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「精品」高中数学第二章参数方程四渐开线与摆线课件新人教A版选修4_4(1)_图文

四、 渐开线与摆线

[学习目标] 1.了解圆的渐开线的产生过程及它的参 数方程(重点). 2.了解摆线的产生过程及它的参数方程 (重点). 3.体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和 步骤(难点).

[知识提炼·梳理]
1.圆的渐开线的参数方程 以基圆圆心 O 为原点,直线 OA 为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 设基圆的半径为 r,绳子外端 M 的坐标为(x,y),则有 ??x=r(cos φ+φsin φ), _???y_=__r_(__s_in__φ_-__φ_c_o_s_φ_)____ (φ 是参数).这就是圆的渐开线 的参数方程.

温馨提示 (1)圆的渐开线的实质是直线在圆上滚动 时直线上定点的轨迹.(2)基圆大小不等的渐开线形状不 同,一般基圆越大,它的渐开线愈趋平直.(3)基圆以内 无渐开线.(4)字母 r,φ的意义:r 是基圆的半径,参数 φ 是绳子外端运动时绳子上的定点 M 相对于圆心的张角.

2.圆的摆线的参数方程 半径为 r 的圆所产生摆线的参数方程为:
??x=r(φ-sin φ), __???_y_=__r_(__1_-__c_o_s_φ_)________ (φ 为参数).

温馨提示 (1)摆线的每一拱的宽度等于圆的周长, 拱高等于圆的直径.(2)字母 r,φ的意义:r 指定圆的半 径,参数 φ 指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角 度大小.

[思考尝试·夯基]
1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”). (1) 圆 的 渐 开 线 的 参 数 方 程 不 能 转 化 为 普 通 方 程.( ) (2)圆的渐开线也可以转化为普通方程,但是转化后 的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系, 所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题.( )

(3)在求圆的摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标 系不同,可能会得到不同的参数方程.( )
(4)圆的渐开线和 x 轴一定有交点而且是唯一的交 点.( )
解析:对于一个圆,只要半径确定,渐开线和摆线的
形状就是确定的,但是随着选择坐标系的不同,其在坐标
系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所区别,至
于渐开线和坐标轴的交点要看坐标系的选取. 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)×

2.当 φ=2π 时,圆的渐开线

??x=6(cos ???y=6(sin

φ+φsin φ-φcos

φ), φ) (φ

为参数)上的点是(

)

A.(6,0)

B.(6,6π)

C.(6,-12π) D.(-π,12π)

解析:当 φ=2π 时,代入圆的渐开线方程,得 x=6(cos

2π+2π·sin 2π)=6,y=6(sin 2π-2π·cos 2π)=-12π. 答案:C

3.已知摆线的参数方程为?????xy==22((1φ--csoins

φ), φ) (φ



参数),该摆线一个拱的宽度与高度分别是( )

A.2π,2 B.2π,4

C.4π,2 D.4π,4

解析:因为半径 r=2,所以拱宽为 2πr=4π,拱高为

2r=4.

答案:D

4.写出半径为 2 的圆的渐开线参数方程:_________.

解析:半径为 2 的圆的渐开线参数方程为

??x=2(cos φ+φsin φ),

?

(φ 为参数).

??y=2(sin φ-φcos φ)

??x=2(cos 答案:???y=2(sin

φ+φsin φ-φcos

φ), φ) (φ

为参数)

5.摆线?????xy==22((1t--scionst)t),(0≤t≤2π)与直线 y=2 的 交点的直角坐标是________________.
解析:当 y=2 时,cos t=0,所以 t=π2或 t=32π, 所以 x=2???π2-sinπ2???=π-2 或 x=2???32π-sin32π???=3π+2. 所以交点的直角坐标是(π-2,2)或(3π+2,2). 答案:(π-2,2)或(3π+2,2)

类型 1 渐开线的参数方程(自主研析)

[典例 1] 已知圆的直径为 2,其渐开线的参数方程

对应的曲线上两点 A,B 对应的参数分别为π3 和π2 ,求 A, B 两点的坐标.
解:根据条件可知圆的半径是 1,所以对应的渐开线

??x=cos φ+φsin φ,

参数方程是?

(φ 为参数),

??y=sin φ-φcos φ

ππ 分别把 φ=3和 φ=2代入,

可得

A,B

两点的坐标分别为

A????3+6

3π 3 ,

36-π????,

B????π2 ,1????.

归纳升华 1.求圆的渐开线的参数方程,关键是根据渐开线定
︵ 义及形成过程获得动点轨迹的几何条件|AM|=AM0=rθ. 合理建立平面直角坐标系后,借助几何图形,运用三角函 数和平面向量知识将几何条件代数化,得到参数方程.

2.圆的渐开线的参数方程可作为公式使用,只要不 要求用定义求解就可直接将半径 r 的值代入.

[变式训练] 已知圆的渐开线的参数方程 ??x=3cos φ+3φsin φ, ???y=3sin φ-3φcos φ
(φ 为参数),则此渐开线对应基圆的半径是________. 解析:对照渐开线参数方程可知半径 r=3.
答案:3

类型 2 摆线的参数方程(互动探究) [典例 2] 已知一个圆的摆线过一定点(1,0),请写 出该摆线的参数方程. 解:由 y=0 知,r(1-cos φ)=0, 因为 r≠0,所以 cos φ=1,所以 φ=2kπ(k∈Z). 代入 x=r(φ-sin φ)=1,得 2kπr=1(k∈Z).

由于 r 表示圆的半径,故 r>0,所以 r=2k1π(k∈N*),

故所求摆线的参数方程为

??x=2k1π(φ-sin ???y=2k1π(1-cos

φ), (φ
φ)

为参数,其中

k∈N*).

[迁移探究] (变换条件)把典例 2 中的条件“摆线过 一定点(1,0)”改为“半径为 2”,请写出该摆线的参数 方程.

解:由摆线的参数方程易知半径为 2 的圆的参数方程

??x=2(φ-sin φ),

为:?

(φ 为参数).

??y=2(1-cos φ)

归纳升华 1.圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动 地滚动时圆周上一个定点的轨迹. 2.根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程,可 知其中的字母 r 是指定圆的半径,参数 φ 是指圆上定点相 对于某一定点运动所张开的角度大小.

??x=r(φ-sin φ),

3.根据圆的摆线的参数方程?



??y=r(1-cos φ)

为参数),可知只需求出其中的半径 r,圆摆线的参数方程

即可写出.也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯

一确定的.

类型 3 渐开线、摆线参数方程的应用(规范解答) [典例 3] (本小题满分 10 分)设摆线?????xy==1t--scionst,t (t 为参数,0≤t≤2π)与直线 y=1 相交于 A,B 两点,求 A, B 两点间的距离. 审题指导:解决此类问题要先求出两交点 A、B 的直
角坐标,然后代入相应公式计算.

[规范解答] 由 y=1 及 y=1-cos t 得 cos t=0, 又 0≤t≤2π,
失分警示:若漏掉此范围,扣 1 分. 所以 t1=π2,t2=32π.(2 分) 当 t1=π2时, x=π2-sin π2=π2-1,y=1-cos π2=1.

所以 A???π2-1,1???.(5 分) 当 t2=32π时, x=32π-sin32π=32π+1, y=1-cos32π=1, 所以 B???32π+1,1???.(8 分)

故 A,B 两点间的距离为 |AB|= ??????32π+1???-???π2-1??????2+(1-1)2=
(π+2)2=π+2.(10 分)

归纳升华 因为摆线的参数方程不宜化为普通方程,所以求交点 坐标问题一般先求出参数 t,然后代入参数方程求出 x,y, 注意参数 t 的取值范围.

[变式训练] 已知一个圆的摆线方程是

??x=4φ-4sin φ ???y=4-4cos φ

,(φ

为参数),求该圆的面积和对应的圆

的渐开线的参数方程.

解:首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为 4,所

以面积为 16π,该圆对应的渐开线的参数方程是

??x=4cos φ+4φsin φ,

?

(φ 为参数).

??y=4sin φ-4φcos φ

1.渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的 轨迹.圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动 地滚动时圆周上一个定点的轨迹.
2.渐开线上任一点 M 的坐标由圆心角 φ(以弧度为 单位)唯一确定,而在圆的摆线中,圆周上定点 M 的位置 也可以由圆心角 φ 唯一确定的.

制作不易 尽请参考

3.圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方

程,既烦琐又没有实际意义.

4.有关已知摆线过定点求摆线及渐开线的参数方程

等问题,可按如下思路解题:将定点坐标代入摆线的参

数方程?????xy==rr((1φ--csoins

φ), φ) (φ

为参数),可求出

φ,进一

步求出 r,这样就可以写出该圆的摆线和渐开线的参数方

程.


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