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数学:3[2].1.2《用二分法求方程的近似解》课件(新人教A版必修1)


课题: 课题:3.1.2 用二分法求方程的近似解 教学目标: 了解二分法是求方程近 教学目标:1.了解二分法是求方程近 似解的常用方法; 似解的常用方法; 2.掌握用二分法求函数零点近似值的 掌握用二分法求函数零点近似值的 步骤,通过二分法求方程的近似解使 步骤 通过二分法求方程的近似解使 学生体会方程与函数之间的关系; 学生体会方程与函数之间的关系; 3.培养学生动手操作的能力。 培养学生动手操作的能力。 培养学生动手操作的能力

复习旧知
复习提问:什么叫函数的零点? 复习提问:什么叫函数的零点?零点的 等价性什么?零点存在性定理是什么? 等价性什么?零点存在性定理是什么?
零点概念:对于函数y=f(x),我们把使 零点概念:对于函数y=f(x),我们把使 y=f(x), f(x)=0的实数 叫做函数y=f(x) 零点. 的实数x y=f(x)的 f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

方程f(x)有实数根?函数 方程f(x)有实数根?函数y=f(x)的图象与 有实数根 函数y=f(x)的图象与 x轴有交点 函数 轴有交点?函数 轴有交点 函数y=f(x)有零点 有零点 如果函数y=f(x)在区间 在区间[a,b]上的图象是连续 上的图象是连续 如果函数 在区间 上的图象是 不断一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么, 不断一条曲线,并且有 ,那么, 函数y=f(x)在区间 在区间(a,b)内有零点 即存在 函数 在区间 内有零点.即存在 c∈(a,b),使得 ∈ ,使得f(c )=0,这个 也就是方程 ,这个c也就是方程 f(x)=0的根 的根. 的根

提出问题
一元二次方程可以用公式求根,但是没有公 一元二次方程可以用公式求根 但是没有公 式可以用来求方程lnx+2x-6=0的根 能否 的根,能否 式可以用来求方程 的根 利用函数的有关知识来求它的根呢 利用函数的有关知识来求它的根呢?

研讨新知
我们已经知道,函数 在区间(2,3) 我们已经知道 函数f(x)=lnx+2x-6在区间 函数 在区间 内有零点;进一步的问题是, 内有零点;进一步的问题是,如何找到这个 零点呢? 零点呢? 如果能够将零点的范围尽量缩小, 如果能够将零点的范围尽量缩小 那么在一定精确度的要求下,我们 那么在一定精确度的要求下 我们 我要说 可以得到零点的近似值. 可以得到零点的近似值 我要问
我来说

研讨新知
取区间(2,3)的中点 的中点2.5,用计算器 取区间 的中点 用计算器 算得f(2.5)≈-0.084,因为 因为f(2.5)×f(3)<0,所以 算得 因为 × 所以 零点在区间(2.5,3)内;再取区间 零点在区间 内 再取区间(2.5,3)的中 的中 算得f(2.75)≈0.512,因为 点2.75,算得 算得 因为 f(2.5)×f(2.75)<0,所以零点在 所以零点在(2.5,2.75) × 所以零点在 内;… 在有限次重复相同的步骤后,在一定的精度 在有限次重复相同的步骤后 在一定的精度 下,可以将所得到的零点所在区间上任意的 可以将所得到的零点所在区间上任意的 一点(如 端点 作为零点的近似值。 端点)作为零点的近似值 一点 如:端点 作为零点的近似值。
做一做

例 根据下表计算函数f ( x ) = lnx + 2x ? 6 在区 内精确到0.01的零点近似值? 0.01的零点近似值 间(2,3)内精确到0.01的零点近似值?
区间(a,b) 区间(
(2 ,3 ) (2.5,3) 2.5, (2.5,2.75) 2.5,2.75) (2.5,2.625) 2.5,2.625) 5) (2.5,2.562 5) 2.5, 25, 5) (2.531 25,2.562 5) 25, 875) (2.531 25,2.546 875) (2.531 25,2.539 062 5) , )

中点值m 中点值
2.5 2.75 2.625 2.562 5 2.531 25 2.546 875 2.539 062 5 2.535 156 25

f(m)的近似值 f(m)的近似值 -0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.01 0.001

精确度| - | 精确度|a-b|
1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.007813

解:观察上表知 观察上表知:0.007813<0.01, 观察上表知 所以x=2.53515625≈2.54为函数 所以 为函数 f(x)=lnx+2x-6零点的近似值。 零点的近似值。 零点的近似值

给这种方法取个名字?

定义: 对于在区间[a,b]上连续不断、且 定义: 对于在区间 上连续不断、 f(a)·f(b)<0的函数 的函数y=f(x),通过不断把函数 通过不断把函数f(x)的零 的函数 通过不断把函数 的零 点所在区间一分为二, 点所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼 近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法。 进而得到零点近似值的方法叫二分法 近零点 进而得到零点近似值的方法叫二分法。 想一想:你能归纳出用二分法求函数零点近似值 想一想:你能归纳出用二分法求函数零点近似值 的步骤吗 的步骤吗?
1、确定区间[a,b],验证 、确定区间 ,验证f(a)·f(b)<0,给定精确度 ,给定精确度ε 2、求区间(a,b)的中点 1 、求区间 的中点x 的中点 3、计算f(x1);(1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点 (2) 若f(x1)<0,则令 则令b= 此时零点x 则令 x1(此时零点 0∈(a,x1)) 此时零点 (3) 若f(x1)>0,则令 则令a= 此时零点x 则令 x1(此时零点 0∈(x1,b)) 此时零点 4、判断是否达到精确度 ,即若 、判断是否达到精确度ε,即若|a-b|< ε,则得到零点 则得到零点 的近似值a(或 ;否则得复2~ 的近似值 或b);否则得复 ~4

想一想

为什么由|a-b|<ε便可判断零 便可判断零 为什么由 点的近似值为a或 点的近似值为 或b?

答:设函数零点为x0,则a<x0<b, 设函数零点为 则 则:0<x0-a<b-a,a-b<x0-b<0; 由于|a-b|<ε,所以 0-a|<b-a<ε, 所以|x 由于 所以 |x0-b|<|a-b|<ε,即a或b作为零点 0的近似 作为零点x 即 或 作为零点 值都达到了给定的精确度ε。 值都达到了给定的精确度 。

巩固深化
例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程 、

2 + 3x = 7
x

的近似解(精确到 ) 的近似解(精确到0.1)

分析思考:原方程 的近似解和哪个函数的零点是 分析思考 原方程 的近似解和哪个函数的零点是 等价的? 等价的 x 解:原方程即 2 + 3 x ? 7 = 0 , 原方程即 x 令 f ( x ) = 2 + 3 x ? 7 ,用计算器或计算机 用计算器或计算机 x 作出函数 f ( x ) = 2 + 3 x ? 7 的对应值表与图 如下): 象(如下 x 0 1 2 3 4 5 6 7 f(x)=2x+3x-7 -6 -2 3 10 21 40 75 142

4

3

f ( x ) = ( 2 x +3 ? x ) -7

2

1

-2 -1

0

1

2

4

6

8

10

-2

-3

-4

-5

-6

观察上图和表格,可知 说明在区 观察上图和表格 可知f(1)·f(2)<0,说明在区 可知 说明 内有零点x 取区间(1,2)的中点 的中点 间(1,2)内有零点 0.取区间 内有零点 取区间 x1=1.5,用计算器可得 用计算器可得f(1.5)≈0.33.因为 用计算器可得 因为 f(1)·f(1.5)<0,所以 0∈(1,1.5),再取 所以x 再取(1,1.5)的 所以 再取 的 中点x 中点 2=1.25,用计算器求得 用计算器求得 f(1.25)≈-0.87,因此 因此f(1.25)·f(1.5)<0,所以 因此 所以 x0∈(1.25,1.5),同理可得x0∈(1.375,1.5), (1.25,1.5),同理可得 同理可得x x0∈(1.375,1.4375), 由|1.375-1.4375|=0.0625<0.1,此时区间 此时区间 (1.375,1.4375)的两个端点 精确到 的近 的两个端点,精确到 的两个端点 精确到0.1的近 所以原方程精确到 似值都是1.4,所以原方程精确到 的近似 似值都是 所以原方程精确到0.1的近似 解为1.4. 解为

的零点, 例2.求函数 y = x ? 2 x ? x + 2 的零点 求函数 并画出它的图象. 并画出它的图象 3 2 略解: 略解 y = x ? 2 x ? x + 2 = ( x ? 2)( x ? 1)( x + 1) 所以零点为-1,1,2;3个零点把横轴分成 个 所以零点为 个零点把横轴分成4个 个零点把横轴分成 区间,然后列表描点画出它的图象 然后列表描点画出它的图象. 区间 然后列表描点画出它的图象
3 2

y

2 ·

-1

·

0 1 2

· ·

x

例3.已知函数 f ( x) = ax + bx + cx + d 的图象 已知函数 如图所示,则 ). 如图所示 则( ·1 · 2 A.b∈(-∞,0) B.b∈(0,1) 0
3 2

C.b∈(1,2)

D.b∈(2,+∞)

略解:由题意f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0,f(-1)<0. 得:d=0,a+b+c=0,8a+4b+2c=0,-a+b-c<0.求 得b<0.选A.

例4.已知函数 f ( x) = mx + (m ? 3) x + 1 的图象 已知函数 轴的交点至少有一个在原点右侧,则实 与x轴的交点至少有一个在原点右侧 则实 轴的交点至少有一个在原点右侧 的取值范围是( ). 数m的取值范围是 的取值范围是 A. (0,1] B. (0,1) C. (-∞,1) D. (-∞,1]
2

略解:m=0时,f(x)=-3x+1 符合题意 故可排 时 符合题意,故可排 略解 2 除A和B;m=1时,二次函数 f ( x) = x ? 2 x + 1 和 时 二次函数 的交点(1,0)在原点右侧 符合题意 在原点右侧,符合题意 与x的交点 的交点 在原点右侧 符合题意, 故选D. 故选

用二分法求解方程的近似解: 二分法求解方程的近似解: 求解方程的近似解
1、确定区间[a,b],验证 、确定区间 ,验证f(a)*f(b)<0,给定精确度 ,给定精确度ε 2、求区间 的中点x 、求区间(a,b)的中点 1 的中点 3、计算f(x1); 3、计算f(x (1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点 则 (2) 若f(x1)<0,则令 x1(此时零点 0∈(a,x1)) 则令b= 此时零点x 则令 此时零点 则令a= 此时零点x (3) 若f(x1)>0,则令 x1(此时零点 0∈(x1,b)) 则令 此时零点 4、判断是否达到精确度 ,即若 、判断是否达到精确度ε,即若|a-b|< ε,则得到零点 则得到零点 的近似值a(或 ;否则得复2~ 的近似值 或b);否则得复 ~4


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