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数学思想方法


高中数学基本思想方法
一.高中数学七大基本思想
1.函数与方程思想
( 1) 函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、 概括与提炼, 在研究方程、不等式、数列、解析几何等其它内容时,起着重要 作用。 (2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想,是运算能力的 基础。 高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法来重点考查。 函数与方程思想:就是用函数的观点、方法研究问题,将非函 数问题转化为函数问题,通过对函数的研究,使问题得以解决。 中学数学中,方程、数列、不等式等问题都可利用函数思想得以 解决;几何量的变化问题也可以通过对函数值域的考察加以解 决。 链接:在孙膑增兵减灶的战例中,展示了孙膑高超的谋略艺术: 通过减少做饭锅灶(第一天 10 万、第二天 5 万、第三天 3 万) 使庞涓相信齐兵胆小怯弱,士兵不断逃亡,从而舍弃步兵追击齐 军。当第三天晚上追至马陵时,孙膑又利用马陵道路狭窄、多险 阻等有利地形埋伏弓箭手,布下天罗地网。其中减灶是现象,它 反映的是灶多说明吃饭的人也就多,灶少吃饭的人也就少的道

理,这就是函数与方程思想,从而使庞涓深信自己的判断,最终 自投罗网。

2.数形结合思想:
(1)数学研究的对象是数量关系和空间形式,即数与形两个方面。 (2)在一维空间,实数与数轴上的点建立一一对应关系; 在二维空间,实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。 数形结合中,选择、填空侧重突出考查数到形的转化,在解答题 中,考虑推理论证严密性,突出形到数的转化。 数形结合思想:数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因 而数学研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是方程、函数、不等 式及表达式,代数中的一切内容;“形”就是图形、图象、曲线等。 数形结合的本质是数量关系决定了几何图形的性质, 几何图形的性质 反映了数量关系。 数形结合就是抓住数与形之间的内在联系, 以 “形” 直观地表达数,以“数”精确地研究形。华罗庚曾说:“数缺形时少 直觉,形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想,由形思数,由数 想形,利用图形的直观诱发直觉。 链接:三国演义中,关羽曾对曹操说过张飞在万马军中取上将首级如 探囊取物。曹操便在战袍内侧绣上了一个“张”字,以提醒自己要小心 张飞这人。加上张飞让手下在森林中闹的尘土飞扬。曹操本来疑心就 重,所以当张飞在长板桥大喝一声,喝死夏侯杰时急忙退兵。尘土飞 扬是形,代表兵将众多。数形结合!

3.分类与整合思想

(1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。 (2)从具体出发,选取适当的分类标准。 (3)划分只是手段,分类研究才是目的。 (4) 有分有合,先分后合,是分类整合思想的本质属性。 (5) 含字母参数数学问题进行分类与整合的研究,重点考查学生 思维严谨性与周密性。 分类与整合思想:就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点,将 数学对象区分为不同种类的思想方法,分类是以比较为基础的,它能 揭示数学对象之间的内在规律,有助于学生总结归纳数学知识,使所 学知识条理化。数学中的分类有现象分类和本质分类两种,前一种分 类是以分类对象的外部特征、外部关系为根据的,如复数分为实数与 虚数等,这种分法看上去一目了然,但不能揭示所分对象之间的本质 联系;后一种分类是按对象的本质特征、内部联系进行分类的,如函 数按单调性或有界性分类,多面体按柱、锥、台分类等。 引起分类整合的主要原因有: ① 由数学概念引起的分类讨论; ② 由数学定理、性质、公式的限制条件引起的分类讨论; ③ 由数学式子的变形所需要的限制条件引起的分类讨论; ④ 由图形的位置和大小的不确定性而引起的分类讨论; ⑤ 对于含有参数的问题要对参数的允许值进行全面的分类讨论。

链接::为解决钓鱼岛问题,罗援少将支六招:一是行政存在, 二 是法律存在,三是军事存在,四是执法存在 ,五是经济存在,六是 舆论存在。打一套组合拳,多下“先手棋” ,为最终解决钓鱼岛问题 积累战略资本。分类与整合嘛!(生活中的实例例如餐桌晃动问题)

4.化归与转化思想
(1)将复杂问题化为简单问题,将较难问题化为较易问题,将未解 决问题化为已解决问题。 (2)灵活性、多样性,无统一模式,利用动态思维,去寻找有利于 问题解决的变换途径与方法。 (3)高考重视常用变换方法:一般与特殊的转化、繁与简的转化、 构造转化、命题的等价转化。 化归与转化思想:在教学研究中,使一种对象在一定条件下转化为另 一种研究对象的数学思想称为转化思想。体现在数学解题中,就是将 原问题进行变形, 使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的 问题,就这一点来说,解题过程就是不断转化的过程。高中数学涉及 最多的是转化思想,如超越方程代数化、三维空间平面化、复数问题 实数化等, 为了实现转化, 相应地产生了许多的数学方法, 如消元法、 换元法、 图象法、 待定系数法、 配方法等。 通过这些数学方法的使用, 使学生充分领略数学思想在数学领域里的地位与作用。 链接:日本动画片《聪明的一休》第六集《一休数树》 :桔梗店的老 板总想在一休身上打坏注意,可是每次都失败了。一天,桔梗

店老板去找一休到树林里去数树,一休正好不在,便派别人去 数树,别人一看那么多树,怎么都数不过来。正在别人不知怎 么数时,一休回来了,只见一休后面有一车草绳, “绑” !别人 便绑了起来,一会儿树林每棵树都绑上了草绳。这时一休细心 的算起来,一捆草绳绑一百棵树,98 捆草绳就是 100×98=98 00 棵。一休对老板说: “一共有 9800 棵。 ”老板被这正确无误 的答案给吓坏了。一时竟无言以对。这就是转化思想的奥妙! (孙悟空的七十二变;农村妇女喊老公吃饭的方法也体现转化 思想)

5. 特殊与一般思想
(1)通过对个例认知与研究,形成对事物的认识。 (2)由浅入深,由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。 (3)由特殊到一般,再由一般到特殊的反复认知过程。 (4) 构造特殊函数、特殊数列,寻找特殊点、确立特殊位置,利 用特殊值、特殊方程。 (5) 高考以新增内容为素材,突出考查特殊与一般思想必成为命 题改革方向。 链接:选择题中特例法,排除法等。

6.有限与无限思想:
(1)把对无限的研究转化为对有限的研究,是解决无限问题的必经 之路。

(2)积累解决无限问题的经验,将有限问题转化为无限问题来解决 是解决的方向。 (3)立体几何中求球的表面积与体积,采用分割的方法来解决,实 际上是先进行有限次分割, 再求和求极限, 是典型的有限与无限数学 思想的应用。 (4)随着高中课程改革,对新增内容考查深入,必将加强对有限与 无限的考查。 链接:一个馒头一口吃下一半,第二口再吃掉剩下的一半,如此继 续下去,会有什么结果?

7.或然与必然思想:
(1)随机现象两个最基本的特征,一是结果的随机性,二是频率的 稳定性。 (2)偶然中找必然,再用必然规律解决偶然。 (3)等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立 事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望 是考查的重点 。

链接:中学生吸烟、喝酒、谈恋爱与成绩下滑的关系。

二.高中数学中的基本数学方法
1.数学中的几种常用求解方法:
配方法、消元法、换元法、待定系数法、数学归纳法、坐标法、 参数法、构造法、数学模型法等。

2.数学中的几种重要推理方法:
综合法与分析法、完全归纳法与数学归纳法、演绎法、反证法 与同一法。

3.数学中的几种重要科学思维方法:
观察与试尝、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、比较与分 类、归纳与类比、直觉与顿悟等。

三.数学思想方法的教学原理

1.渗透性原则:数学思想方法的渗透主要是在具体知识的教学 过程中实现的。 因此, 要贯彻好渗透性原则, 就要不断优化教学过程。 比如,概念的形成过程;公式、法则、性质、定理等结论的推导过程; 解题方法的思考过程; 知识的小结过程等。 只有在这些过程的教学中, 数学思想方法才能充分展现它们的活力,取消或压缩教学的思维过 程,把数学教学看为知识结论的教学,就失去了渗透数学思想方法的 机会,使数学思想方法无用武之地。 链接:润物细无声。 2.反复性原则:学生对数学思想方法的领会和掌握只能遵循从 个别到一般,从具体到抽象,从感性到理性,从低级到高级的认知规 律。因此,这个认知过程具有长期性和反复性的特征.从一个较长的

学习过程看, 学生对每种数学方法的认识都是在反复理解和运用中形 成的,其间有一个由低级到高级的螺旋式上升过程.如对同一数学思 想方法,应该注意其在不同知识阶段的再现,以加强学生对数学思想 方法的认识. 另外,由于个体差异的存在,与具体的数学知识相比,学生对数 学思想方法的掌握往往表现出更大的不同步性。在教学中,应注意给 后进生更多的思考,接受理解的时间,逾越了这个过程,或人为地缩 短,会导致学生囫囵吞枣,长此以往,会形成好的更好,差的更差的 两极分化局面。 链接:10 月 2 日央视财经频道,小龙女组合(全是聋哑人)表演 的舞蹈震撼人心。试想,她们的老师该有多大的耐心和毅力!

3.系统性原则:对于数学思想方法的系统性的研究,一般需要 从两个方面进行: 一方面要研究在每一种具体数学知识的教学中可以 进行哪些数学思想方法的教学;另一方面,又要研究一些重要的数学 思想方法可以在那些知识点的教学中进行渗透。 4.明确性原则:在教学过程中,利用适当时机,对某些数学思 想方法进行概括、强化和提高,对它的内容、名称、规律、使用方法 适度明确化,是掌握、运用数学思想方法并转化为能力的前提,所以 数学思想方法的教学应贯彻明确性原则。贯彻数学思想明确性原则,

是让学生理解数学思想的关键,是熟练掌握、灵活运用、转化为能力 的前提。 例如在解题教学中,可经常采用一题多解,多题一解的教学方法 明确数学思想方法。一题多解是运用不同的数学思想方法,寻求多种 解法;多题一解又是运用同一种数学思想方法于多种题目之中。我们 在解题教学中,将蕴含其中的数学思想方法明确化,有利于学生掌握 其中规律,使学生的认识能力产生飞跃。

四.数学思想方法的教学途径
1.在基础知识的教学过程中,适时渗透数学思想方法
在教学过程中,要注意知识的形成过程,特别是定理、性质、公 式的推导过程和例题的求解过程, 基本数学思想和数学方法都是在这 个过程中形成和发展的,数学基本技能也是在这个过程学习和发展 的,数学的各种能力也是在这个过程中得到培养和锻炼的,数学思想 和数学观念也是在这个过程中形成的。 (1)重视概念的形成过程。 (2)引导学生对定理、公式的探索、发现、推导的过程。 链接:(1)马云说:别人可以拷贝我的模式,不能拷贝我的苦 难,不能拷贝我不断往前的激情。

(2)第十七届亚运会在韩国仁川举办。9 月 30 日 15 点 30 分男团决赛中,马龙 vs 朱世赫的精彩在于过程。

2.在小结复习的教学过程中,揭示、提炼、概括数学思 想方法
及时小结、复习,以进行强化刺激,让学生在脑海中留下深刻的 印象。这样有意识、有目的地结合数学基础知识,揭示、提炼、概括 数学思想方法, 既可避免单纯追求数学思想方法教学欲速则不达的问 题,又明快地促使学生认识从感性到理性的飞跃。例如,《数列》这 一章,体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想以 及待定系数法、配方法、换元法、消元法、“归纳一猜想一证明”等 基本的数学方法。复习小结时可配合知识点和典型例题强化训练。

3.抓好运用,不断巩固和深化数学思想方法
在抓住学习重点、突破学习难点,及解决具体数学问题中,数学 思想方法是处理这些问题的精灵,这些问题的解决过程,无一不是数 学思想方法反复运用的过程。因此,时时注意数学思想方法的运用既 有条件又有可能,这是进行数学思想方法教学行之有效的普遍途 径.数学思想方法也只有在反复运用中,才能得到巩固与深化. 若干年后,学生也许会忘掉自己所学的具体知识,然而数学素养 和思维品质却能够在头脑中生根、发芽,让学生受益终生。


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