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2006年深圳实验学校直升考试数学试题(含答案)-


深圳实验学校 2006 届初中直升考试

数 学 试 卷
说明:1、试卷满分为 130 分,在 120 分钟内完成,请考生根据情况安排好答卷 时间。 2、在答题卷上答题请用钢笔或圆珠笔书写,密封线外不得写考生姓名、 班级等。 3、考试结束后请将试卷、答题卷按顺序整理好一并交回。

一、选择题(本题共 10 题,每题 3 分,共 30 分.每小题给出的 A、B、C、 D 四个结论中有且只有一个是正确的.选出答案后,请将正确答案写在答卷 的表格内,写在试卷上的答案无效.) 1. ? 2 等于( A、-2 ) B、2 C、 ? )
?3

1 2

D、

1 2

2.下列各式中计算正确的是( A、 2 ? 2 ? 2 2 C、 a 3 ? a 4 ? a 12
?1? B、 ? ? ?2?

? 16

D、 2002 0 ? ( ?1) 2002 ? 2 )

3.点 A (2 ,-1)关于 y 轴的对称点 B 在( A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 4.抛物线 y ? (x ? 2) 2 的顶点坐标是( A、(0,-2) B、(-2,0) ).

C、(0,2)

D、(2,0)

5.直线 y ? kx ? b(b ? 0) 与 x 轴交于点 (?4,0) ,则当 y ? 0 时, x 的取值范围 是( ) A、 x ? ?4 B、 x ? 0 C、 x ? ?4 D、 x ? 0 6.有 6 张背面相同的扑克牌,正面上的数字分别是 4,5,6,7,8,9.若 将这六张牌背面朝上洗匀后,从中任意抽取一张,那么这张牌正面上的 数字是 9 的概率为( ). A、
2 3

B、

1 2

C、
数学试卷

1 3

D、

1 6

7.在时刻 8∶30,时钟上的时针与分针之间的夹角是(
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A、85° B、75° C、70° D、60° 8.一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像(如下左图所示),此时,它 所看到的全身像是( )

9. 米长的标杆直立在水平的地面上, 1 它在阳光下的影长为 0.8 米; 此时, 若某电视塔的影长为 100 米,则此电视塔的高度应是( ) A、80 米 B、85 米 C、120 米 D、125 米 10.过⊙O 内一点 M 的最长的弦长为 6cm,最短的弦长为 4cm. 则 OM 的长 为( ) A、 3cm B、 5cm C、 2cm D、 3cm

二.填空(本题共 10 题,每题 3 分,共 30 分.请将正确答案写在答题卷的 横线内,写在试卷上的答案无效.) 11.函数 y ?
2 1? 2x

的自变量 x 的取值范围是

. 千

12. 地球上的陆地面积约为 149 000 000 千米 2, 用科学记数法表示为 2 米 . 13.不等式组 ?
?x ? 1 ? 0 ?x ? 2 ? 3

的整数解是

.

14.一商店把某种品牌的羊毛衫按标价的八折出售,仍可获利 20%,若该 品牌的羊毛衫的进价每件是 100 元,则标价是每件___________元. 15.等腰△ABC 中,BC=8,AB、AC 的长是关于 x
y

的方程 x ? 10 x ? m ? 0 的两根,则 m 的值
2

是 . 16.如下图,△P1O A1、△P2 A1 A2 是等腰直角三 角形,点 P1、P2 在函数 y ? 4 (x>0)的图象
x

P1 P2 O A1 A2 (第 16 题) x

上,斜边 OA1、A1A2 都在 x 轴上,则点 A2 的 坐标是 .
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第 2 页 共 18 页

17. 如上图, O 为 ?ABC 的外接圆,BD 为直径,?BAC ? 30 ? , BC ? 2 , ⊙ 若 则 BD ? .
D
D E

A

F

C

O

B

A

B (第 19 题)

C

(第 17 题)

18.若两圆外切,圆心距为 8cm,一个圆的半径为 3cm,则另一个圆的半径 为 cm. 19.如下图,口 ABCD 中,点 E 在边 AD 上,以 BE 为折痕,将△ABE 向上翻 折,点 A 正好落在 CD 上的点 F,若△FDE 的周长为 8,△FCB 的周长为 22,则 FC 的长为_ _. 20. 如果圆锥的底面周长是 20 ? , 侧面展开图所得的扇形的圆心角为 120 ? , 那么该圆锥的全面积为 .

后面的问题应有必 要的解答过程哟。

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深圳实验学校 2006 届初中直升考试

数学答题卷
题号 一 二 三 21 22 23 24 25 26 27 28 总分

得分

得分

评卷人

一、选择题:请将正确答案写在下列表格内(30 分)

题号 答案 得分

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

评卷人

二.填空题:请将正确答案写在下列横线内(30 分)

11. 15. 19.

12. 16. 20.

13. 17.

14. 18.

三.解答题: (本题共 8 小题, 共 70 分) 得分 评卷人 21. (本题满分 6 分) 化简并求值: 解:
x 2 ? 2x ? 1 x ?1
2

?

x x ?1

,其中 x ? 2 ? 1 .

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22. (本题满分 6 分) 如图,将等腰直角三角形 ABC 的直角顶点置于直线 l 上, 且过 A、B 两点分别作直线 l 的垂线,垂足分别为 D、E, 请你在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等的过程.
A

得分 评卷人

D C F

E l B

23. (本题满分 8 分) 《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定: 超速行驶属违法行为。为确保行车安全,一段高速公路 全程限速 110 千米/时(即任一时刻的车速都不能超过 110 千米/时) 。以下 是张师傅和李师傅行驶完这段全程为 600 千米的高速公路时的对话片断。 张: “你的车速太快了,平均每小时比我多跑 20 千米,少用我 90 分钟就跑 完了全程,还是慢点。 ”李: “虽然我的时速快,但最大时速也不超过我平 均时速的 10%。 ”李师傅超速行驶了吗?为什么? 解:

得分 评卷人

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24. (本题满分 8 分)

某数学兴趣小组,利用树影测量树高.已测出树 AB 的 影长 AC 为 12 米,并测出此时太阳光线与地面成 30°夹角. (1)求出树高 AB; (2)假设因水土流失,此时树 AB 绕点 A 沿太阳光线方向倒下,在倾 倒过程中,树影长度发生了变化,假设太阳光线与地面夹角保持不变,试 求在倾倒过程中树影的最大长度. (计算结果精确到 0.1 米,参考数据:
2

≈1.414,

3 ≈1.732)

解:
B

太阳光线

30° A C

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25. (本题满分 8 分) 下图是某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛 物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是 1m,拱桥的 跨度为 10m,桥洞与水面的最大距离是 5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离 水面 4m 的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中如下图. (1)求抛物线的解析式; (2)求两盏景观灯之间的水平距离. 得分 评卷人
y

? 5m 10m 1m O x

解:

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26. (本题满分 10 分) 等腰△ABC,AB=AC=8,∠BAC=120°,P 为 BC 的中点,

小慧拿着含 300 角 的透明三角板,使 300 角的顶点落在点 P,三角板绕 P 点旋转. (1)如图 a,当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时.求证:△BPE~ △CFP; (2)操作:将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时,三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E、F. ① 探究1:△BPE 与△CFP 还相似吗?(只需写出结论) ② 探究2:连结 EF,△BPE 与△PFE 是否相似?请说明理由; ③ 设 EF=m,△EPF 的面积为 S,试用 m 的代数式表示 S.

A E F

A

E F

B P

C

B P

C

图a

图b

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27. (本题满分 12 分)
? 如图,已知⊙O 中,弦 BC=8,A 是 BAC 的中点,弦 AD

与 BC 交于点 E,AE=5 3 ,ED= 合) ,AM 交 BC 于 N. (1)求证:AB2=AE·AD;

3 3

? ,M 为 BDC 上的动点, (不与 B、C 重

? (2)当 M 在 BDC 上运动时,问 AN·AM、AN·NM 中有没有值保持不变的?

若有的话,试求出此定值;若不是定值,请求出其最大值; (3)若 F 是 CB 延长线上一点,FA 交⊙O 于 G,当 AG=8 时,求 sin∠AFB 的值.
A

G N F B M D E C

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28. (本题满分 12 分) 如图, 已知抛物线 y ? mx 2 ? nx ? p 与 y ? x 2 ? 6 x ? 5 关于

y 轴对称,与 y 轴交于点 M,与 x 轴交于点 A 和 B. ( 1 ) 求 出 y ? mx 2 ? nx ? p 的 解 析 式 , 试 猜 想 出 与 一 般 形 式 抛 物 线
y ? ax 2 ? bx ? c 关于 y 轴对称的二次函数解析式(不要求证明) .

(2)若 A,B 的中点是点 C,求 sin∠CMB. (3) 如果过点 M 的一条直线与 y ? mx 2 ? nx ? p 图象相交于另一点 N a, , ( b) a ? b 且满足 a 2 ? a ? q ? 0, b 2 ? b ? q ? 0 (q 为常数) ,求点 N 的坐标.
y

M

N A B

O

C

P

x

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深圳实验学校 2006 届初中直升考试 数学参考答案
一.选择题:请将正确答案写在下列表格内(30 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 D 5 A 6 D 7 B 8 A 9 D 10 B

二.填空题:请将正确答案写在下列横线内(30 分)
1 2

11. x ?

12. 1.49 ? 108

13.

-1,0

14.

150

15. 16 或 25 19.

16.

?4

2,0

?

17.

4

18.

5

7

20. 400π

(填空题答案不完整不给分)

三.解答题: (本题共 8 小题,共 70 分) 说明:解答题用其它方法均酌情给分。 21. (本题满分 6 分) 化简并求值:
解:原式

x 2 ? 2x ? 1 x ?1
2

?

x x ?1

,其中 x ? 2 ? 1 .

? ? ?

(x ? 1) 2 (x ? 1)(x ? 1) x ?1 x ?1 1 x ?1 ? x x ?1

?

x x ?1
…………………………4 分(省略 1 个步骤不扣分)

当 x ? 2 ? 1 时,原式=

1 2 ?1?1

?

1 2

?

2 2

………………6 分

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22. (本题满分 6 分) 如图,将等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 C 置于直线 l 上,且过 A、B 两点 分别作直线 l 的垂线,垂足分别为 D、E,请你在图中找出一对全等三角形, 并写出证明它们全等的过程. 解:全等三角形为:△ACD≌△CBE…2 分 证:由题意知∠CAD+∠ACD=90° ∠ACD+∠BCE=90° ∴∠CAD=∠BCE………………4 分 又∠ADC=∠CEB=90°,AC=CB ∴△ACD≌△CBE………………6 分
A

D C F

E l

B 23. (本题满分 8 分) 《中华人民共和国道路交通安全法实施条 例》中规定:超速行驶属违法行为。为确保行车安全,一段高速公路全程 限速 110 千米/时(即任一时刻的车速都不能超过 110 千米/时) 。以下是张

师傅和李师傅行驶完这段全程为 600 千米的高速公路时的对话片断。张: “你的车速太快了,平均每小时比我多跑 20 千米,少用我 90 分钟就跑完 了全程,还是慢点。 ”李: “虽然我的时速快,但最大时速也不超过我平均 时速的 10%。 李师傅超速行驶了吗?为什么? ” 解:李师傅行驶没有超速违法。理由如下:????????1 分 设李师傅的平均速度为 x 千米/时,则张师傅的平均速度为(x-20)千米/ 时。根据题意,得
600 x-20 - 600 x = 3 2

????????????????????4 分

去分母,整理,得 x 2 ? 20x-8000=0
x1=100 ,x 2=-80

??????????????????5 分

经检验, x1=100 ,x 2=-80 都是所列方程的根,???????6 分 但 x 2=-80 不符合题意,舍去。 ∴ x=100 ???????????7 分 ∴李师傅的最大时速是:100(1+10%)=110 (千米/时) ∴李师傅行驶途中的最大时速在限速范围内,他没有超速违法。?8 分
2006 届初直升考试 数学试卷 第 12 页 共 18 页

24. (本题满分 8 分) 某数学兴趣小组,利用树影测量树高.已测出树 AB 的影长 AC 为 12 米,并 测出此时太阳光线与地面成 30°夹角. (1)求出树高 AB; (2)假设因水土流失,此时树 AB 绕点 A 沿太阳光线方向倒下,在倾 倒过程中,树影长度发生了变化,假设太阳光线与地面夹角保持不变,试 求在倾倒过程中树影的最大长度. (计算结果精确到 0.1 米,参考数据:
2

≈1.414,

3 ≈1.732)

解: (1)在 Rt△ABC 中, ∠BAC=90°,∠C=30° ∵tanC=
AB AC

B D 太阳光线

??2 分

∴AB=AC·tanC =12×
3 3

= 4 3

??3 分

30° A C E

≈6.9(米) ??4 分 (2)以点 A 为圆心,以 AB 为半径作圆弧,当太阳光线与圆弧相切时 树影最长,点 D 为切点,DE⊥AD 交 AC 于 E 点, (如图)????5 分 在 Rt△ADE 中,∠ADE=90°,∠E=30°, ∴AE=2AD=2× 4 3 ≈13.9(米) (不答不扣分) ????????????7 分 ????????????8 分

25. (本题满分 8 分) 下图是某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物 线两端点与水面的距离都是 1m,拱桥的跨度为 10m,桥洞与水面的最大 距离是 5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4m 的景观灯.若把拱桥的截 面图放在平面直角坐标系中如下图. (1)求抛物线的解析式并写出自变量的取值范围; (2)求两盏景观灯之间的水平距离.
2006 届初直升考试 数学试卷 第 13 页 共 18 页

y ? 5m 10m 1m O x

解: (1)抛物线的顶点坐标为(5,5) ,与 y 轴交点坐标是(0,1)?1 分 设抛物线的解析式是 y=a(x-5)2+5 ????2 分 把(0,1)代入 y=a(x-5)2+5,得 a=- ∴y=-
4 (x-5)2+5 25 4 25

????3 分 ????5 分

(0≤x≤10)

(2)由已知得两景观灯的纵坐标都是 4

??????6 分

4 4 ∴4=- (x-5)2+5 ∴ (x-5)2=1 25 25 15 5 ∴x1= x2= ????????????7 分 2 2

∴ 两景观灯间的距离为 5 米.????????8 分

26. (本题满分 10 分) 等腰△ABC,AB=AC=8,∠BAC=120°,P 为 BC 的中点,小慧拿着含 300 角 的透明三角板,使 300 角的顶点落在点 P,三角板绕 P 点旋转. (1)如图 a,当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时.求证:△BPE~ △CFP; (2)操作:将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时,三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E、F. ④ 探究1:△BPE 与△CFP 还相似吗?(只需写出结论) ⑤ 探究2:连结 EF,△BPE 与△PFE 是否相似?请说明理由; ⑥ 设 EF=m,△EPF 的面积为 S,试用 m 的代数式表示 S.

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数学试卷

第 14 页 共 18 页

A E F

A

E F

B P

C

B P

C

图a

图b

26、 (1)证明:在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC,所以∠B=∠C=30°, ???????1 分 因为∠B+∠BPE+∠BEP=180° 所以∠BPE+∠BEP=150° 因为∠EPF=30°,又因为 ∠BPE+∠EPF+∠CPF=180° 所以∠BPE+∠CPF=150° 所以∠BEP=∠CPF ???????2 分 所以△BPE∽△CFP ???????3 分 (2)①△BPE∽△CFP ???????????4 分 ②△BPE 与△PFE 相似。 ???????????5 分 下面证明结论 同(1)可证△BPE∽△CFP 得 因此
EP CP ? PF FC EP BP ? PF FC

,而 CP=BP ???????6 分



又因为∠EBP=∠EPF, 所以△BPE∽△PFE ????????7 分 ③ 由②得 △BPE∽△PFE 所以∠BEP=∠PEF 分别过点 P 作 PM⊥BE,PN⊥EF,垂足分别为 M、N,则 PM =PN ?8 分 连 AP,在 Rt△ABP 中,由∠B =30°,AB=8 可得 AP=4, 所以 PM= 2 3 , 所以 PN= 2 3 所以 s = PN× EF=
2 1
3m

???????9 分 ???????10 分

27. (本题满分 12 分)
? 如图,已知⊙O 中,弦 BC=8,A 是 BAC 的中点,弦 AD 与 BC 交于点 E,AE

=5 3 ,ED=

3 3

? ,M 为 BDC 上的动点, (不与 B、C 重合) ,AM 交 BC 于 N.
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(1)求证:AB2=AE·AD;
? (2)当 M 在 BDC 上运动时,问 AN·AM、AN·NM 中有没有值保持不变的?

若有的话,试求出此定值;若不是定值,请求出其最大值; (3)若 F 是 CB 延长线上一点,FA 交⊙O 于 G,当 AG=8 时,求 sin∠AFB 的值. A (1) 证明:连 BD
AB AC ∵? ? ?
G N F B M D
A

∴∠ABC=∠ABD 又∵∠BAE=∠DAB ∴△ABE∽△ADB ?????2 分 ∴
AB AE ? AD AB

E C

∴ AB2 ? AE ?AD

???????3 分

G N F B M
A

E C D

(2) 连结 BM,同(1)可证△ABM∽△ANB,?4 分 则
AB AM ? AN AB

∴ AN ?AM ? AB2

????5 分
3 3 ? 5 3) ? 80
F

G O E K D B M H N C

∴ AN ?AM ? AE ?AD ? 5 3( 即 AN ?AM 为定值。

?????6 分 ????7 分

设 BN=x,则 CN=(8-x)

∵ AN ?NM ? BN ?CN ? x(8 ? x) ? ? x 2 ? 8x ? ?(x ? 4) 2 ? 16 ??8 分 故当 BN=X=4 时, AN ?NM 有最大值为 16。 (3)作直径 AH 交 BC 于 K,连结 GH,
? ∵A 是 BAC 的中点

?????9 分

∴AH⊥BC,且 BK ? KC=4 , ∴ AK 2 ? AB2 ? BK 2 ? 80 ? 16=64 ∴AK=8
2006 届初直升考试 数学试卷 第 16 页 共 18 页

又由 AK ?KH=BK ?KC 得: KH= ∴AH=10

4? 4 8

?2

?????10 分

又∵∠AGH=∠BKF=Rt∠,且∠GAH=∠KAF, ∴∠F=∠H ???????11 分 ∴ SinF= SinH=
AG AH ? 8 10 ? 4 5

???????12 分

28. (本题满分 12 分) 如图,已知抛物线 y ? mx 2 ? nx ? p 与 y ? x 2 ? 6 x ? 5 关于 y 轴对称,与 y 轴 交于点 M,与 x 轴交于点 A 和 B. (1)求出 y ? mx 2 ? nx ? p 的解析式,试猜想出与一般形式抛物线
y ? ax 2 ? bx ? c 关于 y 轴对称的二次函数解析式(不要求证明) .

(2)若 A,B 的中点是点 C,求 sin∠CMB. (3) 如果过点 M 的一条直线与 y ? mx 2 ? nx ? p 图象相交于另一点 N a, , ( b) a ? b 且满足 a 2 ? a ? q ? 0, b 2 ? b ? q ? 0 (q 为常数) ,求点 N 的坐标. 解: (1) y ? x 2 ? 6 x ? 5 的顶点为(-3,-4) , 即 设
y ? mx 2 ? nx ? p 的顶点的为(3,-4) , y ? mx 2 ? nx ? p ? a ( x ? 3) 2 ? 4 ,

??????(1 分) ??????(2 分) ??????(3 分)

y ? x 2 ? 6 x ? 5 与 y 轴的交点 M(0,5) ,即 y ? mx 2 ? nx ? p 与 y 轴的交点

M(0,5) . 即 a=1,所求二次函数为 y ? x 2 ? 6 x ? 5 . ???????(4 分)

猜想: 与一般形式抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 关于 y 轴对称的二次函数解析式是
y ? ax 2 ? bx ? c .

??????? 分) (5

(2)过点 C 作 CD⊥BM 于 D. 抛物线 y ? x 2 ? 6 x ? 5 与 x 轴的交点 A(1,0) ,B(5,0) ,与 y 轴交点
2006 届初直升考试 数学试卷 第 17 页 共 18 页

M(0,5) ,AB 中点 C(3,0) . 故△MOB,△BCD 是等腰直角三角形,CD= 在 Rt△MOC 中,MC= 34 . 则 sin∠CMB=
CD 17 . ? MC 17
2 2

??????(6 分)
, BC ? 2 .

????????(7 分) ???????? 分) (8 ???????(9 分) ????? (10 分)

(3)设过点 M(0,5)的直线为 y=kx+5
? y ? k x ? 5, 解得 ? y ? x 2 ? 6 x ? 5, ? ? x1 ? 0, ? ? y1 ? 5,

? x 2 ? k ? 6, ? 2 ? y 2 ? k ? 6 k ? 5.



a ? k ? 6, b ? k 2 ? 6 k ? 5.

由已知 a,b 是方程 x 2 ? x ? q ? 0 的两个根,故 a+b=1.???(11 分) 即
( k ? 6 ) ? ( k 2 ? 6 k ? 5) ? 1 , 化简
y

k 2 ? 7 k ? 10 ? 0 ,则

M

k1 ? ?2, k 2 ? ?5 .

点 N 的坐标是(4,-3)或(1, 0) . ??(12 分)
O A C

D B

N P x

说明:解答题用其它方法均酌情给分。

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