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2017-2018厦门一中高二(上)理科期中考试卷

福建省厦门第一中学 2017—2018 学年度 2016 级高二上期中考数学
高二年理科数学试卷

题目卷

命题教师: 汤锦德 审核教师:肖文辉

2017.11

满分为 150 分,考试时间 120 分钟.

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项

中,只有一项是符合题目要求的.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.

1.如果 a ? b ? 0,那么下列各式一定成立的是

A. a ? b ? 0

B. ac ? bc

C. a2 ? b2

2.已知命题 p:“若 ab=1,则 a+b≥2”,则下列说法正确的是 A.命题 p 的逆命题是“若 ab≠1,则 a+b<2” B.命题 p 的逆命题是“若 a+b<2,则 ab≠1” C.命题 p 的否命题是“若 ab≠1,则 a+b<2” D.命题 p 的否命题是“若 a+b≥2,则 ab=1”

D. 1 ? 1 ab

() ()

? ? 3.已知数列

an

满足: an ?1 ? 1 ,且 a2 ? 2 ,则 a4 等于
an?1 ?1 2

A.

B. 11

C. 12

D. 23

()

? ? 4. an 是公差不为 0 的等差数列,满足 a42 ? a52 ? a62 ? a72 ,则该数列的前 10 项和 S10 ? ( )

A.-10

B. -5

C. 0

D. 5

5. 如图,一艘船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里的 M

处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这艘船航行的速度为

()

A.172 6海里/时

B.34 6海里/时

C.172 2海里/时

D.34 2海里/时

6. ?ABC的内角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c. 若 a, b, c 成等比数列,且 c=2a,则 cosB=( )

A. 1

B. 3

C. 2

D. 2

4

4

4

3

7.已知命题 p:x2+2x-3>0;命题 q:x>a,且 ? q 的一个充分不必要条件是 ? p,则 a 的取值范

围是

()

A.[1,+∞)

B.(-∞,1]

C.[-1,+∞)

D.(-∞,-3]

8.已知函数 f(x)=x2+mx-1,若对于任意 x? [m,m+1],都有 f(x)<0 成立,则实数 m 的取值

范围是

()

A. (? 2 , 0) 2

B. (? 3 , 0) 2

C. (? 3 , ? 2 ) 22

D. (? 2 , 2 ) 22

厦门一中 2016 级高二上期中考数学 1 (共 4 页)

? x? y?2?0

9.

已知 D

?

{?

x,

y

?

|

? ?

x?

y ? 2 ? 0 },给出下列四个命题:

??3x ? y ? 6 ? 0

P1 : ??x, y??D, x ? y ? 0;

P2:??x, y??D,2x ? y ?1? 0;

P3

:

??

x,

y??

D,

y x

?1 ?1

?

?4;

其中真命题的是

P4:?? x, y?? D, x2 ? y2 ? 2;

A. P1, P2

B. P2 , P3

C. P3 , P4

D. P2 , P4

()

10.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 BC 边上的高为 3 a,则 c ? b 的最大

6

bc

值是

()

A. 8

B. 6

C. 3 2

D. 4

? ? 11.已知等差数列 an 满足 a2015 ? a2017 ? 0, a2016 ? a2017 ? 0 , Tn ? a1a2a3 ? a2a3a4 ?

若对任意正整数 n,恒有 Tn ? Tk ,则正整数 k 的值是

A.2014

B.2015

C.2016

D.2017

? anan?1an?2 , ()

? ? 12.已知各项都为整数的数列

an

中,

a1

?

2 ,且对任意的 n ? N* ,满足 an?1

? an

?

2n

?

1 2



an?2 ? an ? 3? 2n ?1,则 a2017 ?

()

A. 3? 22017

B. 22017 +2

C. 22017 +1

D. 22017

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在答题卷上的相应题目的答

题区域内作答.

13. 命题 p 的否定是“对?x∈(0,+∞), x>x+1”,则命题 p 是



14. 用一根长为 12 的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架,则该三棱柱的侧面积的最大值是

__________.

15.在△ABC 中,B=60°,AC= 3 ,则 AB+2BC 的最大值为



? ? 16.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1 , a2n ? n ? an , a2n?1 ? an ?1 ,则
S100 ? __________.(用数字作答)
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算 步骤,在答题卷上相应题目的答题区域内作答.
? ? 17.已知 f (x) ? ax2 ? bx ? 2 ,关于 x 的不等式 f (x) ? 0 的解集为 ?1, 2 .
(1)求函数 f (x) 的解析式;(2)若 m ? 0 ,解关于 x 的不等式 ?(m2 ? m ?1)x ? m3 ? 2 ? f (x)

18. 已知 a ? R ,命题 p : ?x ??1, 2?,x2 -a ? 0,命题 q : ?x ? R,x2 ? 2ax ? 2-a ? 0 .
(1)若命题“ p ? q ”为真命题,求实数 a 的取值范围;
厦门一中 2016 级高二上期中考数学 2 (共 4 页)

(2)若命题“ p ? q ”为真命题,命题“ p ? q ”为假命题,求实数 a 的取值范围.
19. 若 ?ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,且满足 asinB ? 3bcosA ? 0 (1)求 A ;(2)当 a ? 7, b ? 2 时, 求 ?ABC 的面积.
20. 设 ?ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,且满 sin A ? sin B ? [cos A ? cos(? ? B)]?sin C . (1)试判断 ?ABC 的形状,并说明理由;(2)若 a ? b ? c ? 1? 2 ,试求 ?ABC 面积的最大值.
? ? ? ? 21. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn ? 2an ?1 . bn 是公差不为 0 的等差数列,其前三项和为 3,且 b3 是
b2 , b5 的等比中项.
厦门一中 2016 级高二上期中考数学 3 (共 4 页)

(1)求 an , bn ;
(2)若 a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ? ?n ? 2?t ? 2 ,求实数 t 的取值范围.

22. 已知数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn ,且对任意 n ? N? ,an?1 ? an ? 2(bn?1 ? bn ) 恒成立.

(1)若 An ? n2 ,b1 ? 2 ,求 Bn ;

(2)若对任意

n ? N? ,都有

an

?

Bn



b2 a1a2

?

b3 a2a3

?

b4 a3a4

?

围;

?

bn?1 an an ?1

?

1 3

成立,求正实数 b1 的取值范

(3)若 a1

? 2,

bn

? 2n ,是否存在两个互不相等的整数 s, t

(1 ? s ? t) ,使 A1 , As B1 Bs

, At Bt

成等差数列?若存

在,求出 s, t 的值;若不存在,请说明理由.

厦门一中 2016 级高二上期中考数学 4 (共 4 页)

福建省厦门第一中学 2017—2018 学年度 2016 级高二上期中考数学
高二年理科数学试卷
答案卷
一、选择题:
1-5.CCBCA 6-10.BAADD 11-12.CD

10.有面积公式可得 S ? 1 bc sin A ? 1 a 3 a ? 3 a2 ,即 a2 ? 2 3bc sin A ,

2

2 6 12

c b b2 ? c2 ? a2 ? a2

a2

??

? 2 cos A ? ? 2 cos A ? 2

3 sin A ? 4sin( A ? ? ) ? 4, A ? ? 取等.

bc

bc

bc

6

3

? ? 11. 由 a2015 ? a2017 ? 2a2016 ? 0 得 a2016 ? 0 ,由 a2016 ? a2017 ? 0 得 a2017 ? 0 ,所以等差数列 an 的公
差 d ? 0 ,故 n ? 2016 时 an ? 0 , n ? 2017 时 an ? 0 ,所以 n ? 2014 时 anan a ?1 n?2 ? 0 , a a a 2015 2016 2017 ? 0 , a2016a2017a2018 ? 0 ,当 n ? 2017 时 anan?1an?2 ? 0 ,又
? ? ? ? a a a 2015 2016 2017 ? a a 2016 2017a2018 ? a a 2016 2017 a2015 ? a2018 ? a a 2016 2017 a2016 ? a2017 >0,所以
n ? 2016 时 Tn 最大,

12.

an?2

? an

?

an?2

? an?1

? an?1

? an

?

2n?1

?

1 2

? 2n

?

1 2

?

3? 2n

? 1 ,即

3? 2n ?1 ? an?2 ? an ? 3? 2n ?1,又 an?2 ? an ? Z ,则有 an?2 ? an ? 3? 2n .

则 a2017 ? a1 ? (a3 ? a1) ? ? (a2017 ? a2015 ) ? 2 ? 3(2 ? 23 ? ? 22015 ) ? 22017

二、填空题 13. ?x0 ?(0, ??), x0 ? x0 ?1 14. 6

15. 2 7

16. 1306

15. 由正弦定理可知, AB ? AC sin(120 ? A), BC ? AC sin A,

sin B

sin B

则有 AB+2BC =2sin(120 ? A) ? 4sin A ? 3 cos A ?5sin A ?2 7 sin( A ? ?) ?2 7 .

16. 由题设可得 a2n ? a2n?1 ? n ?1,取 n ? 1, 2,3,???, 49 可得

a2 ? a3 ? 2, a4 ? a5 ? 3, a6 ? a7 ? 4,???, a98 ? a99 ? 50 ,将以上 49 个等式两边分别相加可得

a2

?

a3

?

a4

?

a5

?

a6

?

a7

?????

a98

?

a99

?

2

? 50 2

?

49

? 1274

;又

a3 ? a1 ?1 ? 2, a6 ? 3 ? a3 ? 1, a12 ? 6 ? a6 ? 5, a25 ? a12 ?1 ? 6, a50 ? 25 ? a25 ? 19, a100 ? 50 ? a50 ? 31,

所以 S100 ? 1?1274 ? 31 ? 1306 .

厦门一中 2016 级高二上期中考数学 5 (共 4 页)

三、解答题
17. 解:
(1)根据题意得 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的两根为 x1 ? ?1, x2 ? 2 ,且 a ? 0 由根与系数的关系可求得 a ? ?1,b ? 1所以 f (x) ? ?x2 ? x ? 2 .
(2)原不等式可化为 ?(m2 ? m ?1)x ? m3 ? 2 ? f (x) ,
即 x2 ? (m2 ? m)x ? m3 ? 0 ,即 (x ? m2 )(x ? m) ? 0 ,又 m ? 0 , 所以当 m2 ? m ,即 0 ? m ?1时, m2 ? x ? m ;
当 m2 =m ,即 m ? 1时,原不等式的解集为 ? ; 当 m2 ? m ,即 m ? 1时, m ? x ? m2 .
? ? 综上所述,当 0 ? m ?1时,原不等式的解集为 x m2 ? x ? m ,当 m ? 1时,原不等式的解集为 ? , ? ? 当 m ? 1时,原不等式的解集为 x m ? x ? m2 .

18.解:
(1)命题 p 为真命题时:令 f ? x? ? x2 -a ,根据题意,只要 x ??1, 2? 时, f ? x? ? 0即可,也 min
就是1-a ? 0 ? a ? 1;命题 q 为真命题时, ? ? 4a2 ? 4?2 ? a? ? 0 ,解得 a ? ?2 或 a ? 1;

?a ? 1



p

?

q

”为真命题,即

p, q

都为真命题,则有

??a

?

?2或a

?

? 1

a

? (??,

?2]

{1}.

(2)由(1)可知,当命题 p 为真命题时, a ? 1,因为命题“ p ? q ”为真命题,命题“ p ? q ”

为假命题,所以命题

p

与 q 一真一假,当命题

p

为真,命题 q 为假时,

?a ? 1 ???2 ? a

?

? 1

?2

?

a

? 1,

?a ? 1 当命题 p 为假,命题 q 为真时, ??a ? ?2或a ? 1 ? a ? 1. 综上: a ?(?2,1) ? (1, ??)

19.解:

(1)由正弦定理可得: asinB ? 3bcosA ? 0 ? sin Asin B ? 3 sin B cos A ? 0 ,

又 sin B ? 0,则有 sin A ? 3 cos A ? 0 ,即 tan A ? 3, 又 A? (0,? ), 则有 A ? ? . 3
(2)由余弦定理,得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bccosA ,而 a ? 7 ,b ? 2 , A ? ? ,得 7 ? 4 ? c2 ? 2c , 3

即 c2

? 2c ? 3 ? 0 ,因为三角形的边 c ? 0 ,所以 c ? 3,则 S?ABC

?

1 bcsinA ? 2

33 2



厦门一中 2016 级高二上期中考数学 6 (共 4 页)

20.解:

(1)依题意得 sin A ? sin B ? (cos A ? cos B)sin C

法一:由正余弦定理可得:

a

?

b

?

b2 c(

?

c2

?

a2

?

a2

? c2

? b2

)

.

2bc

2ac

化简整理可得: (a ? b)(a2 ? b2 ) ? (a ? b)c2 ,

又 a ? b ? 0,则 a2 ? b2 ? c2 ? C ? 90? ,即为直角三角形.

法二:由正弦定理知: sin(B ? C) ? sin(A ? C) ? cos Asin C ? cos B sin C ,展开化简得

(sin A ? sin B) cosC ? 0,又 sin A? sin B ? 0 ,则 cosC ? 0 ? C ? 90? ,即为直角三角形.

(2)1? 2 ? a ? b ? c ? a ? b ? a2 ? b2 ? 2 ab ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时取等,

所以

ab ?

1 2

,所以

S?ABC

?

1 2

ab

?

1 4

,即 ?ABC 面积的最大值为

1 4

,当且仅当 a

?

b 时取等.

21.解:
(1) n ?1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ?1 ? a1 ? 1, n ?1 时 an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ? an ? 2an?1 , 所以{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,即 an ? 2n?1 . 设{bn}的公差为 d ? 0 ,依题意有 b1 ? b2 ? b3 ? 3b1 ? 3d ? 3 , b2 ? b5 ? b32 , 即 (b1 ? d ) ? (b1 ? 4d ) ? (b1 ? 2d )2 ? b1d ? 0 ,解得 b1 ? 0, d ? 1,即 bn ? n ?1.

? ? (2)由(1),可知, an ? 2n?1, bn ? n ?1,从而 anbn ? n ?1 ? 2n?1 ,
令 Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ,
即Tn ?1? 21 ? 2? 22 ? ? ?n ? 2?? 2n?2 ? ?n ?1??2n?1 ,③ ×2,得 2Tn ?1?22 ? 2?23 ? ? ?n ? 2?? 2n?1 ? ?n ?1?? 2n ,④ -④,得 ?Tn ? 2? 22 ? 23 ? ? 2n?1 ? ?n ?1?? 2n ? 2 ? 2n ? ?n ?1?? 2n ? ? ?n ? 2?? 2n ? 2 ,
1? 2 即 Tn ? (n ? 2)2n ? 2 ,
故题设不等式可化为 (n ? 2)2n ? ?n ? 2?t ,(*)
当 n ? 1时,不等式(*)可化为 ?2 ? ?t ,解得 t ? 2 ; 当 n ? 2 时,不等式(*)可化为 0 ? 0 ,此时 t ? R ;
? ? 当 n ? 3 时,不等式(*)可化为 t ? 2n ,因为数列 2n 是递增数列,所以 t ? 8 ,
综上, t 的取值范围是 ?2,8? .

22.解:

(1) n ?1 时, a1 ? S1 ? 1, n ?1 时 an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ?1 ,所以 an ? 2n ?1(n ? N *) .

则有 bn?1 ? bn ? 1 ,即{bn}是以 2 为首项,1 为公比的等差数列,即

bn

?

n

?1,

Bn

?

2n

?

n(n ?1) 2

?

n(n ? 3) 2

.

厦门一中 2016 级高二上期中考数学 7 (共 4 页)

(2)依题意得 Bn?1

? Bn

?

2(bn?1 ? bn ), 即 bn?1

?

2(bn?1

? bn ) ,即

bn?1 bn

?

2

,且 b1

?

B1

?

a1

{bn}是以 b1 为首项,2 为公比的等比数列, bn ? b1 2n?1,

Bn

?

b1(1? 2n ) 1? 2

?

b1 (2n

?1)

,

所以 bn?1 ? bn?1 ? Bn?1 ? Bn ? 1 ? 1 ,

anan?1 Bn Bn?1

Bn Bn?1

Bn Bn?1

则 b2 ? b3 ? a1a2 a2a3

? bn?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? anan?1 B1 B2 B2 B3

?

1 Bn

?

1 Bn?1

?

1 B1

?

1 Bn?1

?

1 b1

(1?

1

2n?1

?

) 1

?

1 b1





1 b1

?

1 3

,



b1

?

3

(3)由 an?1 ? an ? 2(bn?1 ? bn ) 得: an?1 ? an ? 2n?1 , 所以当 n ? 2 时, an ? (an ? an?1) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1) ? a1 ? 2n ? 2n?1 ? ? 23 ? 22 ? 2 ? 2n?1 ? 2 ,当 n ?1时,上式也成立,

则 An

? 2n?2

? 4 ? 2n, Bn

? 2n?1 ? 2 ,所以

An Bn

?

2n?2 ? 4 ? 2n 2n?1 ? 2

n ? 2 ? 2n ?1 .

法一:假设存在两个互不相等的整数 s, t (1 ? s ? t) ,使 A1 , As , At 成等差数列,即 B1 Bs Bt

A1 B1

?

At Bt

? 2 As Bs

?

1?t ? 21 ?1 2t ?1

2s ? 2s ?1

2s ? 2s ?1

2t

t ?

1

?

1

.

又有

2s 2s ?1

?

2t

t ?1

?

1

?

1

,即

2s

?1? 2s

?

0 ,设

f

(s)

?

2s

? 2s

?1, s

?

2, s ?

N*.

则有 f (s ?1) ? f (s) ? 2s ? 2 ? 0 ,即数列{ f (s)} 单调递增,

又 f (2) ? ?1 ? 0 , f (3) ? 1 ? 0,则有 f (s) ? 0 ? s ? 2.



s

?

2

时,

2t

t ?1

?

2s 2s ?1

?1 ?

1 3

,即

2t

? 3t

?1

? 0,

t

?3

.同理可证当 t

?

3

数列 {2t

? 3t

?1} 递增,

当 t ? 3 时 2t ? 3t ?1 ? ?2 舍去,当 t ? 4 时 2t ? 3t ?1 ? 24 ?12 ?1 ? 3 ? 0 ,即 2t ?3t ?1 ? 0 无解,

综上所述,不存在两个互不相等的整数 s, t (1 ? s ? t) ,使 A1 , As , At 成等差数列. B1 Bs Bt

法二:

An?1 Bn?1

?

An Bn

?

n 2n ?

1

?

n ?1 2n?1 ?1

?

(n ?1)2n ?1 (2n ?1)(2n?1 ?1)

? 0 ,即数列{ An } 单调递增. Bn

An Bn

? 2?

n 2n ?

1

?

[1,

2)

,又

As Bs

?

1 ( A1 2 B1

?

At ) ? 1? 2

Bt

2

?

3, 2

又 A1 ? 1, A2 ? 4 ? 3 , A3 ? 11 ? 3 ,则 s ? 2, 所以 At ? 2 As ? A1 ? 5

B1 B2 3 2 B3 7 2

Bt

Bs B1 3

又 A3 ? 11 ? 5 , A4 ? 26 ? 5 , ? 3 ? t ? 4 ,则这样的 t 不存在. B3 7 3 B4 15 3

综上所述,不存在两个互不相等的整数 s, t (1 ? s ? t) ,使 A1 , As , At 成等差数列. B1 Bs Bt

厦门一中 2016 级高二上期中考数学 8 (共 4 页)


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