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高一数学(人教版)必修1函数知识点总结


高 一数 学 (人 教 版 )必 修 1函 数 知 识 点 总 结 第 一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 2. 3. 集合的含义 集合的中元素的三个特性 : 集合的表示 ; ;

? 注意:常用数集记法 :非负整数集 (自然数集) 正整数集 数集 二、集合间的基本关系 1. “ 包含 ” 关系 — 子集 A?B 2 .“ 相等 ” 关系 整数集 有理数集 实

同时 B?A 那么 A=B。3 真子集 :如果 A?B,且 B(或

A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集 ,记作 A B A)3. 不含任何元素的集合叫做 ,记为

规定 : 空集是任何集合的子集 ,空集是任何非空集合的 真子集。(分类讨论时别忘了空集 ) ? 有 n 个元素的集合,含有 个子集, 个真子集

三、集合的运算 交集

并集

补集 四、函数的有关概念 1.函数的概念 : . 三要素: ; ;

2.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数 的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是 : (1) 分 式 的 分 母 数 ; ; (2) 偶 次 方 根 的 被 开 方 (3) 对数式的真数必须 ; (4) 指

数、对数式的底必须 零底不等于 ,

零且不等于 1 。5)指数为

(6) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意 义. 3.值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法 (2)配方法 (3)图像法 ? 相同函数的判断方法 :① 4.映射与函数的关系 : 5.分段函数 :在定义域的不同部分 上有不同的解析 表达 式的函数。(求值 、画图像、写解析式) 五.函数的性质 1.函数的单调性 (局部性质) (1)增函数 、 减函数 注意 :函数的单调性是函数 ②

的局部性质,必须指明区间; (2).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法 (注意写完整步骤 ): 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形 (通常是因式分解和配方 ); ○ 4 定号 (即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); ○ 5 下结论 (指出函 f(x)在给定的区间 D 上的单调 ○ 性).

(B)图象法(从图象 上看升降) (C)复合函数的单调性 :复合函数 f[g(x)]的单调性与构 成 它 的 函 数 u=g(x) , y=f(u) 的 单 调 性 密 切 相关 , 其 规 律:“同增异减” 牢记基本初等函数的单调区间 2.函数的奇偶性 (整体性质) (1)偶函数

(2)奇函数

利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 首先确定函数的 ○ 点对称; 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论 :若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = ○ 0,则 f(x)是偶函数 ;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 3.函数最大(小)值 1 利用二次函数的性质求函数的最大 (小 ) 值 ,看 ○ ,并判断其是否关于原

对称轴 2 利用图象求函数的最大 (小 )值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大 (小 )值: ○

第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1 根式的概念 .

? 负数没有偶次方根 ;0 的任何次方根都是 0,记作
n

0 ? 0。
,当 n 是偶数时, n a n ?

当 n 是奇数时, n a n ? 2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义 ,规定: ? 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意 义 3.实数指数幂的运算性质 (1) (2) (3) (二)指数函数及其性质 1 、 指 数 函 数 的 概 念 : 一 般 地 , 函 数 叫 做 指 数 函 数 , 其中 x 是 自 变 量 , 函数 的 定 义 域 为
(a ? 0, r , s ? R) ;

(a ? 0, r , s ? R) ;
(a ? 0, r , s ? R) .

R.(注意底数的范围) 2、指数函数的图象和性质 a>1
6 5 4

0<a<1
6 5 4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 值域 在 R 上单调递 函数图象都过定点 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念 : ? 说明:○ 1 注意底数的限制 x a ? N ? loga N ? x (指数式与对数式的互化 ); 两个重要对数 : 1 常用对数 :以 10 为底的对数 ○ ; ;○ 2 在 R 上单调递

2 自 然 对 数 : 以 无 理 数 e ? 2.71828 ? 为 底 的 对 ○ 数 .

(二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ?1 , M ? 0 , N ? 0 (注意使用条

件),那么: 1 loga (M · N ) ? ○ 2 log a ○
M ? N

3 loga M n ? n ○ 注意:换底公式 ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ). 利用换底公式推导下面的结论 (1) log a b n ?
m

1 n . log a b ;(2) loga b ? m logb a

(三)对数函数 1 、 对 数 函 数 的 概 念 : 函 数

叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 (0,+∞). 2、对数函数的性质 : a>1
3 2.5 2 1.5

0<a<1
3 2.5 2 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 值域为

在 R 上递 函数图象都过定点 三、幂函数 1、 幂函数定义 :一般地 ,形如

在 R 上递

(a ? R) 的函

数称为幂函数 ,其中 ? 为常数.2、幂函数性质 四、 对称 与 互为反函数,图像关于

第三章 函数的应用 1.方程的根与函数的零点 方程 f ( x) ? 0 的 有交点的 化) 2、函数零点的求法 : 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根 ; ○ 2 (几何法 ) 对于不能用求根公式的方程 , 可以将 ○ 它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来 ,并利用函数的性质 找出零点. 3 二分法(思想及使用条件) ○ 3 、 y ? f ( x) 在 【 a , b 】 上 ○ 1 图 像 2 ○ 则在(a,b)内必有零点。 4、四种不同增长模型及特点 ;

? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴 ? 函数 y ? f ( x) 的
(转


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