由图象易得 x0=- ,故 φ=-ωx0=- × 方法四:(平移法) 由图象知,将函数 y=5sin x 的图象沿 x 轴向左平移 个单位,就得到本题 图象,故所求函数解析式为 y=5sin φ= +2kπ(k∈Z).又∵ |φ|<π,∴ . φ=
3 3 2 3 2 3 2 2 2 3 2

= .

3

x+

2

=5sin

2 + 3 3

,故

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确定 y=Asin(ωx+φ)+b 的解析式的步骤 (1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m, 则 A=
M-m M+m ,b= . 2 2

(2)求 ω,确定函数的周期 T,则 ω= . (3)求 φ,常用方法有: ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时 A,ω,b 已知)或代入图象与 直线 y=b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上). ②五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的第一点 - ,0 作为突破 口.具体如下: “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=0;“第二点”(即图象的 “峰点”)为 ωx+φ= ;“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=π;“第四
2 φ ω

2 T

点”(即图象的“谷点”)为 ωx+φ= ;“第五点”为 ωx+φ=2π.

3 2

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3.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ) > 0,|φ| < f
24

2

,y=f(x)的部分图象如图,则

=(

)

A.2+ 3

B. 3

C.

3 3

D.2- 3
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【答案】B 【解析】由题意,结合图象知函数周期 T= 由 2× +φ=π,得 φ= . 从而 f(x)=Atan 2x +
4 3 8 4 3 8 8

×2= ,故 ω= =2.
2

2



.
4

将点(0,1)代入上式,得 1=Atan , ∴ A=1, 即 f(x)=tan 2x + 故f
24 4

. 2+
4

=tan

× 24

=tan = 3,选 B.
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3

T 题型四三 角函数模型及其应用
例 4 已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:
时)的函数,记作:y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:
t(时) y(米) 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1.0 18 0.5 21 0.99 24 1.5

经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acosωt+b. (1)根据以上数据,求出函数 y=Acosωt+b 的最小正周期 T,振幅 A 及函 数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的 结论,判断一天内的上午 8:00 至晚上 20:00 之间,有多长时间可供冲浪者进 行运动?
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【解】(1)由表中数据,知周期 T=12. 故 ω=
2 T

=

2 12

= .

6

由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5.① 由 t=3,y=1.0,得 b=1.0.② 从而 A=0.5,b=1.故振幅为 . 因此函数表达式为 y= cos t+1.
1 2 6 1 2

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(2)由题意知,当 y>1 时才可对冲浪者开放. 由 cos t+1>1,得 cos t>0. 则 2kπ- < t<2kπ+ ,k∈Z, 即 12k-3<t<12k+3,k∈Z.③ ∵ 0≤t≤24,故可令③中 k 分别为 0,1,2, 得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24. ∴ 在规定时间上午 8:00 至晚上 20:00 之间,有 6 个小时时间可供冲浪者运 动,即上午 9:00 至下午 15:00.
2 6 2 1 2 6 6

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求解与三角函数有关的实际应用问题应该首先明确题目含 义,根据题目的含义及内容确立函数的模型,然后在具体的函数模型下处理 有关的函数内容.

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4.已知电流 I 与时间 t 的函数关系式为 I=Asin(ωt+φ). (1)如图是 I=Asin(ωt+φ) ω > 0,|φ| < 数据求 I=Asin(ωt+φ)的解析式; (2)如果 t 在任意一段
1 s 时间内,电流 I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和 150 2

在一个周期内的图象,根据图中

最小值,那么 ω 的最小正整数值是多少?
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【解】(1)A=300,|φ|< , 由
1 ω + φ = 0, 900 解得 1 3 ω+φ = , 180 2

2

-

ω = 225, φ= .
4

∴ I=300sin 225t +

4

.
2 ω

(2)由 I=Asin(ωt+φ),知周期 T= . 要在任意一段 则必有 T=
2 ω 1 s 150

时间内,电流 I 都能取得最大值和最小值,



1 .∴ ω≥300π. 150

∴ 的最小正整数值应为 943. ω
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规范解题
三角函数图象与性质的综合应用
试题(12 分)在已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R 其中 > 0,ω >
0,0 < φ <
2

的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象
2 ,-2 3

2

上一个最低点为 M
, 12 2

.

(1)求 f(x)的解析式; (2)当 x∈ 时,求 f(x)的值域.

第(1)问,易知 T=π,A=2,利用点 M 在曲线上可求 φ,第(2)问由 函数图象易解,关键是将 ωx+φ 看成一个整体.

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2 ,-2 ,得 A=2.2 分 3 T 由 x 轴上相邻两个交点之间的距离为 ,故有 = , 2 2 2 2 2 即 T=π,从而 ω= = =2.4 分 T 2 2 由点 M ,-2 在图象上得 2sin 2 × + φ =-2, 3 3 4 4 11 即 sin + φ =-1,故 +φ=2kπ- (k∈Z),即 φ=2kπ- (k∈Z). 3 3 2 6

【规范解答】(1)由最低点为 M

又∵ φ∈ 0, (2)∵ x∈
6 2x+ 6

2

,∴ .故 f(x)=2sin 2x + φ= ,∴ 2x+ ∈
6 7 , 3 6

6

6

.6 分

, 12 2

.

当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2,10 分 当 = 故 f(x)的值域为[-1,2].12 分
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2 7 ,即 6

6 x= 时,f(x)取得最小值-1, 2

认识并理解三角函数的图象与性质是解决此题的关键,图象与 x 轴的两个相邻交点间的距离即为半个周期.在求函数值域时,由定义域转化 成 ωx+φ 的范围,即把 ωx+φ 看作一个整体.

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1.将函数 y=sin 6x + 的解析式为( A.y=sin 6x【答案】A
2

4

的图象上各点向右平移 个单位长度,则得到新函数 B.y=sin 6x +
2 6x + 8 8 4

8

)
5 8

C.y=sin 6x +

D.y=sin

【解析】新函数解析式为 y=sin 6 x2.已知函数 f(x)=sin ωx + A.关于直线 x= 对称 C.关于点
,0 4 3 3

+

4

=sin 6x-

2

,故选 A. )

(ω>0)的最小正周期为 π,则该函数图象(
,0 3

B.关于直线 x= 对称 D.关于点 对称
.当 x= 3 3 1 = .故选 D. 4 2

对称

【答案】D 【解析】根据函数 f(x)的最小正周期为 π,可得 f(x)=sin 2x + 时,f
3 ,0 3

=0,所以该函数图象关于点

对称;当 x= 时,f

4

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3.(2012·安徽卷,7)要得到函数 y=cos(2x+1)的图象,只要将函数 y=cos 2x 的 图象( ) A.向左平移 1 个单位长度 B.向右平移 1 个单位长度 C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 【答案】C 【解析】∵ y=cos(2x+1)=cos 2 x +
1 2 1 2 1 2 1 2

,

∴ 只需将 y=cos 2x 的图象向左平移 个单位长度即可得到 y=cos(2x+1)的图 象.
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4.若函数 f(x)=sinωx(ω>0)在区间 0, 则 ω=( A.3 【答案】C ) B.2

3

上单调递增,在区间

, 3 2

上单调递减,

C.

3 2

D.

2 3

【解析】根据函数 f(x)=sinωx(ω>0)在区间 0, 单调递减,可知
ω 3 2

3

上单调递增,在区间
3 2

, 3 2



= +2kπ(k∈Z),可知选项 C 中 ω= 符合.

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5.(2012·课标全国卷,9)已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则 φ=( A.
4

4

5 4

) D.
3 4

B.

3

C.

2

【答案】A 【解析】由题意可知函数 f(x)的周期 T=2× ∴ f(x)=sin(x+φ).令 x+φ=kπ+ , 将 x= 代入可得 φ=kπ+ , ∵ 0<φ<π,∴ . φ=
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4 4 4 2 5 4 4

=2π,故 ω=1,


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