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GCT考试数学重要公式


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数学解题必知公式
第一章 算 术 【备考要点 】算术部分重点考查的是数的概念和性质,四则运算及运用,比和比例。这部分看似简单,但 往往有考生在简单题目上出错,所以在解题过程中要比其它题目更加细心。 【解题技巧】 (一)必知公式 1. 数的概念与性质 自然数:0,1,2,… 整数:…,-2,-1,0,1,2,… 分数:将单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。 百分数:表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,通常用“%”来表示。 数的整除:当整数 a 除以非零整数 b,商正好是整数而无余数时,则成 a 能被 b 整除或 b 能整除 a。 倍数,约数:当 a 能被 b 整除时,称 a 是 b 的倍数,b 是 a 的约数。 素数:只有 1 和它本身两个约数的数。 合数:除了 1 和它本身还有其它约数的数; 互质数:公约数只有 1 的两个数称为互质数。 2. 数的四则运算 数的加、减、乘、除法 运算定律:加法交换律 a + b = b + a 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律

a + b + c = ( a + b) + c = a + ( b + c) a×b = b× a a × b × c = ( a × b) × c = a × (b × c) a × (b + c ) = a × b + a × c (b + c) × a = b × a + c × a

运算性质: 交换性质 a + b ? c = a ? c + b

a×b/ c = a / c×b

a ?b ? c = a ?c ?b a/b/c = a/c/b

结合性质

a + b ? c = a + (b ? c) = a ? (c ? b) a ? b ? c = a ? (b + c ) a × b / c = a × (b / c)( c ≠ 0) a / b × c = a /(b / c)(b ≠ 0, c ≠ 0) a / b / c = a /(b × c)(b ≠ 0, c ≠ 0)

3. 比和比例

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比的定义:两个数相除,又称为这两个数的比,即 a : b =

a ; b a c = b d

比的性质:比的前项与后项同乘(除)以同一个非零的数,其比值不变。 比例的定义:两个比相等时,称为比例,用字母表示为 a : b = c : d 或

a c = 的性质: b d ① ad = bc (外项积=内项积) d c a b ② = 或 = (互换外项或内项) b a c d a +b c+d = (合比定理) ③ b d a ?b c ?d ④ = (分比定理) b d a +b c+d = (合分比定理) ⑤ a?b c ?d
比例 第二章 初等代数 这部分主要考查代数等式和不等式的变换和计算。包括:实数和复数;乘方和开方;代数式的运算和 因式分解;方程和不等式的解法;数学归纳法,数列;二项式定理,排列,组合和概率及统计的基本知识 等。 第一节 数和代数式

【备考要点 】 数与代数式部分主要考察实数和复数的概念和简单的性质,以及它们的四则运算与运用,来培养数 学的运算能力。根据数的概念、公式、原理、法则,进行数、式、方程的正确运算和变形;通过已知条件 分析,寻求与设计合理、简捷的运算途径。 【解题技巧 】 (一)必知公式 1. 实数的运算 (1) 乘方与开方(乘积与分式的方根、根式的乘方与化简)

a x a y = a x+ y ,
(2) 绝对值的性质

ax = a x ? y , (ab) x = a x b x , (a x ) y = a xy . ay

?a , a > 0 ? a = ?0, a = 0 , ?? a , a < 0 ?
2. 复数 (1) 基本概念:

a +b ≤ a + b ,? a ≤ a ≤ a .

虚数单位是 i 2 = ?1 ; 对复数 z = a + bi 的模长是 z =

a 2 + b2 , 幅角 tan α =

b , 其中 α ∈ [0, 2π ] ; a

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它的实部是 a ,虚部是 b 。它的共轭复数是 a ? bi 。 (2) 基本形式 代数形式: z = a + bi ,三角形式: z = z (cos α + i sin α ) ,指数形式: z = z e (3) 复数的运算及其几何意义 加法: z1 = a1 + b1i , z 2 = a 2 + b2 i , z1 + z 2 = (a1 + a 2 ) + i (b1 + b2 ) 数乘: z = a + bi , λz = λa + λbi 乘法: z1 = z1 (cos α 1 + i sin α 1 ) , z 2 = z 2 (cos α 2 + i sin α 2 ) ,


z1 z 2 = z1 z 2 (cos(α 1 + α 2 ) + i sin(α1 + α 2 )) ,
除法:

z z1 = 1 (cos(α 1 ? α 2 ) + i sin(α 1 ? α 2 )) z2 z2

3. 代数式(单项式、多项式) (1) 几个常用公式(和与差的平方,和与差的立方,平方差,立方和,立方差等) (2) 简单代数式的因式分解 (3) 多项式的除法 第二节 集合、映射和函数 【备考要点 】 集合、映射和函数主要考察集合的概念,集合的子交并补的性质;函数的概念,及函数的有界性、 单调性、奇偶性、周期性的判断和应用;幂函数、指数函数、对数函数的初等性质。以此来培养数学的逻 辑推理能力: 对数学问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括;能用演绎、归纳和类比进行推理。 【解题技巧】 (一)必知公式 1.集合 (1)概念 空集 Φ ;集合的表示法: A = { x | 0 < x < +∞} ;几个常用的集合:N,Z,Q,R,C。 (2)包含关系 子集 A ? B ? ?x ∈ A ? x ∈ B ;真子集;两个集合相等的条件 A ? B 且 B ? A ;子集的个数的计 算。 (3)运算 交集、 并集、补集、全集、运算律、摩根律: A I B , A U B , A(C I ( A)) , A U B U C = A U ( B U C ) ,

A I ( B U C ) = ( A I B) U ( A I C ) ,
2.函数 (1)概念

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函数的两个要素是:定义域和对应法则。反函数的概念 y = f

?1

( x) ,若 ( a, b ) 在原函数的图像上,则

(b, a ) 在它的反函数图像上。
(2)简单性质 函数的四个性质:有界性、单调性、奇偶性、周期性的定义和判断的方法。 有界性: f ( x) ≤ M ; 周 期 性 : 奇偶性:奇函数: f ( ? x) = ? f ( x) , 偶函数: f ( ? x) = f ( x) ;

f ( x) = f ( x + T ) 。 一 个 关 于 周 期 函 数 的 重 要 的 变 换 :

g ( x ) = f (ax + b) = f (ax + b + T ) = f (a ( x +

T T ) + b) = g ( x + ) a a

(4) 幂函数、指数函数、对数函数的定义、性质、图像和常用公式。

y = x a , y = a x , y = log a x , y = lg x , y = ln x , ln xy = ln x + ln y , ln log b x x = ln x ? ln y , ln x y = y ln x , log a x = y log b a
第三节 代数方程和简单的超越方程

【备考要点 】 代数方程和简单的超越方程主要考察方程的求解,函数性质在方程中的应用。来培养数学的综合解 决问题的能力:理解和分析用数学语言所表述的问题,列出方程;综合应用数学的知识和思想方法解出方 程。 【解题技巧】 (一)必知公式 1.一元一次方程、二元一次方程 一元一次方程的形式是

b ax + b = 0 ,其中 a ≠ 0 ,它的根为 x = ? . a ? a1 x + b1 y = c1 ,如果 a1b2 ? a2b1 ≠ 0 ,则方程组有唯一解 ( x , y ) . ?a2 x + b2 y = c2

二元一次方程组的形式是 ? 2. 一元二次方程

一元二次方程的形式是 ax 2 + bx + c = 0 (1) 判别式: ? = b 2 ? 4 ac

? b ± b 2 ? 4ac (2) 求根公式: x ± = 2a
(3) 根与系数的关系: x1 + x 2 = ? (4) 二次函数的图像

b c , x1 x 2 = a a

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y = ax 2 + bx + c = a ( x +

b 2 4ac ? b 2 ) + 2a 4a

以x=?

b 4ac ? b 2 b 为对称轴, ( ? , ) 为顶点的抛物线。 2a 2a 4a

3. 简单的指数方程和对数方程 例如: 2
x 2 +1

= 53 x + 4 ,lg(2 x 2 ? 2 x + 3) = 1 等,像这样的方程可用换元法化为代数方程来求解。
第四节 不等式

【备考要点 】 不等式主要考察不等式的解法和不等式的应用。来培养数学的计算能力和综合解决问题的能力。 【解题技巧 】 (一)必知公式 1. 不等式的基本性质及基本不等式:算术平均数与几何平均数、绝对值不等式。 2. 几种常见的不等式解法 绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、指数不等式、对数不等式等。 (二)真题例解 1. 特殊值法 通过选取合适的特殊值,将正确选项找出是处理选择题的最有效方法之一。 2. 求导数法 这种方法在处理不等式问题时很可行,在第一章节我们也用到了这种方法。 第五节 数列、数学归纳法 【备考要点 】 数列主要考察数列的概念,等差数列和等比数列的求和及应用。数学归纳法是一种重要的证明关于 自然数问题的方法。以此来培养综合解决问题的能力。 【解题技巧】 (一)必知公式 1. 数列的概念 数列的形式: a1 , a 2 , a3 , L, 通项为 {a n } ,前 n 项和为 S n = a1 + a 2 + L + a n = 2.等差数列 (1) 概念 定义: a n +1 ? a n = d ,通项: a n = a1 + ( n ? 1) d ,前 n 项和: S n = na1 + (2) 简单性质:中项公式、平均值

∑a
k =1

n

k



1 n(n ? 1)d 2

a n? k + a n + k = 2a n ,
3.等比数列 (1) 概念

a1 + a 2 + L + a n 1 = (a1 + a n ) n 2

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定义: a n ≠ 0 , (2) 简单性质:

a n +1 1? qn = q ,通项: a n = a1q n ?1 ,前 n 项和: S n = a1 an 1? q

2 中项公式: a n ? k a n + k = a n

4.数学归纳法 证明:

∑ k = 2 n(n + 1)
k =1

n

1

第六节

排列、组合、二项式定理和古典概率

【备考要点 】 排列、组合、二项式定理主要是为概率论来服务的,主要考察排列和组合的定义。古典概率是现代 概率的基础,主要考察等可能事件概率的计算。以此来培养理解实际问题和解决问题的能力。 【解题技巧】 (一)必知公式 1. 加法原理 如果完成一件事可以有 n 类办法,在第 i 类办法中有 mi 种不同的方法 (i = 1, 2,L , n) ,那么完成这件事共 有 N = m1 + m2 + L + mn 种不同的方法。 2. 乘法原理 如果完成一件事需要分成 n 个步骤,做第 i 步有 mi 种不同的方法 (i = 1, 2,L , n) ,那么完成这件事共有

N = m1 ?m2 L ? ?mn 种不同的方法。
3. 排列与排列数 (1) 定义:从 n 个不同的元素中任取 m ( m ≤ n ) 个,按照一定的顺序排成一列,称为从 n 个元素中取出 m 个元素的一个排列;所有这些排列的个数,称为排列数,记为 Pn 。 (2) 排列数公式: Pnm = n ( n ? 1)( n ? 2) L ( n ? m + 1)
m 注:阶乘(全排列) Pm = m! m

4. 组合与组合数 (1) 定义:从 n 个不同的元素中任取 m ( m ≤ n ) 个并成一个组,称为从 n 个元素中取出 m 个元素的一
m 个组合;所有这些组合的个数,称为组合数,记为 Cn 。

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Pnm (2) 组合数公式: C = m Pm
m n

(3) 基本性质: C 5. 二项式定理

m n

=C

n? m , n

C

m n +1

=C +C
m n

m ?1 , n

∑C
k =0

n

k n

= 2n

k k n? k ( a + b) n = ∑ C n a b k =0

n

6. 古典概率的基本概念 样本空间、样本点、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互不相容事件、对 立事件。 7. 概率的概念与性质 (1) 定义(非负性、规范性、可加性) ; (2) 性质:

0 ≤ P ( A) ≤ 1 , P ( Φ ) = 0 , P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) ? P ( A I B )
7.几种特殊事件发生的概率 (1)等可能事件(古典概型) P ( A) = (2)互不相容事件 对立事件 (3)相互独立事件 (4)独立重复试验 如果在一次试验中某事件发生的概率为 p, 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率
k k 为 Pn ( k ) = C n p (1 ? p ) n ?k

m n

P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) P ( A) + P ( B ) = 1 P ( A I B ) = P ( A) P ( B )

第三章 几何与三角 这部分主要考查 三角形、四边形、圆形以及多边形等平面几何图形的角度、周长、面积等计算和运用;长 方体、正方体以及圆柱体等各种规范立体图形的表面积和体积的计算和运用;三角学;以及解析几何方面 的知识等。 第一节 平面几何图形 【备考要点】平面几何部分重点考查的是三角形、四边形、圆形以及(正)多边形等平面几何图形的角度、

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周长、面积等计算和运用; 【解题技巧】 (一)必知公式 1.三角 形 (1)三角形内角之和

∠1 + ∠2 + ∠3 = π
三角形外角等于不相邻的两个内角之和。 (2)三角形面积公式

s=

1 1 ah = ab sin C = 2 2

p ( p ? a)( p ? b)( p ? c ) , 2 p = a + b + c

其中 h 是 a 边上的高,C 是 a , b 边所夹的角, p 为三角形的半周长。 (3)三角形三边关系:两边之和大于第三边,即 a + b > c (4)几种特殊三角形(直角、等腰、等边) 勾股定理: c 2 = a 2 + b 2 等腰直角三角形的三边之比:1:1: 2 2.四边形 (1)矩形(正方形) 矩形两边长为 a , b ,面积为 S = ab ,周长 l = 2( a + b ) ,对角线长= a 2 + b 2 。 (2)平行四边形(菱形) 平行四边形两边长是 a , b ,以 b 为底边的高为 h ,面积为 S = bh ,周长 l = 2( a + b ) 。 (3)梯形 上底为 a ,下底为 b ,高为 h ,中位线= 3.圆和扇形 (1)圆 圆的圆心为 O,半径为 r,直径为 d,则 周长为 l = 2πR 面积是 s = πR 2 。 (2)扇形 扇形 OAB 中,圆心角为 θ ,则 AB 弧长 l = Rθ

1 1 (a + b) ,面积为 s = (a + b)h 。 2 2

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扇形面积 s =

1 Rl 2
第二节 空间几何体

【备考要点】空间几何体部分重点考查的是长方体、正方体以及圆柱体等各种规范立体图形的表面积和体 积的计算和运用,所以记牢一些基本立方体的体积及表面积很关键。 【解题技巧】 (一) 必知公式 1. 长方体 设长方体的 3 条相邻的棱边长是 a,b,c. 体积: V = abc 全面积: F = 2( ab + bc + ca ) 对角线长: d = 2.圆柱体 设圆柱体的高为 h ,底半径为 R. 体积: V = πR 2 h 侧面积: S 侧=2π Rh 全面积:

a2 + b2 + c 2

F = 2 S底+S侧=2π R 2 + 2π Rh .

3.正圆锥体 设正圆锥体的高为 h ,底半径为 R. 体积: V = 母线: l =

1 2 πR h 3 R2 + h2 2π R l

侧面积: S 侧=π Rl ,其侧面展开图为一扇形,该扇形的圆心角为 θ = 全面积: F = S底+S侧=π R + π Rl .
2

4.球 设球半径为 R 体积: V =

4 3 πR 3

面积: S = 4π R 2

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第三节 三角学 【备考要点】三角学部分重点考查的是三角函数的定义及,常用的三角函数恒等式,反三角函数的定义及 性质,熟练掌握特殊角的三角函数值也是很有必要的。 【解题技巧】 (一) 必知公式 1.定义(符号、特殊角的三角函数值) 2.三角函数的 图像和性质 3.常用的三角函数 恒等式

?sin 2 α + cos 2 α = 1 ? 2 2 ?1 + tan α = sec α ? + 2 2 ?1 cot = csc α ?sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ?cos(α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β ? ? ?sin 2 β = 2 sin β cos β 2 2 2 2 ? ?cos 2 β = cos β ? sin β = 1 ? 2 sin β = 2 cos β ? 1 sin( π π + β ) = cos β , cos( + β ) = ? sin β , sin( π + β ) = ? sin β 2 2

4.反三角函数

y = arcsin x , x ∈ [?

π π , ]; 2 2 π π y = arctan x , x ∈ (? , ) ; 2 2

y = arccos x , x ∈ [0, π ] ;

y = arc cot x , x ∈ ( 0, π )

5.正弦定理和 余弦定理 (1)正弦定理

sin A sin B sin C = = a b c
(2)余弦定理

cos A =

b2 + c2 ? a2 a2 + c2 ? b2 a 2 + b2 ? c2 ; cos B = ; cos C = 2bc 2ac 2ab

第四节 平面解析几何 【备考要点】平面解析几何部分重点考查的是平面直线方程,直线之间的位置关系及点到直线的距离,常 见圆锥曲线,如椭圆,抛物线和双曲线的方程及性质。 【解题技巧】 (一) 必知公式 一、平面直线 1.直线方程

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点斜式:

y ? y0 =k; x ? x0

斜截式: y = y 0 + k ( x ? x0 ) ; 截距式: y = kx + b ; 一般式: ax + by + c = 0 2.两条直线 的位置关系 (相交、平行、垂直、夹角)

l1 : y = k1 x + b1 ;

l2 : y = k2 x + b2

l1 // l2 ? k1 = k 2,b1 ≠ b2 l1 ⊥ l2 ? k1k 2 = ?1
3.点到直线 的距离

l : ax + by + c = 0 ,点 ( x0 , y 0 ) 到 l 的距离为 d =
二、圆锥曲线 1.圆:到 一定点 距离相 等的点的集合 方程: ( x ? x0 ) 2 + ( y ? y 0 ) 2 = R 2 2.椭圆 (1)定义:到两点距离之和为一常数的点的集合。 (2)方程:

ax0 + bx 0 + c a2 + b2

x2 y2 + 2 = 1 ,其中 a 2 ? b 2 = c 2 , ( ?c,0), ( c,0) 为焦点; 2 a b c <1 a a2 c

(3)离心率: e =

(4)准线: 3.双曲线

x=±

(1)定义:到两点距离之差为一常数的点的集合。 (2)方程:

x2 y2 ? 2 = 1 , a 2 + b 2 = c 2 , ( ?c,0), ( c,0) 为焦点; 2 a b

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c >1 a b (4)渐近线: y = ± x a
(3)离心率: e = (5)准线: 4.抛物线 (1)定义:到一定点与到一定直线的距离相等的点的集合。 (2)方程: y 2 = 2 px ,焦点为 ( (3)离心率: e = 1 (4)准线: x = ?

x=±

a2 c

p ,0) , 2

p 2

第四章 一元函数 微积分 这部分主要考查极限与连续 ,导数的概念,求导法则及基本求导公式,高阶导数,微分的概念即微 分中值定理与导数应用,不定积分和定积分的概念,牛顿-莱布尼兹公式,不定积分和定积分的计算,定积 分的简单应用等。 第一节 极限与连续

【备考要点】 函数是数学研究中一个非常重要的对象, 为了清楚地了解函数,求极限是考察函数性质的一个基本 的方法。因此要求考生学习和掌握一些常见函数的基本定义,极限的求法。同时掌握函数连续性的定义、 熟练掌握极限的运算法则并能够求一些初等函数和数列的极限。 【解题技巧】 (一)必知公式 1.极限四则运算法则

lim[ f ( x ) ± g ( x )] = lim f (x ) ± lim g ( x ) 。 lim f ( x ) g ( x ) = lim f ( x ) ? lim g (x )

2.两个基本极限公式
第二节 微分学 【备考要点】
1 sin x lim = 1, lim(1 + x) x = e 一元函数 x →0 x →0 x

这一节要求考生学习和掌握导数的基本概念和定义,求导法则及基本求导公式,高阶 导数,微分。同时还需要掌握微分中值定理与导数初等应用。
【解题技巧】 (一)必知公式 1.初等函数求导公式

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y=c
y = xa y = ax
y = log a x

y' = 0
y ' = a x a ?1 y ' = a x ln a
y' = loga e 1 = x x ln a

y = sin x

y ' = cos x y ' = ? sin x
y ' = sec 2 x = 1
2 cos x

y = cos x
y = tgx

y = ctgx y ' = ? csc2 x = ?

1
2 sin x

y = sec x
y' = (

1 )' = sec x ? tgx cos x

y = csc x
y = arcsin x

y' = ? csc x ? ctgx
y' = 1 1 ? x2 1 1 ? x2

y = arccos x

y' = ?

y = arctgx y' = y = arcctgx

1 1 + x2 1 1 + x2

y' = ?

2.导数四则运算法则 (1)(“数乘”)对任意常数 C , y ′ = (Cx )′ = Cx ′ = C 。 (2) ( “加减法” )对任意常数 A, B , y ′ = [ Au ( x ) + Bv ( x )]′ = Au ′ (x ) + Bv ′ (x ) (3) ( “乘积” ) y ′ = [u ( x )v ( x )]′ = u ′(x )v (x ) + u (x )v ′ (x ) (4) ( “除法” ) y′ = [ 3.复合函数的求导法则

u ( x) u′( x) v( x) ? u( x) v′( x) ]′ = , ( v( x ) ≠ 0 ) 。 v ( x) v2 ( x)

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已知 f = f (u ), u = u ( x ), 则

df df du = ? 。 dx du dx

4.微分的四则运算法则 (1)(“数乘”)对任意常数 C , dy = d (Cx ) = Cdx 。 (2) ( “加减法” )对任意常数 A, B , dy = d [ Au ( x ) + Bv ( x )] = Adu (x ) + Bdv (x ) (3) ( “乘积” ) dy = d [u ( x )v (x )] = du (x )v (x ) + u (x )dv (x ) (4) ( “除法” ) dy = d [ 5. 中值定理与导数应用: 拉格郎日中值定理: f (b ) ? f (a ) = f ′(ξ )(b ? a ) 第三节 【备考要点】 一元函数 积分学

u ( x) du( x) v( x) ? u( x) dv( x) ]= , ( v( x ) ≠ 0 ) 。 v( x ) v 2 ( x)

这一节要求考生学习和掌握不定积分和定积分的概念,牛顿-莱布尼兹公式,不定积分 和定积分的计算,定积分的简单应用。 【解题技巧】
(一)必知公式 1.常用不定积分公式 (1) kdx = kx + C (k 是常数), (3)



(2) x n dx = (4)



x n+1 n +1

+ C ( n ≠ ?1) ,

∫ ∫ ∫

dx x

= ln | x | +C ,



dx 1+ x 2

=arctanx+C,

(5) cos xdx = sin x + C , (7) e dx = e + C ,
x x

(6) sin xdx = ? cos x + C , (8) a x dx =





ax ln a

+ C,

2. 不定积分的运算法则 (1)(“数乘”)对任意常数 C , Cf ( x)dx = C (2) ( “加减法” )对任意常数 A, B , 3.分部积分公式



∫ [ Af (x ) + Bg ( x)]dx = A ∫ f ( x)dx + B ∫ g ( x)dx.

∫ f ( x)dx. 。

∫ u ( x)v′( x)dx = u( x)v( x) ? ∫ u′( x)v( x)dx
4.换元积分法 (i)若 f ( x) = g (? ( x))? ′( x) , x ∈ [a, b] 则

∫ f ( x)dx = ∫ g (? ( x))? ′( x) dx = ∫ g(u) du
称之为第一换元积分法。 (ii) “反过来” , 又若 ? ′( x ) ≠ 0 ,

∫ g (u )du = ∫ g (? ( x))? ′( x) dx = ∫ f ( x) dx
称之为第二换元积分法.
【注】 对于定积分有类似于上面的公式。

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5.牛顿-莱布尼茨公式
如果函数 F (x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间 [a, b] 上的一个原函数,



∫ f (x) dx = F (b) ? F (a) .
b a

6.定积分的应用—平面图形的面积 求函数 y

= f ( x) 和 y = g ( x ) 与两条直线 x = a, x = b 所围图形的面积。
S=



b

a

dS =

∫ [ f (x ) ? g (x )]dx
b a

第五章 线性代数 【备考要点】 线性代数 部分的考点 主要包括行 列式,矩阵,向量,线 性方程组和特 征值问题五个部分。其中行 列 式部分主 要考查行列式的概念和性质 ,行列式展开定理,行列式的 计算;矩阵部分主 要考查矩阵 的概念 , 矩阵的运算 ,逆矩阵,矩阵 的初等 变换;向量部分主 要考查向量 组的线性相关和线性无关,向量 组的秩和 矩阵的秩;线 性方程组 主要考查线性方程组的 克莱姆法则,线性方程组解的 判别法则,齐次和非齐次线性 方程组的求解 ;特征值问题主要考查特征值和特 征向量 的概念 ,相似矩阵, 特征值和特 征向量 的计算,n 阶矩阵可化为 对角矩阵的条件和方法 。 第一节 行列式

行列式是线性代数的一 个重要工具。线 性代数 中很多重要的问题都可以用行列式来讨论 ,例如,n 阶 行列式可以用来判断 n 元向量的线性相关性,判别矩阵是 否可逆,判别系 数矩阵为 方阵的线性方程组的解 是否唯一,当有唯 一解时还可以用克莱姆 法则求 线性方程组的解 ,还可以用来求矩阵的特征值。因此,就 备考 GCT 考试来说 ,掌握行列式是至关重要的第一 站。 【解题技巧】 【必知公式】 行列式的定 义:

? ? ?

一阶行列式定义为 a11 = a11 二阶行列式定义为

a11 a 21

a12 = a11a 22 ? a12 a 21 a 22

在 n 阶行列式中,划去元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列,剩余元素构成 n-1 阶行列式,成为元素 a ij 的余 令 Aij = ( ?1)
(i + j )

子式,记做 M ij 。

M ij ,则称 Aij 为 a ij 的代数余子式。

a11 a 21 n 阶行列式的定义为 L a n1

a12 a 22 L an2

L a1n L a2n = a11 A11 + a12 A12 + L + a1n A1n L L L a nn

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行列式的性质 :

? 行列式中行列互换,其 值不变
a11 a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a11 a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33 a 23 = a12 a33 a13

? 行列式中两行 (列)对 换,其 值变号
a11 a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a 21 a 22 a12 a32 a 23 a13 a33 a 23 =- a11 a33 a31

? 行列式中如果某 行(列)元 素有公因子,可以将公因子提 到行列式外
a11 ka 21 a31 a12 ka 22 a32 a13 a11 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33 ka 23 = k a 21 a 33 a31

? 行列式中如果有 一行(列) 每个元素都由 两个数之和组成,行列式可以拆成 两个行 列式的和
a11 a 21 + b21 a 31 a12 a 22 + b22 a32 a13 a11 a12 a 22 a32 a13 a11 a12 b22 a 32 a13 b23 a33 a 23 + b23 = a 21 a 33 a31 a 23 + b21 a33 a31

由以上四条性质,还能推出下面几条性质:

? 行列式中如果有 两行(列)元 素对应相等,则行列式的值 为 0 ? 行列式中如果有 两行(列)元 素对应成比例,则行列式为 0 ? 行列式中如果有 一行(列)元 素全为 0,则行列式值 为 0 ? 行列式中某行(列)元 素的 k 倍加到另一行(列) ,则其值不变
a11 a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a11 a12 a 22 a32 + ka12 a13 a 23 a 33 + ka13 a 23 = a 21 a33 a31 + ka11

n 阶行列式的 展开性质:

a11 a 21 D= L a n1

a12 a 22 L an2

L a1n L a2n L L L a nn

等于它的任意一行的各元素与其对应的代数余子式的乘积和,即

D = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + L + ain Ain

i = 1,2, L , n

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?

按列展开定理

D = a1 j A1 j + a 2 j A2 j + L + a nj Anj

j = 1, 2, L , n

?

n 阶行列式 D 的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积和等与零,即

a i1 A j1 + a i 2 A j 2 + L + a in A jn =0

i≠ j

?

按列展开的性质

a1i A1 j + a 2 i A2 j + L + a ni Anj =0
特殊行列式

i≠ j

a11

?

a 22 O a nn

= a11 a 22 L a nn ;

a1n a 2 ( n?1) N a n1
= ( ?1)
n ( n ?1) 2

a1n a 2( n ?1) L a n1

?

上(下)三角行列式和上面的对角行列式的结果相同。

第二节 矩 阵 矩阵是线 性代数 中最重要的研究对象,熟练掌握 矩阵的加法、数乘、乘法、 转置、求逆和初等 变换等 运算是学好线性代数的 重要基础。 【解题技巧】 【必知公式】 1. 矩阵的概念和运算. 矩阵的加法、数乘、乘法、 转置、方阵的幂乘的定 义及性质。

? 矩阵乘法定 义: ( AB) ij = ∑k Aik Bkj ? 矩阵乘法不满足交换律和消去律。满足结合律和左(右)乘分配律。
若 A 可逆,则 AB = AC ? B=C

? A,B 是 n 阶方阵,则 AB = A B ?
AB = BT AT

2.逆矩阵

? 定义:对方阵 A,若存在方阵 B 使得 AB=BA=I ? A 可逆 ? A ≠ 0

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? 公式: A ?1 =
3.伴随矩阵

1 * A A

| A ?1 |= A , ( AB) ?1 = B ?1 A ?1

?1

? 定义: A* = ( Aij ) T ? 基本关系式: AA* = A I ? 与逆矩阵的关系: A ?1 = ? 行列式: A* = A
4.矩阵方程
n ?1

1 * A A

? 设 A 是 n 阶方阵,B 是 n × m 矩阵,若 A 可逆,则矩阵方程 AX = B 有解,其解为
X = A ?1 B .

? 设 A 是 n 阶方阵,B 是 n × m 矩阵,若 A 可逆,则矩阵方程 XA = B 有解,其解为
X = BA ?1 .
5.矩阵的秩

? 在 m × n 矩阵 A 中,任取 k 行 k 列,位于这 k 行 k 列交叉处的 k 2 个元素按其原来的次序组成一个 k 阶
行列式,称为 A 的一个 k 阶子式。

? 若矩阵 A 中有一个 r 阶子式不为零,而所有 r+1 阶子式全为零,则称矩阵 A 的秩为 r,记作 r(A). ? 显然有 r ( A) = 0 ? A = 0 , r ( Am×n ) ≤ min(m, n) ;
r ( A) ≥ r ? A 中有一个 r 阶子式不为零; r ( A) ≤ r ? A 中所有 r+1 阶子式全为零;
对于 n 阶方阵 A, r ( A) = n ? A ≠ 0 ; 对于 n 阶方阵 A,若 r ( A) = n ,则称 A 是满秩方阵。 6.矩阵的秩有以下 一些常用的性质:

? r ( A) = r ( AT ) , r ( A) = r ( kA) , (k ≠ 0) ; ? r ( A + B ) ≤ r ( A) + r ( B ) ; ? r ( AB ) ≤ r ( A) , r ( AB ) ≤ r ( B ) ;

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? r ( A) + r ( B ) ≤ n + r ( AB ) ,其中 n 为矩阵 A 的列数;
若 Am×n Bn×s = 0 ,则 r ( A) + r ( B ) ≤ n 。

? 若 A 可逆,则 r ( AB ) = r ( B ) ;若 B 可逆,则 r ( AB ) = r ( A) 。
?n, r ( A) = n ? ? r ( A ) = ?1, r ( A) = n ? 1 ?0, r ( A) < n ? 1 ?
*

第三节 【必知公式】 1.向量组的线性组合与 线性表示

向 量

? 设 α1 , α 2 ,...,α s 是 n 维向量, k1 , k 2 ,..., k s 是数,则 k1α 1 + k 2α 2 + ... + k s α s 称为向量 α1 , α 2 ,...,α s 的一
个线性组合。

? 若 β = k1α 1 + k 2α 2 + ... + k s α s ,则称 β 可由 α1 , α 2 ,...,α s 线性表出。
2.线性相关与线性无关 定义:设 α 1 , α 2 ,..., α s 是 n 维向量,若存在不全为零的数 k1 , k 2 ,..., k s ,使得 k1α 1 + k 2α 2 + ... + k s α s =0, 则称 α 1 , α 2 ,..., α s 线性相关,否则称为线性无关。 定理:若 α 1 , α 2 ,..., α s 线性无关,而 α 1 , α 2 ,..., α s , β 线性相关,则 β 可由 α 1 , α 2 ,..., α s 线性表出,且表 示法唯一。 判断

? 设 α1 , α 2 ,...,α s 是 n 维向量,α1 , α 2 ,...,α s 线性相关 ? r (α 1 , α 2 ,..., α s ) < s ? 存在某个向量可被其余
s-1 个向量线性表出。

? n 个 n 维向量 α1 , α 2 ,...,α n 线性相关 ? | α 1 , α 2 ,..., α n |= 0 。 ? n+1 个 n 维向量 α 1 , α 2 ,...,α n+1 必线性相关。 ? 增加向量组向量的个数,不改变向量组的线性相关性;
减少向量组向量的个数,不改变向量组的线性无关性。

? 增加向量组向量的维数,不改变向量组的线性无关性;
减少向量组向量的维数,不改变向量组的线性相关性。

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? 含有零向量的向量组必线性相关。 ? 含有两个相同向量的向量组必线性相关。
3.向量组的秩和极大线性无关组 定义:设向量组 α i1 , α i2 ,..., α ir 是向量组 α 1 , α 2 ,..., α s 的一个部分组,满足 (1) α i1 , α i2 ,..., α ir 线性无关; (2)向量组 α 1 , α 2 ,..., α s 的每一个向量都可以由向量组 α i1 , α i2 ,..., α ir 线性表示出, 则称 α i1 , α i2 ,..., α ir 是向量组 α 1 , α 2 ,..., α s 的一个极大线性无关组。向量组的极大线性无关组中所含向量的 个数称为这个向量组的秩。 求法

? 任何矩阵都可以通过矩阵的行初等变换化作阶梯形。 ? 求极大线性无关组的步骤:
(1)将向量依次按列写成矩阵; (2)对矩阵施行行初等变换,化作阶梯形; (3)主元所在列标对应到原向量构成一个极大线性无关组。 例如

?1 ? ?0 (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 ) = A (行初等变换) → ? 0 ? ?0 ?

0 ?1 1 2 0 0 0 0

0 2 ? ? 0 1 ? 1 ? 2? ? 0 0 ? ?

主元所在列是第 1 列、第 2 列、第 4 列,因此 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 的一个极大线性无关组是 α1 , α 2 , α 4 ,且

r (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 ) = 3 。
4.向量组的秩与矩阵的秩

? 设 A 是 m × n 矩阵,将矩阵的每个行看作行向量,矩阵 m 个行向量构成一个向量组,该向量组的秩称
为矩阵的行秩。

? 将矩阵的每个列看作列向量,矩阵的 n 个列向量构成一个向量组,该向量组的秩称为矩阵的列秩。 ? 矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的秩。 (三秩相等)
第四节 【必知公式】 1.齐次线性方程组 有非零解的判定条件 线性方程组

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? 设 A ∈ M mn ,齐次线性方程组 AX=O 有非零解 ? r(A)<n;
AX=O 只有零解 ? r(A)=0,即系数矩阵满秩。

? 设 A 是 n 阶方阵,齐次方程组 AX=O 有非零解 ? A = 0 ;
AX=O 只有零解 ? A ≠ 0 .

? 设 A ∈ M mn ,当 m<n 时,齐次线性方程组 AX=O 必有非零解。
2.齐次线性方程组解的性质 若 ξ1 , ξ 2 是齐次线性方程组 AX=O 的解,则和 ξ1 + ξ 2 仍是 AX=O 的解; 若 ξ 是齐次线性方程组 AX=O 的解,则 ξ 的任意常数倍 kξ 仍是 AX=O 的解。 3.齐次线性方程组 AX=O 解的结构

? AX=O 的一个基础解系 ξ1 , ξ 2 ,L , ξ t .
其要点为: (1) ξ 1 , ξ 2 , L , ξ t 都是 AX=O 的解; (2)它们是线性无关的; (3)AX=O 的任何一个解都可以由它们线性表出。因此基础解系往往不是唯一的。

? 若 n 元齐次线性方程组 AX=O 的系数矩阵 A 的秩 r(A)=r, 则基础解系中含有 n-r 个线性无关的解向量。
(这一点和上面的(3)等价,即 t=n-r)

? 若 ξ1 , ξ 2 ,L , ξ t 是齐次线性方程组 AX=O 的一个基础解系,则齐次线性方程组 AX=O 的通解(一般解)


X = k1 x1 + k 2 x 2 + ... + k t xt

其中 k1 , k 2 , L, k t 是任意常数。

? 解齐次线性方程组 AX=O 的基本方法
解齐次线性方程组 AX=O 的基本步骤: (1)对系数矩阵作矩阵的初等行变换,化作行阶梯形; (2)假设有 r 个非零行,则基础解系中有 n-r 个解向量,选非主元所在的列的变量为自由未知量; (3)将自由变量依次设为单位向量,求得所需的线性无关的解向量。 4.非齐次线性方程组 有解的判定

? 非齐次线性方程组 AX = b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即

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r ( A) = r ( A | b )

? 若 n 元非齐次线性方程组 AX = b 有解,即 r ( A) = r ( A | b) = r
当 r=n 时,方程组 AX = b 有唯一解; 当 r<n 时,方程组 AX = b 有无穷多解。 5.非齐次线性方程组解的性质

? 设η1 ,η 2 是非齐次线性方程组 AX = b 的两个解,则η1 ? η 2 是导出组 AX = 0 的一个解。 ? 非 齐 次 线性 方 程 组 AX = b 的 任 一解 η 与 导 出 组 AX = 0 的解 ξ 的和 η + ξ 是非 齐 次 线性 方 程 组 AX = b 的解。
6.非齐次线性方程组解的 结构

? 非齐次线性方程组 AX = b 的通解(一般解)是非齐次线性方程组的一个特解+导出组的基础阶层的线
性组合。

? 设非齐次线性方程组 AX = b ,若 r ( A) = r , η 是 AX = b 的一个特解, ξ1 , ξ 2 ,L, ξ n? r 是导出组的基
础解系,则 AX = b 的通解(一般解)是

X = η + k1ξ1 + k 2 ξ 2 + ... + k n ? r ξ n ? r
第五节 【必知公式】

其中 k1 , k 2 , L, k n ?r 是任意常数。

矩阵的特征值和特 征向量

1.特征值的定 义:设 A ∈ M n , X ≠ 0 , AX = λX , λ 是 A 的特征值,X 是 A 的属于特征值 λ 的特征 向量。 2.特征值的性质

? 若 X 1 , X 2 都是 A 的属于 λ 的特征向量,则 X 1 + X 2 也是 A 的属于特征值 λ 的特征向量。 ? 若 X 是 A 的属于特征值 λ 的特征向量, k 是非零常数,则 kX 也是 A 的属于特征值 λ 的特征向量。
3.特征值的求法

λ ? a11 ? a 21 ? A 的特征多项式: f A (λ ) = λI ? A = L ? a n1

? a12 λ ? a 22 L ? an2

L ? a1n L ? a2n L L L λ ? a nn

f A (λ ) = λI ? A = 0 → λ1 , λ 2 , L , λ n .

? 由 (λi I ? A) X = 0 → 属于 λi 的特征向量。 (求基础解系)

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?

∑λ

i

= trA = ∑ aii

? ∏ λi = det A ? 属于不同特征值的特征向量是线性无关。
4.相似矩阵 定义:设 A ∈ M n ,若存在可逆矩阵 P,满足 P AP = B ,则称 B 相似于 A, 记作 A~B. 5.相似矩阵 的性质 相似矩阵由相同的秩,相同的迹,相同的行列式,相同的特征值。 6.n 阶方阵的相似对角化的条件
?1

? n 阶方阵 A 可对角化 ? A 有 n 个线性无关的特征向量。 ? n 阶 方 阵 A 可对角化 ? A 的 每 个 特 征 值 的重数 等于 它 对应 的线性 无关 的 特 征向量的个数, 即若
λI ? A = (λ ? λ1 ) n1 (λ ? λ 2 2 )L (λ ? λ s ) ns ( 其中 n1 + n2 + L + n s = n ) ,则 n 阶 方 阵 A 可对角化 ? ni = n ? r (λi I ? A) , i = 1, 2, L , s .
n

? 方阵 A 有 n 个不同的特征值 ? A 可对角化。
7.方阵的相似对角化的步骤 (1)解 A 的特征多项式:

λ ? a11 ? a 21 f A (λ ) = λ I ? A = L ? a n1

? a12 λ ? a 22 L ? an2

L ? a1n L ? a2n L L L λ ? a nn

求出 A 的 n 个特征值 λ1 , λ 2 ,L , λn .(其中可能有相重的特征值) (2)解特征方程 (λi I ? A) X = 0 ( i = 1,2, L , n ),求出 A 的每个特征值对应的线性无关的特征向量,即

求 (λi I ? A) X = 0 的基础基础解系。 (3)若 A 共有 n 个线性无关的特征向量 X 1 , X 2 , L , X n ,则令 P = ( X 1 , X 2 , L , X n ),有

? λ1 ? ? P ?1 AP = ? ? ? ?

λ2

? ? ? ? . 注意 λi 与 X i 的对应关系。 O ? λ4 ? ?


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