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函数的奇偶性的经典总结


函数的奇偶性
一、函数奇偶性的基本概念 1.偶函数:一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个 x ,都有 f ?? x ? ? f ?x ? ,

f (? x) ? f ( x) ? 0 ,那么函数 f ?x ? 就叫做偶函数。
2.奇 函 数 : 一 般 地 , 如 果 对 于 函 数 f ?x ? 的 定 义 域 内 任 一 个 x , 都 有 f ?? x ? ? ? f ?x ? ,

f (? x) ? f ( x) ? 0 ,那么函数 f ?x ? 就叫做奇函数。
注意:(1)判断函数的奇偶性,首先看定义域是否关于原点对称,不关于原点对称是非奇非 偶函数,若函数的定义域是关于原点对称的,再判断 f ?? x ? ? ? f ?x ? 之一是否成立。 (2)在判断 f ?x ? 与 f ?? x ? 的关系时,只需验证 f ?? x ? ? f ?x ? ? 0 及 可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。

f (? x) = ? 1 是否成立即 f ( x)

f ( x) ? x ?


f ( x) ? x 2 ? x

, ( 2 )

f ( x) ? x3 ? x

( 3 )

f ( x) ?

x x ?1
2

1 x

G ?x ? ? f ?x ? ? f ?? x ?, x ? R (4)
x ?x (5) f ( x) ? x cos x (6) f ( x) ? x sin x (7) f ( x) ? 2 ? 2 ,(8)

提示:上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 (1)判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。
3 (2)常见的奇函数有: f ( x) ? x , f ( x) ? x , f ( x) ? sin x , 2 (3)常见的奇函数有: f ( x) ? x , f ( x) ? x , f ( x) ? cos x

f ( x) ?

1 x

(4)若 f ?x ? 、 g ?x ? 都是偶函数,那么在 f ?x ? 与 g ?x ? 的公共定义域上, f ?x ? + g ?x ? 为 偶函数, f ?x ? ? g ?x ? 为偶函数。当 g ?x ? ≠ 0 时,

f ( x) 为偶函数。 g ( x)

(5)若 f ?x ? , g ?x ? 都是奇函数,那么在 f ?x ? 与 g ?x ? 的公共定义域上, f ?x ? + g ?x ? 是奇函 数, f ?x ? ? g ?x ? 是奇函数, f ?x ? ? g ?x ? 是偶函数,当 g ?x ? ≠0 时,

f ( x) 是偶函数。 g ( x)

(6)常函数 f ?x ? ? c?c为常数? 是偶函数, f ? x ? ? 0 既是偶函数又是奇函数。

(7)在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函 数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. (8)对于复合函数 F ?x ? ? f ?g ?x ?? ;若 g ?x ? 为偶函数, f ? x ? 为奇(偶)函数,则 F ?x ? 都为 偶函数;若 g ?x ? 为奇函数, f ?x ? 为奇函数,则 F ?x ? 为奇函数;若 g ?x ? 为奇函数, f ?x ? 为偶函 数,则 F ?x ? 为偶函数. 题型二 三次函数奇偶性的判断 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ,证明:(1)当 a ? c ? 0 时, f ( x) 是偶函数 (2)当 b ? d ? 0 时, f ( x) 是奇函数 提示: 通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型, 如 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , 当 b ? 0 , f ( x) 是偶函数;当 a ? c ? 0 , f ( x) 是奇函数。 题型三 利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值

1 函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是偶函数,定义域为 ? a ? 1 ,2a ? ,则 a ? b ? 2 设 f ( x) ? ax ? bx ? 2 是定义在 ?1 ? a, 2? 上的偶函数,则 f ( x ) 的值域是
2

1 3



??10,2?



3 已知 f ( x) ?

sin x 是奇函数,则 a 的值为 ( x ? 1)(x ? a)

1

4 已知 f ( x) ? sin x ln(x ?

x 2 ? a ) 是偶函数,则 a 的值为

1

提示:(1)上述题型的思路是用函数奇偶性的定义, f (? x) ? f ( x), f (? x) ? ? f ( x) 。 (2)因为是填空题,所以还可以用 f (?1) ? ? f (1), f (?1) ? f (1) 。 (3)还可以用奇偶性的性质,如奇函数乘以奇函数是偶函数,奇函数乘以偶函数是奇函数等。 题型四 利用函数奇偶性的对称 1 下列函数中为偶函数的是( B ) A. y ? x sin x
2

y?x

B. y ? x cos x
2

C. y ? ln x

D. y ? 2

?x

2 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 A A.y ? x ? e x B.y ? x ?

1 x

C.y ? 2 ?
x

1 2x

D.y ? 1 ? x 2

3 下列函数中,为偶函数的是( C ) A. y ? x ? 1 4 函数 f ( x) ? B. y ?

1 x

C. y ? x 4

D. y ? x

1 ? x 的图像关于( C ) x A. y 轴对称 B. 直线 y ? ? x 对称 C. 坐标原点对称
5 已知函数 f ( x ? 1) 是 R 上的奇函数,且 f (?1) ? 4 ,则 f (3) =-4 6 已知函数 f ( x ? 2) 是 R 上的偶函数,则 f (?3) ? ?3 ,则 f (7) =-3

D. 直线 y ? x 对称

提示:(1)上述题型的思路是用函数奇偶性的定义, f (? x) ? f ( x), f (? x) ? ? f ( x) 。 (2)奇函数关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴对称。 (3)在原点有定义的奇函数必有 f (0) ? 0 。 (4)已知函数 f ( x ? t ) 是 R 上的奇函数,则 f ( x) 关于点 (t ,0) 对称。 (5)已知 f ( x ? t ) 是偶函数,则 f ( x) 关于直线 x ? t 对称。 题型五 奇偶函数中的分段问题

1 设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 2 x ? b( b 为常数) , 则 f (?1) ? -3 2 已知 f ? x ? 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? x x ? 2 ,求 x ? 0 时, f ? x ? 的表达式。

f ( x) ? x x ? 2
3 2 3 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? x ,则 f (?3) =-45 2 4 已知 f ? x ? 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2x ,求 f (?4)

24

x 5 设偶函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 2 ? 4( x ? 0) ,则 x f ? x ? 2 ? ? 0 = {x | x ? 0或x ? 4}

?

?

提示:(1)已知奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 , f ( x) ? g ( x) ,则当 x ? 0 时, f ( x) ? ? g (? x) 。 (2)已知偶函数 f ( x) ,当 x ? 0 , f ( x) ? g ( x) ,则当 x ? 0 时, f ( x) ? g (? x) 。 类型六 奇函数的特殊和性质

1 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 2 ,求 f (?2) ? f (2) 的和为 4 2 已知 f (x ) ? x 7 ? bx 5 ? cx 3 ? dx ? 6 ,且 f (?3) ? 12 ,则 f (3) =0 3 已知 f ( x) ? x 5 ? ax3 ? bx ? 8 , f (?2) ? 10 , f ( 2) =_-26__

2 x2 ? x ? 1 4 已知函数 f ( x ) = ,若 f (a) ? ,则 f (?a) ? ( 2 3 x ?1

4 3

)

提示:已知 f ( x) 满足, f ( x) ? g ( x) ? t ,其中 g ( x) 是奇函数,则有 f (a) ? f (?a) ? 2t 。 题型七 函数奇偶性的结合性质

1 设 f ( x) 、 g ( x) 是 R 上的函数,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则结论正确的是

A . f ( x) g ( x) 是偶函数

B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 D .| f ( x) g ( x) |是奇函数

C . f ( x) | g ( x) |是奇函数

2 设函数 f ( x) 和 g ( x) 分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A. f ( x) ? g ( x) 是偶函 C. f ( x) ? g ( x) |是偶函数 B. f ( x) ? g ( x) 是奇函数 D. f ( x) ? g ( x) |是奇函数

3 设 函 数 f ( x ) 与 g ( x ) 的 定 义 域 是 x ? R 且 x ? ?1 , f ( x ) 是 偶 函 数 , g ( x ) 是 奇 函 数 , 且

f ( x) ? g ( x) ?

1 ,求 f ( x ) 和 g ( x) 的解析式, x ?1

f ( x) ?

1 x , g ( x) ? 2 。 x ?1 x ?1
2

提示:(1)已知 f ( x) 是奇函数,则 f ( x) 是偶函数。 (2)已知 h( x) 是 R 上的函数,且 f ( x) 也是 R 上的偶函数和 g ( x) 也是 R 上的奇函数,满足

h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则有 g ( x) ?
题型八 函数的奇偶性与单调性

h( ? x ) ? h( x ) h( x ) ? h( ? x ) , f ( x) ? 。 2 2

1 下列函数中,既是偶函数又在区间 (0, ??) 上单调递减的是( A. y ?



1 x

B. y ? e

?x

C. y ? ? x ? 1
2

D. y ? lg x

2 下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为

(A) y ? cos 2 x ,x ? R (C) y ?

(B) y ? log2 x ,x ? R 且 x≠0 (D) y ? x3 ? 1 ,x ? R B )

e x ? e? x ,x ? R 2

3 设 f ( x) ? x ? sin x ,则 f ( x) ? (

A 既是奇函数又是减函数 B 既是奇函数又是增函数 C 有零点的减函数 D 没有零点的奇函数 4 设奇函数 f ( x ) 在 (0, ? ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 (

f ( x ) ? f (? x ) ? 0 的解集为 x

(?1, 0) ? (0, 1) )

5 已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ??? 单调递减,f ? 2? ? 0 , 若 f ? x ?1? ? 0 , 则 x 的取值范围是 (?1,3) . 6 已知偶函数 f ( x) 在区间 ?0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 ( , ) 提示:(1)已知 f ( x) 是奇函数,且在 (??,0) 上是增(减)函数,则在 (0,??) 上也是增(减) 函数。 (2)已知 f ( x) 是偶函数,且在 (??,0) 上是增(减)函数,则在 (0,??) 上也是减(增)函数。 (3)已知 f ( x) 是偶函数,必有 f (?x) ? f ( x) ? f ( x ) 。 题型九 函数的奇偶性的综合问题 1 已知函数 f ? x ? ,当 x, y ? R 时,恒 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 x ? 0时, f ? x ? ? 0 ,又

1 3

1 2 3 3

1 f ?1? ? ? (1)求证: f ? x ? 是奇函数;(2)求证: f ( x) 在 R 上是减函数;(3)求 f ( x) 在 2
区间 ? ?2,6? 上的最值。最大值 1,最小值-3。
2 2 ?? ?, 0?上递增 , 2 设 f ( x )在R上是偶函数,在区间 且有 f 2a ? a ? 1 ? f 2a ? 2a ? 3 , 求a

?

? ?

?

的取值范围。 ( ,?? ) 练习题 一、判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x ) ?

2 3

x 1? x (2) f ( x) ? x 2 ? 1 (3) f ?x ? ? ?x ? 1? , x ? (?1,1) x ?1 1? x
2

( 4) f ( x ) ?

x 2 ? x ? 2 (5) f ( x) ? 1, x ? R (5) f ( x) ? 0, x ?[?2,2] (6) f ( x) ? eln x
(8) f ( x) ? sin x ? tan x ( 9 ) f ( x) ? x 2 ? 1 , (10) f ( x) ? x ? 1 , , (14) f ( x) ? x 2 cos x ,

(7) f ( x) ? x3 ? x

(11) f ( x) ? e x ? e? x , (12) f ( x) ? x sin x (13) f ( x) ? x 2 ? x
x

(15) f ( x) ? 2 ,(16) f ( x) ? x ln( x 2 ? 1 ? x) ,(17) f ( x) ? ln(1? | x |) ? 二、利用函数的奇偶性求参数的值 1 若函数 f ? x ? ? (m ?1) x2 ? 2mx ? 3 是偶函数,求 m 的值。0

1 1 ? x2

2 若函数 f ( x) ? x3 ? (a ? 1) x 2 ? bx ? c ? 4 是奇函数,求 (a ? c)2 ? 5 的值。4 3 函数 f ( x) ? ax3 ? (b ? 1) x 2 ? x 是奇函数,定义域为 (b ? 1, a) ,则 (a ? b ? 2)2 的值是 4 若 f ( x) ? 9 .

1 ? a 是奇函数,则 a ? 2 ?1
x

1 2

5 若函数 f ( x) ? x 2 ? x ? a 为偶函数,则实数 a ? ___0_____. 6 设函数 f ( x) ? x(e x ? ae? x )(x ? R) 是偶函数,则实数 a ? _______-1________
2 2 7 若函数 f 是奇函数,则 a= ( x ) ? log ( x ? x ? 2 a ) a

2 2

.

8 若 f ( x) ?

( x ? 2)( x ? m ) 为奇函数,则实数 m ? __-2____. x
1

9 若函数 f ( x) ? x ln(x ? a ? x 2 ) 为偶函数,则 a ? 10 若 f ?x ? ? ln e3 x ? 1 ? ax 是偶函数,则 a ? ____ ? 三、 函数奇偶性定义的应用 1 函数 y= y ? log 2

?

?

3 ________. 2

2? x 的图像 A 2? x
2

(A)关于原点对称 (B)关于直线 y ? ? x 对称(C)关于 y 轴对称(D)关于直线 y ? x 对称 2 已知函数 f ? x ? ? 1 ? x , x ? R 则 (B ) A. f ? ?x ? ? ? f ? x ? B. f ? x ? 为偶函数 C. f ? ?x ? ? f ? x ? ? 0 D. f ? x ? 不是偶函数 (A D.无法确定是不是偶函数 ) 3 若 f ? x ? 是偶函数,则 kf ? x ? ( k 为常数) A.是偶函数 B.不是偶函数 C.是常数函数

4 函数 f ? x ? = ? A.偶函数

?1, x ? 0. 则 f ? x? 为 ?? 1, x ? 0
C.既是奇函数又是偶函数



B )

B.奇函数

D.既不是奇函数又不是偶函数 ( A )

5 已知 f ? x ? 为奇函数,则 f ? x ? ? x 为 6 已知点 ?1,3? 是偶函数 f ? x ? 图像上一点,则 f ? ?1? 等(B ) A.-3 B.3 C.1 D.-1 7 若点 ? ?1,3? 在奇函数 y ? f ? x ? 的图象上,则 f ?1? 等于(D) A.0 B.-1 C.3 D.-3

A 奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

8 已知 y ? f ( x) ? x 2 是奇函数,且 f (1) ? 1 .若 g ( x) ? f ( x) ? 2 ,则 g (?1) ? ____-1___ . 9 设 f ( x) 是定义在 R 上的一个函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,在 R 上一定是( A ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数

10 设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,则 2

f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? 0
11 已知偶函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? 2 对称, f (3) ? 3 ,则 f (?1) ? ___3____. 12 设函数 f ?x ? 对于任意 x, y ? R 都有 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ,求证: f ?x ? 是奇函数。 13 已知 t ? R , 函数 f ( x) ? ?

g ( f (?2)) ? -7 为奇函数, 则t ? -1 , ? g ( x), x ? 0, 14 已知奇函数 f ( x) 的,且方程 f ( x) ? 0 仅有三个根 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x3 的值 0 5 15 设函数 f ?x ? 是 R 上为奇函数,且 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,在 f (5) 的值 2 x 2 16 已知偶函数 f ( x) ? 2 ? 4 ( x ? 0) ,求 f ( x) ? 4 f ( x) ? 3 ? 0 的个数 7
17 已知偶函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 6( x ? 0) ,求 f ( x) ?12 f ( x) ? 44 f ( x) ? 48 ? 0 的个数 9
2
3 2

?2 x ? t , x ? 0,



四、 函数奇偶性的性质 1 已知 f ( x ? 3) 是偶函数,且 f (0) ? 2 ,则 2 f (6) ? 3 的值为 1 2 已知 f ( x) ? x ? 2 ,则 f (?3) ? f (3) 的值 4 3 已知 f ( x) ? ax ? bx ? 4 其中 a , b 为常数,若 f (?2) ? 2 ,则 f (2) 的值等于( -10
3

)

4 已知 f ( x) ? ax ? 2 ,则 f (?3) ? f (3) 的值 5 已知 f ( x ) ? ax ?

-4

b 1 ? 2 ,则 f (ln 3) ? f (ln ) 的值 -4 x 3 b 1 6 已知 f ( x) ? ax ? ? c sin x ? 3 ,则 f (ln 3) ? f (ln ) 的值 6 x 3
7 已知函数 f ? x ? ? ln

?
?

? 1? 1 ? x2 ? x ? 2 ,则 f ? lg 5? ? f ? lg ? ? ( 4 ? 5?

?



8 已知函数 f ? x ? ? ln

? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3x ? 1,.则f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? 2 ? 2?

?

9 已知函数 f ( x) ? ax3 ? b sin x ? 4(a, b ? R) , f (lg(log 2 10)) ? 5 ,则 f (lg(lg 2)) ? 3

( x ? 1) 2 ? sin x 10 设函数 f ( x) ? 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M ? m =_2___ x2 ?1
11 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? (??,0) 时, f ( x) ? 2 x3 ? x2 ,则 f (2) ? 11 在 R 上的奇函数 f ? x ? 和偶函数 g ? x ? 满足 f ( x) ? g ( x) ? a ? a
x ?x

? 2 ( a >0,且 a ? 0 ).若

g ? 2? ? a ,则 f ? 2 ? =

15 4

12 若函数 f ( x), g ( x) 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f ( x) ? g ( x) ? e x ,则有( D )

g (0) ? f (3) ? f (2) C.f (2) ? g (0) ? f (3) D.g (0) ? f (2) ? f (3) A.f (2) ? f (3) ? g (0) B.
13 若函数 f ? x ? 为 R 上的偶函数, 且当 0 ? x ? 10 时,f ? x ? ? ln x , 则 f ? ?e? ? f e2 ?

? ?

3



14 函 数 f ( x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有

5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是 0 2
15 函 数 f ( x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有

5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( f ( )) 的值是 0 2 x?a x 16 若函数 f ( x ) ? 2 在 ??1,1? 上是奇函数,则 f ( x ) 的解析式为___ f ( x) ? 2 _____. x ? bx ? 1 x ?1
17 设 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ??0, ??? 时, f ( x) ? x(1? 3 x ),则当 x ? ( ??, 0) 时

f ( x) ? __ x(1 ? 3 x ) _

18 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? | x | ?1 ,那么 x ? 0 时, f ( x) ?

? x2 ? x ?1 .
19 函数 f ( x) ? ln x ? 1 ? x

?

2

?

3e x ? 1 ? x 在区间 ? ?k , k ? ( k ? 0)上的最大值为 M ,最小值为 e ?1

m ,则 M ? m ? 4 .
20 奇函数 f ( x ) 的定义域为 R ,若 f ( x ? 2) 为偶函数,且 f (1) ? 1 ,则 f (8) ? f(9) ? ( 1 )

) 的值 0 21 设定义在 R 上的奇函数,满足 f ( x) ? f ( x ? 2) ,那么 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2017
22 已知函数 f ( x ) 是 R 上的偶函数,当 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ? [0,2) 时,

) ? f (2017 ) 的值 1 f ( x) ? log2 ( x ? 1) ,则有 f (?2016
五、函数奇偶性和单调性的应用 1 已知函数 f ( x) ? (k ? 2) x2 ? (k ?1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x) 的递减区间是

?0, ???

? ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 2 设奇函数 f ( x ) 在 (0,


f ( x ) ? f (? x ) ? 0 的解集为 x

(?1, 0) ? (0, 1) )
1 3

x x 3 已知函数 f ( x ) ? 3 ? ( ) ,则 f ( x)

(A)是偶函数,且在 R 上是增函数(B)是奇函数,且在 R 上是增函数 (C)是偶函数,且在 R 上是减函数(D)是奇函数,且在 R 上是减函数
0.8 4 已知奇函数 f ( x ) 在 R 上是增函数.若 a ? ? f (log 2 ), b ? f (log 2 4.1), c ? f (2 ) , 则 a, b, c

1 5

的大小关系为
?x 5 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且 f ( x ? 4) ? f ( x ? 2) .若当 x ? [?3, 0] 时,f ( x) ? 6 ,

则 f (919) ?

.

6 已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ??? 单调递减,f ? 2? ? 0 , 若 f ? x ?1? ? 0 , 则 x 的取值范围是 (?1,3) . 7 已知偶函数 f ( x) 在区间 ?0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 ( , ) 8 若偶函数 f ( x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是( D A f ( ? ) ? f ( ?1) ? f ( 2) )

1 3

1 2 3 3

3 2

B. f ( ?1) ? f ( ? ) ? f ( 2)

3 2

C. f ( 2) ? f ( ?1) ? f ( ? )

3 2

D. f ( 2) ? f ( ? ) ? f ( ?1)

3 2

9 设偶函数 f ( x) 满足 f ( x) ? x3 ? 8( x ? 0) ,则 {x | f ( x ? 2) ? 0} ? {x | x ? 0或x ? 4} 10 已 知 函 数 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 在 区 间 ? ??, ??? 上 单 调 递 减 , 若

2 f ?3x ?1? ? f ?1? ? 0 ,则 x 的取值范围是__ (? ,?? ) __. 3
11 已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 (??,0) 上单调递增,若实数 a 满足

1 3 f (2|a ?1| ) ? f (? 2 ) ,则 a 的取值范围是( ( , ) 2 2
12 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x? ? 2
x ?m

) 为实数)为偶函数,记

?1 ( m

a ? f (log0.5 3), b ? f ?log2 5? , c ? f ?2m? ,则 a, b, c 的大小关系为 c ? a ? b
13 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,在 (?? ,0] 上是减函数,且 f (2) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 的 x 的 取值范围是 (?2,2) 14 已 知 函 数 f ( x) 是 偶 函 数 , 在 [0,??) 上 单 调 递 减 , 则 f (1 ? x 2 ) 的 单 调 递 增 区 间 是

(??,?1] ? [0,1]
15 已知函数 f ( x ? 4) 是偶函数,在 (4,??) 上单调递减,则 f (log2 (? x 2 ? 4x ? 5)) 的单调递减 区间为 (?1,4) 16 已知 f ( x), g ( x) 都是奇函数,如果 f ( x) ? 0 的解集是 (4,10) , g ( x) ? 0 的解集为 (2,5) ,则

f ( x) ? g ( x) ? 0 的解集为 (?5,?4) ? (4,5)
17 已 知 函 数 f ( x) 是 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 [0,??) 上 是 增 函 数 , 令

a ? f (sin

2? 5? 5? ), b ? f (cos ), c ? f (tan ) ,则 a, b, c 的大小, c ? a ? b 7 7 7

18 已知函数 f ( x) 是 R 上的奇函数, 若当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? lg( x ? 4) , 则满足 f ( x) ? 0 的 解集, (?5,0) ? (5,??)

19 设 f ( x ) 是奇函数,且在 (0, ??) 内是增函数,又 f (?3) ? 0 ,则 x ? f ( x) ? 0 的解集是 (

?x |

x? ?3 或 0 ? x ?? 3)
x

20 设 f ? x ? 是定义在上 R 的偶函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2 .若对任意的 x ?? a, a ? 2? ,不 等式 f ? x ? a ? ? f
2

? x ? 恒成立,则实数 a 的取值范围是

a??

3 . 2

21 函数 f ? x ? 是 R 上的偶函数,且在 [0,??) 上单调递增,则下列各式成立的是( B) A. f (?2) ? f (0) ? f (1) C. f (1) ? f (0) ? f (?2) B. f (?2) ? f (?1) ? f (0) D. f (1) ? f (?2) ? f (0)

22 R 上的偶函数 f ( x) 满足:对任意的 x1 , x2 ?[0, ??)( x1 ? x2 ) ,有 (A) f (3) ? f (?2) ? f (1) (C) f (?2) ? f (1) ? f (3) (B) f (1) ? f (?2) ? f (3) (D) f (3) ? f (1) ? f (?2)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .则 A. x2 ? x1

23 设函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? ln ?1 ? x ? ,则 f ? x ? 是( A ) A.奇函数,且在 (0,1) 上是增函数 C.偶函数,且在 (0,1) 上是增函数 24 已知函数 f (x) ? lnx ? ln(2 ? x) ,则 A. f (x) 在(0,2)单调递增 C.y= f (x) 的图像关于直线 x=1 对称 B. f (x) 在(0,2)单调递减 D.y= f (x) 的图像关于点(1,0)对称 B.奇函数,且在 (0,1) 上是减函数 D.偶函数,且在 (0,1) 上是减函数

25 函数 f ( x) 在 (??, ??) 单调递减,且为奇函数.若 f (1) ? ?1 ,则满足 ?1 ? f ( x ? 2) ? 1 的 x 的取值范围是 26 函数 f ? x ?? x ? 0? 是奇函数,且当 x ? ? 0, ? ?? 时是增函数,若 f ?1? ? 0 ,求不等 式 f ?x?

? ?

1? ? ? 0 的解集。 2?

27 已知 f ( x) 是奇函数并且是 R 上的单调函数,若函数 y ? f ( x2 ? 2) ? f (?2 x ? m) 只有一个 零点,则函数 g ( x) ? mx ?

4 ( x ? 1) 的最小值是(5 ) x ?1

28 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间 [0,2] 上是增函数,若方程

f ( x) ? m(m ? 0) 在 区 间

?? 8,8?

上 有 四 个 不 同 的 根

x1 , x2 , x3 , x4 , 则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________. -8
29 已知函数 f ( x) ? x3 ? 4x ,求 f ( x ? 2) ? 0 的解集

(0,2) ? (4,??)

30 已知 R 上的奇函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 4 ? b( x ? 0) ,求 f ( x) ? 3x 2 ? 8x 的解集为 六、函数奇偶性综合应用 1 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 若 ?x ? R , f ( x ? 1) ? f ( x) ,则实数 a 的取值范围为 [? 2 已知函数 f ( x) ? x?2m
2

1 ( x ? a 2 ? x ? 2a 2 ? 3a 2 ) 。 2

6 6 , ] 6 6

? m?3

(m ? Z ) 是偶函数,且 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增.

(Ⅰ)求 m 的值,并确定 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ) g ( x) ? log2[3 ? 2 x ? f ( x)] ,求 g ( x) 的定 义域和值域. 答案:(Ⅰ) m ? 1 , f ? x ? ? x ;(Ⅱ) ? ??, 2?
2

3 已知函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?1,1? ,且同时满足下列条件: (1) f ( x ) 是奇函数;(2) f ( x ) 在定义域上单调递减;(3) f (1 ? a) ? f (1 ? a2 ) ? 0, 求 a 的 取值范围。 0 ? a ? 1 4 已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,且对任意 a, b ? R ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,且当

x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,证明:(1)函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数;(2)函数 y ? f ( x)
是奇函数。 5 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) .

) 的值;0 (1)求 f (2012

(2)求证:函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? 2 对称;

(3) 若 f ( x) 在 区 间 [0,2] 上 是 增 函 数 , 试 比 较 f (?25), f (11), f (80) 的 大

小. f (?25) ? f (80) ? f (11) 6 已知函数 g ( x) ?

4x ? n 是奇函数, f ( x) ? log4 (4x ? 1) ? mx 是偶函数. 2x
1 2
对任意 x ? [1, ??] 恒成立 ,求实数 a 的

(1)求 m ? n 的值; m ? n ?

(2)设 h(x) ? f (x) ? x ,若 g (x) ?h(log (2 ? )) 4 a 1 取值范围. (? ,3) 7 已知函数 f ( x) ? log 3

1 2

1 2

1? x . 1? x
(2)判断函数 f ( x ) 的奇偶性;

(1)求函数 f ( x ) 的定义域; (?1,1) (3)当 x ? [?

1 1 , ] 时, g ( x) ? f ( x) ,求函数 g ( x) 的值域. [?1,1] 2 2

8 已知函数 f ( x) ?

?2 x ? b 是定义域为 R 的奇函数. 2 x ?1 ? a
1 3

(1)求 a , b 的值; a ? 2 , b ? 1
2 2 (2) 若对任意 t ? R , 不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立, 求实数 k 的取值范围. k ? ?

9 已知定义域为 R 的函数 f ? x ? ?

b ? 2x 是奇函数. 2x ?1 ? a

?a ? 2 (1)求实数 a ,b 的值; ? (2)判断 f ? x ? 在 ? ?? ,? ?? 上的单调性并证明; ?b ? 1

(3)若 f ? k ? 3x ? ? f ?3x ? 9x ? 2 ? ? 0 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的取值范围. k ?
3 2

4 3

10 已知函数 f ? x ? ? x ? ? m ? 4? x ? 3mx ? ? n ? 6?? x ? R ? 的图像关于原点对称 ? m, n ? R ? . (1)求 m, n 的值; m ? 4, n ? 6
2 (2) 若函数 F ? x ? ? f ? x ? ? ax ? b 在区间 ?1, 2? 上为减函数, 求实数 a 的取值范围.?0, ???

?

?

11 已知定义在 R 上的函数 f ? x ?
b 的值; a ? b ? 1 ⑴求 a ,

b ? 2x 是奇函数. 2x ? a

1? ? ⑵若对任意的 t ? R ,不等式 f t 2 ? 2t ? f 2t 2 ? k ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围 ? ?? ,? ? 3? ?

?

?

?

?

12 设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?1 , x ? R (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)求 f ( x) 的最小值。 13 已知函数 f ( x) ? 上是增函数, (1)求 a, b, c 的值;(2)当 x ?[?1,0) 时,讨论函数的单调性。 14 函数 f ( x ) 的定义域为 R ,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( D ) (A) f ( x ) 是偶函数 (B) f ( x ) 是奇函数 (C) f ( x) ? f ( x ? 2) (D) f ( x ? 3) 是奇函数

ax2 ? 1 ( a, b, c ? N )是奇函数, f (1) ? 2, f (2) ? 3 ,且 f ( x) 在 [1,??) bx ? c


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