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数学-苏锡常镇四市2014届高三5月教学情况调研(二)数学试题


数学综合试卷(二)2014.5
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1. 函数 y ? x ? 1 的定义域为 A,函数 y ? lg ? 2 ? x ? 的定义域为 B,则 A 2. 设 z ? 2 ? i ( i 是虚数单位) ,则 | z | = 3. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 点为(5,0) ,则实数 m = ▲ . ▲ . B= ▲ .

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦 9 m

4. 样本容量为 100 的频率分布直方图如右图所示,由此估计 样本数据落在[6,10]内的频数为 5. “ ? ? ▲ .

(第 4 题)

π ”是“函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象关于 y 轴对称”的 2

开始 n ← 1 S ← 0 S > 20 N n ← n?1 S ← 2S ? 1 Y
(第 8 题)

▲ 条件. (在“充分必要” 、 “充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “既不充分也不必要”中选一个合适的填空) 6. 已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, a1 = ?1, S3 = 6 , 则 S6 = ▲ .

Y 输出 n 结束

1 7. 函数 y ? ? x≥e? 的值域是 ln x



. ▲ .

8. 执行右面的程序图,那么输出 n 的值为

9. 在 1,2,3,4 四个数中随机地抽取一个数记为 a,再在剩余的三个数 中随机地抽取一个数记为 b,则“

a 是整数”的概率为 b





10.已知△ABC 为等腰直角三角形,斜边 BC 上的中线 AD = 2,将△ABC 沿 AD 折成 60° 的二面 角,连结 BC,则三棱锥 C ? ABD 的体积为 11.直线 y = kx 与曲线 y ? 2e x 相切,则实数 k = ▲ ▲ . . ▲ .

12.已知平面内的四点 O,A,B,C 满足 OA ? BC ? 2 , OB ? CA ? 3 ,则 OC ? AB =
1

13.已知奇函数 f ( x) 是 R 上的单调函数,若函数 y ? f ( x2 ) ? f (k ? x) 只有一个零点,则实数 k 的值是 ▲ .
x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 的最大值为 xy ? x ? y ? 1

14.已知 x,y ? R ,满足 2≤ y ≤4 ? x ,x≥1,则





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足 A = B ? 30° . (1)若 c = 1, b ? sin B ,求 B.

1 (2)若 a2 ? c2 ? ac ? b2 ,求 sin A 的值. 2

16. (本小题满分 14 分) 如图,正四棱锥 P ? ABCD 的高为 PO,PO = AB = 2.E,F 分别是棱 PB,CD 的中点,Q 是棱 PC 上的点. (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)若 PC⊥平面 QDB,求 PQ.
D O A
(第 16 题)

P

E F

Q

C

B

2

17. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆
x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F ? 与 F,圆 F : 4

? x ? 3?

2

? y2 ? 5 .

(1)设 M 为圆 F 上一点,满足 MF' ? MF ? 1 ,求点 M 的坐标; (2)若 P 为椭圆上任意一点,以 P 为圆心,OP 为半径的圆 P 与圆 F 的公共弦为 QT,
y

证明:点 F 到直线 QT 的距离 FH 为定值.

F'

Q

O H

F x

P
T

18. (本小题满分 16 分)

( 第 题)

17

如图,O 为总信号源点,A,B,C 是三个居民区,已知 A,B 都在 O 的正东方向上, OA = 10 km ,OB = 20 km ,C 在 O 的北偏西 45° 方向上,CO = 5 2 km . (1)求居民区 A 与 C 的距离; (2)现要经过点 O 铺设一条总光缆直线 EF(E 在直线 OA 的上方) ,并从 A,B,C 分别铺 设三条最短分光缆连接到总光缆 EF.假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比, 比例系数为 m(m 为常数) .设∠AOE = θ(0≤θ < π ) ,铺设三条分光缆的总费用为 w(元) . ① 求 w 关于 θ 的函数表达式; ② 求 w 的最小值及此时 tan ? 的值.
C E θ O A F B 北

3

(第 18 题)

19. (本小题满分 16 分) 若存在实数 x0 与正数 a, 使 x0 ? a , 且 f ? x0 ? a ? ? f ? x0 ? a ? x0 ? a 均在函数 f ( x) 的定义域内, 成立,则称“函数 f(x)在 x = x0 处存在长度为 a 的对称点” . (1)设 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 x ? 1 ,问是否存在正数 a,使“函数 f(x)在 x = 1 处存在长度为 a 的对称点”?试说明理由. (2)设 g ( x) ? x ?

b (x > 0) ,若对于任意 x0?(3,4) ,总存在正数 a,使得“函数 g ( x) 在 x

x = x0 处存在长度为 a 的对称点” ,求 b 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分) 已知常数 λ≥0,设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足:a1 = 1,
Sn ?1 ? an ?1 Sn ? ? ? 3n ? 1 an ?1 ( n ? N * ) . an

?

?

(1)若 λ = 0,求数列{an}的通项公式;

1 (2)若 an?1 ? an 对一切 n ? N * 恒成立,求实数 λ 的取值范围. 2

4

数学综合试卷(二)数学Ⅱ(附加题)
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡 ...... ... 指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .... A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,△ABC 中,∠ACB = 90° ,以边 AC 上的点 O 为圆心,OA 为半径作圆,与边 AB,AC 分别交于点 E,F,EC 与⊙O 交于点 D,连结 AD 并延长交 BC 于 P,已知 AE = EB = 4,AD = 5,求 AP 的长. B.选修 4—2:矩阵与变换 已知点 M(3,?1)绕原点按逆时针旋转 90° 后,且在
?a 0? 矩阵 A ? ? ? 对应的变换作用下,得到点 N (3,5), ?2 b?
B D P F C E O A

求 a,b 的值.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 如图,在极坐标系中,设极径为 ? ( ? ? 0 ) ,极角为 θ( 0≤? ? 2 π ) .⊙A 的极坐标方程为

? ? 2cos? ,点 C 在极轴的上方,∠AOC =
若 C 为 OP 的中点,求点 Q 的极坐标.

π .△OPQ 是以 OQ 为斜边的等腰直角三角形, 6
P C O A B x

D.选修 4—5:不等式选讲 已知不等式 | a ? 2 |≤ x2 ? 2 y 2 ? 3z 2 对满足 x ? y ? z ? 1 的一切实数 x , y , z 都成立,求实数 a 的取值范围.
Q

5

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时 ....... 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在空间直角坐标系 A ? xyz 中,已知斜四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面是边长为 3 的正 方形,点 B,D,B1 分别在 x,y,z 轴上,B1A = 3,P 是侧棱 B1B 上的一点,BP = 2PB1 . (1)写出点 C1,P,D1 的坐标; (2)设直线 C1E⊥平面 D1PC,E 在平面 ABCD 内, 求点 E 的坐标.
P y A x B C D z B1 A1 D1 C1

23. (本小题满分 10 分) 如图,圆周上有 n 个固定点,分别为 A1,A2,?,An(n ? N * ,n≥2) ,在每一个点上分别 标上 1,2,3 中的某一个数字,但相邻的两个数字不相同,记所有的标法 总数为 an. (1)写出 a2,a3,a4 的值; (2)写出 an 的表达式,并用数学归纳法证明.
A3 A2 A1 An

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