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数系的扩充与复数的引入知识点总结

数系的扩充与复数的引入知识点总结
一.数系的扩充和复数的概念 1.复数的概念 (1) 复数:形如 a ? bi (a ? R, b ? R ) 的数叫做复数, a 和 b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数 a ? bi( a ? R, b ? R) 中,当 b ? 0 ,就是实数; b ? 0 ,叫做虚数;当 a ? 0, b ? 0 时,叫做 纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 即:如果: a,b,c,d ? R ,那么: a +bi =c+di ? ?

?a=c ,特别地: ?b=d

.

(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即: z =a+bi的共轭复数是z =a-bi(a,b ? R) 2.复数的几何意义 (1)数 ( )可用点 表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的 轴叫做实轴, 轴叫做虚轴.

平面叫做复平面,也叫高斯平面,

实轴上的点都表示实数.除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系, 即复数 平面内的点 复

每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每

一个点,有唯一的一个复数和它对应,这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表 示方法,即几何表示方法. (2)复数的几何意义 坐标表示:在复平面内以点 向量表示:以原点 向量 的长度叫做复数 表示复数 ( 为终点的向量 .即 ) ; 表示复数 . .

为起点,点 的模,记作

3.复数的运算 (1)复数的加,减,乘,除按以下法则进行 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) 则

z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i

z1 ? z2 ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i
z1 (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i ? ( z2 ? 0) z2 c2 ? d 2

(2)几个重要的结论
| z1 ? z2 |2 ? | z1 ? z2 |2 ? 2(| z1 |2 ? | z2 |2 ) z ? z ?| z |2 ?| z |2

若 z 为虚数,则 | z |2 ? z 2 (3)运算律

z m ? z n ? z m? n

( z m )n ? z mn
( z1 ? z2 )n ? z1n ? z2n (m, n ? R)
(4)关于虚数单位 i 的一些固定结论:

i 2 ? ?1 i 3 ? ?i i4 ? 1

i n ? i n ? 2 ? i n ?3 ? i n ? 4 ? 0
注: (1)两个复数不能比较大小,但是两个复数的模可以比较大小 (2)在实数范围内的求根公式在复数范围内照样能运用 二.同步检测 1.复数a+b i 与c+d i 的积是实数的充要条件是 A.ad+bc=0 B.ac+bd=0 C.ac=bd D.ad=bc

5 的共轭复数是 i -2 A. i +2 B. i -2 C.-2- i D.2- i 2 3.当 <m <1 时,复数m(3+ i )-(2+ i )在复平面内对应的点位于 3
2.复数 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

?1 3 ? 4.复数 ? + ? 2 2 i? ? = ? ?
5.已知复数z与 ? z +2 ? -8i 都是纯虚数,求z
2

3

6.已知 (1+2i) z =4+3i ,求z及

z z

7.已知 z1 =5+10 i , z2 =3-4 i ,

1 1 1 = + ,求z z z1 z2

8.已知2 i -3是关于 x 的方程2 x +p x +q=0的一个根,求实数p,q的值

2


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