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数学理卷·2014届广东省中山市华侨中学高三上学期第二次模拟考试试卷(2013.11)


中山市华侨中学 2014 届高三第二次模拟考试 理科数学 试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,有且只有一项是符合题目要求的. 3?i 1. i 是虚数单位,复数 ) . ?( 1? i
A. 1 ? 2i 2.由直线 x ? ? B. 2 ? 4i C. ?1 ? 2i D. 2 ? i )

?
3

,x ?

?
3

, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为(
C.

A.

1 2

B.1

3 2

D. 3

3.若 loga2<0(a>0,且 a≠1),则函数 f(x)=loga(x+1)的图象大致是(

)

? x ? y ? 1, ? 4.设变量 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 x ? ? y 的最大值和最小值分别为( ?x ? 0 ?
A. 1, ? 1 B. 2, ? 2 C. 1, ? 2 D.2, ? 1
[



5.

sin(180 0 ? 2? ) cos 2 ? ? 等于( 1 ? cos 2? cos(90 0 ? ? ) B. - cos? C.sin?

) D. cos ?

A. ? sin?

6.已知 x 0 是函数 f(x)=2x+

1 的一个零点.若 x1 ∈(1, x 0 ) , x 2 ∈( x 0 ,+ ? ) ,则 1? x
(B)f( x1 )<0,f( x 2 )>0 (D)f( x1 )>0,f( x 2 )>0

(A)f( x1 )<0,f( x 2 )<0 (C)f( x1 )>0,f( x 2 )<0

7.已知函数 f(x)=x2eax,其中 a 为常数,e 为自然对数的底数,若 f(x)在(2,+∞)上为减函数, 则 a 的取值范围为( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,0) C.(-∞,1) D.(-∞,2)
第 1 页 共 9 页

8. 已知函数 y=f(x-1)的图象关于点(1, 0)对称, 且当 x∈(-∞, 0)时, f(x)+xf′(x)<0 成立(其 1? ? 1? 中 f′(x)是 f(x)的导函数),若 a=(30.3)· f(30.3),b=(logπ 3)· f(logπ 3),c=? ?log39?·f?log39?,则 a, b,c 的大小关系是( ) A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)
9..若存在实数x使 x - a ? x - 1 ? 4成立,则实数a的取值范围是
10. 在 ( x ?

1

3 x 3 2 11.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x ? 1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是

)18 展开式中含 x 15 的项的系数

12.已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 13.下列命题正确的是 ①.点 (

?

? , 0) 为函数 f ( x) ? tan(2 x ? ) 的一个对称中心; 8 4
?
3 )的图象,只要将函数y ? sin(-2x)向右平移

②.要得到函数y ? sin(-2x ?

?
6

个单位

③. 若f ( x) ? cos x sin x( x ? R ),则f(x)的最小正周期是2? ④. “ sin ? ? sin ? ”的充要条件是“ ? ? ? ? (2k ? 1)? 或 ? ? ? ? 2k? ( k ? Z ) ”

错误!未找到引用源。 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知直线 所围成的区域分成面积相等的两部分,则常数 a 的值是 15. (几何证明选讲选做题) 如图,已知 PA 是⊙ O 的切线, A 是切点,直线 PO 交 ⊙ O 于 B 、 C 两点, D 是 OC 的中点,连结 AD 并延长 交⊙ O 于点 E .若 PA ? 2 3 , ?APB ? 30? , 则 AE = .

第 2 页 共 9 页

把曲线 .

A D

P

B

O

?

C

E

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤.

16..(本小题 12 分)命题 P:实数 x 满足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 Q:实数 x 满 足 x 2 ? x ? 6 ? 0 或 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,且 ? P 是 ?Q 的必要条件,求 a 的取值范围

17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ?

? 2 ? 1 处的切线斜率为 .(1)曲线在 P 点处的切线方程; p? , y ? 0 ? 2 ? 3 ? ? (2)求函数 f ? x ? 的极大值和极小值

123
1 3 x ? ax ? b 在 y 轴上的截距为 1,且曲线上一点 3
?
2

18、 (本小题满分 14 分)设 cos(α - <β <
π ,求 cos(α +β ). 2

)=-

1 ? 2 π ,sin( -β )= ,且 <α <π ,0 9 2 3 2

19.(本小题 14 分)已知函数 f ( x) ? cos x, g ( x) ? 1 ?
2

(1)若点 A (? , y ) ( ? ? [0,

?
4

1 sin 2 x . 2

] )为函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象的公共点,试求实数 ? 的值;

(2)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 的图象的一条对称轴,求 g (2 x0 ) 的值; (3)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x), x ? [0,

?
4

] 的值域。

第 3 页 共 9 页

20.(本小题 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c, (a ? 0, b ? R, c ? R )
2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 的最小值是 f (?1) ? 0 ,且 c ? 1 , F ( x) ? ? 求 F (2) ? F (?2) )的值;

? f ( x),    x ? 0 , ?? f ( x),    x ? 0

(Ⅱ)若 a ? 1, c ? 0 ,且 f ( x) ? 1 在区间(0,1]上恒成立,求 b 的取值范围。

21.(本小题 14 分)定义 F ( x, y ) ? (1 ? x) , x, y ? (0,??) ,
y
2 (I)令函数 f ( x) ? F (3,log 2 (2 x ? x ? 4)) ,写出函数 f ( x) 的定义域; 3 2 (II)令函数 g ( x) ? F (1,log 2 ( x ? ax ? bx ? 1)) 的图象为曲线 C,若存在实数 b 使得曲线 C



x0 (?4 ? x0 ? ?1) 处有斜率为-8 的切线,求实数 a 的取值范围;

(III)当 x, y ? N * 且 x ? y 时,求证 F ( x, y ) ? F ( y, x) .

第 4 页 共 9 页

中山市华侨中学 2014 届高三第二次模拟考试

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 B 5 D 6 B 7 A 8 B

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)
9. ?3 ? a ? 5 13. (3, ??) 14 . a ? ?1 10.

?160

11. a ? 6或a ? ?3

12.①②④

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)
15. 15

16..命题 P:实数 x 满足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 Q:实数 x 满足 x 2 ? x ? 6 ? 0 或 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,且 P 是 Q 的必要条件,求 a 的取值范围 解:P:设 A= Q: B=
? ?
?

?x x
2

2

? 4ax ? 3a 2 ? 0(a ? 0) =

?x x

? x ? 6 ? 0或x 2

? ?x 3a ? x ? a? ---------3 分 ? 2 x ? 8 ? 0? = ? x x<-4或x ? ?2? ---------7 分

P : ? x x ? 3a或x ? a?

?

Q : ? x -4 ? x ? ?2? ,又 ? P 是 ?Q 的必要条件
?

? ? x -4 ? x ? ?2? ? x x ? 3a或x ? a ?

?

?

?

3 a ??2 a ?0

a ??4 或? a ?0

--------------11 分

即 a 的取值范围是 ? ?

? 2 ? , 0 ? ? ? ??, ?4? ? 3 ? -------------12 分
?
2

17(本小题满分 14 分)设 cos(α - <β < 解:∵
π ,求 cos(α +β ). 2

)=-

1 ? 2 π ,sin( -β )= ,且 <α <π ,0 9 2 3 2

? π π π π ? π <α <π ,0<β < ,∴ <α - <π ,- < -β < . 2 2 4 2 4 2 2
第 5 页 共 9 页

故由 cos(α -

?
2

)=-

? 4 5 1 ,得 sin(α - )= 9 。 9 2

由 sin( ∴cos(

?
2

-β )=

5 2 ? ,得 cos( -β )= . 3 3 2

???
2

2 239 2? ? ? ∴cos(α +β )=2cos -1=?=- . 2 729

)=cos[(α -

?
2

)-(

?

-β )]=?=

7 5 . 27

18.(本小题满分 13 分) 解: (1)因为函数 f ? x ? ?
' 2

1 3 x ? ax ? b 在 y 轴上的截距为 1,所以 b ? 1 ---------1 分 3
2

? 2? 1 又 y ? x ? a ,所以 ? ? a ? ? ? 2 ? 3 ? ?
所以 y0 ? f ? ?

?a ?

1 1 1 ? f ? x ? ? x3 ? x ? 1 3 6 6 ---------4 分

? 2? ? 2 ? 1? 2? ,故点 P ? ,所以切线方程为 y ? 1 ? ? x ? ? 1 ,1 ? ? ? ? ? 2 ? 3? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?

即 2 x ? 6 y ? 6 ? 2 ? 0 ----------6 分 (2)由题意可得,令 f ' ? x ? ? x 2 ?

6 1 ? 0得x ? ? 6 6

列表如下:----------8 分

x

? 6? ? ? ??, ? 6 ? ? ? ?
+ 增区间

?
0

6 6

? 6 6? ? ?? 6 , 6 ? ? ? ?
减区间 0

6 6

? 6 ? ? ? 6 , ?? ? ? ? ?
+ 增区间

f ' ? x?
f ? x?

极大

极小

所以函数的极大值为 f ? ? ?

? ?

? 6? 6? 6 6 , 极小值为 f ? .--------------13 分 ? 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? 6 ? 54 6 54 ? ?

19.解:(1) ?A (?,y)(? ?[0, ]为函数f ( x)与g ( x)的图象的公共点 4 1 ? cos2? ? 1 ? sin 2? .?1 ? cos 2 ? ? ? sin ? cos ? .即sin 2 ? ? ? sin ? cos ? 2 ? sin ? ? 0或 sin ? ? ? cos ? .又? ? [0, ]所以? =0. 4
(2)∵ f ( x) ? cos 2 x ?

?

om]--------444444

?

1 1 ? cos 2 x 2 2
第 6 页 共 9 页

∴ 2 x0 ? k? , k ? Z ∴ g (2 x0 ) = 1 ? (3) ∵ h( x) ? f ( x) ? g ( x) ∴ h( x) ? cos 2 x ? 1 ?

1 1 sin 4 x0 ? 1 ? sin 2k? ? 1 ---------8 分 2 2

1 1 1 1 sin 2 x ? ? cos 2 x ? 1 ? sin 2 x 2 2 2 2 --------9 分

?

2 2 2 3 1 1 3 ( cos 2 x ? sin 2 x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 ? 3 sin(2 x ? ) ? 2 4 2 ----------11 分
4 ]


?
∵ x ? [0,

?

?
4

? 2x ?

?
4

?

3? 4



2 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 4

∴2 ?

2 ? 3 3? 2 . sin(2 x ? ) ? ? 2 4 2 2

即函数 h( x) 的值域为 [2,

3? 2 ] . -------14 分 2

20(本小题满分 14 分) 2 解: (1)由已知:c=1,a-b+c=0,-b/2a=-1,,a=1,b=2,f(x)=(x+1)
2 ? ?( x ? 1) ,    x ? 0 F ( x) ? ? 2 ? ?? ( x ? 1) ,    x ? 0
2 2

?????(4 分)

F(2)+F(-2)=(2+1) +[-(-2+1) ]=8 ?????(6 分) (2) f ( x) ? x ? bx, 原命题等价于 ? 1 ? x ? bx ? 1, 在区间(0,1]上恒成立
2 2

1 1 1 1 ? x 且 b ? ? ? x 在区间(0,1]上恒成立。又 ? x 的最小值为 0, ? ? x 的最 x x x x 大值为-2,∴ ? 2 ? b ? 0 ??(14 分))
即b ?
2 2 21.解: (I) log 2 (2 x ? x ? 4) ? 0 ,即 2 x ? x ? 4 ? 1

…………(2 分) ……………………(4 分)

得函数 f ( x) 的定义域是 (?1,3) ,
2 2 3 2 (II) g ( x) ? F (1,log 2 ( x ? ax ? bx ? 1)) ? x ? ax ? bx ? 1,

设曲线 C在x0 (?4 ? x0 ? ?1) 处有斜率为-8 的切线,

? 又由题设 log 2 ( x ? ax ? bx ? 1) ? 0, g ( x) ? 3 x ? 2ax ? b, ①
3 2 2

② ③
第 7 页 共 9 页

∴存在实数 b 使得 由①得

2 ?3 x0 ? 2ax0 ? b ? ?8 ? ?? 4 ? x0 ? ?1 ? 3 2 ? x0 ? ax0 ? bx0 ? 1 ? 1

有解,

……………………(6 分)

2 2 b ? ?8 ? 3 x0 ? 2ax0 , 代入③得 ? 2 x0 ? ax0 ? 8 ? 0 ,

2 ? ?2 x ? ax0 ? 8 ? 0 ?由 ? 0 ? ??4 ? x0 ? ?1 有解,

……………………(8 分)

a ? 2(? x0 ) ?
方法 1:

8 8 2(? x0 ) ? ? [8,10) (? x0 ) ,因为 ?4 ? x0 ? ?1 ,所以 (? x0 ) ,

当 a ? 10 时,存在实数 b ,使得曲线 C 在 ………………(10 分)

x0 (?4 ? x0 ? ?1) 处有斜率为-8 的切线

2 2 方法 2:得 2 ? (?4) ? a ? (?4) ? 8 ? 0或2 ? (?1) ? a ? (?1) ? 8 ? 0 ,

? a ? 10或a ? 10,? a ? 10.
?2 ? (?4) 2 ? a ? (?4) ? 8 ? 0 ? ? 2 ?2 ? (?1) ? a ? (?1) ? 8 ? 0 的补集,即 a ? 10 方法 3:是 ?

………………(10 分)

………………(10 分)

x ? ln(1 ? x) ln(1 ? x) h( x ) ? , x ? 1,由h ?( x) ? 1 ? x 2 x x (III)令
p( x) ?
又令

1 1 ?x x ? ? ?0 ? ln(1 ? x), x ? 0, ? p ?( x) ? 2 1 ? x (1 ? x) 2 (1 ? x) 1? x ,
……………………(12)分

? p ( x)在[0,??) 单调递减.
?当x ? 0时有p ( x) ? p (0) ? 0,?当x ? 1时有h?( x) ? 0,

? h( x)在[1,??) 单调递减,
?1 ? x ? y时, 有 ln(1 ? x) ln(1 ? y ) ? ,? y ln(1 ? x) ? x ln(1 ? y ),? (1 ? x) y ? (1 ? y ) x x y ,
………………(14 分)

?当x, y ? N ?且x ? y时F ( x, y ) ? F ( y, x).

第 8 页 共 9 页

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