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(山东卷)2009年高考试题-数学文(Word版有答案)


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2009 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 文科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。考试结束后,将 本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类 填写在答题卡和试卷规定的位置上.,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不 按以上要求作答的答案无效。 4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。 参考公式: 柱体的体积公式 V=Sh,其中 S 是柱体的底面积,h 是锥体的高。 锥体的体积公式 V=

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高。 3
第Ⅰ卷(共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.集合 A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a A.0 2.复数 B.1

?

2

? ,若 A ? B ? ?0,1, 2, 4,16? ,则 a 的值为(
C.2 D.4

)

3?i 等于( 1? i

). B. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i

A. 1? 2i

3.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 式是( ).
2

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 4
C. y ? 1 ? sin(2 x ?

A. y ? 2 cos x

B. y ? 2sin x
2

?
4

)

D. y ? cos 2 x

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4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2? ? 2 3 B. 4? ? 2 3 C. 2? ?

). D. 4? ?

2 3 3

2 3 3

5.在 R 上定义运算⊙: a ⊙ b ? ab ? 2a ? b ,则满足 x ⊙ ( x ? 2) <0 的实数 x 的取值范围为 ( ). 2 A.(0,2) B.(-2,1) C. (??,?2) ? (1,??) D.(-1,2) 2

2 2 侧(左)视图

2 正(主)视图

e x ? e? x 6. 函数 y ? x 的图像大致为( e ? e? x
y y 1 O 1 x

). 俯视图 y y

1 O1 x

1 O 1 x O

1 1 D x

A

B

C

7. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? A.-1 B. -2 C.1

x?0 ?log 2 (4 ? x), , f 3) 则 ( 的值为( ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
D. 2.

)

8.设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则( A. PA ? PB ? 0

??? ??? ? ?

??? ?

) D. PA ? PB ? PC ? 0

B

??? ??? ? ?

?

B. PB ? PC ? 0

??? ??? ? ?

?

C. PC ? PA ? 0

??? ??? ? ?

?

??? ??? ??? ? ? ?

?

P 第 8 题图 9. 已知α , 表示两个不同的平面, 为平面α 内的一条直线, “ ? ? ? ” “ m ? ? ” β m 则 是
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A

C

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的(

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

A.充分不必要条件 C.充要条件

10. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y ? ? 4 x
2

). C. y ? 4 x
2

B. y ? ? 8 x
2

D. y ? 8 x
2

11.在区间 [? A.

? ?

1 3

1 , ] 上随机取一个数 x, cos x 的值介于 0 到 之间的概率为( 2 2 2 1 2 2 B. C. D. 2 3 ?

).

12. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( ). B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11) 第? 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。

A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25)

__ 13.在等差数列 {a n } 中, a3 ? 7, a5 ? a 2 ? 6 ,则 a6 ? __________ .13.
14.若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是
x

.

15.执行右边的程序框图,输出的 T=

.

开始

16.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能 生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产 品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元, 设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件 ,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为__________元. S=0,T=0,n=0 是

T>S 否 S=S+5 n=n+2

输出 T 结束

T=T+n 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。

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17.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=2 sin x cos2 取最小值. (1) 求 ? .的值;

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处

(2) 在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ?

2 , f ( A) ?

3 ,求角 C.. 2

18.(本小题满分 12 分) 如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点. (1) 设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 证明:平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. A1 D1 C1 B1

E1 E A

D F

C B

19. (本小题满分 12 分) 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下 表(单位:辆): 轿车 A 舒适型 标准型 100 300 轿车 B 150 450 轿车 C z 600

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按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (1) 求 z 的值. (2) 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体, 从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (3) 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数, 求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.

20.(本小题满分 12 分) 等比数列{ an }的前 n 项和为 S n , 已知对任意的 n ? N
?

,点 (n , Sn ) ,均在函数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn

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21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3

(1) 当 a, b 满足什么条件时, f (x) 取得极值? (2) 已知 a ? 0 ,且 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围.

22. (本小题满分 14 分) 设 m ? R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a ? (mx, y ? 1) ,向量 b ? ( x, y ? 1) , a ? b ,动 点 M ( x, y ) 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知 m ?

?

?

?

?

1 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交 4

点 A,B,且 OA ? OB (O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知 m ?

1 2 2 2 ,设直线 l 与圆 C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公共 4

点 B1,当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.

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参考答案 一、 1-5 D 二、 13、13 三、解答题 17 题、 解: (1) f ( x) ? 2sin x ? 选择题 C A C B 6-10 A B B B B 11-12 A D

填空题 14、 {a | a ? 1} 15、 30 16、2300

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 ,由诱导公式知 sin ? ? 1 ,因为

0 ? ? ? ? ,所以 ? ?
(2)因为 f ( A) ?

?
2

.所以 f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x

3 3 ? ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? .又因为 2 2 6 b sin A 1 2 a b ? 2? ? ,也就是 sin B ? , ? a 2 2 sin A sin B

a ? 1, b ? 2 , 所以由正弦定理,得
因为 b ? a ,所以 B ?

3? . 4 4 ? ? ? 7? 3? ? 3? ? 当 B ? 时, C ? ? ? ? ? ;当 B ? 时, C ? ? ? ? ? . 4 6 4 12 4 6 4 12
或B ? 18 题、 证明:(1)在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,取 A1B1 的中点 F1, A 1 连接 A1D,C1F1,CF1,因为 AB=4, CD=2,且 AB//CD, // 所以 CD=A1F1,A1F1CD 为平行四边形,所以 CF1//A1D, 又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点,所以 EE1//A1D, 所以 CF1//EE1,又因为 EE1 ? 平面 FCC 1 , CF1 ? 平面 FCC 1 , 所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 . A1 E1 E A F D1 C1 B1 B D F1 C D1 C1 B1

?

(2)连接 AC,在直棱柱中,CC1⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, E1
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D E F

C B

A

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所以 CC1⊥AC,因为底面 ABCD 为等腰梯形,AB=4, BC=2, F 是棱 AB 的中点,所以 CF=CB=BF,△BCF 为正三角形,

?BCF ? 60? ,△ACF 为等腰三角形,且 ?ACF ? 30?
所以 AC⊥BC, 又因为 BC 与 CC1 都在平面 BB1C1C 内且交于点 C, 所以 AC⊥平面 BB1C1C,而 AC ? 平面 D1AC, 所以平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. 19 题、 解 : (1). 设 该 厂 本 月 生 产 轿 车 为 n 辆 , 由 题 意 得 , z=2000-100-300-150-450-600=400 (2) 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本,所以

50 10 , 所 以 n=2000. ? n 100 ? 300

400 m ? ,解得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车,分别记作 1000 5

S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有 7 个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取 2 辆, 至少有 1 辆舒适型轿车的概率为 (3)样本的平均数为 x ?

7 . 10

1 (9.4 ? 8.6 ? 9.2 ? 9.6 ? 8.7 ? 9.3 ? 9.0 ? 8.2) ? 9 , 8
9.2, 8.7, 9.3, 9.0 这 6 个

那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4, 8.6,

数,总的个数为 8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为 20 题、

6 ? 0.75 . 8

解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图
x

?

像上.所以得 S n ? b ? r ,
n

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? b ? r ? (b
n n ?1

? r ) ? b n ? b n?1 ? (b ? 1)b n?1 ,
所以 an ? (b ? 1)b
n ?1

又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an ? (b ? 1)b
n ?1

? 2n ?1 ,

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

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2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? ? n?1 ? n? 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n ?1 相减,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? (1 ? n ?1 ) 3 1 n ?1 1 2 n ?1 3 2 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 4 2 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2
则 Tn ? 21 题 解: (1)由已知得 f '( x) ? ax ? 2bx ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 ax ? 2bx ? 1 ? 0 ,
2

2

f (x) 要取得极值,方程 ax 2 ? 2bx ? 1 ? 0 必须有解,
所以△ ? 4b ? 4a ? 0 ,即 b ? a ,
2 2

此时方程 ax ? 2bx ? 1 ? 0 的根为
2

x1 ?

?2b ? 4b 2 ? 4a ?b ? b 2 ? a ?2b ? 4b 2 ? 4a ?b ? b 2 ? a ? ? , x2 ? , 2a a 2a a

所以 f '( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) (-∞,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,+∞) + 增函数

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.

当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) (-∞,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,+∞) - 减函数

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.

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综上,当 a, b 满足 b ? a 时, f (x) 取得极值.
2

(2)要使 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,需使 f '( x) ? ax ? 2bx ? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成立.
2

ax 1 ax 1 ? , x ? (0,1] 恒成立, 所以 b ? (? ? )max 2 2x 2 2x 1 a( x 2 ? ) ax 1 a 1 a , 设 g ( x) ? ? ? , g '( x) ? ? ? 2 ? 2 2 2x 2 2x 2x
即b ? ? 令 g '( x) ? 0 得 x ?

1 1 或x?? (舍去), a a

当 a ? 1 时, 0 ?

1 1 ax 1 ) 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调增函数; ? 1 ,当 x ? (0, a 2 2x a
当 x?(

1 ax 1 ,1] 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调减函数, 2 2x a 1 1 时, g ( x) 取得最大,最大值为 g ( )?? a. a a

所以当 x ?

所以 b ? ? a 当 0 ? a ? 1 时,

1 ax 1 在区间 ? 1 ,此时 g '(x ) ? 0在区间 (0,1] 恒成立,所以 g ( x) ? ? ? 2 2x a

(0,1] 上单调递增,当 x ? 1 时 g ( x) 最大,最大值为 g (1) ? ?
综上,当 a ? 1 时, b ? ? a ; 22 题 解:(1)因为 a ? b , a ? (mx, y ? 1) , b ? ( x, y ? 1) , 所以 a ? b ? mx ? y ? 1 ? 0 ,
2 2

a ?1 a ?1 ,所以 b ? ? 2 2 a ?1 当 0 ? a ? 1时, b ? ? 2
?

?

? ?

? ?

即 mx ? y ? 1 .
2 2

当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ?1 ; 当 m ? 1时, 方程表示的是圆 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线. (2).当 m ?

x2 1 ? y 2 ? 1 ,设圆心在原点的圆的一条切线为 y ? kx ? t , 时, 轨迹 E 的方程为 4 4
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? y ? kx ? t ? 2 2 2 2 2 解方程组 ? x 2 得 x ? 4(kx ? t ) ? 4 ,即 (1 ? 4k ) x ? 8ktx ? 4t ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使△= 64k t ? 16(1 ? 4k )(t ? 1) ? 16(4k ? t ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

即 4k ? t ? 1 ? 0 ,即 t ? 4k ? 1,
2 2 2 2

8kt ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 ? 且? 2 ? x x ? 4t ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?
k 2 (4t 2 ? 4) 8k 2t 2 t 2 ? 4k 2 , ? ? t2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ? k 2 x1 x2 ? kt ( x1 ? x2 ) ? t 2 ?
要使 OA ? OB ,

??? ?

??? ?

需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即
2 2

4t 2 ? 4 t 2 ? 4k 2 5t 2 ? 4k 2 ? 4 ? ? ? 0, 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2 2

所以 5t ? 4k ? 4 ? 0 ,
2 2

即 5t ? 4k ? 4 且 t ? 4k ? 1,

即 4k ? 4 ? 20k ? 5 恒成立.
2 2

所以又因为直线 y ? kx ? t 为圆心在原点的圆的一条切线,

4 (1 ? k 2 ) 4 t 4 2 5 所以圆的半径为 r ? ,r ? ? ? , 所求的圆为 x 2 ? y 2 ? . 2 2 2 5 1? k 1? k 5 1? k
t
2

当切线的斜率不存在时,切线为 x ? ?

x2 2 2 2 ? y 2 ? 1 交 于 点 ( 5 ,? 5 ,与 5) 或 4 5 5 5

(?

2 2 5 ,? 5 ) 也满足 OA ? OB . 5 5
2 2

综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ? A,B,且 OA ? OB . (3)当 m ?

4 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 5

??? ?

??? ?

x2 1 ? y 2 ? 1 ,设直线 l 的方程为 y ? kx ? t ,因为直线 l 与圆 时,轨迹 E 的方程为 4 4
2

C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1, 由(2)知 R ?
2 2

t 1? k
2

,

即 t ? R (1 ? k )
2 2 2

①,

因为 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,

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? y ? kx ? t ? 2 2 由(2)知 ? x 2 得 x ? 4(kx ? t ) ? 4 , 2 ? ? y ?1 ?4
即 (1 ? 4k ) x ? 8ktx ? 4t ? 4 ? 0 有唯一解
2 2 2

则△= 64k t ? 16(1 ? 4k )(t ? 1) ? 16(4k ? t ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

即 4k ? t ? 1 ? 0 ,
2 2



? 2 3R 2 t ? ? ? 4 ? R2 由①②得 ? , 2 ?k 2 ? R ? 1 ? ? 4 ? R2

此时 A,B 重合为 B1(x1,y1)点,

8kt ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 4t 2 ? 4 16 R 2 ? 16 ? 2 ? 由? 中 x1 ? x2 ,所以, x1 ? , 2 1 ? 4k 2 3R 2 ? x x ? 4t ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?

1 2 4 ? R2 4 B1(x1,y1)点在椭圆上,所以 y ? 1 ? x1 ? ,所以 | OB1 |2 ? x12 ? y12 ? 5 ? 2 , 2 4 3R R
2 1

在 直 角 三 角 形 OA1B1 中 , | A1B1 | ?| OB1 | ? | OA1 | ? 5 ?
2 2 2

4 4 ? R2 ? 5 ? ( 2 ? R2 ) 因 为 2 R R

4 ? R 2 ? 4 当且仅当 R ? 2 ? (1, 2) 时取等号,所以 | A1 B1 |2 ? 5 ? 4 ? 1 ,即 R2
当R ?

2 ? (1, 2) 时|A1B1|取得最大值,最大值为 1.

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