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高考数学之函数知识点总结


函数概念
(一)知识梳理
1.映射的概念 设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的任意元素,在集合 B 中都有唯一确定的 元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从 A 到 B 的映射,通常记为 f : A ? B ,f 表示对应法则 注意:⑴A 中元素必须都有象且唯一; ⑵B 中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。 2.函数的概念 (1)函数的定义: 设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的每一个数 x ,在集合 B 中都有唯一 确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数,通常记为 y ? f ( x), x ? A (2)函数的定义域、值域 在函数 y ? f ( x), x ? A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做 y ? f ( x) 的定义域; 与 x 的值相对应的 y 值 叫做函数值,函数值的集合 f ( x) x ? A 称为函数 y ? f ( x) 的值域。 (3)函数的三要素:定义域、值域和对应法则 3.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法 (1) .图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系; (2) .列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。 4.分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

?

?

(二)考点分析
考点 1:映射的概念 例 1. (1) A ? R , B ? { y | y ? 0} , f : x ? y ?| x | ; (2) A ? {x | x ? 2, x ? N }, B ? ? y | y ? 0, y ? N? , f : x ? y ? x ? 2x ? 2 ;
* 2

(3) A ? {x | x ? 0} , B ? { y | y ? R}, f : x ? y ? ? x . 上述三个对应 (2) 是 A 到 B 的映射. 个, A

例 2.若 A ? {1,2,3,4} , B ? {a, b, c} , a, b, c ? R ,则 A 到 B 的映射有 81 个, B 到 A 的映射有 64 到 B 的函数有 81 个

例 3.设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {?2, ?1,0,1, 2} ,如果从 M 到 N 的映射 f 满足条件:对 M 中的每个元素 x 与

它在 N 中的象 f ( x ) 的和都为奇数,则映射 f 的个数是( )

( A) 8 个

( B ) 12 个

(C ) 16 个

( D ) 18 个

考点 2:判断两函数是否为同一个函数 例 1. 试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1) f ( x) ? (2) f ( x) ? x 2 , g ( x) ? 3 x 3 ;

x x
*

, g ( x) ? ?

x ? 0, ?1 ?? 1 x ? 0;
x
x ? 1 , g ( x) ?

(3) f ( x) ? 2n?1 x 2n?1 , g ( x) ? (2n?1 x ) 2n?1 (n∈N ) ; (4) f ( x) ? (5) f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 , g (t ) ? t 2 ? 2t ? 1

x2 ? x ;

考点 3:求函数解析式 方法总结: (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) ,则用待定系数法; (2)若已知复合函数 f [ g ( x)] 的解析式,则可用换元法或配凑法; (3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f ( x) 题型 1:由复合函数的解析式求原来函数的解析式 例 1.已知二次函数 f ( x) 满足 f (2 x ? 1) ? 4 x 2 ? 6 x ? 5 ,求 f ( x) . 例 2. (09 湖北改编)已知 f ( 题型 2:求抽象函数解析式 例 1.已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ,求 f ( x) 考点 4:求函数的定义域 题型 1:求有解析式的函数的定义域 (1)方法总结:如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x 的取值范围,实际操作时要注 意:① 分母不能为 0;② 对数的真数必须为正;③ 偶次根式中被开方数应为非负数;④ 零指数幂中,底数不等于 0;⑤ 负分数指数幂中,底数应大于 0;⑥ 若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集;⑦ 如 果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义,而且注意:研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际 问题的定义域不要漏写。 例 1.(08 年湖北)函数 f ( x) ?

1? x 1? x2 )= ,则 f ( x) 的解析式可取为 1? x 1? x2
1 x

1 ln( x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4 ) 的定义域为( ) x

A. (??,?4) ? [2,??) ;B. (?4,0) ? (0,1) ;C. [,?4,0) ? (0,1] ;D. [,?4,0) ? (0,1) 题型 2:求复合函数和抽象函数的定义域 例 1. (2007·湖北)设 f ? x ? ? lg

2? x x? ?2? ,则 f ? ? ? ? f ? ? 的定义域为( 2? x ?2? ? x?



A. ?? 4,0? ? ?0,4? ;B. ?? 4,?1? ? ?1,4? ;C. ?? 2,?1? ? ?1,2?;D. ?? 4,?2? ? ?2,4?
2

例 2.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 [a,b] ,求 y ? f ( x ? 2) 的定义域 例 3.已知 y ? f ( x ? 2) 的定义域是 [a,b] ,求函数 y ? f ( x) 的定义域 例 4.已知 y ? f (2 x ? 1) 的定义域是(-2,0) ,求 y ? f (2 x ? 1) 的定义域(-3<x<-1) 考点 5:求函数的值域 1. 求值域的几种常用方法 (1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法, 如求函数 y ? ? sin 2 x ? 2 cos x ? 4 ,可变为 y ? ? sin 2 x ? 2 cos x ? 4 ? (cosx ? 1) 2 ? 2 解决 (2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求, 如函数 y ? log 1 (? x ? 2 x ? 3) 就是利用函数 y ? log 1 u 和 u ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的值域来求。
2 2
2

(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。 (4)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数 y ? (5)利用基本不等式求值域: (6)利用函数的单调性求求值域: 如求函数 y ?

2 cos x ? 3 的值域,因为 cos x ? 1

3x 的值域 x ?4
2

如求函数 y ? 2 x 4 ? x 2 ? 2( x ? [?1,2]) 的值域
3 2

(7)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域 (8)导数法――一般适用于高次多项式函数,如求函数 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 40 x , x ? [?3,3] 的最小值。 (-48)

m , (m>0)的函数,m<0 就是单调函数了 x 4 三种模型: (1)如 y ? x ? ,求(1)单调区间(2)x 的范围[3,5],求值域(3)x ? [-1,0 ) ? (0,4],求值域 x
(9)对勾函数法 像 y=x+ (2)如 y ? x ?

4 求(1)[3,7]上的值域 (2)单调递增区间(x ? 0 或 x ? 4) x?4 , 1 x?3
, (1)求[-1,1]上的值域 (2)求单调递增区间

(3)如

y ? 2x ?

函数的单调性
(一)知识梳理
1、函数的单调性定义: 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,区间 I ? A ,如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 , x2 ,当 x1 ? x 2 时,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 y ? f ( x) 在区间 I 上是单调增函数, I 称为 y ? f ( x) 的单调增区间;如果对于区间 I
内的任意两个值 x1 , x2 ,当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 y ? f ( x) 在区间 I 上是单调减函数, I

3

称为 y ? f ( x) 的单调减区间。 如果用导数的语言来, 那就是: 设函数 y ? f ( x) , 如果在某区间 I 上 f ?( x) ? 0 , 那么 f ( x) 为区间 I 上的增函数; 如果在某区间 I 上 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x) 为区间 I 上的减函数; 2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法: (1)①定义法(取值――作差――变形――定号) ;②导数法(在区间 ( a, b) 内,若总有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为增函数;反之,若 f ( x ) 在区间 ( a, b) 内为增函数,则 f ?( x) ? 0 ,

b (a ? 0 , b ? 0) 型函数的图 x b b b b 象和单调性在解题中的运用:增区间为 (??, ? ],[ , ??) ,减区间为 [? , 0), (0, ]. a a a a
(2)在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意 y ? ax ? (3)复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减 (4)若 f ( x) 与 g ( x) 在定义域内都是增函数(减函数) ,那么 f ( x) ? g ( x) 在其公共定义域内是增函数(减 函数) 。 3、单调性的说明: (1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域; (2)函数单调性定义中的 x1 , x2 有三个特征:一是任意性;二是大小,即 x1 ? x2 ( x1 ? x2 ) ;三是同属于 一个单调区间,三者缺一不可;

1 分别在 (??,0) 和 (0,??) 内 x 1 都是单调递减的,但是不能说它在整个定义域即 (??,0) ? (0,??) 内是单调递减的,只能说函数 y ? 的单调递 x
(3)函数的单调性是对某个区间而言的,所以受到区间的限制,如函数 y ? 减区间为 (??,0) 和 (0,??) 。 4、函数的最大(小)值 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,如果存在定值 x0 ? A ,使得对于任意 x ? A ,有 f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立,那么称

f ( x0 ) 为 y ? f ( x) 的最大值;如果存在定值 x0 ? A ,使得对于任意 x ? A ,有 f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立,那么称 f ( x0 ) 为 y ? f ( x) 的最小值。
(二)考点分析
考点 1 函数的单调性 题型 1:讨论函数的单调性 例 1. (1)求函数 y ? log0.7 ( x ? 3x ? 2) 的单调区间;
2

(2)已知 f ( x) ? 8 ? 2 x ? x , 若 g ( x) ? f (2 ? x ) 试确定 g ( x) 的单调区间和单调性.
2 2

解: (1)单调增区间为: (2, ??), 单调减区间为 (??,1) ,

4

(2) g ( x) ? 8 ? 2(2 ? x2 ) ? (2 ? x2 )2 ? ? x ? 2 x ? 8 , g ?( x) ? ?4 x3 ? 4 x ,
4 2

令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 0 ? x ? 1 ,令 g ?( x) ? 0 , x ? 1 或 ?1 ? x ? 0 ∴单调增区间为 (??, ?1), (0,1) ;单调减区间为 (1, ??), (?1, 0) . 例 2. 判断函数 f(x)= x ? 1 在定义域上的单调性.?
2

解: 函数的定义域为{x|x≤-1 或 x≥1},?则 f(x)=
2

x 2 ? 1 ,?

?可分解成两个简单函数. f(x)= u( x) , u( x) =x -1 的形式.当 x≥1 时,u(x)为增函数, u ( x) 为增函数.? ∴f(x)= x ? 1 在[1,+∞)上为增函数.当 x≤-1 时,u(x)为减函数, u ( x) 为减函数,?
2

∴f(x)= x ? 1 在(-∞,-1]上为减函数.?
2

题型 2:研究抽象函数的单调性 例 1.已知函数 f ( x ) 的定义域是 x ? 0 的一切实数,对定义域内的任意 x1 , x2 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且 当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 , (1)求证: f ( x ) 是偶函数; (2) f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数; (3)解不等式 f (2 x2 ? 1) ? 2 . 解: (1)令 x1 ? x2 ? 1,得 f (1) ? 2 f (1) ,∴ f (1) ? 0 ,令 x1 ? x2 ? ?1 ,得∴ f (?1) ? 0 , ∴ f (? x) ? f (?1? x) ? f (?1) ? f ( x) ? f ( x) ,∴ f ( x ) 是偶函数. (2)设 x2 ? x1 ? 0 ,则

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ?

x2 x x ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) x1 x1 x1

∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴

x2 x ? 1 ,∴ f ( 2 ) ? 0 ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) x1 x1

∴ f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数. (3)? f (2) ? 1 ,∴ f (4) ? f (2) ? f (2) ? 2 ,
2 2 ∵ f ( x ) 是偶函数∴不等式 f (2 x ? 1) ? 2 可化为 f (| 2 x ? 1|) ? f (4) ,

又∵函数在 (0, ??) 上是增函数,∴ | 2 x ?1|? 4 ,解得: ?
2

10 10 ?x? , 2 2

5

即不等式的解集为 (?

10 10 , ). 2 2

题型 3:函数的单调性的应用 例 1.若函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是______(答:

a ? ?3 ));
例 2.已知函数 f ( x) ?

ax ? 1 1 在区间 ? ?2, ?? ? 上为增函数,则实数 a 的取值范围_____(答: ( , ??) ) ; 2 x?2

考点 2 函数的值域(最值)的求法 求最值的方法: (1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法。 (2)利用函数的单调性求最值: 先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用函数的单调性求最值。 (3)基本不等式法:当函数是分式形式且分 子分母不同次时常用此法(但有注意等号是否取得) 。 (4)导数法:当函数比较复杂时,一般采用此法(5)数形 结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围。 题型 1:求分式函数的最值 例 1. (2007 上海)已知函数 f ( x) ? [解析]当 a ?

x 2 ? 2x ? a 1 , x ? [1,??). 当 a ? 时,求函数 f ( x) 的最小值。 2 x

1 1 1 ? 2, f ' ( x) ? 1 ? 2 时, f ( x) ? x ? 2 2x 2x

? x ? 1 ,? f ?( x) ? 0 。? f ( x) 在区间 [1,??) 上为增函数。 ? f ( x) 在区间 [1,??) 上的最小值为 f (1) ?
题型 2:利用函数的最值求参数的取值范围 例 2. (2008 广东) 已知函数 f ( x) ? 取值范围。

7 。 2

x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??). 若对任意 x ? [1, ??), f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的 x

x 2 ? 2x ? a ? 0 在 区 间 [1,??) 上 恒 成 立 ; ? x 2 ? 2 x ? a ? 0 在 区 间 [1,??) 上 恒 成 立 ; [ 解 析 ] ? f ( x) ? x
? x 2 ? 2 x ? ?a 在区间 [1,??) 上恒成立;? 函数 y ? x 2 ? 2 x 在区间 [1,??) 上的最小值为 3,? ? a ? 3


a ? ?3

函数的奇偶性
(一)知识梳理
1 、 函 数 的 奇 偶 性 的 定 义 : ① 对 于 函 数 f ( x) 的 定 义 域 内 任 意 一 个

x , 都 有 f ( ? x) ? ? f ( x) 〔 或

,则称 f ( x) 为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。②对于函数 f ( x) 的定义域内任意一 f ( ? x) ? f ( x) ? 0 〕

6

个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) 〔或 f (? x) ? f ( x) ? 0 〕 ,则称 f ( x) 为偶函数. 偶函数的图象关于 y 轴对称。 ③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函 数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称) 2.函数的奇偶性的判断: (1)可以利用奇偶函数的定义判断 f ( x) ? ? f (? x) (2)利用定义的等价形式, f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

f (? x) ? ?1 ( f ( x) ? 0 ) f ( x)

(3)图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称 3.函数奇偶性的性质: (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上 若有单调性,则其单调性恰恰相反. (2)若奇函数 f ( x ) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 .故 f (0) ? 0 是 f ( x) 为奇函数的既不充分也不必要条 件。 (3)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差) ” 。 如设 f ( x) 是定义域为 R 的任一函数, F ( x ) ?

f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) , G ( x) ? 。 2 2 (4)复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”.
(5)设 f ( x ) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=

偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇.

(二)考点分析
考点 1 判断函数的奇偶性及其应用 题型 1:判断有解析式的函数的奇偶性 例 1. 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|-|x-1|; (2)f(x)=(x-1)·

1? x ; 1? x

(3) f ( x) ?

? x(1 ? x) 1? x2 ; (4) f ( x) ? ? | x ? 2 | ?2 ? x(1 ? x)

( x ? 0), ( x ? 0).

题型 2:证明抽象函数的奇偶性 例 1 .(09 年山东)定义在区间 (?1,1) 上的函数 f (x)满足: 对任意的 x, y ? (?1,1) , 都有 f ( x) ? f ( y ) ? f ( 求证 f (x)为奇函数;

x? y ). 1 ? xy

0?0 ) ? f (0) ∴ f (0) = 0 1? 0 x?x 令 x∈(-1, 1) ∴-x∈(-1, 1)∴ f (x) + f (-x) = f ( ) = f (0) = 0 1 ? x2
[解析]令 x = y = 0,则 f (0) + f (0) = f ( ∴ f (-x) =-f (x)∴ f (x) 在(-1,1)上为奇函数 例 2. (1)函数 f ( x) , x ? R ,若对于任意实数 a , b ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,求证: f ( x) 为奇函数。

7

(2)设函数 f ( x) 定义在 (?l , l ) 上,证明 f ( x) ? f (? x) 是偶函数, f ( x) ? f (? x) 是奇函数。 考点 2 函数奇偶性、单调性的综合应用 例 1.已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的取值范围。 [解析] ? f ( x) 是定义在 (?2,2) 上奇函数? 对任意 x ? (?2,2) 有 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 由条件 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 得 f (m ? 1) ? ? f (2m ? 1) = f (1 ? 2m)

? f ( x) 是定义在 (?2,2) 上减函数? ?2 ? 1 ? 2m ? m ? 1 ? 2 ,解得 ? ? 实数 m 的取值范围是 ?
1 2 ?m? 2 3

1 2 ?m? 2 3

例 2.设函数 f ( x) 对于任意的 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 x ? 0 时 f ( x) ? 0 , f (1) ? ?2 (1)求证 f ( x) 是奇函数; (2)试问当 ? 3 ? x ? 3 时, f ( x) 是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说出理由。 例 3.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,f(2a +a+1)<f(3a -2a+1).求 a 的取 值范围,并在该范围内求函数 y=(
2 2

1 a2 ?3a ?1 ) 的单调递减区间. 2 [解析]设 0<x1<x2,则-x2<-x1<0,∵f(x)在区间(-∞,0)内单调递增, ∴f(-x2)<f(-x1),∵f(x)为偶函数,∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1), ∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0,+∞)内单调递减. 1 7 1 2 又2a 2 ? a ? 1 ? 2(a ? ) 2 ? ? 0,3a 2 ? 2a ? 1 ? 3(a ? ) 2 ? ? 0. 4 8 3 3 2 2 2 2 由 f(2a +a+1)<f(3a -2a+1)得:2a +a+1>3a -2a+1.解之,得 0<a<3. 3 2 5 2 又 a -3a+1=(a- ) - . 2 4 2 3 1 ∴函数 y=( ) a ?3a ?1 的单调减区间是 [ , ??) 2 2 3 a2 ?3a ?1 3 结合 0<a<3,得函数 y=( ) 的单调递减区间为[ ,3). 2 2

函数的周期性
(一)知识梳理
1.函数的周期性的定义:对于函数 f ( x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得定义域内的每一个 x 值,都满足

f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。
2.周期性的性质 ( a? b ) , 则 y ? f ( x) 必 是 周 期 函 数 , 且 一 周 期 为 ( 1 ) 若 y ? f ( x) 图 像 有 两 条 对 称 轴 x ? a, x ? b
8

T ? 2| a ?b| ; ( 2 )若 y ? f ( x) 图像有两个对称中心 A(a,0), B(b,0)(a ? b) ,则 y ? f ( x) 是周期函数,且一周期为 T ? 2| a ?b| ;
(3)如果函数 y ? f ( x) 的图像有一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) ,则函数 y ? f ( x) 必是周期 函数,且一周期为 T ? 4 | a ? b | ; (4)①若 f(x+a)=f(x+b) ③若 f ( x ? a) ? 则 T=|b-a|;②函数 f ( x ) 满足 ? f ?x ? ? f ?a ? x ? ,则 f ( x ) 是周期为 2 a 的周期函数;

1 1 (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a ;④若 f ( x ? a) ? ? (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a . f ( x) f ( x)

(二)考点分析
考点 2 函数的周期性 例 1.设函数 f ( x) 是定义域 R 上的奇函数,对任意实数 x 有 f ( ? x) ? ? f ( ? x) 成立 (1)证明: y ? f ( x) 是周期函数,并指出周期; (2)若 f (1) ? 2 ,求 f (2) ? f (3) 的值 考点 2 函数奇偶性、周期性的综合应用 例 1 .(09 年江苏题改编)定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 1 对于 x ? R 恒成立,且 f ( x) ? 0 , 则 f (119) ? 1________ 。

3 2

3 2

[解析]由 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 1得到 f ( x ? 2) ?

1 , 从而得 f ( x ? 4) ? f ( x) , 可见 f ( x) 是以 4 为周期的函数, f ( x) 1 f (1)

从而 f (119) ? f (4 ? 29 ? 3) ? f (3) ,又由已知等式得 f (3) ?

又由 f ( x) 是 R 上的偶函数得 f (1) ? f (?1) 又在已知等式中令 x ? ?1 得 f (1) ? f (?1) ? 1 , 即 f (1) ? 1 所以 f (119) ? 1 例 2.已知函数 f ( x) 的定义域为 R ,且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) (1)求证: f ( x) 是周期函数; (2)若 f ( x) 为奇函数,且当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ?

1 1 x ,求使 f ( x ) ? ? x 在 ?0,2009 ?上的所有 x 的个数。 2 2

2.5 二次函数
(一)知识梳理
1.二次函数的解析式的三种形式:
9

(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。 (2)顶点式(配方式) :f(x)=a(x-h)2+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。 (3)两点式(因式分解) :f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中 x1,x2 是抛物线与 x 轴两交点的坐标。 2.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴 x ? ( 1 ) a>0 时,抛物线开口向上,函数在 ( ?? ,?

?b b 4ac ? b 2 , ) ,顶点坐标 (? 2a 2a 4a

b b ?b ] 上单调递减,在 [ ? ,?? ) 上单调递增, x ? 时, 2a 2a 2a

f ( x) min

4ac ? b 2 ? ; 4a
b b ?b ] 上单调递增,在 [ ? ,?? ) 上单调递减, x ? 时, 2a 2a 2a

( 2 ) a<0 时,抛物线开口向下,函数在 ( ?? ,?

f ( x) max ?

4ac ? b 2 。 4a
2

3.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当 ? ? b ? 4ac ? 0 时图象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0),M2(x2,0)

M 1 M 2 ? x1 ? x 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

? 。 a

4. 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根分布问题,用图象求解,有如下结论: 令 f(x)=ax2+bx+c (a>0) ,

?? ? 0 ? (1)x1<α,x2<α ,则 ?? b /( 2 a ) ? ? ; ?af (? ) ? 0 ?

?? ? 0 ? (2)x1>α,x2>α,则 ?? b /( 2 a ) ? ? ?af (? ) ? 0 ?

?? ? 0 ?? ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ? (3)α<x1<?,α<x2<?,则 ? (4)x1<α,x2>? (α<?),则 ? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ? ? ? ? b /( 2 a ) ? ? ?
(5)若 f(x)=0 在区间(α,?)内只有一个实根,则有 f (? ) f ? ? ) ? 0 5 最值问题:二次函数 f(x)=ax +bx+c 在区间[α ,?]上的最值一般分为三种情况讨论,即:(1)对称轴?b/(2a)在 区间左边,函数在此区间上具有单调性;;(2)对称轴?b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边 要注意系数 a 的 符号对抛物线开口的影响 6 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系: 2 2 2 ① ? ? 0 ? f(x)=ax +bx+c 的图像与 x 轴无交点 ? ax +bx+c=0 无实根 ? ax +bx+c>0(<0)的解集为 ? 或者是 R; 2 2 2 ② ? ? 0 ? f(x)=ax +bx+c 的图像与 x 轴相切 ? ax +bx+c=0 有两个相等的实根 ? ax +bx+c>0(<0)的解集为 ? 或 者是 R; 2 2 2 ③ ? ? 0 ? f(x)=ax +bx+c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 ? ax +bx+c=0 有两个不等的实根 ? ax +bx+c>0(<0)
2
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的解集为 (? , ? ) (? ? ? ) 或者是 (??, ? ) ? ( ? , ??)

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10

(二)考点分析
考点 1.求二次函数的解析式 例 1.已知二次函数 f(x)满足 f(2)= -1,f(-1)= -1 且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函数。 法一:利用一般式

? ? a ? ?4 ?4a ? 2b ? c ? ?1 ? ? 2 2 设 f(x)=ax +bx+c(a≠0),由题意得: ? a ? b ? c ? ?1 解得: ? b ? 4 ∴f(x)= - 4x +4x+7 2 ?c?7 ? 4ac ? b ?8 ? ? 4a ?
法二:利用顶点式 ∵f(2)= f(-1) ∴对称轴 x ?

2 ? (?1) 1 ? 2 2

又最大值是 8

∴可设 f ( x) ? a ( x ? ) ? 8 (a ? 0) ,由 f(2)= -1 可得 a= - 4 ? f ( x) ? ?4( x ? ) ? 8 ? ?4 x ? 4 x ? 7
2 2 2

1 2

1 2

法 三 : 由 已 知 f(x)+1=0 的 两 根 为 x1=2,x2=-1 , 故 可 设 f(x)+1=a(x-2)(x+1) 即 f(x)=ax -ax-2a-1, 又

2

y max ? 8即

4a(?2a ? 1) ? a 2 ? 8 得 a= - 4 或 a=0(舍) ∴f(x)= - 4x2+4x+7 4a

例 2.已知二次函数的对称轴为 x ? ? 2 ,截 x 轴上的弦长为 4 ,且过点 (0, ?1) ,求函数的解析式. 解:∵二次函数的对称轴为 x ? ? 2 ,设所求函数为 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? b ,又∵ f ( x ) 截 x 轴上的弦长为 4 , ∴ f ( x ) 过点 (? 2 ? 2,0) , f ( x ) 又过点 (0, ?1) ,

1 ? ? 4a ? b ? 0 ?a ? ∴? , ? 2 , ?2a ? b ? ?1 ? ?b ? ?2
∴ f ( x) ?

1 ( x ? 2) 2 ? 2 2

考点 2.二次函数在区间上的最值问题 2 例 1.已知函数 f(x)= - x +2ax+1-a 在 x 属于[0,1]时有最大值 2,求 a 的值。 思维分析:一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论 2 2 解:f(x)= -(x-a) +a -a+1(0≤x≤1),对称轴 x=a 1 a<0 时, f ( x)max ? f (0) ? 1 ? a ? 2? a ? ?1
0

y

y
1

y

a 0

x

0 a1

x

0

1a

x

11

2 0≤a≤1 时 f ( x) max ? f (a) ? a ? a ? 1 ? 2得a ?
0

2

1? 5 (舍) 2

3 a>1 时, f ( x) max ? f (1) ? a ? 2 ? a ? 2
0

综上所述:a= - 1 或 a=2 2 例 2.已知 y=f(x)=x -2x+3,当 x∈[t,t+1]时,求函数的最大值和最小值。 答案: t ? 1 时, ymax ? t 2 ? 2, ymin ? t 2 ? 2t ? 3

1 ? t ? 1时, y max ? t 2 ? 2, y min ? 2 2 1 0 ? t ? 时, y max ? t 2 ? 2t ? 3, y min ? 2 2

t ? 0时, ymax ? t 2 ? 2t ? 3, ymin ? t 2 ? 2
例 3.已知函数 y ? ? sin x ? a sin x ?
2

a 1 ? 的最大值为 2 ,求 a 的值 . 4 2

分析:令 t ? sin x ,问题就转二次函数的区间最值问题. 解:令 t ? sin x , t ? [?1,1] ,

a a 2 1 2 ( a ? a ? 2) ,对称轴为 t ? , 2 2 4 a 1 2 (1)当 ?1 ? ? 1 ,即 ?2 ? a ? 2 时, ymax ? (a ? a ? 2) ? 2 ,得 a ? ?2 或 a ? 3 (舍去) . 2 4 a a 2 1 2 (2)当 ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 y ? ?(t ? ) ? ( a ? a ? 2) 在 [?1,1] 单调递增, 2 2 4 10 1 1 由 ymax ? ?1 ? a ? a ? ? 2 ,得 a ? . 3 4 2 a a 2 1 2 (3)当 ? ?1 ,即 a ? ?2 时,函数 y ? ?(t ? ) ? ( a ? a ? 2) 在 [?1,1] 单调递减, 2 2 4 1 1 由 ymax ? ?1 ? a ? a ? ? 2 ,得 a ? ?2 (舍去) . 4 2 10 综上可得: a 的值为 a ? ?2 或 a ? . 3
∴ y ? ?(t ? ) ? 考点 3.一元二次方程根的分布及取值范围 2 例 1.已知关于 x 的二次方程 x +2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的取值范围。 (2)若方程两根在区间(0,1)内,求 m 的范围。 思维分析:一般需从三个方面考虑①判别式Δ ②区间端点函数值的正负③对称轴 x ? ? 解:设 f(x)=x +2mx+2m+1
2

b 与区间相对位置。 2a

y

-1

0

1

2

x

12

(1) 由
y

题意画出示意图

? f ( 0) ? 2 m ? 1 ? 0 5 1 ? ? ? f (?1) ? 2 ? 0 ? ? ? m ? ? 6 2 ? f (1)6m ? 5 ? 0 ?

( 2 )
0 1 x

? ??0 ? f (0) ? 0 1 ? ?? ? ? ? m ? 1? 2 2 ? f (1) ? 0 ? ?0 ? ?m ? 1

3 x ? k 在(- 1,1)上有实根,求 k 的取值范围。 2 9 5 3 2 k ? [? , ) 宜采用函数思想,求 f ( x) ? x ? x(?1 ? x ? 1) 的值域。 16 2 2
练习:方程 x ?
2

【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根分布问题,用图象求解,主 要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负,列出不等式(组)求解。 例 2. 已知函数 f ( x) ? x2 ? (2a ?1) x ? a2 ? 2 与非负 x 轴至少有一个交点,求 a 的取值范围. 解法一:由题知关于 x 的方程 x2 ? (2a ? 1) x ? a2 ? 2 ? 0 至少有一个非负实根,设根为 x1 , x2

?? ? 0 9 ? 则 x1 x2 ? 0 或 ? x1 x2 ? 0 ,得 ? 2 ? a ? . 4 ?x ? x ? 0 ? 1 2

? f (0) ? 0 ? ?(2a ? 1) 9 ? 解法二:由题知 f (0) ? 0 或 ? ? ? 0 ,得 ? 2 ? a ? . 4 2 ? ? ?? ? 0

指数与指数函数
(一)知识梳理 1.指数运算
a n ? n am ; a
m

?m n

0 r s r ?s (a ? 0, r、s ? Q) ; a ?1 ; a ?a ? a ? 1 m n a



(a r )s ? ars (a ? 0, r、s ? Q) ;

(ab)r ? ar bs (a ? 0, r、s ? Q)
2.指数函数: y ? a x ( a ? 0, a ? 1 ) ,定义域 R,值域为( 0,?? ).⑴①当 a ? 1 ,指数函数: y ? a x 在定 义域上为增函数;②当 0 ? a ? 1 ,指数函数: y ? a x 在定义域上为减函数.⑵当 a ? 1 时, y ? a x 的 a 值

13

越大,越靠近 y 轴;当 0 ? a ? 1 时,则相反.

(二)考点分析
例 1.已知下列不等式,比较 m , n 的大小: (1) 2 ? 2
m n

(2) 0.2 ? 0.2
m

n

变式 1:设
a

1 1 1 ? ( )b ? ( ) a ? 1 ,那么 ( 2 2 2
b a

) B.a < b <a D.a <b <a
b
a a a a

A.a <a <b C.a <a <b
b
a

b

a

例 2.函数 y ? a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则 a 的值为( )
x

1 4 例 3 . 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 与 函 数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 ) 的 图 象 关 于 直 线 y ? x 对 称 , 记 1 g ( x) ? f ( x)[ f ( x) ? 2 f (2) ? 1] .若 y ? g ( x) 在区间 [ ,2] 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( ) 2 1 1 A. [2,??) B. (0,1) ? (1,2) C. [ ,1) D. (0, ] 2 2
A. B.2 C.4 D.

1 2

对数与对数函数
(一)知识梳理
1.对数运算:

loga (M ? N ) ? loga M ? loga N
log a n M ?



log a

M ? log a M ? log a N N



loga M n ? n loga M



1 logb N log a M ; aloga N ? N ; 换底公式: log a N ? ; 推论: loga b ? logb c ? logc a ? 1 n logb a

2 .对数函数:如果 a ( a ? 0, a ? 1 )的 b 次幂等于 N ,就是 a b ? N ,数 b 就叫做以 a 为底的 N 的对数,记作
log a N ? b ( a

? 0, a ? 1 ,负数和零没有对数);其中 a 叫底数, N 叫真数.

当 a ? 1 时, y ? loga x 的 a 值越大,越靠近 x 轴;当 0 ? a ? 1 时,则相反.

(二)考点分析
14

例 1.已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) , g ( x) ? loga (1 ? x)(a ? 0 ,且 a ? 1) (1) 求函数 f ( x) ? g ( x) 定义域 (2) 判断函数 f ( x) ? g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 例 2.已知 f ( x) ? ? A. (0,1) 例 3.若 log a

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ? log a x, x ? 1
1 3
C. [ , )

B. (0, )

1 1 7 3

D. [ ,1)

1 7

3 ? 1( a ? 0 ,且 a ? 1) ,求实数 a 的取值范围. 4

变式 1:若 log 2 a A. ( ,?? )

1? a2 ? 0 ,则 a 的取值范围是 ( ) 1? a
B. (1,??) C. ( ,1)

1 2

1 2

D. (0, )

1 2

幂函数
(一)知识梳理 1、幂函数的概念
一般地,形如 y ? x? ( x ? R ) 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, ? 是常数 2、幂函数的图像及性质

y?x
定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限 的增减性 R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

y ? x2
R 偶 在第Ⅰ象限 单调递增

y ? x3
R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

y?x

1 2

y ? x ?1

非奇非偶 在第Ⅰ象限 单调递增

奇 在第Ⅰ象限 单调递减

3、重难点问题探析:幂函数性质的拓展
? 当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x 有下列性质:

(1)图象都通过点 (0, 0) , (1,1) ; (2)在第一象限内都是增函数; (3)在第一象限内, ? ? 1 时,图象是向下凸的; 1 ? ? ? 0 时,图象是向上凸的; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后,图象向右上方无限伸展。 当 0 ? ? 时,幂函数 y ? x 有下列性质:
15
?

(1)图象都通过点 (1,1) ; (2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的; (3)在第一象限内,图象向上与 y 轴无限地接近;向右无限地与 x 轴无限地接近; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后, ? 越大,图象下落的速度越快。 无论 ? 取任何实数,幂函数 y ? x? 的图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。

(二)考点分析
考点 1:利用幂函数的单调性比较大小 例 1.已知 ? ? 0 ,试比较 ?

?1? ? ? ? , 0.2 , 2 的大小; ?2?

?

1? ? 例 2.已知点 ( 2, 2) 在幂函数 f ( x) 的图象上,点 ? ?2, ? ,在幂函数 g ( x) 的图象上. 4? ? 问当 x 为何值时有: (1) f ( x) ? g ( x) ; (2) f ( x) ? g ( x) ; (3) f ( x) ? g ( x) .

函数图象
(一)知识梳理
1.函数图象 (1)作图方法:以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,掌握这两种方法是本 讲座的重点。 作函数图象的步骤:①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周 期性、最值(甚至变化趋势) ;④描点连线,画出函数的图象。 (2)三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等; ①平移变换: Ⅰ、水平平移:函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向左 (a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到;1)y=f(x) ? y=f(x+h);2)y=f(x) ? y=f(x?h); Ⅱ、竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向上 (a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到;1)y=f(x) ? y=f(x)+h;2)y=f(x) ? y=f(x)?h 。
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左移 h

右移 h

上移 h

下移 h

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②对称变换: Ⅰ、函数 y ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称即可得到;y=f(x) ? y=f(?x) Ⅱ、函数 y ? ? f ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得到;y=f(x) ? y= ?f(x) Ⅲ、函数 y ? ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称即可得到;y=f(x) ? y= ?f(?x)
16
原点 x轴

y轴

Ⅳ、函数 x ? f ( y ) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到。y=f(x)

直线 y ? x

? x=f(y)

Ⅴ、函数 y ? f (2a ? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对称即可得到;
直线 x ? a

y=f(x)

? y=f(2a?x)。

③翻折变换: Ⅰ、函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,去掉原 x 轴 下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到;
y

y=f(x)

y

y=|f(x)|

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

Ⅱ、函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左边部分并 保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到
y
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y=f(x)

y

y=f(|x|)

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

④伸缩变换: Ⅰ、函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长 (a ? 1) 或 压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的 a 倍得到;y=f(x) ? y=af(x) Ⅱ、函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长 (a ? 1) 或 压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的
x? a 1 倍得到。 (x) y=f(x) ? y=f( ax ) a
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y?a

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(3)识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面

(二)考点分析
3 例 1. (08 江苏理 14)设函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1( x ? R) ,若对于任意的 x ? ?? 1,1? 都有 f ( x) ? 0 成立,则实数 a

的值为

4__

【解析】 本小题考查函数单调性的综合运用. 若 x=0, 则不论 a 取何值,f ? x ? ≥0 显然成立; 当 x>0 即 x ???1,1? 时, f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 ≥0 可化为, a ?
3

3 1 ? x 2 x3
17

设 g ? x? ?

3 ?1 ? 2 x ? 3 1 ? 1? ?1 ? ? 3 ,则 g ' ? x ? ? , 所以 g ? x ? 在区间 ? 0, ? 上单调递增,在区间 ? ,1? 上单调递减, 2 4 x x x ? 2? ?2 ?

因此 g ? x ?max ? g ? ? ? 4 ,从而 a ≥4;

?1? ?2?

当 x<0 即 ? ?1,0? 时, f ? x ? ? ax3 ? 3x ? 1 ≥0 可化为 a ?

3 ?1 ? 2 x ? 3 1 ?0 ? 3 , g' ? x? ? 2 x x x4

g ? x ? 在区间 ? ?1,0? 上单调递增,因此 g ? x ?ma n ? g ? ?1? ? 4 ,从而 a ≤4,综上 a =4
【答案】4 点评:该题属于实际应用的题目,结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图 像与函数自变量、变量值的对应关系,特别是函数单调性与函数图象个关系; 例 2. ( 2009 广 东 卷 理 )已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车 的速度曲线分别为 v甲和v乙 (如图 2 所示) .那么对于图中给定的 t0和t1 ,下列判断中一定正确的是 ( A. 在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B. t1 时刻后,甲车在乙车后面 C. 在 t 0 时刻,两车的位置相同 D. t 0 时刻后,乙车在甲车前面 答案 A 解析 由图像可知,曲线 v甲 比 v乙 在 0~ t 0 、0~ t1 与 x 轴所围成图形面积大,则在 t 0 、 t1 时刻,甲车均在乙车 前面,选 A. )

(2). (2009 山东卷理)函数 y ?

e x ? e? x 的图像大致为 e x ? e? x
y y

(

). 答案 A 解析 函数有 意 义 , 需 使

y 1 O 1 x 1

y 1 x O D 1 x

1 O1 x O 1

e x ? e? x ? 0 ,
其定义域为

?x | x ? 0? , 排
A B C
18

除 C,D,又因为 y ?

e x ? e? x e2 x ? 1 2 ? 2x ? 1? 2x ,所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A . x ?x e ?e e ?1 e ?1

【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比 较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 例 3 .已知函数 y ? f ( x)(x ? R) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且当 x ? ?? 1,1? 时, f ( x) ? x 2 ,则 y ? f ( x) 与

y ? log5 x 的图象的交点个数为
A 、2 B、3



) D、5 y 1 x -1 O 1 5 有交点, 故选 的周期为 2,

C、4

解析:由 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 知函数 y ? f ( x) 作出其图象如右,当 x=5 时,f(x)=1,log5x=1; 当 x>5 时,f(x)=1∈[0,1], log5x>1, y ? f ( x) 与 y ? log5 x 的图象不再 C [巩固]设奇函数 f(x)的定义域为 R,且对任意实

数 x 满足 .
2

f(x+1)= -f(x),若当 x∈[0,1]时,f(x)=2 -1,则 f( log 1 6 )=
x

题型 3:函数的图象变换 例 5. (2008 全国文,21)设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 . (Ⅰ)若 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,求 a 的值;

2] ,在 x ? 0 处取得最大值,求 a 的取值范围. (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x),x ?[0,
解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax ? 6 x ? 3x(ax ? 2) .
2

因为 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,所以 f ?(2) ? 0 ,即 6(2a ? 2) ? 0 ,因此 a ? 1 . 经验证,当 a ? 1 时, x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 (Ⅱ)由题设, g ( x) ? ax ? 3x ? 3ax ? 6x ? ax ( x ? 3) ? 3x( x ? 2) .
3 2 2 2

2] 上的最大值为 g (0) 时, g (0) ≥ g (2) , 当 g ( x) 在区间 [0,
即 0 ≥ 20a ? 24 .故得 a ≤ 反之,当 a ≤

6 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 5

6 2] , 时,对任意 x ? [0, 5

6 g ( x) ≤ x 2 ( x ? 3) ? 3 x( x ? 2) 5

19

?

3x 3x (2 x 2 ? x ? 10) ? (2 x ? 5)( x ? 2) ≤ 0 , 5 5

2] 上的最大值为 g (0) . 而 g (0) ? 0 ,故 g ( x) 在区间 [0,
综上, a 的取值范围为 ? ??, ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 例 6. (2009 四川卷文)已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有

? ?

6? 5?

5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是 2 1 A. 0 B. C. 1 2
题型 4:函数图象应用

( D.

)

5 2


例 7.函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像如下图:则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图像可能是(
y y=f(x) o x
o y y=g(x) x

y

y
x

y
x

y x
C

o

o
B

o

o
D

x

A

点评:明确函数图像在 x 轴上下方与函数值符号改变的关系,数值相乘“同号为正、异号为负” 。 例 8.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图, 求 b 的范围。 y 解法一:观察 f(x)的图象,可知函数 f(x)的图象 过 原 点 , 即 f(0)=0, 得 d=0, 又 f(x)的图象过(1,0),∴f(x)=a+b+c x ① o 2 1 又 有 f( - 1) < 0 , 即 - a+b - c < 0 ② ①+②得 b<0,故 b 的范围是(-∞,0) 解法二:如图 f(0)=0 有三根 0,1,2, ∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax,∴b=-3a, ∵当 x>2 时,f(x)>0,从而有 a>0,∴b<0。 点评:通过观察函数图像,变形函数解析式,得参数的取值范围。 题型 5:函数图像变换的应用
| x| 例 9.已知 0 ? a ? 1 ,方程 a ?| loga x | 的实根个数为(



A.2

B.3

C.4
20

D.2 或 3 或 4

由函数与方程的关系,知方程 a| x| ?| loga x | 的根的个数即为函数 y ? a | x| 与函数 y ?| loga x | 的图像交点的个数 例 10.设 f ( x) ?| 2 ? x2 | ,若 a ? b ? 0 ,且 f (a) ? f (b) ,则 ab 的取值范围是( )

A. (0 , 2)

B. (0 , 2]

C. (0 , 4]

D. (0 , 2)

解析:保留函数 y ? 2 ? x 2 在 x 轴上方的图像,将其在 x 轴下方的图像翻折到 x 轴上方区即可得到函数

f ( x) ?| 2 ? x2 | 的图像
通过观察图像,可知 f ( x) 在区间 (??, ? 2] 上是减函数,在区间 [? 2,0] 上是增函数,由 a ? b ? 0 ,且

f ( a) ? f (b) 可知 a ? ? 2 ? b ? 0 ,所以 f (a) ? a 2 ? 2 , f (b) ? 2 ? b2 ,从而 a 2 ? 2 ? 2 ? b2 ,即 a 2 ? b 2 ? 4 ,又

2 | ab |? a2 ? b2 ? 4 ,所以 0 ? ab ? 2 。选项为 A。
点评:考察函数图像的翻折变换。体现了数学由简到繁的原则,通过研究函数 y ? 2 ? x 2 的图像和性质,进 而得到 f ( x) ?| 2 ? x2 | 的图像和性质。

2.10 函数与方程
(一)知识梳理
1.函数零点 概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的 横坐标。即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点。 零点存在性定理:如果函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a) f (b) ? 0 , 那么函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内有零点。既存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程的根。 2.二分法 二分法及步骤:

(二)考点分析
题型 1:方程的根与函数零点 例 1. (1)方程 lgx+x=3 的解所在区间为( A.(0,1) B.(1,2) ) C.(2,3) D.(3,+∞)

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