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江苏省高淳高级中学2008届高三质量检测数学试题


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江苏省常州市 2007-2008 学年度第一学期期末质量调研高三数学试题 2008 年 1 月
命题人:杨敏忠 孙福明 审卷人:于新华 徐淮源 第 I 卷(必做题) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.函数 f ? x ? ? 2sin ? ? x+ ? 的最小正周期是 2. 抛物线 x2 ? ?4 y 的焦点坐标是 周敏泽

? ?

1? 4?

.

. . . 若 x 依次取数 Read x If x ? 0 Then

3. 已知复数 z 满足( 1 +2i) z =5(i 为虚数单位),则 z = 4.已知 sin ? ?

? 3 ? ?? , ? ? ? 0, ? ,则 tan(? ? ) 值为 4 5 ? 2?

5. 右边是根据所输入的 x 值计算 y 值的一个算法程序, 列 ? 为

? n ? ? 1? (n ? N? ) 中 的 前 200 项 , 则 所 得 y 值 中 的 最 小 值 ?100 ?
.

y ?1? x
Else

6. 已知一正方体的棱长为 m , 表面积为 n ; 一球的半径为 p, 表面积为 q ,

y ?1? x
End If Print y (第 5 题)

m n 若 ? 2 ,则 = p q

.

7. 某人有甲乙两只电子密码箱,欲存放三份不同的重要文件,则此人使用同一密码箱存放放这 三份重要文件的概率是 8. 若 k ? R ,试写出方程 .

y2 x2 ? ? 1 表示双曲线的一个充分不必要条件 k ?3 k ?3
.

.

9. 已知样本 7,8,9, x, y 的平均数是 8 ,标准差是 2 ,则 xy 的值为
x

10. 若函数 f ( x) ? lg(4 ? k ? 2 ) 在 ? ??,2? 上有意义,则实数 k 的取值范围是 11. 两个正数 m, n 的等差中项是 5, 等比中项是 4.若 m ? n , 则椭圆 小为 .
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.

x2 y 2 ? ? 1 的离心率 e 的大 m n

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12. 已知向量 a ? (3,1), b ? ( ?2, ), 直线 l 过点 A(1, 2) 且与向量 a ? 2b 垂直,则直线 l 的一般方 程是 .

?

?

1 2

?

?

13. 已知 a , b 均为实数,设数集 A ? ? x a ? x ? a ? ? , B ? ? x b ?

? ?

4? 5?

? ?

1 ? ? x ? b ? ,且 A、B 都是集 3 ?

合 x 0 ? x ? 1 的子集.如果把 n ? m 叫做集合 x m ? x ? n 的“长度” ,那么集合 A ? B 的“长 度”的最小值是 .

?

?

?

?

14.设 s , t 为正整数,两直线 l1 :

t t x ? y ? t ? 0与l2 : x ? y ? 0 的交点是 ( x1 , y1 ) ,对于正整 2s 2s

数 n(n ? 2) ,过点 (0, t )和(xn?1 ,0) 的直线与直线 l2 的交点记为 ( xn , yn ) .则数列 ?xn ? 通项公式 xn = .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对边分别为 a, b, c .

n 已知 m ? (sin C,sin B cos A), n ? (b, 2c) ,且 m? ? 0 .
(Ⅰ)求 ? A 大小. (Ⅱ)若 a ? 2 3, c ? 2, 求 ?ABC 的面积 S 的大小. 16. (本小题满分 15 分)
D1

??

?

?? ?

E 如图, 已知长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 底面 ABCD 为正方形,
为线段 AD1 的中点, F 为线段 BD1 的中点. (Ⅰ)求证: EF ∥平面 ABCD ; (Ⅱ) M 为线段C1C 的中点, 设 当
A1 E D F B1

C1

M

D1 D 的比值为多少时, AD
A

C

DF ? 平面D1MB, 并说明理由.
B

17. (本小题满分 15 分)已知圆 C 与两坐标轴都相切,圆心 C 到直线 y ? ? x 的距离等于 2 . (Ⅰ)求圆 C 的方程.
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(Ⅱ)若直线 l :

x y ? ? 1 (m ? 2, n ? 2) 与圆 C 相切,求证: mn ? 6+4 2. m n

18. (本小题满分 14 分) 为了研究某高校大学新生学生的视力情况, 随机地抽查了该校 100 名进校学生的视力情况, 得到 频率分布直方图,如图.已知前 4 组的频数从左到右依次是等比数列 ?an ? 的前四项,后 6 组的频数 从左到右依次是等差数列 ?bn ? 的前六项. (Ⅰ)求等比数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求等差数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅲ)若规定视力低于 5.0 的学生属于近视学生,试估计该校新生的近视率 ? 的大小.
频率 组距

0.3 0.1 4.3 4.44.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2

视力

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) 的导数 f ?( x) ? 3x2 ? 3ax, f (0) ? b. a , b 为实数, 1 ? a ? 2 . (Ⅰ)若 f ( x ) 在区间 [?1, 1] 上的最小值、最大值分别为 ?2 、1,求 a 、 b 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求经过点 P(2, 1) 且与曲线 f ( x ) 相切的直线 l 的方程; (Ⅲ)设函数 F ( x) ? ( f ?( x) ? 6 x ? 1) ? e ,试判断函数 F ( x) 的极值点个数.
2x

20. (本小题满分 16 分) 数列 ?an ? 中, a1 ?

nan 1 , an?1 ? (n ? N ? ) ,其前 n 项的和为 Sn . 2 n ? 1?? nan ? 1? ?

(Ⅰ)设 bn ?

1 ,求证:数列 {bn } 是等差数列; nan
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(Ⅱ)求 Sn 的表达式; (Ⅲ)求证:

? (1 ? S
i ?1

n

Si
i ?1

)

1 ? 2( 2 ? 1) . Si ?1
第Ⅱ卷(附加题)

注意事项: 1.附加题包括必考题和选考题,第 1、2 题为必考题,每个考生都必须做答.第 3、4、5、 6 题为选考题,考生根据要求做答. 2.附加题满分为 40 分,考试时间为 30 分钟,解答时需写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 一、必做题: 1. (本小题满分 10 分) 如图, 在三棱锥 V ? ABC 中, 顶点 C 在空间直角坐标系的原点处, 顶点 A、B、V 分别在 x 、y 、

z 轴上, D 是 AB 的中点,且 AC ? BC ,∠ VDC ? ? . ??? ??? ? ? ? (Ⅰ)当 ? ? 时,求向量 AC 与 VD 夹角 ? 的余弦 3
值的大小; (Ⅱ)当角 ? 变化时,求直线 BC 与平面 VAB 所成角 的取值范围.

z
V

C B D A

y

x
2.(本小题满分 10 分) 在一个盒子中,放有标号分别为 1 , 2 , 3 ,4 的四个小球,现从这个盒子中,有放回地先后摸 ... 出两个小球,它们的标号分别为 x 、 y ,记 ? ? x ? y . (Ⅰ)求随机变量 ? 的分布列;

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(Ⅱ)求随机变量 ? 的数学期望; (Ⅲ)设“函数 f ( x) ? nx2 ? ? x ?1( n ? N+ )在区间 (2,3) 上有且只有一个零点”为事件 A , 求事件 A 发生的概率.

二、选做题:请考生在第 3、4、5、6 题中任选两题作答.如果多做,则以第 3、4 两题记分. 3. (本小题满分 10 分) 从⊙O 外一点 P 向圆引两条切线 PA 、 PB ( A 、 B 为切点)和割线 PCD ( 与⊙O 交于 C 、 D 两点 ), 从 A 点作弦 AE 平行于 CD ,连 结

A E O C D F B P

BE



CD 于 F

, 连 结

O 、 P

、 A、 O , B O

O F

求证:(Ⅰ) ?POB ? ?PFB ; (Ⅱ) CF ? DF .

4. (本小题满分 10 分) 给定矩阵 A = ?

? 1 2? ?3? ,B = ? ? . ? ? ?1 4? ?2?

(Ⅰ)求 A 的特征值 ?1 , ?2 及对应特征向 量 α 1 ,α 2 , (Ⅱ)求 A B .
4

5.(本小题满分 10 分)

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? 2 t?4 ?x ? ? x ? 4u 2 ? 2 设点 O 为坐标原点,直线 l : ? (参数 u ? R ) 交于 A 、 (参数t ? R) 与曲线 C : ? ? y ? 4u 2 ? y? t ? ? 2
B 两点.
(Ⅰ)求直线 l 与曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)求证: OA ? OB . 6. (本小题满分 10 分) 已知关于 x 的不等式 ax ?1 ? ax ? a ? 1 ( a ? 0 ). (Ⅰ)当 a ? 1 时,求此不等式的解集; (Ⅱ)若此不等式的解集为 R ,求实数 a 的取值范围.

江苏省常州市 2006-2007 学年度第一学期期末质量调研 高三数学试题参考答案及评分标准
2008 年 1 月

第 I 卷(必做题) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.填对得 5 分,填错不得分. 1. 2 2. (0, ?1) 3. 1 ? 2i 4.7 5. 1 6.

6

?

7.

1 4

8. 答案不惟一,如 k ? 3 ,

或 k ? ?3 等

9. 60

10.

? ??,1?

11.

3 2

12. x ? 2 y ? 3 ? 0

13.

2 15

14.

xn ?

2s n ?1

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,分步得分.

n 15. 解: 解: (I)∵ m? ? 0 ,
( ∴ (sin C,sin B cos A)? b, 2c) =0.
∴ b sin C ? 2c sin B cos A ? 0. ∵ ???2 分

?? ?

b c ? , ∴ bc ? 2cb cos A ? 0. ?????4 分 sin B sin C
∴ cos A ? ? .

∵ b ? 0, c ? 0, ∴ 1 ? 2 cos A ? 0. ∵0 ? A ??,∴ A ?

2? . 3

1 2

???6 分

?????8 分
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(II)△ ABC 中,∵ a2 ? c2 ? b2 ? 2cb cos A, ∴ 12 ? 4 ? b ? 4b cos120 .
2 0

∴ b ? 2b ? 8 ? 0.
2

??????10 分∴ b ? ?4(舍),b ? 2.

?????12 分

∴△ ABC 的面积 S ?

1 1 3 bc sin A ? ? 2 ? 2 ? ? 3. ?????14 分 2 2 2

16. (I)? E 为线段 AD1 的中点, F 为线段 BD1 的中点,? EF ∥ AB ,?2 分

? EF ? 平面ABCD, AB ? 平面ABCD, ? EF ∥面 ABCD .???5 分
(II)当

D1 D ? 2 时, DF ? 平面D1MB. AD

???6 分

? ABCD是正方形, AC ? BD.? D1D ? 平面ABCD. ? ? D1D ? AC. ? AC ? 平面BB1D1D ??8 分? AC ? DF . ????9 分
∴ ? F , M 分别是BD1 , CC1中点, FM ∥ AC. ∴ DF ? FM . ???11 分

∵ D1D ? 2 AD, ∴ D1D ? BD. ∴矩形 D1DBB1 为正方形,∵ F 为 BD1 的中点,∴ DF ? BD1. ∵ FM ? BD1 ? F , ∴ DF ? 平面BD1M . ??????15 分 ?13 分

17. 解: (I)设圆 C 半径为 r ,由已知得:

? ?a ? b ? ? ?r ? a ? ? a?b ? 2 ? 2 ?
2

????3 分∴ ?

?a ? b ? 1 ?a ? b ? ?1 ,或 ? ?r ? 1 ?r ? 1

????5 分

∴圆 C 方程为 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1, 或( x+ ? ( y+ ? 1 . 1) 1)
2 2 2

???7 分

(II)直线 l方程为nx ? my ? mn ? 0 , ∵ 直线l与圆C : ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1相切,
2 2

????????8 分

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n ? m ? mn n 2 ? m2

? 1,

????????????10 分

∴ (n ? m ? mn)2 ? n2 ? m2 , 左边展开,整理得, mn ? 2m ? 2n ? 2. ∴m?n ? ∴

???12 分

mn ? 2 . ∵ m ? 0, n ? 0, m ? n ? 2 mn , 2
∴ ( mn )2 ? 4 mn ? 2 ? 0, ????14 分

mn ? 2 ? 2 mn , 2

∴ mn ? 2 ? 2, 或 mn ? 2 ? 2. ∵ m ? 2, n ? 2 ∴ mn ? 2 ? 2 , ∴ mm ? 6 ? 4 2.

??????15 分

18.解: (I)由题意知: a1 ? 0.1? 0.1?100 ? 1,

a2 ? 0.3? 0.1?100 ? 3.
∵数列 ?an ? 是等比数列,∴公比 q ? ∴ an ? a1qn?1 ? 3n?1 . (II) ∵ a1 ? a2 ? a3 =13,

?????????????2 分

a2 ? 3, a1

????????????????4 分

∴ b1 ? b2 ? ? ? b6 ? 100 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? 87 , ????????6 分 ∵数列 ?bn ? 是等差数列,∴设数列 ?bn ? 公差为 d ,则得,

b1 ? b2 ? ? ? b6 ? 6b1 ? 15d ∴ 6b1 ? 15d =87,

? b1 ? a4 ? 27 ,? d ? ?5 , ? bn ? 32 ? 5n
(III) ? =

?????????8 分 ??????????10 分

a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 0.91 , 100 b ? b6 ? 0.91 ) (或 ? = 1 ? 5 100
?????????????14 分
3

答:估计该校新生近视率为 91%. 19.解: 解(Ⅰ)由已知得, f ( x) ? x ?

3 2 ax ? b 2

由 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? a .∵ x ? [?1, 1] , 1 ? a ? 2 , ∴ 当 x ?[?1, 0) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 递增;
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当 x ? (0, 1] 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 递减. ∴ f ( x ) 在区间 [?1, 1] 上的最大值为 f (0) ? b ,∴ b ? 1 .???????????2 分

3 3 3 3 a ? 1 ? 2 ? a , f (?1) ? ?1 ? a ? 1 ? ? a ,∴ f (?1) ? f (1) . 2 2 2 2 3 4 ,即 ? a ? ?2 ,得 a ? . 2 3 4 故 a ? , b ? 1 为所求. ????????????4 分 3
又 f (1) ? 1 ? (Ⅱ)解:由(1)得 f ( x) ? x3 ? 2x2 ? 1 , f ?( x) ? 3x2 ? 4x ,点 P(2, 1) 在曲线 f ( x ) 上. ⑴ 当切点为 P(2, 1) 时,切线 l 的斜率 k ? f ?( x) |x?2 ? 4 , ∴ l 的方程为 y ? 1 ? 4( x ? 2) ,即 4 x ? y ? 7 ? 0 . ????????????5 分

2 ⑵当切点 P 不是切点时, 设切点为 Q( x0 , y0 ) ( x0 ? 2) , 切线 l 的斜率 k ? f ?( x) |x? x0 ? 3x0 ? 4x0 ,
2 ∴ l 的方程为 y ? y0 ? (3x0 ? 4x0 )( x ? x0 ) . 2 又点 P(2, 1) 在 l 上,∴ 1 ? y0 ? (3x0 ? 4x0 )(2 ? x0 ) , 3 2 2 ∴ 1 ? ( x0 ? 2x0 ? 1) ? (3x0 ? 4x0 )(2 ? x0 ) , 2 2 ∴ x0 (2 ? x0 ) ? (3x0 ? 4x0 )(2 ? x0 ) , 2 2 ∴ x0 ? 3x0 ? 4 x0 ,即 2 x0 ( x0 ? 2) ? 0 ,∴ x0 ? 0 . ∴ 切线 l 的方程为 y ? 1 .?8 分

故所求切线 l 的方程为 4 x ? y ? 7 ? 0 或 y ? 1 .

????????????9 分

( 或者:由(1)知点 A(0,1)为极大值点,所以曲线 f ( x ) 的点 A 处的切线为 y ? 1 ,恰好 经过点 P(2, 1) ,符合题意. )
2 2x 2 2x (Ⅲ)解: F ( x) ? (3x ? 3ax ? 6 x ? 1) ? e ? ?3x ? 3(a ? 2) x ? 1? ? e . ? ? 2x 2 2x ∴ F ?( x) ? ? 6 x ? 3(a ? 2) ? ? e ? 2 ?3x ? 3(a ? 2) x ? 1? ? e ? ?

? [6 x2 ? 6(a ? 3) x ? 8 ? 3a] ? e2 x .

????????????11 分

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二次函数 y ? 6 x2 ? 6(a ? 3) x ? 8 ? 3a 的判别式为

? ? 36(a ? 3) 2 ? 24(8 ? 3a) ? 12(3a 2 ? 12a ? 11) ? 12 ?3(a ? 2) 2 ? 1? , ? ?
令 ? ? 0 ,得: (a ? 2) ?
2

1 3 3 ,2? ? a ? 2? . 3 3 3
????????????13 分

令 ? ? 0 ,得 a ? 2 ?
2x

3 3 , 或a ? 2 ? . 3 3

∵e

? 0 ,1 ? a ? 2 ,

∴当 2-

3 ? a ? 2 时, F ?( x) ? 0 ,函数 F ( x) 为单调递增,极值点个数为 0;?14 分 3 3 时,此时方程 F ?( x) ? 0 有两个不相等的实数根,根据极值点的定义,可知函 3
????????????16 分

当1 ? a ? 2 ?

数 F ( x) 有两个极值点.

20.(I)证明: ∵ bn ?

1 1 , ∴ bn ?1 ? , nan (n ? 1)an ?1

???1 分

∵ an?1 ?

nan , ? n ? 1?? nan ? 1?
1 1 ? ? (n ? 1)an ?1 nan (n ? 1) 1 nan (n ? 1)(nan ? 1) ?

∴ bn ?1 ? bn ?

na ? 1 1 1 ? ?1 = n nan nan nan

?????????????3 分

? {bn } 是首项为 2,公差为 1 的等差数列.
(II)解:? bn ? 2 ? (n ?1) ?1 ? n ? 1,

????????????4 分

? an ?

1 1 1 1 ? = ? , nbn n(n ? 1) n n ? 1

?????????????6 分

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1 1 1 1 1 ? S n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1
(III)证明: ?

=1 ?

1 n ? . ????8 分 n ?1 n ?1

Si i(i ? 2) i 2 ? 2i ? ? 2 ?1, Si ?1 (i ? 1)2 i ? 2i ? 1 Si S 1 1 1 ) ?( ? ) i Si ?1 Si ?1 Si Si ?1 Si ?1
?( ?(

?????????????9 分

? (1 ?

S 1 1 1 1 ? )( ? ) i Si Si ?1 Si Si ?1 Si ?1 Si S 1 1 ? )( ? i ) Si Si ?1 Si ?1 Si ?1

? 2(

1 1 ? ). Si Si ?1

?????????????13 分

? ? (1 ?
i ?1

n

Si 1 1 1 1 1 1 1 ) ? 2[( ? )?( ? ) ? ??( ? )] Si ?1 Si ?1 S1 S2 S2 S3 Sn Sn?1
? 2( 1 1 n?2 ? ) ? 2( 2 ? ) ? 2( 2 ? 1) .????16 分 n ?1 S1 S n ?1
第Ⅱ卷(附加题)

一、必做题: 1.解: (Ⅰ)设 AC ? BC ? a. 当? ?

?
3

0,, 0,, 0) 0), 0, 时, C (0, 0) A(a,0) B(0,a,,D( , , V (0,

a a 2 2

6 a) , 2

??? ? a a ??? ? 6 ? a) , AC ? ? ?a,0? , VD ? ( , , 0, 2 2 2
1 ???? ??? ? ? a2 2 AC ?VD ?? cos ? ? ???? ??? ? 2 . ? 4 AC VD a ? 2a
????????4 分 (Ⅱ)设 AC ? BC ? a.

?????????????2 分

?????

z V

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C D A x

B

y

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设直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 ? ,平面 VAB 的一个法向量为 n ? ( x,y,z ) . 则由 n AB ? 0,n VD ? 0 . · ·

??? ?

??? ?

??ax ? ay ? 0, ? 得 ?a a 2 az tan ? ? 0. ? x? y? ?2 2 2
可取 n ? (11 , ,

2 ) ,?????????????6 分 tan ?

??? ? ? BC ? (0, a, , ? 0)
??? ? n BC · ? sin ? ? ??? ? ? n· BC a a 2? · 2 tan 2 ? ? 2 sin ? ,?????????8 分 2

∵0 ? ? ?

π 2 ,∴ 0 ? sin ? ? 1 , 0 ? sin ? ? . 2 2 π π ,∴ 0 ? ? ? . 2 4 π 4

?0 ?? ?

即直线 BC 与平面 VAB 所成角的取值范围为 (0, ). ????????????10 分 2.解: (Ⅰ) ? 的所有取值为 0 , 1 , 2 , 3 ,

?x ?1 ?x ? 2 ?x ? 3 ?x ? 4 ?? ? 0 时,有 ? 四种情况, ,? ,? ,? ?y ?1 ?y ? 2 ?y ? 3 ?y ? 4 ? x ? 1 ?x ? 2 ?x ? 2 ? x ? 3 ? x ? 3 ?x ? 4 ? ? 1 时,有 ? 六种情况, ,? ,? ,? ,? ,? ?y ? 2 ? y ?1 ?y ? 3 ?y ? 2 ?y ? 4 ?y ? 3
? x ? 1 ?x ? 3 ? x ? 2 ? x ? 4 ,? 四种情况, ? ? 2 时,有 ? ,? ,? ?y ? 3 ? y ?1 ?y ? 4 ?y ? 2 ? x ? 1 ?x ? 4 两种情况. ? ? 3 时,有 ? ,? ?y ? 4 ? y ?1

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? P(? ? 0) ?

4 1 6 3 4 1 2 1 ? , P (? ? 1) ? ? , P(? ? 2) ? ? , P (? ? 3) ? ? . 16 4 16 8 16 4 16 8

则随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0
1 4

1

2

3

3 8

1 4

1 8
?????????????4 分(各 1 分) ????????6 分

(Ⅱ)数学期望 E? ? 0 ?

1 3 1 1 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 4 8 4 8 4

(Ⅲ)? 函数 f ( x) ? nx2 ? ? x ?1 在 (2,3) 有且只有一个零点, ∴(1)当 f (2) ? 0 时, ? ? 2n ?

1 , 舍去. 2 1 (2)当 f (3) ? 0 时, ? ? 3n ? , 舍去. 3

(3) f (2) f (3) ? (4n ?1 ? 2? )(9n ?1 ? 3? ) ? 0 ,
1 1 ? ? ? 3n ? , 2 3 3 8 当 n ? 1 时, ? ? ? ,?? ? 2 , 2 3 1 7 当 n ? 2 且 n ? N? 时, ? ? 2 n ? ? , 2 2 1 ?当n ? 1时,P( A) ? P(? ? 2) ? 4 ? 2n ?
当 n ? 2 且 n ? N? 时, P( A) ? 0 . 答: 当 n ? 1 时,事件 A 发生的概率为 ?????????????8 分

?????????????9 分 ?????????????10 分

1 ;当 n ? 2 时,事件 A 发生的概率为 0 . 4

3.证明:(Ⅰ)∵ PA 、 PB 与⊙O 分别切 于点 A 、 B , ∴ OA ? OB, OP ? OP, PA ? PB, ∴ ?OAP ? ?OBP , ∴ ?AOP ? ?BOP , ∵ 2?AEB ? ?AOB ,

A E O C D F P

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B

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∴ ?AEB ? ?POB , ???2 分 ∵ AE ∥ CD , ∴ ?AEB ? ?PFB , ???3 分 ∴ ?POB ? ?PFB , ???4 分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知∴ O、F、B、P 四点共圆; ∴ ?OFP ? ?OBP ∵ OB ? BP 即 ?OBP ? 90 ,
? ? ∴ ?OFP ? 90 ,即 OF ? CD ,???8 分

???6 分

∵ OD ? OC , ∴ CF ? DF .

???10 分

4.解: (I)设 A 的一个特征值为 ? ,由题意知:

? ?1
1

?2

? ?4

=0

????????????2 分

( ? -2) ? -3)=0 ( ? 1=2, ? 2=3 当 ? 1=2 时,由 ?

????????????4 分 ??5 分

? 1 2? ? x ? ? x ? ?2? ? ? y ? =2 ? y ? ,得 A 属于特征值 2 的特征向量 α 1= ? 1 ? ? ?1 4? ? ? ? ? ? ? ? 1 2? ? x ? ? x ? ?1? ? ? y ? =3 ? y ? ,得 A 属于特征值 3 的特征向量 α 2= ?1? ? ? ? ?1 4? ? ? ? ? ?1? ?1?

当 ? 2=3 时,由 ?

??6 分

(II)由于 B = ? ? = ? ? + ? ? = α 1+ α 2 故 A B = A4 (α1 ? α 2 )
4

?3? ?2? ? 2? ?1 ?

????????????7 分

=(24 α 1)+(34 α 2) =16 α 1+81 α 2 =?

?32 ? ?81? ?113? ?+? ?=? ? ?16 ? ?81? ? 97 ?

?????10 分

5. (I)直线 l : y ? x ? 4, 曲线 C : y ? 4 x ,
2

????????????2 分 ????????????4 分
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(II)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 由?

? y 2 ? 4 x, ? y ? x ? 4,

消去 y 得 x2 ?12 x ? 16 ? 0,

? x1 ? x2 ? 12, x1 x2 ? 16,
? kOAkOB ?

????????????6 分

y1 y2 ( x1 ? 4)( x2 ? 4) x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 ? ? ? ?1, x1 x2 x1 x2 x1 x2

?????8 分

? OA ? OB.
6.解: (I)当 a ? 1 时,得 2 x ?1 ? 1 ,

????????????10 分

1 ? x ?1 ? , 2 3 1 x ? 或x ? , 2 2

????????????????2 分

1 3 ? 不等式的解集为 (??, ] ? [ , ??) . ??????4 分 2 2
????????????????6 分

(Ⅱ)∵ ax ?1 ? ax ? a ? a ?1 ,

∴原不等式解集为 R 等价于 a ?1 ? 1. ????????????????8 分 ∴ a ? 2, 或a ? 0. ∵a ? 0, ∴ a ? 2.

????????????????10 分

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