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高中数学第2章圆锥曲线与方程2


2.6.2 求曲线的方程 [学习目标] 1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法,熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌 握求轨迹方程的几种常用方法. 知识点一 坐标法和解析几何 借助于坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的 坐标(x,y)所满足的方程 f(x,y)=0 表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的 性质, 这一研究几何问题的方法就叫坐标法. 用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做 解析几何. 知识点二 解析几何研究的主要问题 (1)根据已知条件,求出表示曲线的方程; (2)通过曲线的方程,研究曲线的性质. 知识点三 求曲线的方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系; (2)设曲线上任意一点 M 的坐标为(x,y); (3)列出符合条件 P(M)的方程 f(x,y)=0; (4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式; (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 思考 (1)求曲线的方程的步骤是否可以省略? (2)求曲线的方程和求轨迹一样吗? 答案 (1)可以省略.如果化简前后方程的解集是相同的,可以省略步骤说明,如有特殊情 况,可以适当说明.另外,也可以根据情况省略步骤“写集合”,直接列出曲线方程. (2)不一样.若是求轨迹则要先求出方程,再说明和讨论所求轨迹是什么样的图形,即图形 的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚. 题型一 直接法求曲线方程 1 例 1 动点 M 与距离为 2a 的两个定点 A,B 的连线的斜率之积等于- ,求动点 M 的轨迹方 2 程. 解 如图,以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直 角坐标系,则 A(-a,0),B(a,0). 设 M(x,y)为轨迹上任意一点,则 kMA= 1 ∵kMA·kMB=- , 2 ∴ y x+a ,kMB= y x-a (x≠±a). y y 1 · =- , x+a x-a 2 2 2 2 化简得:x +2y =a (x≠±a). ∴点 M 的轨迹方程为 x +2y =a (x≠±a). 反思与感悟 直接法是求轨迹方程的最基本的方法,根据所满足的几何条件,将几何条件 2 2 2 {M|p(M)}直接翻译成 x,y 的形式 F(x,y)=0,然后进行等价变换,化简为 f(x,y)=0.要 注意轨迹上的点不能含有杂点,也不能少点,也就是说曲线上的点一个也不能多,一个也不 能少. 跟踪训练 1 已知在直角三角形 ABC 中,角 C 为直角,点 A(-1,0),点 B(1,0),求满足条 件的点 C 的轨迹方程. 解 如图,设 C(x,y), → → 则AC=(x+1,y),BC=(x-1,y). → → → → ∵∠C 为直角,∴AC⊥BC,即AC·BC=0. ∴(x+1)(x-1)+y =0. 化简得 x +y =1. ∵A、B、C 三点要构成三角形, ∴A、B、C 三点不共线,∴y≠0. ∴点 C 的轨迹方程为 x +y =1(y≠0). 题型二 定义法求曲线方程 例2 已知圆 C:(x-1) +y =1,过原点 O 作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程. 2 2 2 2 2 2 2 解 如图,设 OQ 为过 O 点的一条弦,P(x,y)为其中点,则 CP⊥OQ, 1 设 M 为 OC 的中点,则 M 的坐标为( ,0). 2 ∵∠OPC=90°, 1 ∴动点 P 在以点 M( ,0)为圆心,OC 为直径的圆上, 2 1 2 1 2 由圆的方程得(x- ) +y = (0

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