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指数与对数的性质和运算及答案详解


指数与对数的运算
(1) 有关规定: 事实上, a ) = a (
k n kn

若设 a>0, k =

m (n > 1, n ∈ N *) , a k ) n = (a n ) n = a m ( n
m n

m

由 n 次根式定义, a 是a 的n 次方根,即: a
m

m n

= n am

(2)同样规定: a

?

m n

=

1 a
m n

(a > 0, m, n ∈ N * 且n > 1) ;0 的正分数指数幂等于 0,

0 的负分数指数幂没有意义。

a

r

a
r

s

= a
s r

r + s rs r

(a > 0, r, s ∈ Q ) (a > 0, r, s ∈ Q )
r

(3)指数幂的性质: ( a

)

= a = a

( ab )

b

(a > 0,b > 0, r ∈ Q )

(2)基本性质:①真数 N 为正数(负数和零无对数);2) log a 1 = 0 ; ③ log a a = 1 ;4)对数恒等式: a
log a N

=N。

(3)运算性质:如果 a > 0, a ≠ 0, M > 0, N > 0, 则 ① log a ( MN ) = log a M + log a N ; ② log a

M = log a M ? log a N ;③ log a M n = n log a M (n ∈ R)。 N

(4)换底公式: log a N =

log m N (a > 0, a ≠ 0, m > 0, m ≠ 1, N > 0), log m a
n

两个非常有用的结论① log a b ? log b a = 1 ;② log a m b =

n log a b 。 m
( )

1、已知 y = 4 x ? 3 ? 2 x + 3 的值域为[1,7],则 x 的取值范围是 A.[2,4]
x y

B. (?∞,0)

C. (0,1) U [ 2,4]
3x? y 2

D. (?∞,0) U [1,2]

2、若 10 = 2,10 = 3, 则 10
1

=
.

3、【08 重庆卷 13】已知 a 2 =

4 (a>0) ,则 log 2 a = 9 3

四.典例解析
题型 1:指数运算 : 例 1.(1)计算: [(3 )
3+ 3 2 ? 2? 3
4 1
? 2 3 ? ? 4 (5 ) 0.5 + (0.008) 3 ÷ (0.02) 2 × (0.32) 2 ] ÷ 0.0625 0.25 ; 9 2 1 1

3 8

(2)化简

(3)化简:

a 3 ? 8a 3 b 4b + 2 ab + a
3 2 3 2 3

÷ (a

?

2 3

?

a ? 3 a2 23 b )× 。 5 a a ?3 a

(4)化简:

a 3 ? 8a 3 b a + 23 ab + 4b
2 3 2 3

4

1

÷ (1 ? 23

b 3 )× a a

例 2.已知 x 2 + x

1

?

1 2

= 3 ,求

x 2 + x ?2 ? 2 x +x
3 2 ? 3 2

的值。

?3

题型 2:对数运算 : 例 3.计算 (1) (lg 2) 2 + lg 2 ? lg 50 + lg 25 ;(2) (log 3 2 + log 9 2) ? (log 4 3 + log 8 3) ;

(3)

lg 5 ? lg 8000 + (lg 2 3 ) 2 。 1 1 lg 600 ? lg 0.036 ? lg 0.1 2 2
2 2 2
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

例 4.设 a 、 b 、 c 为正数,且满足 a + b = c (1)求证: log 2 (1 +

b+c a?c ) + log 2 (1 + ) = 1; a b b+c 2 (2)若 log 4 (1 + ) = 1 , log 8 (a + b ? c) = ,求 a 、 b 、 c 的值。 a 3
18 b = 5 , 求 log 36 45 (用 a, b 表示) 求证:

例 5(1)已知 log 18 9 = a , (2)设

3x = 4 y = 6 z = t > 1

1 1 1 ? = z x 2y

题型 4:指数、对数方程 :指数、 例 6:解方程(1) log (2 x
2

?1)

(3x

2

+ 2x ?1 = 1

)

(2) log 2 [log 3 (log 4 x )] = 0

例 7.设关于 x 的方程 4 ? 2
x

x +1

? b = 0(b ∈ R),

(1)若方程有实数解,求实数 b 的取值范围; (2)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解。

【课外作业】 课外作业】
1.若 log 2 log 3 log 4 x = log 3 log 4 log 2 y = log 4 log 2 log 3 z = 0 ,则 x + y + z 的值为 A.50 2、若 9
?x

B.58

C.89 ;

D.111





? 2 ? 31? x = 27 ,则 x =

3、.如果函数 y = a 2 x + 2a x ? 1( a > 0, a ≠ 1) 在区间[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值。 4、设 f ( x ) = lg

1+ 2x + 4x ? a 若 x ∈ (?∞,1] 时 f (x ) 有意义,求实数 a 的范围。 3


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