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2017-2018厦门一中高二(上)理科期中考试卷

福建省厦门第一中学 2017—2018 学年度 2016 级高二上期中考数学

高二年理科数学试卷

命题教师:





汤锦德 审核教师:肖文辉 2017.11 满分为 150 分,考试时间 120 分钟.

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答. 1.如果 a ? b ? 0 ,那么下列各式一定成立的是 ( ) 1 1 A. a ? b ? 0 B. ac ? bc C. a 2 ? b 2 D. ? a b
2. 已知命题 p: “若 ab=1, 则 a+b≥2”, 则下列说法正确的是 A.命题 p 的逆命题是“若 ab≠1,则 a+b<2” B.命题 p 的逆命题是“若 a+b<2,则 ab≠1” C.命题 p 的否命题是“若 ab≠1,则 a+b<2” D.命题 p 的否命题是“若 a+b≥2,则 ab=1” 3.已知数列 ?an ? 满足: an ? 1 ? 1 , 且 a2 ? 2 , 则 a4 等于 an ?1 ? 1 2 A. 4. B. 11 C. 12 D. 23 ) ( )





?an ? 是公差不为 0 的等差数列,满足 a42 ? a52 ? a62 ? a72 ,则该数列的前 10 项和 S10 ? (
A.-10 B. -5 C. 0 D. 5

5. 如图,一艘船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这艘船航行的速度为 ( ) 17 6 A. 海里/时 B.34 6海里/时 2 C. 17 2 海里/时 2 D.34 2海里/时 )

6. ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c. 若 a, b, c 成等比数列,且 c=2a,则 cosB=( A.

7.已知命题 p:x +2x-3>0;命题 q:x>a,且 ? q 的一个充分不必要条件是 ? p,则 a 的取值范 围是 ( ) A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.[-1,+∞) D.(-∞,-3]
2

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3

8.已知函数 f(x)=x2+mx-1,若对于任意 x ? [m,m+1],都有 f(x)<0 成立,则实数 m 的取值 范围是 ( ) A. (?

2 , 0) 2

B. (?

3 , 0) 2

C. (?

3 2 ,? ) 2 2

D. (?

2 2 , ) 2 2

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? x? y?2?0 ? 9. 已知 D ? {? x, y ? | ? x ? y ? 2 ? 0 } ,给出下列四个命题: ?3 x ? y ? 6 ? 0 ?

P 1 : ?? x, y ? ? D, x ? y ? 0;
P3 : ? ? x, y ? ? D,

P 2:?? x, y ? ? D,2x ? y ? 1 ? 0;

y ?1 ? ?4; x ?1
B. P2 , P 3

2 2 P 4:?? x, y ? ? D, x ? y ? 2;

其中真命题的是 A. P 1, P 2

( C. P 3, P 4 D. P2 , P4

)

10.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 BC 边上的高为 值是 A. 8 B. 6 C. 3 2 D. 4

c b 3 a,则 ? 的最大 b c 6
( )

11.已知等差数列 ?an ? 满足 a2015 ? a2017 ? 0, a2016 ? a2017 ? 0 , Tn ? a1a2a3 ? a2a3a4 ? ? ? anan?1an?2 , 若对任意正整数 n,恒有 Tn ? Tk ,则正整数 k 的值是 A.2014 B.2015 C.2016 D.2017
n

(

)

12.已知各项都为整数的数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,且对任意的 n ? N* ,满足 an ?1 ? an ? 2 ? 则 a2017 ? an?2 ? an ? 3 ? 2n ? 1, A. 3 ? 2
2017

1 , 2
)

( C. 2
2017

B. 2

2017

+2

+1

D. 2

2017

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在答题卷上的相应题目的答 题区域内作答.
13. 命题 p 的否定是“对?x∈(0,+∞), x>x+1”,则命题 p 是 . 14. 用一根长为 12 的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架,则该三棱柱的侧面积的最大值是 __________.

15.在△ABC 中,B=60° ,AC= 3 ,则 AB+2BC 的最大值为
16.已知数列



?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1 ,

a2n ? n ? an , a2n?1 ? an ? 1,则

S100 ? __________.(用数字作答)
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算 步骤,在答题卷上相应题目的答题区域内作答. 17.已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? 2 ,关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? ?1, 2? .
(1)求函数 f ( x) 的解析式;(2)若 m ? 0 ,解关于 x 的不等式 ?(m2 ? m ? 1) x ? m3 ? 2 ? f ( x)

p : ?x ? ?1,2?,x2 -a ? 0 ,命题 q : ?x ? R,x2 ? 2ax ? 2-a ? 0 . (1)若命题“ p ? q ”为真命题,求实数 a 的取值范围;
18. 已知 a ? R ,命题
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(2)若命题“ p ? q ”为真命题,命题“ p ? q ”为假命题,求实数 a 的取值范围.

19. 若 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 asinB ? 3bcosA ? 0
(1)求 A ;(2)当 a ?

7, b ? 2 时, 求 ?ABC 的面积.

20. 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满 sin A ? sin B ? [cos A ? cos(? ? B)] ? sin C . (1)试判断 ?ABC 的形状,并说明理由;(2)若 a ? b ? c ? 1 ?

2 ,试求 ?ABC 面积的最大值.

21. 已知数列

其前三项和为 3, 且 b3 是 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2an ?1 . ?bn ? 是公差不为 0 的等差数列,

b2 , b5 的等比中项.
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(1)求 an , bn ; (2)若 a1b1 ? a2b2 ??? anbn

? ? n ? 2? t ? 2 ,求实数 t 的取值范围.

22. 已知数列 {an } 与 {bn } 的前 n 项和分别为 An 和 Bn , 且对任意 n ? N ,an?1 ? an ? 2(bn?1 ? bn ) 恒成立. (1)若 An ? n 2 , b1 ? 2 ,求 Bn ; (2)若对任意 n ? N ,都有 an ? Bn 及 围; (3)若 a1 ? 2, bn ? 2n ,是否存在两个互不相等的整数 s, t (1 ? s ? t ) ,使 在,求出 s, t 的值;若不存在,请说明理由.
?

?

b b b2 b 1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? 成立,求正实数 b1 的取值范 a1a2 a2 a3 a3 a4 an an ?1 3 A1 As At , , 成等差数列?若存 B1 Bs Bt

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高二年理科数学试卷

一、选择题:
1-5.CCBCA 6-10.BAADD 11-12.CD





10.有面积公式可得 S ?

1 1 3 3 2 bc sin A ? a a? a ,即 a2 ? 2 3bc sin A , 2 2 6 12 c b b2 ? c 2 ? a 2 ? a 2 a2 ? ? ? ? ? 2cos A ? ? 2cos A ? 2 3 sin A ? 4sin( A ? ) ? 4, A ? 取等. b c bc bc 6 3

11. 由 a2015 ? a2017 ? 2a2016 ? 0 得 a2016 ? 0 ,由 a2016 ? a2017 ? 0 得 a2017 ? 0 ,所以等差数列 ?an ? 的公

? 0 ,故 n ? 2016 时 an ? 0 , n ? 2017 时 an ? 0 ,所以 n ? 2014 时 anan?1an?2 ? 0 , a2015a2016a2017 ? 0 , a2016 a2017 a2018 ? 0 ,当 n ? 2017 时 anan?1an?2 ? 0 ,又
差d

a2015a2016a2017 ? a2016a2017a2018 ? a2016a2017 ? a2015 ? a2018 ? ? a2016a2017 ? a2016 ? a2017 ? >0,所以 n ? 2016 时 Tn 最大,
n ?1

12. an ? 2 ? an ? an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an ? 2

1 1 ? 2n ? ? 3 ? 2n ? 1 ,即 2 2 n n 3 ? 2 ?1 ? an?2 ? an ? 3 ? 2 ?1 ,又 an?2 ? an ? Z ,则有 an?2 ? an ? 3 ? 2n . ?

则 a2017 ? a1 ? (a3 ? a1 ) ? ?? (a2017 ? a2015 ) ? 2 ? 3(2 ? 23 ? ?? 22015 ) ? 22017

二、填空题 13. ?x0 ? (0, ??), x0 ? x0 ? 1 14. 6
15. 由正弦定理可知, AB ?

15. 2 7

16. 1306

AC AC sin(120? ? A), BC ? sin A, sin B sin B 则有 AB+2BC =2sin(120? ? A) ? 4sin A ? 3 cos A ?5sin A ? 2 7 sin( A ? ? ) ?2 7 .
16. 由题设可得 a2n ? a2n?1 ? n ? 1 ,取 n ? 1, 2,3, ???, 49 可得

a2 ? a3 ? 2, a4 ? a5 ? 3, a6 ? a7 ? 4, ???, a98 ? a99 ? 50 ,将以上 49 个等式两边分别相加可得 2 ? 50 a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? ??? ? a98 ? a99 ? ? 49 ? 1274 ;又 2 a3 ? a1 ? 1 ? 2, a6 ? 3 ? a3 ? 1, a12 ? 6 ? a6 ? 5, a25 ? a12 ? 1 ? 6, a50 ? 25 ? a25 ? 19, a100 ? 50 ? a50 ? 31 , 所以 S100 ? 1 ? 1274 ? 31 ? 1306 .

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三、解答题
17. 解:
(1)根据题意得 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的两根为 x1 由根与系数的关系可求得 a ? ?1, b ? 1 所以 f ( x) ? ? x2 ? x ? 2 .

? ?1, x2 ? 2 ,且 a ? 0

(2)原不等式可化为 ?(m2 ? m ? 1) x ? m3 ? 2 ? f ( x) , 即 x2 ? (m2 ? m) x ? m3 ? 0 ,即 ( x ? m2 )( x ? m) ? 0 ,又 m ? 0 , 所以当 m2 ? m ,即 0 ? m ? 1 时, m2 ? x ? m ; 当 m2 =m ,即 m ? 1 时,原不等式的解集为 ? ; 当 m2 ? m ,即 m ? 1 时, m ? x ? m2 .

? 当 m ? 1 时,原不等式的解集为 ? x m ? x ? m ? .
2

综上所述,当 0 ? m ? 1 时,原不等式的解集为 x m ? x ? m ,当 m ? 1 时,原不等式的解集为 ? ,
2

?

18.解:

2 (1)命题 p 为真命题时:令 f ? x ? ? x -a ,根据题意,只要 x ? ?1, 2? 时, f ? x ?min ? 0 即可,也

就是 1-a ? 0 ? a ? 1 ;命题 q 为真命题时, ? ? 4a “ p ? q ”为真命题,即 p, q 都为真命题,则有 ?

2

? 4 ? 2 ? a ? ? 0 ,解得 a ? ?2 或 a ? 1 ;

(2)由(1)可知,当命题 p 为真命题时, a ? 1 ,因为命题“ p ? q ”为真命题,命题“ p ? q ” 为假命题,所以命题 p 与 q 一真一假,当命题 p 为真,命题 q 为假时, ? 当命题 p 为假,命题 q 为真时, ? 综上: a ? (?2,1) ? (1, ??)

?a ? 1 ? a ? (??, ?2] ? {1}. a ? ? 2 或 a ? 1 ?

?a ? 1 ? ?2 ? a ? 1 , ??2 ? a ? 1

?a ? 1 ? a ? 1. ?a ? ?2或a ? 1

19.解: (1)由正弦定理可得: asinB ? 3bcosA ? 0 ? sin A sin B ? 3 sin B cos A ? 0 ,
又 sin B ? 0 ,则有 sin A ?
2

3 cos A ? 0 ,即 tan A ? 3, 又 A ? (0, ? ), 则有 A ?
2 2

?
3

.
2

(2)由余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bccosA ,而 a ?

7, b ? 2 , A ?

?
3

,得 7 ? 4 ? c ? 2c ,

2 即 c ? 2c ? 3 ? 0 ,因为三角形的边 c ? 0 ,所以 c ? 3 ,则 S?ABC

?

1 3 3 . bcsinA ? 2 2

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20.解: (1)依题意得 sin A ? sin B ? (cos A ? cos B)sin C

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 ? ). 2bc 2ac 化简整理可得: (a ? b)(a2 ? b2 ) ? (a ? b)c 2 , 又 a ? b ? 0 ,则 a 2 ? b2 ? c 2 ? C ? 90? ,即为直角三角形. 法二:由正弦定理知: sin( B ? C ) ? sin( A ? C ) ? cos A sin C ? cos B sin C ,展开化简得 (sin A ? sin B) cos C ? 0 ,又 sin A ? sin B ? 0 ,则 cos C ? 0 ? C ? 90? ,即为直角三角形.
法一:由正余弦定理可得: a ? b ? c( (2) 1 ? 2 ? a ? b ? c ? a ? b ? a2 ? b2 ? 2 ab ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时取等,
所以

ab ?

1 1 1 1 ,所以 S ?ABC ? ab ? ,即 ?ABC 面积的最大值为 ,当且仅当 a ? b 时取等. 2 4 4 2

21.解: (1) n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ?1 ? a1 ? 1, n ? 1 时 an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ? an ? 2an?1 ,
所以 {an } 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,即 an

? 2n?1 . 设 {bn } 的公差为 d ? 0 ,依题意有 b1 ? b2 ? b3 ? 3b1 ? 3d ? 3 ,

b2 ? b5 ? b32 , 即 (b1 ? d ) ? (b1 ? 4d ) ? (b1 ? 2d )2 ? b1d ? 0 ,解得 b1 ? 0, d ? 1 ,即 bn ? n ? 1.
(2)由(1),可知, 令 Tn 即 Tn

an ? 2n?1, bn ? n ?1,从而 anbn ? ? n ?1? ? 2n?1 ,

? a1b1 ? a2b2 ? ?? anbn ,

? 1? 21 ? 2 ? 22 ??? ? n ? 2? ? 2n?2 ? ? n ?1? ? 2n?1 ,③

×2,得 2Tn -④,得 ?Tn

? 1? 22 ? 2 ? 23 ??? ? n ? 2? ? 2n?1 ? ? n ?1? ? 2n ,④
? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n?1 ? ? n ?1? ? 2n

?

? ? n ? 2? t ,(*) 当 n ? 1 时,不等式(*)可化为 ?2 ? ?t ,解得 t ? 2 ; 当 n ? 2 时,不等式(*)可化为 0 ? 0 ,此时 t ? R ; n n 当 n ? 3 时,不等式(*)可化为 t ? 2 ,因为数列 ?2 ? 是递增数列,所以 t ? 8 ,
故题设不等式可化为 (n ? 2)2
n

2 ? 2n ? ? n ? 1? ? 2n ? ? ? n ? 2 ? ? 2n ? 2 , 1? 2 n 即 Tn ? (n ? 2)2 ? 2 ,

综上, t 的取值范围是

?2,8? .

22.解: (1) n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 , n ? 1 时 an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ?1 ,所以 an ? 2n ?1(n ? N * ) .
则有 bn?1 ? bn ? 1 ,即 {bn } 是以 2 为首项,1 为公比的等差数列,即

bn ? n ? 1, Bn ? 2n ?

n(n ? 1) n(n ? 3) ? . 2 2
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(2)依题意得 Bn?1 ? Bn ? 2(bn?1 ? bn ), 即 bn?1 ? 2(bn?1 ? bn ) ,即

bn ?1 ? 2 ,且 b1 ? B1 ? a1 bn

{bn } 是以 b1 为首项,2 为公比的等比数列, bn ? b1 2n?1 , Bn ?
所以

bn?1 b B ? Bn 1 1 , ? n?1 ? n?1 ? ? an an?1 Bn Bn?1 Bn Bn?1 Bn Bn?1

b1 (1 ? 2n ) ? b1 (2n ? 1) , 1? 2

则 b2 ? b3 ? ? ? bn?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 (1 ? 1 ) ? 1 , a1a2 a2 a3 an an?1 B1 B2 B2 B3 Bn Bn?1 B1 Bn?1 b1 2n?1 ? 1 b1 则

1 1 ? , 即 b1 ? 3 b1 3

(3)由 an?1 ? an ? 2(bn?1 ? bn ) 得: an?1 ? an ? 2n?1 , 所以当 n ? 2 时, an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1
? 2n ? 2n ?1 ? ? ? 23 ? 22 ? 2 ? 2n ?1 ? 2 ,当 n ? 1 时,上式也成立,
则 An

? 2n?2 ? 4 ? 2n, Bn ? 2n?1 ? 2 ,所以

An 2n? 2 ? 4 ? 2n n . ? ? 2? n n ?1 Bn 2 ?2 2 ?1
A1 As At , , 成等差数列,即 B1 Bs Bt

法一:假设存在两个互不相等的整数 s, t (1 ? s ? t ) ,使

A A1 At 1 t 2s 2s t ? ?2 s ? 1 ? t ? s ? s ? t ? 1. B1 Bt Bs 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2s t ? t ? 1 ? 1 ,即 2s ? 1 ? 2s ? 0 ,设 f (s) ? 2s ? 2s ?1, s ? 2, s ? N * . 又有 s 2 ?1 2 ?1 s 则有 f (s ? 1) ? f (s) ? 2 ? 2 ? 0 ,即数列 { f ( s)} 单调递增, 又 f (2) ? ?1 ? 0 , f (3) ? 1 ? 0 ,则有 f ( s) ? 0 ? s ? 2. t 2s 1 当 s ? 2 时, t ? s ? 1 ? ,即 2t ? 3t ?1 ? 0, t ?3 .同理可证当 t ? 3 数列 {2t ? 3t ?1} 递增, 2 ?1 2 ?1 3 t t 4 t 当 t ? 3 时 2 ? 3t ? 1 ? ?2 舍去,当 t ? 4 时 2 ? 3t ? 1 ? 2 ? 12 ? 1 ? 3 ? 0 ,即 2 ? 3t ?1 ? 0 无解,
综上所述,不存在两个互不相等的整数 s, t (1 ? s ? t ) ,使 法二:

A1 As At , , 成等差数列. B1 Bs Bt

A An?1 An n n ?1 (n ? 1)2n ? 1 ? ? n ? n?1 ? n ? 0 ,即数列 { n } 单调递增. n ?1 Bn Bn?1 Bn 2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 1) An A 1 A A 1? 2 3 n ? 2 ? n ?[1, 2) ,又 s ? ( 1 ? t ) ? ? , Bs 2 B1 Bt 2 2 Bn 2 ?1 A A A 5 A A 4 3 A 11 3 又 1 ? 1, 2 ? ? , 3 ? ? ,则 s ? 2, 所以 t ? 2 s ? 1 ? B1 B2 3 2 B3 7 2 Bt Bs B1 3 A 11 5 A4 26 5 ? , ? ? , ? 3 ? t ? 4 ,则这样的 t 不存在. 又 3 ? B3 7 3 B4 15 3
综上所述,不存在两个互不相等的整数 s, t (1 ? s ? t ) ,使

A1 As At , , 成等差数列. B1 Bs Bt

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