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专题4 函数的奇偶性与周期性


专题六 函数的奇偶性与周期性 【高频考点解读】 从近几年的高考试题来看,函数的奇偶性、周期性是高考命题的热点.主要是奇偶性与单调 性的小综合,周期性的考查常以利用周期性求函数值,以选择题、填空题的形式出现,这部分知 识对学生要求很高,属中低档题. 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. 【热点题型】 题型一 函数奇偶性的判定

例 1、判断下列各函数的奇偶性: (1)f(x)=x -x;
3

(2) f(x)=(x-1)

1+x ; 1-x

练习 1、设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正 确的是( )

A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 题型二 利用奇偶性求函数解析式: 例 2、若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x·(1-x),求函数 f(x)的解析式.

练习 2、设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+x+1,求函数 f(x)的解析式.

题型三

函数奇偶性与单调性
1

例 3 、若奇函数 ( )

f ( x) 在区间 [3,5] 上是增函数,且最大值是 6 ,那么 f ( x) 在区间 [ ?5 , ? 3] 上是
B.增函数,最大值为 ? 6 D.减函数,最大值为 6

A 增函数,最小值为 ? 6 C.减函数,最小值为 ? 6

练习 3、若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0] 上是增函数,且 f(2)=0,则使得 f(x)<0 成立 的 x 的取值范围是______________.

练习 4、 已知奇函数 f(x)是定义在[-1,1]上的增函数, 且 f(x-1)+f(1-2x)<0, 求实数 x 的取值范围.

题型四 函数的周期性 例 5、(1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2) ;当 -1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(7)等于________.
2

练习 5、 已知 f(x)在 R 上是奇函数, 且满足 f(x+4)=f(x), 当 x ? (0,2) 时, f(x)=2x2, 则 f(2011)=______.

练习: 1、已知 f ( x) ?

x3 ? x ? a , f ( x) 是奇函数,则 f(1)=_________ x2 ?1
)

2、定义在 R 上的偶函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,则( A.f(3)<f(-4)<f(-π) C.f(3)<f(-π)<f(-4) B.f(-π)<f(-4)<f(3) D.f(-4)<f(-π)<f(3)

3、已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=x3+x2+1, 则 f(1)+g(1)=( A.-3 ) B.-1
2

C.1

D.3
3 2

4、 若函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 是偶函数,则 g ( x) ? ax ? bx ? cx 是( A.奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数



5、已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若 f (x-1)>0,则 x 的取值范围是________.

2


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