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【数学】2.3.2《抛物线的简单几何性质》课件(新人教A版选修1-1)_图文

2. 3. 2

抛物线的简单几何性质

思考 类比椭圆、双曲线的几 何性质, 你 认为可以讨论抛物线的 哪些几何性质?
抛物线有许多重要性质我们根据抛物线 . 的标准方程 y ? 2 px ? p ? 0 ?
2

?1?

研究它的一些简单几何性质 .

1 范围

因为p ? 0,由方程 ?1 ? 可知, 对于抛物线?1 ?

上的点 M ? x, y ?, x ? 0, 所以这条抛物线在 y 轴的右侧, 开口方向与x轴正向相同当x ; 值增大时, | y | 也增大, 这说明抛物线向右 上方和右下方无限延伸 .

以 ? y 代 y, 方程 ?1? 不变, 所以这条抛物线 关于 x 轴对称 .我们把抛物线的对称轴 叫 做 抛物线的轴.

2 对称性

因此抛物线?1? 的顶点就是坐标原点 .
4 离心率 抛物线上的点 到焦点的距离和它到 M 准线的距离的比, 叫做 抛物线的离心 率 . 用e表示.由定义可知, e ? 1.

3 顶点 抛物线和它的轴的交点 叫做抛物线 的顶点 .在方程 ?1? 中,当y ? 0 时, x ? 0,

例 3 已知抛物线关于 轴对称, 它的顶点在坐标 x 原点, 并且经过点M 2,?2 2 , 求它的标准方程 . 解 因为抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在原点 ,
程为 y ? 2 px ? p ? 0 ?. 因为点M在抛物线上, 所以 ,
2

?

?

并且经过点 M 2,?2 2 , 所以 , 可设它的标准方

?

?

? 2 p ? 2, 即 p ? 2 . 2 因此, 所求抛物线的标准方程是 y ? 4 x . 思考 顶点在坐标原点对称轴是坐标轴并且经 , ,
过点M 2,?2 2 的抛物线有几条? 求出它们的标 准方程.

?? 2 2 ?
?

2

?

例 4 斜率为1 的直线 l 经过抛物线y 2 ? 4 x 的焦点F , 且与抛物线相交于 , B 两点, 求线 A 段 AB 的长.

分析 由抛物线的方程可以得 到它的焦点 坐标 , 又直线l的斜率为1 , 所以可以求出直 , 线 l 的方程;与抛物线的方程联立可以求出

A, B两点的坐标; 利 用两点间的距 离 公 式 , 可以求出| AB | . 这种方法虽然思路简单但 是需要复杂的代数运算 .

试一试, 用这种方法求| AB |.

下面, 我们介绍另外一种方法 数形结合的方法 .
进行数形结合实验 . 在图2.3 ? 4中, 设 A? x1 , y1 ?,

y
A

A`

O
B` B

F

x

B? x2 , y2 ?.由抛物线定义可 知, | AF | 等于点A到准线l 图2.3 ? 4 的距离| AA`| .设 | AA`|? d A , 而d A ? x1 ? 1, 于是| AF |? d A ? x1 ? 1. 同理, | BF |?| BB`|? d B ? x2 ? 1,

于是得| AB |?| AF | ? | BF |?| BB`|? x1 ? x2 ? 2. 由此可见, 只要求点A, B的横坐标之和 1 ? x2 , x 就可以求出| AB | .

p 解 由题意可知, p ? 2, ? 1, 2 焦点F ?1,0 ?, 准线l : x ? ?1. 如

y
A

A`

O
B` B

F

图2.3 ? 4, 设A? x1 , y1 ?, B? x2 , y2 ?, A, B到准线l的距离分别为d A , d B . 由抛物线的定义可知

x

图2.3 ? 4

| AF |? d A ? x1 ? 1, | BF |? d B ? x2 ? 1.

于是 | AB |?| AF | ? | BF |? x1 ? x2 ? 2.
由已知得抛物线的焦点为 F ?1,0 ?, 所以直线 AB 的 方程为 y ? x ? 1.

?1?

将 ?1? 代入 y 2 ? 2 x , 得 ? x ? 1? ? 4 x.
2
A`

y
A

化简得 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0.
由求根公式得 x1 ? 3 ? 2 2 , x2 ? 3 ? 2 2 , 于是 | AB |? x1 ? x2 ? 2 ? 8 .

O
B` B

F

x

图2.3 ? 4

?或由韦达定理得x1 ? x2 ? 6?
所以, 线段 AB的长是 8 .

例5 过抛物线焦点F 的直线 交抛物线于A, B两点, 通过点A 和 抛 物线顶点的直线交抛物 线的准 线 于点 D , 求 证 : 直线 DB平行于抛物线的对称轴 .
操作几何画板实验 .

l

y
A

o
F
D B

x

分析 我们用坐标法证明即通 图2.3 ? 5 , 过建立抛物线及直线的 方程, 借 助方程研究直线 与抛物线对 DB 称轴之间的位置关系 .

建立如图 .3 ? 5所示的直角坐标系只要证明 2 , 点D的纵坐标与点 的纵坐标相等即可 B .

证明 如图2.3 ? 5, 以抛物线 对称轴为x轴,它的顶点为原 点, 建立直角坐标系 .

l

y
A

o
F
D B

设抛物线方程为y 2 ? 2 px,

?1?

x

2 ? y0 ? ? 点A的坐标为 ? 2 p , y0 ? , 则直 ? 图2.3 ? 5 ? ? 2p ?2? 线OA的方程为y ? x, y0 p 抛物线的准线方程为 x ? ? . ?3? 2 p2 ?3 联立?2?、 ?, 可得D点的纵坐标为 ? ? . ?4 ? y y0

?p ? 因为点F的坐标是? ,0 ?, 所以 ?2 ? p x? y 直线AF的方程为 ? 2 2 . y0 p y0 ? 2p 2 与 y 2 ? 2 px联立, 可得B点的纵

l

y
A

o
F
D B

x

图2.3 ? 5

p2 ?5? 坐标为 y ? ? . y0 ?5 由?4 ?、 ?得, DB // x轴, 故DB平行于抛物线的对称轴 .

你还有其他证明方法吗 ?


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