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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练13(含解析)北师大版必修4


双基限时练(十三)
一、选择题

三角函数的简单应用

1. 已知函数 y=2sinω x(ω >0)的图像与直线 y+2=0 相邻的两个公共点之间的距离为 2π ,则 ω 的值为( 3 A.3 C. 2 3 ) B. D. 3 2 1 3

2 2π 解析 由题可知 T= π ,又 ω >0,T= ,∴ω =3. 3 ω 答案 A 2 .一弹簧振子做简谐振动,离开平衡位置的位移 s 与时间 t 的函数关系式为 s= 3cos?

? ?

g π? t+ ?,t∈[0,+∞),则弹簧振子振动的周期为( a 3? ag
B. 2π D. 2π 2π 2π =

)

A. 2π C. 2π

a g g a

ag a g g a
.

解析 T=

答案 B 3. 某人的血压满足函数关系式 f(t)=24sin160π t+110, 其中 f(t)为血压, t 为时间, 则此人每分钟心跳的次数为( A.60 C.80 2π 1 解析 ∵T= = , 160π 80 1 ∴f= =80. ) B.70 D.90

T

答案 C 4.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一 周,点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图像大致是图中的 ( )
1

θ d 解析 令AP所对圆心角为 θ ,由|OA|=1,则 l=θ ,sin = , 2 2 θ l l ∴d=2sin =2sin ,即 d=f(l)=2sin (0≤l≤2π ),它的图像为 C. 2 2 2 答案 C 5.动点 A(x,y)在以坐标原点为圆心,以 1 为半径的圆上沿逆时针方向匀速旋转,12 3? ?1 秒旋转一周, 已知时间 t=0 时, A? , ?, 则当 0≤t≤12 时, 动点 A 的纵坐标 y 关于 t(时 ?2 2 ? 间:s)的函数的单调增区间为( A. [0,1] C. [7,12] ) B. [1,7] D. [0,1]和[7,12]
2



解析

π? ?t 动点 A 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系式为 y = sin ? ×2π + ? = 3? ?12

π? π π π π ?π sin? t+ ?由 2kπ - ≤ t+ ≤2kπ + (k∈Z),又 0≤t≤12,可知 t∈[0,1]和 6 3 2 6 3 2 ? ? [7,12]. 答案 D 6.设函数 y=f(t)是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数,其中 0≤t≤24.下 表所示的是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系:

t y

0 12

3 15.1

6 12.1

9 9.1

12 11.9

15 14.9

18 11.9

21 8.9

24 12.1

经长期观察, 函数 y=f(t)的图像可以近似地看成函数 y=k+Asin(ω t+φ )的图像. 下 面的函数中,最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( π A.y=12+3sin t,t∈[0,24] 6 B.y=12+3sin? )

?π t+π ?,t∈[0,24] ? ?6 ?

π C.y=12+3sin t,t∈[0,24] 12 D.y=12+3sin?

?π t+π ?,t∈[0,24] ? 2? ?12

π 解析 易知 k=12,A=3,由周期 T=12 知,ω = ,由 t=3 时,y≈15,得 φ =0, 6 故选 A. 答案 A 7.一根长为 l cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的 位移 s(cm)与时间 t(s)的函数关系式是 s=3cos? 球摆动的周期是 1 s 时,线长 l 等于( A. C. 解 ) B. D. 2π ,∴l=

? ?

g π? t+ ?,其中 g 是重力加速度,当小 l 3?

g
π

g


g
π
2

g

2

1=

g


g l

2

.

答案 D ??二、填空题

3

8 .某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y = a +

? ? Acos? ?x-6??(x=1,2,3,…,12)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高,为 28℃,
π ?6

?

12 月份的月平均气温最低,为 18℃,则 10 月份的平均气温值为________℃. 解析 由题意得

a+Acos0=28, ? ? ? ?π ? a+Acos? ?12-6??=18, ? ?6 ? ?

得?

?a=23, ? ? ?A=5,

?π ? ∴y=23+5cos? ?x-6??, ?6 ?
5 ?π ? 当 x=10 时,y=23+5cos? ×4?=23- =20.5. 6 2 ? ? 答案 20.5 9.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t =0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合,将 A,B 两点的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数,则

d=__________,其中 t∈[0,60].
πt 解析 如图所示:经历 t 秒钟,秒针转过的角度为∠AOB= ,取 AB 的中点 C,则∠ 30

AOC=

πt , 60 πt . 60

d=|AB|=2|OA|sin∠AOC=10sin

πt 答案 10sin 60 10.某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上,按月呈 f(x)=Asin(ω x+φ )+

b(A>0,ω >0,|φ |< )的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千元,7 月份价格
最低为 5 千元,根据以上条件可确定 f(x)的解析式为________.

π 2

4

π 解析 3 月份最高,7 月份最低,所以 T=8,则 ω = ,A=2,b=7. 4 令 x=3,得 9=2sin?

?π ×3+φ ?+7? sin?3π +φ ?=1. ? ? 4 ? ?4 ? ? ?

π π 又∵|φ |< ,∴φ =- , 2 4 π? ?π ∴f(x)=2sin? x- ?+7. 4? ?4 π? ?π 答案 f(x)=2sin? x- ?+7 4? ?4 三、解答题 11.已知某游乐园内摩天轮的中心 O 点距地面的高度为 50 m,摩天轮做匀速运动,摩 π? ?π 天轮上的一点 P 自最低点 A 点起,经过 t min 后,点 P 的高度 h=40sin? t- ?+50(单 2? ?6 位:m).那么在摩天轮转动一圈的过程中,点 P 的高度在距地面 70 m 以上的时间将持续多 少分钟? 解 π? ?π 依题意,得 40sin? t- ?+50≥70, 2? ?6

即 sin?

?π t-π ?≥1, 2? ?6 ? 2

5 π π π 所以在一个周期内持续的时间为 π ≥ t- ≥ ,解得 4≤t≤8, 6 6 2 6 即持续时间为 4 分钟.

12. 在图中, 点 O 为做简谐运动的物体的平衡位置, 取向右的方向为物体位移的正方向, 若已知振幅为 3 cm,周期为 3 s,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时. (1)求物体对平衡位置的位移 x(cm)和时间 t(s)之间的函数关系式; (2)求该物体在 t=5 s 时的位置. 解 (1)设 x 和 t 之间的函数关系为 x=3sin(ω t+φ )(ω >0,0≤φ <2π ).

2π 2π 则由 T= =3,可得 ω = . ω 3 当 t=0 时,有 x=3sinφ =3, 即 sinφ =1. 又 0≤φ <2π ,故可得 φ = π . 2

5

所以,所求函数关系为 x=3sin? 2π 即为 x=3cos t. 3

?2π t+π ?, 2? ? 3 ?

10π (2)令 t=5,得 x=3cos =-1.5,故该物体在 t=5 s 时的位置是在 O 点左侧且距 3

O 点 1.5 cm 处.
13.在自然条件下,对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计,得到 10 次测 量结果(时间近似到 0.1 小时),结果如下表所示:

(1)以日期在 365 天中的位置序号 x 为横坐标,一天内存活时间 y 为纵坐标,作出这些 数据的散点图; (2)试选用一个形如 y=Asin(ω x+φ )+t 的函数来近似描述一年中该细菌一天内存活 的时间 y 与日期位置序号 x 之间的函数关系; (3)用(2)中的结果估计该种细菌一年中有多少天存活时间大于 15.9 小时? 解 (1)散点图如下图所示:

6

(2)由散点图知细菌存活时间与日期位置序号之间的函数关系式满足 y=Asin(ω x+φ ) +t,由图形可认为函数的最大值为 19.4,最小值为 5.4,所以 19.4-5.4=14,故 A=7, 2π 由 19.4+5.4=24.8,故 t=12.4,又因为 T=365,所以 ω = . 365 2π x π 当 x=172 时, +φ = , 365 2 323π 所以 φ =- . 730 故 y=7sin?

?2π x-323π ?+12.4(1≤x≤365,x∈N ). ? + 730 ? ?365 ?>1, ? 2 ?

323 ?2π (3)由 y>15.9,得 sin? x- π ?365 730 π 2π 323 5π 所以 < x- π < , 6 365 730 6

365 323 365×5 323 解得 + <x< + ,112≤x≤232. 12 4 12 4 即这种细菌一年中大约有 121 天的存活时间大于 15.9 小时.

7


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