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2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)参考答案

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II) 参考答案
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分数,选择题不给中间分。 一、选择题 1—6 BBADCC 7—12 BAADDA 二、填空题 13.0 14. ?

4 3

15.6 16.

2 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.解:由 a ? c ? 2b 及正弦定理可得

s i n ? s iC? A n

2 sin B

.

…………3 分

又由于 A ? C ? 90?, B ? 180? ? ( A ? C ), 故

c o s ? s iC ? C n

2 sA n (C i?

)

? 2 sin(90 C 2 ) ??
? 2 c o sC . 2
2 2 cos C ? sin C ? cos 2C , 2 2
c o s ( 4? C ? ) ?5 cC s 2 . o
…………7 分

因为 0? ? C ? 90? , 所以 2C ? 45? ? C,

C ? 15?

18.解:记 A 表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险; B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险; C 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种; D 表示事件:该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买; (I) P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.3, C ? A ? B, …………3 分

P( C )? P( A B ? P A ? ) ( ) ?

P B ( ? )

0.8.

…………6 分

(II) D ? C, P(D) ? 1 ? P(C) ? 1 ? 0.8 ? 0.2,

? ?

X ~ B(100, 0.2) ,即 X 服从二项分布,

…………10 分

所以期望 EX ? 100 ? 0.2 ? 20. …………12 分 19.解法一: (I)取 AB 中点 E,连结 DE,则四边形 BCDE 为矩形,DE=CB=2, 连结 SE,则 SE ? AB, SE ? 3. 又 SD=1,故 ED ? SE ? SD ,
2 2 2

所以 ?DSE 为直角。 由 AB ? DE, AB ? SE, DE ? SE ? E , 得 AB ? 平面 SDE,所以 AB ? SD 。 SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直。 所以 SD ? 平面 SAB。 (II)由 AB ? 平面 SDE 知, 平面 ABCD ? 平面 SED。

…………3 分

…………6 分

作 SF ? DE , 垂足为 F,则 SF ? 平面 ABCD,

SF ?

S D? S E 3 ? . DE 2

作 FG ? BC ,垂足为 G,则 FG=DC=1。 连结 SG,则 SG ? BC , 又 BC ? FG, SG ? FG ? G , 故 BC ? 平面 SFG,平面 SBC ? 平面 SFG。 作 FH ? SG ,H 为垂足,则 FH ? 平面 SBC。 …………9 分

FH ?

21 S F? F G 3 . ,即 F 到平面 SBC 的距离为 ? 7 SG 7 21 . 7

由于 ED//BC,所以 ED//平面 SBC,E 到平面 SBC 的距离 d 也有

设 AB 与平面 SBC 所成的角为α , 则 sin ? ?

d 21 21 ? , ? ? arcsin . EB 7 7

…………12 分

解法二: 以 C 为坐标原点,射线 CD 为 x 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 C—xyz。 设 D(1,0,0) ,则 A(2,2,0) 、B(0,2,0) 。 又设 S ( x, y, z), 则x ? 0, y ? 0, z ? 0. (I) AS ? ( x ? 2, y ? 2, z), BS ? ( x, y ? 2, z) , DS ? ( x ?1, y, z) , 由 | AS |?| BS | 得

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? z 2 ? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? z 2 ,
故 x=1。 由 | DS |? 1得y 2 ? z 2 ? 1, 又由 | BS |? 2得x2 ? ( y ? 2)2 ? z 2 ? 4, 即 y ? z ? 4 y ? 1 ? 0, 故y ?
2 2

??? ?

??? ?

1 3 ,z ? . 2 2

…………3 分

于是 S (1, ,

? ? 1 3 ??? 3 3 ??? 3 3 ), AS ? (?1, ? , ), BS ? (1, ? , ) , 2 2 2 2 2 2

??? ? ? ? ??? ??? ? ? 1 3 ??? ??? DS ? (0, , ), DS ? AS ? 0, DS ? BS ? 0. 2 2
故 DS ? AD, DS ? BS , 又AS ? BS ? S , 所以 SD ? 平面 SAB。 (II)设平面 SBC 的法向量 a ? (m, n, p) , 则 a ? BS , a ? CB, a ? BS ? 0, a ? CB ? 0. 又 BS ? (1, ? , …………6 分

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? 3 3 ??? ), CB ? (0, 2, 0), 2 2

? 3 3 p ? 0, ?m ? n ? 故? 2 2 ?2n ? 0. ?
取 p=2 得 a ? (? 3,0, 2), 又AB ? (?2,0,0) 。

…………9 分

??? ?

??? ? ??? ? AB ? a 21 ? cos AB, a ? ??? ? . 7 | AB | ? | a |
故 AB 与平面 SBC 所成的角为 arcsin

21 . 7

20.解: (I)由题设

1 1 ? ? 1, 1 ? an ?1 1 ? an

即{

1 } 是公差为 1 的等差数列。 1 ? an



1 1 ? 1, 故 ? n. 1 ? a1 1 ? an
1 . n

所以 an ? 1 ?

(II)由(I)得

bn ? ?

1 ? an ?1 n

,
…………8 分

n ?1 ? n , n ?1 ? n 1 1 ? ? n n ?1

Sn ? ? bk ? ? (
k ?1 k ?1

n

n

1 1 1 ? ) ? 1? ? 1. k k ?1 n ?1

…………12 分

21.解: (I)F(0,1) l 的方程为 y ? ? 2x ? 1 , , 代入 x ?
2

y2 ? 1并化简得 2
…………2 分

4 x2 ? 2 2 x ?1 ? 0.
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x3 , y3 ), 则 x1 ?

2? 6 2? 6 , x2 ? , 4 4

x1 ? x2 ?

2 , y1 ? y2 ? ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? 1, 2 2 , y3 ? ?( y1 ? y2 ) ? ?1. 2

由题意得 x3 ? ?( x1 ? x2 ) ? ?

所以点 P 的坐标为 (?

2 , ?1). 2 2 , ?1) 满足方程 2
…………6 分

经验证,点 P 的坐标为 ( ?

x2 ?

y2 ? 1, 故点 P 在椭圆 C 上。 2

(II)由 P ( ?

2 2 ,1) , ?1) 和题设知, Q( 2 2

PQ 的垂直平分线 l1 的方程为

y??

2 x. 2



设 AB 的中点为 M,则 M (

2 1 , ) ,AB 的垂直平分线为 l2 的方程为 4 2


y?

2 1 x? . 2 4 2 1 , )。 8 8

由①、②得 l1 , l2 的交点为 N (?

…………9 分

| NP |? (?

2 2 2 1 3 11 ? ) ? (?1 ? ) 2 ? , 2 8 8 8 3 2 , 2

| AB |? 1 ? (? 2) 2 ? | x2 ? x1 |? | AM |? 3 2 , 4

| MN |? (

2 2 2 1 1 2 3 3 ? ) ?( ? ) ? , 4 8 2 8 8 3 11 , 8

| NA |? | AM |2 ? | MN |2 ?

故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|, 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|, 由此知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心,NA 为半径的圆上 22.解: (I) f '( x) ?

…………12 分

x2 , ( x ? 1)( x ? 2)2

…………2 分

当 x ? 0时, f '( x) ? 0 , 所以 f ( x ) 为增函数,又 f (0) ? 0 , 因此当 x ? 0时, f ( x) ? 0. (II) p ? …………5 分

100 ? 99 ? 98 ?? ? 81 . 10020

又 99 ? 81 ? 902 ,98 ? 82 ? 902 ,?,91? 89 ? 902 , 所以 p ? (

9 19 ) , 10 2x , x?2

…………9 分

由(I)知:当 x ? 0时, ln(1 ? x) ? 因此 (1 ? ) ln(1 ? x) ? 2.

2 x

1 10 10 19 , 则19ln >2,即( ) ? e 2 . 9 9 9 9 19 1 所以 p ? ( ) ? 2 . 10 e
在上式中,令 x ?


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