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[资料]三角函数图像变换


y=Asin(?x+?)+b 的图象

***复习回顾***
y ? sin x , x ? [ 0 , 2 ? ]的图象
关键点: (0,0), (

?
2

,1), (? ,0), (

3? 2

,?1), ( 2? ,0)

y 1 O 1
?
2

?

3? 2

2?

x

***思考问题***
你 会 画 y ? 2 s in ( 1 2 x?

?
4

) ? 3的 图 象 吗 ?

一 .由 y ? f ( x ) ? y ? f ( x ? ? )的 变 换
1 .画 出 f ( x ) ? x , f ( x ? 3) ? x ? 3 的 图 像 , 你 能 发 现 什 么 ?
2 .画 出 f ( x ) ? x , f ( x ? 2 ) ? ( x ? 2 ) 的 图 像 , 你 能 发 现 什 么 ?
2 2

3 .思 考 : 你 能 利 用 y ? s in x的 图 像 , 得 到 y ? s in ( x ? y ? s in ( x ?

?
3

)与

?
4

)的 图 像 吗 ? 如 何 变 换 得 到 ?

例1
x+
X
?
3

画出函数 Y=Sin (X+
Y=Sin(X0 -π/3 0 0 π/4 0
?
4

?
3

),X∈R

) ,X∈R 的简图。
π 2π/3 0 π 5π/4 0 3π/2 7π/6 -1 3π/2 7π/4 -1 2π 5π/3 0 2π 9π/4 0

π/2 π/6 1 π/2 3π/4 1

Sin(X+ 3 )

?

x- ? 4 X
Sin(X- 4)
?

1
?

Y
7? 6

?
2
?

3? 2
5? 4

7? 4

9? 4
2?

X

?
3

O

? ? 6 4

? 2 ? 3?
2
3
4

?

5? 3

-1

例2:试研究 y
y ? y ? sin( x ? ) 1
3

? sin( x ?

?
3

), y ? sin( x ?

?
6

)



y ? sin x 的图象关系.
y ? sin x
y ? sin( x ?

?
6

)

O
?

?
2

?

?
3

?
6

? 2
2 3

?

?

3? 5? 2 3

2? 13?
6

x

-1

结论:函数y=sin(x+?)图象:
函数 y=sin(x+?)的图象可以看作是把y=sinx 的图象上所有的点向左(当?>0时)或向右(当 ?<0时)平行移动|?|个单位而得到的.

y=sinx

所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平移 | ? | 个单位

y=sin(x+?)

?的变化引起图象位置发生变化(左加右减)

图象变换法则:
y ? 1.左右平移变换: f (x) ? y ? f (x ? ? )

将y?

f (x)

y ? f (x)

的图象向左或向右平移 ? 个单位得到 所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平移
| ? | 个单位

y ? f (x ? ? )

y ? f (x ? ? )

记忆技巧:左加右减

二 .由 y ? f ( x ) ? y ? f ( ? x )( ? ? 0 )的 变 换

思考:画出函数 y ? sin 2 x 及 y ? sin 1 x 的图象。
2
2x

0

? ?
2

? ?
2

x
sin 2 x

0
0

4

3? 2? 2 3? ? 4

1 x 2

0 0
x

?
2

?

3? 2? 2

x
sin 1 2

? 1

2? 3? 4? 0 ?1 0

1

0 ?1 0

0

y 1 O -1
? 4 ? 2 3? 4

?

3? 2

2?

5? 2

3?

7? 2

4?

x
1 2 x

y ? sin 2 x

y ? sin x

y ? sin

函数 y

? sin 2 x

y 、

? sin

1 2

x 与 y ? sin x

的图象

间的变化关系. y
1

O

?
2

?

2?

4?
1 2

x

-1

y ? sin 2 x

y ? sin

x

结论:函数y=sin?x(?>0)图象:
函数 y=sin?x (?>0且??0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当?>1时)或伸长(当0< ?<1时)到原来的1/? 倍(纵坐标不变)而得到的.

y=sinx

所有的点横坐标缩短(?>1) 或伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变

y=sin?x

?决定函数的周期: T ?

2?

?

图象变换法则:
y ? 2.水平伸缩变换: f ( x ) ? y ? f ( ? x )( ? ? 0 )

纵坐标不变,横坐标伸缩到原来的1/?倍.
所有的点横坐标伸缩 到1/?倍
纵坐标不变

y ? f (x)

y ? f ( ? x )( ? ? 0 )

记忆技巧:横坐标伸缩1/?倍

三 .由 y ? f ( x ) ? y ? A f ( x )( A ? 0 )的 变 换

思考:作下列函数图象:
y ? 2 sin x
y 2

x sinx 2sinx
1 2 sin x

y ?

1 2

0 0 0 0

?
2

?
0 0 0

3? 2

2?

sin x

1 2
1 2

?1
?2
? 1 2

0 0 0

1
O -1 -2
? 2

?

3? 2

2?

x
y ? 2 sin x

y?

1 2

sin x

y ? sin x

函数 y
y 2

? 2 sin x

y 、

?

1 2

sin x 与 y ? sin x

的图象

间的变化关系.

1
O -1 -2
?
2

?

3? 2

2?

x

y?

1 2

sin x

y ? 2 sin x

结论:函数y=Asinx(A>0)图象:
函数 y=Asinx 的图象可以看作是把y=sinx的图 象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当 0< A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.
所有的点纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0< A<1) A倍

y=sinx

横坐标不变

y=Asinx

A的大小决定这个函数的最大(小)值

图象变换法则:
y ? 3.竖直伸缩变换: f ( x ) ? y ? A f ( x )( A ? 0 )

横坐标不变,纵坐标伸缩到原来的A倍.
所有的点纵坐标伸缩 到A倍
横坐标不变

y ? f (x)

y ? A f ( x )( A ? 0 )

记忆技巧:纵坐标伸缩A倍

四 .由 y ? f ( x ) ? y ? f ( x ) + b 的 变 换

思考:作下列函数图象:
y ? s in x ? 1 y ? s in x ? 1
y 2

x sinx

0 0

?
2

?
0

3? 2

2?

1 2
0

?1
0

0

Sinx+ 1 1
s in x ? 1

1

1
?1

?1

? 1 ?2

1
O -1 -2
? 2

y ? sin x ? 1
?
3? 2

2?

x
y ? sin x

y ? sin x ? 1

结论:函数y=sin(x)+b图象:
函数 y=sin(x)+b的图象可以看作是把y=sinx 的图象上所有的点向上(当b>0时)或向下(当 b<0时)平行移动|b|个单位而得到的.

y=sinx

所有的点向上(b >0) 或向下(b <0)平移 | b | 个单位

y=sin(x)+b

b的变化引起图象位置发生变化(上加下减)

图象变换法则:
y ? 4.上下平移变换: f (x) ? y ? f (x) ? b

将y?

f (x)

的图象向上或向下平移

b

个单位得到

y ? f (x) ? b

y ? f (x)

所有的点向上(b >0) 或向下(b <0)平移
| b | 个单位

y ? f (x) ? b

记忆技巧:上加下减

图象变换法则:
y ? 1.左右平移变换: f (x) ? y ? f (x ? ? )

左加右减 | ? |
y ? 2.水平伸缩变换: f ( x ) ? y ? f ( ? x )( ? ? 0 )

横坐标伸缩1/?倍
y ? 3.竖直伸缩变换: f ( x ) ? y ? A f ( x )( A ? 0 )

纵坐标伸缩A倍
y ? 4.上下平移变换: f (x) ? y ? f (x) ? b

上加下减

思考:如何由 y ? sin x 变换得
y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) 的图象?

方法1:(按 ? , ω,
y 3 2 1

A

顺序变换)
?
3 )

y ? 3 sin( 2 x ?

y ? sin( 2 x ?

?
3

)

o
?

?
3

?

?
6

?

?
3

7 12

?

2 3

?

5? 6

?

7 6

?

5? 3

2?

x

-1 -2 -3

6

y ? sin( x ?

?
3

y ? sin x
)

方法2:(按 ω,
y 3 2 1

?,A

顺序变换)
?
3 )

y ? 3 sin( 2 x ?

y ? sin( 2 x ?

?
3

)

o
?

?
3

?

?
6

?

?
3

7 12

?

2 3

?

5? 6

?

7 6

?

5? 3

2?

x

-1 -2
-3

6

y ? sin 2 x

y ? sin x

? ? ? y ? sin( 2 x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? 3 6 ? ?

?

总结: y=sinx

y=Asin(?x+?)
A

方法1:(按 ? , ω,
y=sinx

顺序变换)
y=sin(x+?)

向左?>0 (向右?<0)

平移|?|个单位

横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍

纵坐标不变
横坐标不变

y=sin(?x+?)

y=Asin(?x+?)

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

总结: y=sinx

y=Asin(?x+?)
?,A

方法2:(按 ω,
y=sinx

顺序变换)
y=sin?x

横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍
纵坐标不变

向左?>0 (向右?<0) 平移|?|/?个单位

? ? ? y ? sin ? ( x ? ) ? sin( ?x ? ? ) ? ? ? ? ?

横坐标不变

y=Asin(?x+?)

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍


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