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2015年高考数学专题六:圆锥曲线(教师版)自己总结含12-14高考题


2015 年高考数学专题六:圆锥曲线(教师版)
一、知识梳理:
第一部分:椭圆 一.椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义:平面内与两定点 F1,F2 距离的和等于常数 2a ? F1 F2 的点的轨迹叫 做椭圆,即点集 M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|=2c}; 这里两个定点 F1,F2 叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距 2c。 ( 2a ? F 1F2 ? 2c 时为线段 F1 F2 , 2a ? F 1F2 ? 2c 无轨迹)。 2.标准方程:

?

?

c 2 ? a 2 ? b2
焦点 F(±c,0)

x2 y2 ①焦点在 x 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0); a b
y2 x2 ②焦点在 y 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0); a b
2

焦点 F(0, ±c)
2 2

注意:①在两种标准方程中,总有 a>b>0, a ? b ? c 并且椭圆的焦点总在长轴上;

②一般形式表示:

x2 y 2 ? ? 1 或者 m n

mx2 ? ny2 ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n)

二.椭圆的简单几何性质: 1.范围 (1)椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b a2 b2

(2)椭圆 2.对称性

y2 x2 ? ? 1 (a>b>0) 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a a2 b2

椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对 称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 (1)椭圆的顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) (2)线段 A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于 2a,短轴长等于 2b,a 和 b 分别叫做 椭圆的长半轴长和短半轴长。
1

4.离心率 (1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比

c 2c ,即 称为椭圆的离心率, a 2a
王新敞
奎屯 新疆

记作 e( 0 ? e ? 1 ), e 2 ?

c2 b ? 1 ? ( )2 2 a a

e 越接近于 0 (e 越小),椭圆就越接近于圆;e 越接近于 1 (e 越大),椭圆越扁; 注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。 (2)椭圆的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数 e,(0<e<1)的点的轨迹为椭圆。(

| PF | ? e) d

x2 y2 ①焦点在 x 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)准线方程: x a b
②焦点在 y 轴上:

??

a2 c
2

a y2 x2 ? 2 ? 1 (a>b>0)准线方程: y ? ? 2 c a b

5.椭圆的的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

x y ? 2 2 a b

2

2

2 2 x0 y0 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? 2 ? 2 ? 1 . a b
2 2 x0 y0 ? ? 1. a2 b2

x2 y2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b
6.几何性质

(1) 焦半径(椭圆上的点与焦点之间的线段): a ? c ? MF ? a ? c

2b 2 (2)通径(过焦点且垂直于长轴的弦) AB ? (3)焦点三角形(椭圆上的任意一点 a
与两焦点够成的三角形): S ?MF1F2 ? b ? tan
2

?
2

其中 ?F1MF2 ? ?

7 直线与椭圆的位置关系: (1)判断方法:联立直线方程与椭圆方程消 y(或 x)得到关于 x 的一元二次方程,根据判别式

? 的符号判断位置关系:
? ? 0 ? 有两个交点? 相交 ? ? 0 ? 相切 ? 有一个交点 ? ? 0 ? 相离 ? 没有交点

2

a 2 A2 ? b 2 B 2 x 2 ? 2a 2 ACx ? a 2 C 2 ? b 2 B 2 ? 0 ? x2 y2 ? ? ? 1 消 y 得: 联立 ? a 2 b 2 ? 2a 2 AC a 2 C 2 ? b2 B2 x ? x ? x x ? ? 1 2 1 2 ? Ax ? By ? C ? 0 a 2 A2 ? b 2 B 2 a 2 A2 ? b 2 B 2

?

?

?

?

?

?

a 2 A2 ? b 2 B 2 y 2 ? 2b 2 BCy ? b 2 C 2 ? a 2 A2 ? 0 ? x2 y2 ? ? ? 1 消 x 得: 联立 ? a 2 b 2 ? 2b 2 BC b 2 C 2 ? a 2 A2 y ? y ? y y ? ? 1 2 1 2 ? Ax ? By ? C ? 0 a 2 A2 ? b 2 B 2 a 2 A2 ? b 2 B 2

?

?

?

?

?

?

(2)弦中点问题 : 斜率为 k 的直线 l 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) 交于两点 m2 n 2
n 2 x0 ?? 2 ? m y0

是 AB 的中点,则: k AB A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) M(x0 , y0) (3)弦长公式:

2 AB ? (x1 ? x2) ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( 1 ? k 2) [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

第二部分:双曲线 标准方程(焦点在 x 轴) 双曲线 标准方程(焦点在 y 轴)

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

第一定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值是常数(小于 F1 F2 )的 点 的 轨 迹 叫 双 曲 线 。 这两 个 定 点 叫 做 双 曲 线 的焦 点 , 两 焦 点 的 距 离 叫焦 距 。

?M MF ? MF
1

2

? 2a? ?2a ? F1F2 ?
y

P
定义

y
x

x
P

y F2
y x

F1

F2 F1

x

第二定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ,当 e ? 1 时, 动点的轨迹是双曲线。定点 F 叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数

e ( e ? 1 )叫做双曲线的离心率。

3

P
F1

y
y

y

P
x

P

y
x

x
P

F2

F2 F1

x

范围 对称轴 对称中心

x ?a, y?R

y ?a,x?R

x 轴 , y 轴;实轴长为 2a ,虚轴长为 2b
原点 O (0, 0)

F1 (?c,0)
焦点坐标

F2 (c,0)
2 2

F1 (0, ?c)

F2 (0, c)

焦点在实轴上, c ? a ? b ;焦距: F 1F 2 ? 2c 顶点坐标 离心率 ( ? a ,0) ( a ,0) (0, ? a ,) (0, a )

e?

c (e ? 1) a

(1) 焦半径(双曲线上的点与焦点之间的线段): a ? c ? MF

2b 2 (2)通径(过焦点且垂直于实轴的弦) AB ? a
重要结论 (3)焦点三角形(双曲线上的任意一点与两焦点够成的三角形):

S ?MF1F2 ?

b2 t an

?
2

? b 2 ? cot

?
2
a2 c
2

x??

准线方程

a2 c

y??

准线垂直于实轴且在两顶点的内侧;两准线间的距离: 2a
c

渐近线 方程 共渐近线 的双曲线 系方程

y??

b x a

x??

b y a

x2 y2 ? ? k (k ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? k (k ? 0) a2 b2

4

(1)判断方法:联立直线方程与双曲线方程消 y(或 x)得到关于 x 的一元二次方程, 根据判别式 ? 的符号判断位置关系:

? ? 0 ? 有两个交点? 相交 ? x 2 y 2 ? ? ? 0 ? 相切 ? 有一个交点 ? a 2 ? b 2 ? 1 ? Ax ? By ? C ? 0 ? ? 0 ? 相离 ? 没有交点 ?
联立消 y 得:

?a A
2

2

? b 2 B 2 x 2 ? 2a 2 ACx ? a 2 C 2 ? b 2 B 2 ? 0 ? 2a 2 AC a 2 A2 ? b 2 B 2 x1 x2 ? a 2 C 2 ? b2 B2 a 2 A2 ? b 2 B 2

?

?

直线和双 曲线的位 置

x1 ? x2 ?

?

?

?

a 2 A2 ? b 2 B 2 y 2 ? 2b 2 BCy ? b 2 C 2 ? a 2 A2 ? 0 ? x2 y2 ? ? ? 1 联立 ? a 2 b 2 消 x 得: 2b 2 BC ? b 2 C 2 ? a 2 A2 y1 ? y2 ? 2 2 2 2 y1 y2 ? ? ? Ax ? By ? C ? 0 a A ?b B a 2 A2 ? b 2 B 2

?

?

?

?

?

?

x2 y2 (4)弦中点问题 :斜率为 k 的直线 l 与双曲线 ? ? 1(m ? 0, n ? 0) 交于两点 m2 n 2
是 AB 的中点,则: k AB ? A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) M(x0 , y0)
2 AB ? (x1 ? x2) ? ( y1 ? y2 ) 2

n 2 x0 ? m 2 y0

弦长公式: 补充知识点:

?( 1 ? k 2) [(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]
等轴双曲线的主要性质有: (1)半实轴长=半虚轴长; (2)其标准方程为 x ? y ? C 其中 C≠0;
2 2

(3)离心率 e ?

2;

(4)渐近线:两条渐近线 y=±x 互相垂直; (5)等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项; (6)等轴双曲线上任意一点 P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段,必被 P 所平分; 7)等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形面积恒为常数 a 第三部分:抛物线知识点总结
2

图象

y ? 2 px( p ? 0)
2

y 2 ? ?2 px( p ? 0)

x ? 2 py( p ? 0)
2

x 2 ? ?2 py( p ? 0)

5

l

y F

y

l O x

y F O x l

y l O F x

O

F

x

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫做抛物线 定义 的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。{ M MF =点 M 到直线 l 的距离}

范围 对称性 焦点

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0

关于 x 轴对称 (

关于 y 轴对称 (?

p ,0) 2

p ,0) 2
O(0, 0)

(0,

p ) 2

(0, ?

p ) 2

焦点在对称轴上 顶点 离心率 准线 方程 顶点到准线 的距离 焦准距 焦半径

e =1

x??

p 2

x?

p 2
p 2 p

y??

p 2

y?

p 2

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。

A( x1 , y1 )
焦点弦 长

AF ? x1 ?

p 2

AF ? ? x1 ?

p 2

AF ? y1 ?

p 2

AF ? ? y1 ?

p 2

AB

( x1 ? x2 ) ? p

?( x1 ? x2 ) ? p

( y1 ? y2 ) ? p

?( y1 ? y2 ) ? p

焦点弦 AB 的几条性质 M

y o

A ? x1 , y1 ?
x B ? x2 , y2 ? F ?

A( x1 , y1 )
B( x2 , y2 ) (以
焦点在 x 轴 正半轴为

N

以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切,以 MN 为直径的圆与 AB 相切与点 F,即 MF

? FN

6

例)

AF ? x1 ?

p p ? 2 1 ? cos ?

BF ? x2 ?

p p ? 2 1 ? cos ?

若 AB 的倾斜角为 ? ,则 AB ? x1 ? x2 ? p ?

2p ? 2 p(通径 ) sin 2 ?

x1 x2 ?

p2 4

y1 y2 ? ? p 2

1 1 2 ? ? AF BF p

S?AOB ?

p2 2sina

参数 方程

? x ? 2 pt 2 (t为参数) ? ? y ? 2 pt

1. 直线与抛物线的位置关系

直 线

, 抛 物 线



, 消

y

得 :

(1)当 k=0 时,直线 l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点; (2)当 k≠0 时, Δ >0,直线 l 与抛物线相交,两个不同交点; Δ =0, 直线 l 与抛物线相切,一个切点; Δ <0,直线 l 与抛物线相离,无公共点。 (3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定) 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线 l :

y ? kx ? b

抛物线

, ( p ? 0)

① 联立方程法:

? y ? kx ? b ? k 2 x 2 ? 2(kb ? p) x ? b2 ? 0 ? 2 y ? 2 px ?
设 交 点 坐 标 为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 有 ? ? 0 , 以 及 x1 ? x2 , x1 x2 , 还 可 进 一 步 求 出

y1 ? y2 ? kx1 ? b ? kx2 ? b ? k ( x1 ? x2 ) ? 2b



y1 y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? k 2 x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b2

7

在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如 a. 相交弦 AB 的弦长

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2

? a



AB ? 1 ?

1 1 ? y1 ? y2 ? 1 ? 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 1 ? k 2 2 k k a

b. 中点 M ( x0 , y0 ) , x0 ? ② 点差法:

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 2 2

设交点坐标为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,代入抛物线方程,得

y1 ? 2 px1

2

y2 ? 2 px2
y1 ? y2 2p ? x1 ? x2 y1 ? y2

2

将两式相减,可得 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 2 p( x1 ? x2 )

a.

在涉及斜率问题时, k AB ?

2p y1 ? y2

b.

在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 , 设 线 段 AB 的 中 点 为 M ( x0 , y0 ) ,

p y1 ? y2 2p 2p p , 即 k AB ? , ? ? ? y0 x1 ? x2 y1 ? y2 2 y0 y0
同理,对于抛物线 x ? 2 py( p ? 0) ,若直线 l 与抛物线相交于 A 、 B 两点,点 M ( x0 , y0 )
2

是弦 AB 的中点,则有 k AB ?

x1 ? x2 2 x0 x0 ? ? 2p 2p p

用这个公式的条件:1) 直线与抛物线有两个不同的交点,2) 直线的斜率存在,且不等于零)

二、典型例题
第一部分:椭圆
考点一、椭圆的定义及标准方程 1.(2014? 三明模拟)设 F1, F2 是椭圆 + =1 的两个焦点, P 是椭圆上的点, 且|PF1|∶ 49 24 |PF2|=4∶3,则△PF1F2 的面积为( A.30 C.24 解析:选 C ∵|PF1|+|PF2|=14, 又|PF1|∶|PF2|=4∶3,
8

x2

y2

) B.25 D.40

∴|PF1|=8,|PF2|=6. ∵|F1F2|=10,∴PF1⊥PF2. 1 1 ∴S△PF1F2= |PF1|?|PF2|= ?8?6=24. 2 2 2.(2014?烟台质检)一个椭圆中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,P(2, 一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为( A. + =1 8 6 C. + =1 8 4 ) 3)是椭圆上

x

2

y

2

B. D.

+ =1 16 6 + =1 16 4 4 3)在椭圆上知 2+

x

2

y

2

x2 y2

x2

y2

解析:选 A 设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0).由点 P(2, 3

x2 y2 a b

a

c 1 =1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即 2a=2?2c, = , b a 2
2

又 c =a -b ,联立得 a =8,b =6. 3.已知两圆 C1:(x-4) +y =169,C2:(x+4) +y =9,动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相 内切,和圆 C2 相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为( A. C. - =1 64 48 - =1 48 64 )
2 2 2 2

2

2

2

2

2

x2 x2

y2 y2

B. D.

+ =1 48 64 + =1 64 48

x2 x2

y2 y2

解析:选 D 设圆 M 的半径为 r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16, ∴M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的椭圆,且 2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为 + = 64 48 1. [类题通法] 1.椭圆定义的应用主要有两个方面:一是利用定义求椭圆的标准方程;二是利用定义 求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. 2.利用定义和余弦定理可求得 |PF1|?|PF2|,再结合|PF1| +|PF2| =(|PF1|+|PF2|) -2|PF1|?|PF2| 进行转化,可求焦点三角形的周长和面积. 3.当椭圆焦点位置不明确时,可设为 + =1(m>0,n>0,m≠n),也可设为 Ax +By =1(A>0,B>0,且 A≠B).
2 2 2

x2

y2

x2 y2 m n

2

2

考点二:椭圆的几何性质 [典例] (2013?福建高考)椭圆Γ : 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦

x2 y2 a b
9

距为 2c,若直线 y= 3(x+c)与椭圆Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离 心率等于________. [解析] 直线 y= 3(x+c)过点 F1, 且倾斜角为 60°, 所以∠MF1F2=60°, 从而∠MF2F1 2c =30°,所以 MF1⊥MF2.在 Rt△MF1F2 中,|MF1|=c,|MF2|= 3c,所以该椭圆的离心率 e= 2a = 2c

c+ 3c

= 3-1. 3-1

[答案]

变式:本例条件变为“过 F1,F2 的两条互相垂直的直线 l1,l2 的交点在椭圆的内部” 求离心率的取值范围. 解:作图分析可知以线段 F1F2 为直径的圆在椭圆的内部,所以 c<b,从而 c <b ,即
2 2

c 2 2? ? ?c? 1 c2<a2-c2,? ?2< ,0< < ,故 e∈?0, ?. a 2 ?a? 2 2 ? ?
[针对训练] 4 1.椭圆 + =1 的离心率为 ,则 k 的值为( 9 4+k 5 A.-21 19 C.- 或 21 25
2 2

x2

y2

)

B.21 D. 19 或 21 25

解析:选 C 若 a =9,b =4+k,则 c= 5-k,

c 4 5-k 4 19 由 = ,即 = ,得 k=- ; a 5 3 5 25
若 a =4+k,b =9,则 c= k-5,
2 2

c 4 k-5 4 由 = ,即 = ,解得 k=21. a 5 4+k 5
2.若椭圆上存在点 P,使得点 P 到两个焦点的距离之比为 2∶1,则此椭圆离心率的取 值范围是( 1 1 A.[ , ] 4 3 1 C.( ,1) 3 ) 1 1 B.[ , ] 3 2 1 D.[ ,1) 3

解析:选 D 设 P 到两个焦点的距离分别为 2k,k,根据椭圆定义可知:3k=2a,又结 合椭圆的性质可知.椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为 2c,即 k≤2c,∴2a≤6c, 1 1 即 e≥ .又∵0<e<1,∴ ≤e<1. 3 3

考点三:直线和椭圆的位置关系
10

[典例] (2013?天津高考)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,离心率为 4 3 点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 3 (1)求椭圆的方程;

x2 y2 a b

3 ,过 3

(2)设 A, B 分别为椭圆的左、 右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若

AC ? DB + AD ? CB =8,求 k 的值.
[解] (1)设 F(-c,0),由 = =-c,代入椭圆方程有
2 2 2

c a

3 ,知 a= 3c.过点 F 且与 x 轴垂直的直线的方程为 x 3 6b 2 6b 4 3 ,于是 = ,解得 b= 2, 3 3 3

c a
2

2

+ 2=1,解得 y=±

y2 b

又 a -c =b ,从而 a= 3,c=1,所以椭圆的方程为 + =1. 3 2 (2)设点 C(x1,y1),D(x2,y2),由 F(-1,0)得直线 CD 的方程为 y=k(x+1),由方程组

x2 y2

y=k x+1 ? ? 2 2 ?x y + =1, ? ?3 2

消去 y,整理得(2+3k )x +6k x+3k -6=0.

2

2

2

2

6k 3k -6 由根与系数的关系可得 x1+x2=- 2,x1x2= 2.因为 A(- 3,0),B( 3,0) 2+3k 2+3k 所以 AC ? DB + AD ? CB =(x1+ 3,y1)?( 3-x2,-y2)+(x2+ 3,y2)?( 3-x1, -y1) =6-2x1x2-2y1y2 =6-2x1x2-2k (x1+1)(x2+1) =6-(2+2k )x1x2-2k (x1+x2)-2k 2k +12 =6+ 2 . 2+3k 2k +12 由已知得 6+ 2 =8,解得 k=± 2. 2+3k
2 2 2 2 2 2

2

2

x2 y2 [针对训练](2013? 全国新课标Ⅱ)平面直角坐标系 xOy 中, 过椭圆 M: 2+ 2=1 (a>b>0) a b
1 右焦点的直线 x+y- 3=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2 (1)求 M 的方程; (2)C, D 为 M 上的两点, 若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB, 求四边形 ACBD 面积的最大值. 解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 则 2+ 2=1, 2+ 2=1,

x2 y2 1 1 a b

x2 y2 2 2 a b

y2-y1 =-1, x2-x1
11

由此可得

b2 x2+x1 y2-y1 =- =1. 2 a y2+y1 x2-x1

y0 1 因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, = , x0 2
所以 a =2b . 又由题意知,M 的右焦点为( 3,0),故 a -b =3. 因此 a =6,b =3. 所以 M 的方程为 + =1. 6 3
2 2 2 2 2 2

x2 y2

? ?x+y- 3=0, (2)由?x2 y2 + =1, ? ?6 3
4 6 因此|AB|= . 3

4 3 ? ? x= 3 , 解得? 3 y=- , ? ? 3

或?

?x=0, ?y= 3.

? 5 3 ? 由题意可设直线 CD 的方程为 y=x+n?- <n< 3?, 3 ? ?
设 C(x3,y3),D(x4,y4).

y=x+n, ? ? 2 2 由?x y + =1 ? ?6 3

得 3x +4nx+2n -6=0.

2

2

-2n± 2 9-n 于是 x3,4= 3

2

. 9-n . 9-n .
2 2

4 因为直线 CD 的斜率为 1,所以|CD|= 2|x4-x3|= 3 1 8 6 由已知,四边形 ACBD 的面积 S= |CD|?|AB|= 2 9 8 6 当 n=0 时,S 取得最大值,最大值为 . 3 8 6 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 . 3 第二部分:双曲线 考点一:双曲线的定义及方程

1.设 F1,F2 是双曲线 x - =1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 24 则△PF1F2 的面积等于( A.4 2 ) B.8 3
12

2

y2

C.24

D.48

解析: 选 C 双曲线的实轴长为 2, 焦距为|F1F2|=2?5=10.据题意和双曲线的定义知, 4 1 2=|PF1|-|PF2|= |PF2|-|PF2|= |PF2|, 3 3 ∴|PF2|=6,|PF1|=8. ∴|PF1| +|PF2| =|F1F2| , ∴PF1⊥PF2, 1 1 ∴S△PF1F2= |PF1|?|PF2|= ?6?8=24. 2 2 2.已知 F1,F2 为双曲线 - =1 的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点 A 在双曲 5 4 线上,则|AP|+|AF2|的最小值为( A. 37+4 C. 37-2 5 ) B. 37-4 D. 37+2 5
2 2 2

x2 y2

解析:选 C |AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|- 2a,要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP| +|AF1|的最小值,当 A,P,F1 三点共线时,取得最小值,则|AP|+|AF1|=|PF1|= 37, ∴|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|- 2a= 37-2 5. 3 3.(2013?广东高考)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于 , 2 则 C 的方程是( A. - =1 4 5 C. - =1 2 5 ) B. - =1 4 5 D. - =1 2 5
2 2 2 2

x2

y2

x2 y2 x2

x2 y2

y2

解析:选 B 由题意可知 c=3,a=2,b= c -a = 3 -2 = 5,故双曲线的方程为 - =1. 5 考点二:渐近线与离心率问题 角度一 已知离心率求渐近线方程 1.(2013?新课标卷Ⅰ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 近线方程为( 1 A.y=± x 4 ) 1 B.y=± x 3

x2
4

y2

x2 y2 a b

5 ,则 C 的渐 2

13

1 C.y=± x 2 解析:选 C ∵e = 2=
2

D.y=±x

c2 a2+b2 b2 5 b2 1 b 1 1 =1+ 2= ,∴ 2= ,∴ = ,∴y=± x. 2 a a a 4 a 4 a 2 2

角度二 已知渐近线求离心率

x2 y2 2 2.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点, a b
则双曲线的离心率为( A. C. 5 4 5 2 ) B.5 D. 5
2

解析:选 D 设双曲线的一条渐近线方程为 y=kx,由题可知这条直线与抛物线 y=x +1 相切,联立?
? ?y=kx, ?y=x +1. ?
2

整理得 x -kx+1=0,则Δ =k -4=0,

2

2

b c 解得 k=±2, 即 =2, 故双曲线的离心率 e= = a a
5. 角度三 由离心率研究渐近线夹角问题

c2 = a2

a2+b2 = a2

1

b a

2



3.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率 e= 2,则一条渐近线与实轴所成锐角 的值是________. 解析:∵e= 2,∴e =2,即 2=2,又 c =a +b ,
2

x2 y2 a b

c2 a

2

2

2

b2 b ∴ 2=1, 即 =1, a a
π ∴一条渐近线与实轴所成锐角的值是 . 4 π 答案: 4 角度四 利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围 4.(2013?惠州模拟)已知双曲线 2- 2=1 与直线 y=2x 有交点,则双曲线离心率的取 值范围为( ) B.(1, 5] D.[ 5,+∞)

x2 y2 a b

A.(1, 5) C.( 5,+∞)

14

解析:选 C ∵双曲线的一条渐近线方程为 y= x,则由题意得 >2, ∴e= =

b a

b a

c a

1+? ? > 1+4= 5.

?b?2 ?a?

考点三:直线与双曲线的位置关系 [典例] (2014?铜陵一模)若双曲线 E: 2-y =1(a>0)的离心率等于 2,直线 y=kx -1 与双曲线 E 的右支交于 A,B 两点. (1)求 k 的取值范围; (2)若|AB|=6 3,点 C 是双曲线上一点,且 OC =m( OA + OB ),求 k,m 的值.

x2 a

2

c ? ? = 2, [解] (1)由?a ? ?a2=c2-1
2 2

得?

?a =1, ? ? ?c =2,
2

2

故双曲线 E 的方程为 x -y =1. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由?
?y=kx-1, ? ? ?x -y =1,
2 2 2 2

得(1-k )x +2kx-2=0.① ∵直线与双曲线右支交于 A,B 两点, 故?
?k>1, ? ?Δ ?

2k

2

-4 1-k

2

2

0,

?k>1, 即? ?- 2<k< 2,
(2)由①得 x1+x2= ∴|AB|= 1+k ? =2 1+k
4 2 2 2

所以 1<k< 2.

2k 2 ,x1x2= 2 , k -1 k -1

x1+x2
2-k
2 2

2

-4x1x2

k2-1
2

=6 3,

整理得 28k -55k +25=0, 5 5 2 2 ∴k = 或 k = . 7 4 又 1<k< 2, ∴k= 5 , 2

15

所以 x1+x2=4 5,

y1+y2=k(x1+x2)-2=8.
设 C(x3,y3),由 OC =m( OA + OB ),得 (x3,y3)=m(x1+x2,y1+y2) =(4 5m,8m). ∵点 C 是双曲线上一点, 1 2 2 ∴80m -64m =1,得 m=± . 4 故 k= 5 1 ,m=± . 2 4

[针对训练]已知双曲线 E 的中心为原点, F(3,0)是 E 的焦点, 过 F 的直线 l 与 E 相交于

A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程. x2 y2 解:设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b
由题意知 c=3,a +b =9, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有:
2 2

? ? ?x y ?a -b =1, ?
2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 - =1, a2 b2

两式作差得:

2 2 y1-y2 b2 x1+x2 -12b 4b = 2 = 2= 2, x1-x2 a y1+y2 -15a 5a

-15-0 2 2 2 2 又 AB 的斜率是 =1,所以将 4b =5a 代入 a +b =9 得 -12-3

a =4,b =5.所以双曲线的标准方程是 - =1.
4 5

2

2

x2 y2

第三部分:抛物线
考点一:抛物线的标准方程及几何性质

x2 y2 1.(2013? 天津高考)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p a b
>0)的准线分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3, 则 p=( A.1 C.2 ) B. 3 2

D.3

解析:选 C 因为双曲线的离心率 e= =2,所以 b= 3a,所以双曲线的渐近线方程为

c a

16

b p 3 ? ? p 3 ? ? p y=± x=± 3x,与抛物线的准线 x=- 相交于 A?- , p?,B?- ,- p?,所以△ a 2 2 ? ? 2 2 ? ? 2
1 p AOB 的面积为 ? ? 3p= 3,又 p>0,所以 p=2. 2 2 2.(2013?新课标卷Ⅱ)设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5. 若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( A.y =4x 或 y =8x C.y =4x 或 y =16x
2 2 2 2 2 2

)
2

B.y =2x 或 y =8x D.y =2x 或 y =16x
2 2

? ? 解析:选 C 由已知得抛物线的焦点 F? ,0?,设点 A(0,2),点 M(x0,y0),则 AF = ?2 ?
p

?p,-2?, AM =? y0 ,y0-2?.由已知得, AF ? AM =0,即 y2-8y +16=0,因而 y = ?2 ? ?2p ? 0 0 0 ? ? ? ? ?8 ? 4,M? ,4?. ?p ?
由|MF|=5 得,
2

2

?8-p?2+16=5,又 p>0,解得 p=2 或 p=8,故选 C. ?p 2? ? ?

3.从抛物线 x =4y 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设抛物线的 焦点为 F,则△MPF 的面积为________. 解析:由题意知,抛物线的准线方程为 y=-1,|PM|=|PF|=5, ∴P 点的纵坐标为 4, 1 ∴S△MPF= ?5?4=10. 2 答案:10 考点二:抛物线的定义应用 角度一 动弦中点到坐标轴距离最短问题 1.(2013?郑州第一次质量预测)已知抛物线 x =4y 上有一条长为 6 的动弦 AB,则 AB 的中点到 x 轴的最短距离为( A. 3 4 ) B. 3 2
2

C.1

D.2

解析:选 D 由题意知,抛物线的准线 l:y=-1,过点 A 作 AA1⊥l 交 l 于点 A1,过点

B 作 BB1⊥l 交 l 于点 B1,设弦 AB 的中点为 M,过点 M 作 MM1⊥l 交 l 于点 M1,则|MM1|=
|AA1|+|BB1| .因为|AB|≤|AF|+|BF|(F 为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|≥6,所以|AA1|+ 2 |BB1|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3,故点 M 到 x 轴的距离 d≥2,选 D. 角度二 距离之和最小问题

17

2.(2014?哈尔滨四校统考)已知抛物线方程为 y =4x,直线 l 的方程为 x-y+5=0, 在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为 ________. 解析:由题意知,抛物线的焦点为 F(1,0).点 P 到 y 轴的距离 d1=|PF|-1,所以 d1 +d2=d2+|PF|-1.易知 d2+|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离,故 d2+|PF|的最小值为 |1+5| 1
2

2

1

2

=3 2,所以 d1+d2 的最小值为 3 2-1.

答案:3 2-1 角度三 焦点弦中距离之和最小问题 3.已知抛物线 y =4x,过焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,过 A、B 分别作 y 轴 垂线,垂足分别为 C、D,则|AC|+|BD|的最小值为________. 解析:由题意知 F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得 最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4 时,为 最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为 2. 线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. 考点三:直线与抛物线的位置关系 [典例] (2014? 福州质检)已知曲线 y =2px(p>0)在第一象限内与圆 x +y -4x+1= 0 交于不同的两点 A,B. (1)求 p 的取值范围; (2)如果在 x 轴上只有一个点 M,使 MA⊥MB,求 p 的值及 M 的坐标. [解] (1)据题意知,p>0,x>0. 设 A(x1, 2px1),B(x2, 2px2). 把 y =2px 代入 x +y -4x+1=0 得,
2 2 2 2 2 2 2

x2+2(p-2)x+1=0,x1,x2 是该方程的两不相等的正根,
Δ =4 p-2 -4>0, ? ? 0 ∴?x1+x2=-2 p-2 ? ?x1x2=1>0, 即?
?p<1或p>3, ? ? ?p<2,
2

∴p 的取值范围是(0,1). (2)法一 设 M 的坐标为(m,0), 则 MA =(x1-m, 2px1), MB =(x2-m, 2px2), ∴ MA ? MB =x1x2-m(x1+x2)+m +2p x1x2.
2

把 x1x2=1,x1+x2=4-2p 代入,
18

得 MA ? MB =m -(4-2p)m+2p+1, ∵MA⊥MB, ∴m -(4-2p)m+2p+1=0, 据题意该方程只有一个根, ∴Δ ′=(4-2p) -4(2p+1)=0,即 p -6p+3=0, ∴p=3- 6(∵p<1,舍去 p=3+ 6), 此时 m=- 4-2p = 6-1,即 M 的坐标为( 6-1,0). 2
2 2 2

2

法二 设 AB 的中点坐标为(x0,y0). |AB| 据题意,以线段 AB 为直径的圆恰好与 x 轴相切,即 y0= (此时 M 的横坐标为 x0). 2

y0=


2px1+ 2px2 2p = 2 2p 6-2p = p 3-p 2
2 2

x1+x2+2 x1x2
2 ,
2

|AB| =(x1-x2) +( 2px1- 2px2)
2 2

=x1+x2-2x1x2+2p(x1+x2-2 x1x2) =(x1+x2) -4x1x2+2p(x1+x2-2 x1x2) =(4-2p) -4+2p(2-2p) =12(1-p), |AB| 2 2 ∴由 y0= 得 4y0=|AB| , 2 即 4p(3-p)=12(1-p), 即 p -6p+3=0, ∴p=3- 6(∵p<1,舍去 p=3+ 6), 此时 M 的横坐标为 x0=
2 2 2

x1+x2
2

=2-p= 6-1,

即 M 的坐标为( 6-1,0). [类题通法] 求解直线与抛物线位置关系问题的方法 在解决直线与抛物线位置关系的问题时, 其方法类似于直线与椭圆的位置关系. 在解决 此类问题时,除考虑代数法外,还应借助平面几何的知识,利用数形结合的思想求解. [针对训练] 已知过抛物线 y =2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,
2

y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.
19

(1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 OC = OA +λ OB ,求λ 的值. 解(1)直线 AB 的方程是 y=2 2(x- ), 2 与 y =2px 联立,从而有 4x -5px+p =0, 5p 所以:x1+x2= , 4 由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4, 从而抛物线方程是 y =8x. (2)由 p=4,4x -5px+p =0 可简化为 x -5x+4=0, 从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2); 设 OC =(x3,y3)=(1,-2 2)+λ (4,4 2) =(4λ +1,4 2λ -2 2). 又 y3=8x3,即[2 2(2λ -1)] =8(4λ +1), 即(2λ -1) =4λ +1, 解得λ =0,或λ =2.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

p

第四部分:曲线与方程
考点一:直接法 1.已知点 O(0,0),A(1,2),动点 P 满足| OP + AP |=2,则 P 点的轨迹方程是( A.4x +4y -4x-8y+1=0 B.4x +4y -4x-8y-1=0 C.8x +8y +2x+4y-5=0 D.8x +8y -2x+4y-5=0 解析:选 A 设 P 点的坐标为(x,y),则 OP =(x,y), AP =(x-1,y-2), OP +
2 2 2 2 2 2 2 2

)

AP =(2x-1,2y-2).所以(2x-1)2+(2y-2)2=4,整理得 4x2+4y2-4x-8y+1=0.
2.(2014?深圳调研)已知点 F(0,1),直线 l:y=-1,P 为平面上的动点,过点 P 作 直线 l 的垂线,垂足为 Q,且 QP ? QF = FP ? FQ ,则动点 P 的轨迹 C 的方程为( A.x =4y C.x =2y
2 2

)

B.y =3x D.y =4x
2

2

解析:选 A 设点 P(x,y),则 Q(x,-1).∵ QP ? QF = FP ? FQ , ∴(0,y+1)?(-x,2)=(x,y-1)?(x,-2),即 2(y+1)=x -2(y-1),整理得 x
20
2 2

=4y,∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 x =4y. 考点二:定义法 [典例] (2013?新课标Ⅰ)已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x-1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最 长时,求|AB|. [解] 由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2 =3. 设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以 |PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3的 椭圆(左顶点除外),其方程为 + =1(x≠-2). 4 3 (2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以 R≤2,当且仅 当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2) +y =4. 若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|=2 3. |QP| 若 l 的倾斜角不为 90°,由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q,则 |QM| = ,可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4).由 l 与圆 M 相切得 2 . 4 2 2 x y 2 时,将 y= x+ 2代入 + =1,并整理得 7x +8x-8=0, 4 4 4 3 18 2 1+k |x2-x1|= . 7
2 2 2 2 2 2 2 2

2

x2 y2

R r1

|3k| 1+k

2

=1,解得 k

=±

当 k=

-4±6 2 解得 x1,2= .所以|AB|= 7 当 k=-

2 18 时,由图形的对称性可知|AB|= . 4 7

18 综上,|AB|=2 3或|AB|= . 7 [针对训练] 已知 A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以 C 为一个焦点的椭圆经过 A,B 两点,则椭圆的 另一个焦点 F 的轨迹方程是( )
21

A.y - =1(y≤-1) 48 C.x - =1(x≤-1) 48
2

2

x2 y2

B.y - =1(y≥1) 48 D.x - =1(x≥1) 48
2

2

x2 y2

解析:选 A 由题意知|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又∵|AF|+|AC|=|BF|+|BC|, ∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,故点 F 的轨迹是以 A,B 为焦点,实轴长为 2 的双曲线的下 支.又 c=7,a=1,b =48,∴点 F 的轨迹方程为 y -
2 2

x2
48

=1(y≤-1).

考点三:代入法
[典例] 已知椭圆 + =1 上任一点 P,由点 P 向 x 轴作垂线 PQ,垂足为 Q,设点 M 4 9 在 PQ 上,且 PM =2 MQ ,点 M 的轨迹为 C. (1)求曲线 C 的方程; 4? ? (2)过点 D(0,-2)作直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,设 N 是过点?0,- ?且平行于 x 17? ? 轴的直线上一动点,满足 ON = OA + OB (O 为原点),问是否存在这样的直线 l,使得四 边形 OANB 为矩形,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在说明理由. [解] (1)设 M(x,y)是曲线 C 上任意一点,因为 PM⊥x 轴, PM =2 MQ ,所以点 P 的坐标为(x,3y). 3y 又点 P 在椭圆 + =1 上,所以 + 4 9 4 9

x2 y2

x2 y2

x2

2

=1,因此曲线 C 的方程是 +y =1. 4

x2

2

(2)当直线 l 的斜率不存在时,显然不满足条件,所以设直线 l 的方程为 y=kx-2,直

y=kx-2, ? ? 2 线 l 与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由?x 2 +y =1, ? 4 ?
16k 12 0,故 x1+x2= 2,x1x2= 2. 1+4k 1+4k

得(1+4k )x -16kx+12=

2

2

3 3 3 2 2 2 2 由Δ =16 k -48(1+4k )>0 得 k > ,即 k> 或 k<- . 4 2 2 因为 ON = OA + OB ,所以四边形 OANB 为平行四边形. 假设平行四边形 OANB 是矩形,则 OA ? OB =0, 即 x1x2+y1y2=x1x2+k x1x2-2k(x1+x2)+4=(1+k )x1x2-2k(x1+x2)+4=0,所以(1 12 16k 2 2 +k )? 2-2k? 2+4=0,k =4,k=±2. 1+4k 1+4k 16k 4 设 N(x0,y0),由 ON = OA + OB 得 y0=y1+y2=k(x1+x2)-4= ,即 2-4=- 1+4k 17
22
2 2 2

N 点在直线 y=- 上,
故存在四边形 OANB 为矩形,直线 l 的方程为 y=±2x-2. [针对训练]

4 17

x2 y2 P 是椭圆 2+ 2=1 上的任意一点,F1,F2 是它的两个焦点,O 为坐标原点, OQ = PF1 a b
+ PF2 ,则动点 Q 的轨迹方程是________. 解析:由 OQ = PF1 + PF2 ,又 PF1 + PF2 = PM = 2 PO =-

y? 1 1 ? x 2 OP ,设 Q(x,y),则 OP =- OQ =- (x,y)=?- ,- ?, 2? 2 2 ? 2

? ? 即 P 点坐标为?- ,- ?,又 P 在椭圆上,则有 2 + 2 =1, 2? a b ? 2
x y


?-x?2 ?-y?2 ? 2? ? 2? ? ? ? ?

x2 y2 2+ 2=1. 4a 4b
答案:

x2 y2 2+ 2=1 4a 4b

第五部分:圆锥曲线综合问题
考点一:直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2013?深圳一模)过点 A 的直线 l 与抛物线 y =2x 有且只有一个公共点,这样的 l 的条数是( A.0 或 1 C.0 或 1 或 2 ) B.1 或 2 D.1 或 2 或 3
2

解析:选 D ①当 A 在抛物线的外部时,共有三条直线与抛物线只有一 个公共点(有两条是切线, 一条与抛物线的对称轴平行, 如图); ②可以想象, 当 A 在抛物线上时, 有两条直线与抛物线只有一个公共点; ③当 A 在抛物线 的内部时,只有一条直线与抛物线只有一个公共点.故选 D. 2.双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线 l 过焦点 F,且斜率为 k,则 直线 l 与双曲线 C 的左,右两支都相交的充要条件是( A.k>- )

x2 y2 a b

b a b a

B.k<

b a b a

C.k> 或 k<-

b a

D.- <k<

b a

解析:选 D 由双曲线渐近线的几何意义知- <k< .

b a

b a

23

考点二:弦长问题 [典例] 如图,设抛物线方程为 x =2py(p>0),M 为直线 l:y= -2p 上任意一点,过 M 引抛物线的两条切线,切点分别为 A,B(B 点在
2

A 点右侧).
3 设抛物线上一点 P 到直线 l 的距离为 d, F 为焦点,当 d-|PF|= , 2

M 的坐标为(2,-2)时,求抛物线方程和线段 AB 的长.
3 3p 3 2 [解] 依题意,由 d-|PF|= ,得 = ,解得 p=1,故抛物线方程为 x =2y. 2 2 2 设 过 M 点 的 直 线 为 y = k(x - 2) - 2 , A(xA , yA) , B(xB , yB) , 联 立 方 程 得
?y=k x-2 ? ? 2 ?x =2y, ?

2,

消去 y,得 x -2kx+4(k+1)=0.(*)
2

2

若直线与抛物线相切,则Δ =4k -16(k+1)=0,k=2±2 2, 此时,方程(*)有等根 x=k, ∴xB=2+2 2,xA=2-2 2,

xB-xA=4 2,xB+xA=4.
∵A,B 在抛物线上, ∴yB-yA= ∴|AB|= [类题通法] 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关系 时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥 曲线的定义求解. [针对训练]
2 x2 B-xA

2



xB+xA
2
2

xB-xA yB-yA
2

=8 2.

xB-xA

= 32+128=4 10.

y2 设 F1,F2 分别是椭圆 E:x + 2=1(0<b<1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 b
2

A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.
(1)求|AB|; (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值. 解:(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4, 4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= . 3 (2)设直线 l 的方程为 y=x+c,其中 c= 1-b .
24
2

y=x+c, ? ? A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组? 2 y2 x + 2=1. ? b ?
-2c 1-2b 2 2 2 化简得(1+b )x +2cx+1-2b =0.则 x1+x2= 2,x1x2= 2 . 1+b 1+b 因为直线 AB 的斜率为 1,所以|AB|= 2|x2-x1|, 4 即 = 2|x2-x1|. 3 8 4 1-b 2 则 =(x1+x2) -4x1x2= 2 9 1+b 因为 0<b<1. 所以 b= 2 . 2
2 2 2

4 -

1-2b 2 1+b

2



8b 2 1+b

4

2



考点三:中点弦问题 角度一 求中点弦所在的直线方程 1. 已知(4,2)是直线 l 被椭圆 + =1 所截得的线段的中点, 则 l 的方程是________. 36 9 解析:设直线 l 与椭圆相交于 A(x1,y1),B(x2,y2). 则 + =1,且 + =1, 36 9 36 9

x2

y2

x2 1

y2 1

x2 2

y2 2

两式相减得

y1-y2 x1+x2 =- . x1-x2 4 y1+y2

又 x1+x2=8,y1+y2=4, 所以

y1-y2 1 1 =- ,故直线 l 的方程为 y-2=- (x-4),即 x+2y-8=0. x1-x2 2 2

答案:x+2y-8=0 角度二 抛物线中中点弦问题 2.(2013?郑州模拟)过点 M(2,-2p)作抛物线 x =2py(p>0)的两条切线,切点分别为
2

A,B,若线段 AB 的中点的纵坐标为 6,则 p 的值是________.
解析:设点 A(x1,y1),B(x2,y2),依题意得,y′= , 切线 MA 的方程是 y-y1= (x-x1),即 y= x- .又点 M(2,-2p)位于直线 MA 上, p p 2p

x p

x1

x1

x2 1

x1 x2 1 2 2 2 2 于是有-2p= ?2- ,即 x1-4x1-4p =0;同理有 x2-4x2-4p =0,因此 x1,x2 是方程 p 2p x2-4x-4p2=0 的两根,则 x1+x2=4,x1x2=-4p2.由线段 AB 的中点的纵坐标是 6 得,y1+

25

2 2 x2 x1+x2 2-2x1x2 16+8p 1+x2 y2=12,即 = =12, =12,解得 p=1 或 p=2. 2p 2p 2p

答案:1 或 2 角度三 利用中点弦解决对称问题 3.(2013?郑州模拟)已知双曲线 x - =1 上存在两点 M,N 关于直线 y=x+m 对称, 3 且 MN 的中点在抛物线 y =18x 上,则实数 m 的值为________. 解析:设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点 P(x0,y0),
2 2

y2

? x - 3 = 1, ? y 则?x - 3 =1, x +x =2x , ? ?y +y =2y ,
2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 0 0

2 y1

① ② ③ ④

1 由②-①得(x2-x1)(x2+x1)= (y2-y1)(y2+y1),显然 x1≠x2. 3 ∴

y2-y1 y2+y1 y0 ? =3,即 kMN? =3, x2-x1 x2+x1 x0

∵M,N 关于直线 y=x+m 对称, ∴kMN=-1, ∴y0=-3x0,又∵y0=x0+m,

? m 3m? ∴P?- , ?,代入抛物线方程得 ? 4 4?
9 2 ? m? m =18??- ?, 16 ? 4? 解得 m=0 或-8,经检验都符合. 答案:0 或-8

考点四:最值问题

圆锥曲线中的最值问题一直是高考命题的热点,各种题型都有,命题角度很广,归纳起 来常见的命题角度有: ?1?转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值; ?2?利用三角函数有界性求最值; ?3?数形结合利用几何性质求最值.?

角度一 转化为函数求最值
26

1.(2013?浙江高考)已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点为 F(0,1). (1)求抛物线 C 的方程; (2) 过点 F 作直线交抛物线 C 于 A,B 两点.若直线 AO,BO 分别交直线 l:y=x-2 于

M,N 两点,求|MN|的最小值.

解:(1)由题意可设抛物线 C 的方程为 x =2py(p>0),则 =1, 2 所以抛物线 C 的方程为 x =4y. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=kx+1. 由?
?y=kx+1, ? ?x =4y, ?
2 2

2

p

消去 y,整理得 x -4kx-4=0,

2

所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. 从而|x1-x2|=4 k +1.
2

y1 ? ?y= x, 由? x1 ? ?y=x-2,
解得点 M 的横坐标 xM= 2x1 2x1 8 = . 2= x1-y1 x1 4-x1 x1- 4

8 同理点 N 的横坐标 xN= . 4-x2 所以|MN|= 2|xM-xN| = 2?

? 8 - 8 ? ? ?4-x1 4-x2?
x1-x2 ? x x - 4 x1+x2 1 2 ?
2

=8 2? =

16?

? ?

8 2 k +1 . |4k-3|

令 4k-3=t,t≠0,则 k= 当 t>0 时,|MN|=2 2 当 t<0 时,

t+3
4

.

25

t2

6 + +1>2 2.

t

27

|MN|=2 2

?5+3?2+16≥8 2. ?t 5? 25 5 ? ?

25 4 8 综上所述,当 t=- ,即 k=- 时,|MN|的最小值是 2. 3 3 5 角度二 利用有界性求最值 2.(2013?武汉模拟)过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 O 是 坐标原点,则|AF|?|BF|的最小值是( A.2 C.4 ) B. 2 D.2 2
2

2 2 解析:选 C 设直线 AB 的倾斜角为θ ,可得|AF|= ,|BF|= ,则 1-cos θ 1+cos θ 2 2 4 |AF|?|BF|= ? = ≥4. 2 1-cos θ 1+cos θ sin θ 角度三 利用几何性质求最值 3.(2013?浙江模拟)已知 P 为双曲线 C: - =1 上的点,点 M 满足| OM |=1,且 9 16

x2

y2

OM ? PM =0,则当| PM |取得最小值时的点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为(
A. 9 5 B. 12 5

)

C.4

D.5

解析:选 B 由 OM ? PM =0,得 OM⊥PM,根据勾股定理,求|MP|的最小值可以转 化为求|OP|的最小值,当|OP|取得最小值时,点 P 的位置为双曲线的顶点(±3,0),而双曲 12 线的渐近线为 4x±3y=0,∴所求的距离 d= ,故选 B. 5

考点五:范围问题
[典例] (2014?广东名校质检)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)上的任意一点到它的 两个焦点(-c,0),(c,0)的距离之和为 2 2,且它的焦距为 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线 x-y+m=0 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点不在圆 x 5 2 +y = 内,求 m 的取值范围. 9
2

x2 y2 a b

?2a=2 2, [解] (1)依题意可知? ?2c=2.

28

又 b =a -c ,解得?
2 2 2

?a= 2, ?b=1.
2

则椭圆 C 的方程为 +y =1. 2

x2

x ? ? +y2=1, (2)联立方程? 2 ? ?x-y+m=0,
3x +4mx+2m -2=0.
2 2

2

消去 y 整理得

则Δ =16m -12(2m -2)=8(-m +3)>0, 解得- 3<m< 3.① -4m 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= , 3

2

2

2

y1+y2=x1+x2+2m=

-4m 2m +2m= , 3 3

? 2m m? 即 AB 的中点为?- , ?. ? 3 3?
5 2 2 又∵AB 的中点不在圆 x +y = 内, 9 4m m 5m 5 ∴ + = ≥ , 9 9 9 9 解得 m≤-1 或 m≥1.② 由①②得,- 3<m≤-1 或 1≤m< 3. 故 m 的取值范围为(- 3,-1]∪[1, 3) [类题通法] 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数, 通过求这个函数的值域确定目 标的范围. 在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件, 把需要的量都用我们选用的变 量表示,有时为了运算的方便,在建立关系的过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果 中把多变量归结为单变量即可,同时要特别注意变量的取值范围. [针对训练] (2014?辽宁五校联考)设点 A1,A2 分别为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点,若在 椭圆上存在异于点 A1、A2 的点 P,使得 PO⊥PA2,其中 O 为坐标原点,则椭圆的离心率 e 的 取值范围是________. 解析:由题设知∠OPA2=90°,设 P(x,y)(x>0),以 OA2 为直径的圆的方程为?x- ? ? 2?
2 2 2

x2 y2 a b

?

a?2

29

+y = , 与椭圆方程联立, 得?1- 2?x -ax+b =0.易知, 此方程有一实根 a, 且由题设知, 4 ? a?
2 2 2

a2

?

b2?

此方程在区间(0, a)上还有一实根, 由此得 0<

b2
2

? b? a?1- 2? ? a?

<a, 化简得 0<

2 a2-c2 1-e <1, 即 0< 2 2 c e

1 ? 2 ? 2 <1,得 e > ,所以 e 的取值范围为? ,1?. 2 ?2 ? 答案:?

? 2 ? ,1? ?2 ?

考点六:定点问题 [典例] (2013?陕西高考)已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截 得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的 两点 P,Q,若 x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明直线 l 过定点. [解] (1)如图,设动圆圆心 O1(x,y),由题意,|O1A|=|O1M|, 当 O1 不在 y 轴上时,过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的中点, ∴|O1M|= ∴

x2+42,又|O1A|=
2

x-4

2

+y ,

2

x-4
2

+y =

2

x2+42,

化简得 y =8x(x≠0). 又当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标(0,0)也满足方程 y =8x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y =8x. (2)证明:如图,由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0),
2 2

P(x1,y1),Q(x2,y2),
将 y=kx+b 代入 y =8x 中,得 k x +(2bk-8)x+b =0, 其中Δ =-32kb+64>0. 8-2bk 由根与系数的关系得,x1+x2= ,① 2
2 2 2 2

k

b2 x1x2= 2,② k
因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线,所以 即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③ 将①②代入③,得 2kb +(k+b)(8-2bk)+2k b=0,
30
2 2

=- , x1+1 x2+1

y1

y2

∴k=-b,此时Δ >0, ∴直线 l 的方程为 y=k(x-1), ∴直线 l 过定点(1,0). [类题通法] 1.求解直线和曲线过定点问题的基本思路是:把直线或曲线方程中的变量 x,y 当作常 数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参 数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于 x,y 的方程组,这个方程组的解所确定的 点就是直线或曲线所过的定点. 2.由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过 定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m).

[针对训练] (2014?荆州模拟)如图,已知抛物线 C:y =4x,过点 A(1,2) 作抛物线 C 的弦 AP,AQ.若 AP⊥AQ,证明:直线 PQ 过定点,并求出 定点的坐标. 解:(1)设直线 PQ 的方程为 x=my+n,点 P,Q 的坐标分别为
2

P(x1,y1),Q(x2,y2).
由?
? ?x=my+n, ?y =4x. ?
2 2

得 y -4my-4n=0.

2

由Δ >0,得 m +n>0,y1+y2=4m,y1?y2=-4n. ∵AP⊥AQ, ∴ AP ? AQ =0, ∴(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=0. 又 x1= ,x2= , 4 4 ∴(y1-2)(y2-2)[(y1+2)(y2+2)+16]=0, ∴(y1-2)(y2-2)=0 或(y1+2)(y2+2)+16=0. ∴n=-2m+1 或 n=2m+5, ∵Δ >0 恒成立. ∴n=2m+5. ∴直线 PQ 的方程为 x-5=m(y+2), ∴直线 PQ 过定点(5,-2). 考点七:定值问题

y2 1

y2 2

31

[典例] (2013?江西高考)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e=

x2 y2 a b

3 ,a+b=3. 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,A,B,D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点,直线 DP 交 x 轴于点 N,直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m.证明:2m-k 为定值. [解] (1)因为 e= 所以 a= 2 3 3 c = , 2 a 1 3

c,b=

c.代入 a+b=3 得,c= 3,a=2,b=1.
2

故椭圆 C 的方程为 +y =1. 4 (2)证明:因为 B(2,0),P 不为椭圆顶点,则直线 BP 的方程为

x2

y=k(x-2)?k≠0,k≠± ?,① 2

? ?

1?

?

把①代入 +y =1, 4 解得 P?

x2
2

2

k ? ?8k2-2,- 4 2 ?. 4k +1? ?4k +1

1 直线 AD 的方程为:y= x+1.② 2 ①与②联立解得 M?
2

?4k+2, 4k ?. ? ?2k-1 2k-1?

4k ? ?8k -2 由 D(0,1),P? 2 ,- 2 ?,N(x,0)三点共线知 4k +1? ?4k +1 - 4k -1 2 4k +1 0-1 ?4k-2,0?. = ,解得 N? ? 2 8k -2 x-0 ?2k+1 ? -0 2 4k +1

4k -0 2k-1 所以 MN 的斜率为 m= = 4k+2 4k-2 - 2k-1 2k+1 2 4k 2k+1
2

2k+1 -2 2k-1

2



2k+1 , 4

2k+1 1 则 2m-k= -k= (定值). 2 2

32

[针对训练] 已知抛物线 y =4x,过点 M(0,2)的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,且直线 l 与 x 轴交 于点 C. (1)求证:|MA|,|MC|,|MB|成等比数列; (2)设 MA =α AC , MB =β BC ,试问α +β 是否为定值?若是,求出此定值;若 不是,请说明理由. 解析:(1)证明:由题意知,直线 l 的斜率存在,可设直线 l 的方程为:y=kx+2(k≠ 0), 联立?
? ?y=kx+2, ?y =4x, ?
2 2

消去 y 并化简整理得:

k2x2+(4k-4)x+4=0.①

? 2 ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C?- ,0?, ? k
k

?

4k-4 4 则 x1+x2=- 2 ,x1?x2= 2.②

k

∵|MA|?|MB|= 1+k |x1-0|? 1+k |x2-0| 4 1+k =(1+k )?|x1x2|= 2
2 2

2

2

k

, 1+k
2

2 ??2 4 ? 2 2? |MC| =? 1+k ?- -0?? =

?

? k

??

k2



∴|MC| =|MA|?|MB|, 即|MA|,|MC|,|MB|成等比数列. (2)由 MA =α AC , MB =β BC 得, 2 ? ? (x1,y1-2)=α ?-x1- ,-y1?,

2

?

k

?

2 (x2,y2-2)=β (-x2- ,-y2),

k

即得:α =

-kx1 -kx2 ,β = , kx1+2 kx2+2
2

-2k x1x2-2k x1+x2 得α +β = 2 , k x1x2+2k x1+x2 4 由(1)中②代入得α +β =-1, 故α +β 为定值且定值为-1. 考点八:探索性问题

x2 y2 2 [典例] (2013?成都模拟)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)以抛物线 y =8x 的焦点为 a b

33

1 顶点,且离心率为 . 2 (1)求椭圆 E 的方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,与直线 x=-4 相交于 Q 点,P 是 椭圆 E 上一点且满足 OP = OA + OB (其中 O 为坐标原点), 试问在 x 轴上是否存在一点 T, 使得 OP ? TQ 为定值?若存在,求出点 T 的坐标及 OP ? TQ 的值;若不存在,请说明理 由. [解] (1)抛物线 y =8x 的焦点为椭圆 E 的顶点,即 a=2.
2

c 1 又 = , 故 c=1,b= 3. a 2
∴椭圆 E 的方程为 + =1. 4 3 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2).
?y=kx+m, ? 联立? 2 2 ? ?3x +4y =12.

x2 y2

得(4k +3)x +8kmx+4m -12=0. -8km 6m 由根与系数的关系,得 x1+x2= 2 ,y1+y2=k(x1+x2)+2m= 2 . 4k +3 4k +3 将 P?
2 2 m ? 64k m ? -28km , 6 代入椭圆 E 的方程,得 2 ? 2 4 4k +3 ?4k +3 4k +3? 2 2 2

2

2

2

+ 3

36m 2 4k +3

2

2

=1.

整理,得 4m =4k +3. 设 T(t,0),Q(-4,m-4k). ∴ TQ =(-4-t,m-4k), OP =?

m ? ? -28km , 6 . 2 4 k + 3 4 k + 3? ? ?
2

32km+8kmt 6m m-4k 6m +8km+8kmt 即 OP ? TQ = + = . 2 2 2 4k +3 4k +3 4k +3 ∵4k +3=4m , 6m +8km+8kmt 3 2k ∴ OP ? TQ = = + 2 4m 2 要使 OP ? TQ 为定值,只需? 值,则 1+t=0,∴t=-1, 3 ∴在 x 轴上存在一点 T(-1,0),使得 OP ? TQ 为定值 . 2
2 2 2

1+t

m

.
2

2 ?2k 1+t ?2=4k 1+t ? m m2 ? ?



4m -3

2

1+t

m

2

为定

34

=2

k2 2+2=4, 1+ 2+2≥2 k1 k1

1

1 2 当且仅当 k1= 2,即 k1=±1 时,△EMN 的面积取最小值 4. (2)证明:设 AB 的方程为 y=k1(x-m),A(x1,y1),B(x2,y2), 由?
?y=k1 ? ?y =4x ?
2

x-m

4 2 得 k1y -4y-4k1m=0,y1+y2= ,y1y2=-4m,

k1

∵M?

?x1+x2,y1+y2?,∴M? 22+m, 2 ?, ? ?k1 2 ? k1? ? 2 ? ? ?k2
k2?

2? ?2 同理,点 N? 2+m, ?, ∴kMN=

k1k2 =k1k2. k1+k2 k1

2 ?2 ? ∴MN 的方程为 y- =k1k2x-? 2+m?,即 y=k1k2(x-m)+2,

?k1

?

∴直线 MN 恒过定点(m,2).

三、高考试题分析
2012 年新课标(8)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2 ? 16x 的 准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为( )

( A)

2

( B) 2 2

(C ) ?

(D) ?

【解析】选 C 设 C : x ? y ? a (a ? 0) 交 y ? 16x 的准线 l : x ? ?4 于 A(?4, 2 3) B(?4, ?2 3)
2 2 2

2

得: a2 ? (?4)2 ? (2 3)2 ? 4 ? a ? 2 ? 2a ? 4 (20)(本小题满分 12 分) 设抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为圆心,
2

FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点;
0 (1)若 ?BFD ? 90 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程;

(2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, n 距离的比值。

35

【解析】(1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角 ? ,斜边 BD ? 2 p 点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 2 p

S?ABD ? 4 2 ?

1 ? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2 2

圆 F 的方程为 x2 ? ( y ? 1)2 ? 8 (2)由对称性设 A( x0 ,
2 x0 p )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2 2p 2 x0 x2 p 2 ) ? p ? 0 ? ? ? x0 ? 3 p2 2p 2p 2

点 A, B 关于点 F 对称得: B(? x0 , p ?

3p p ? p 3p 3p ?0 ) ,直线 m : y ? 2 2 x ? ? x ? 3 y ? 得: A( 3 p, 2 2 2 3p

x2 x 3 3 3p p , ) x ? 2 py ? y ? ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( 3 6 2p p 3 3
2

直线 n : y ?

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p?0 6 3 3 6 3p 3p : ?3。 2 6

坐标原点到 m, n 距离的比值为 2013 年新课标

x2 y2 10、已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点。若 a b
AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为 A、 + =1 45 36 D、 + =1 18 9 【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题,是中档题. 【解析】设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 =2, y1 ? y2 =-2, () C、 + =1 27 18

x2

y2

B、 + =1 错误!未找到引用源。 36 27

x2

y2

x2

y2

x2

y2

x12 y12 ? ?1 a 2 b2
①-②得



2 2 x2 y2 ? ?1 a 2 b2



( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0, a2 b2
36

∴ k AB =

0 ?1 1 b2 1 y1 ? y2 b2 ( x ? x2 ) b 2 2 2 2 =? 2 1 = 2 ,又 k AB = = ,∴ 2 = ,又 9= c = a ? b , 3 ? 1 2 2 a a x1 ? x2 a ( y1 ? y2 )
2

解得 b =9, a =18,∴椭圆方程为

2

x2 y 2 ? ? 1 ,故选 D. 18 9

(20)(本小题满分 12 分) 2 2 2 2 已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x-1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最 长时,求|AB|. 【命题意图】 【解析】 由已知得圆 M 的圆心为 M(-1, 0) ,半径 r1 =1, 圆 N 的圆心为 N (1,0),半径 r2 =3. 设动圆 P 的圆心为 P ( x , y ),半径为R. (Ⅰ)∵圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切,∴|PM|+|PN|= ( R ? r 1 ) ? (r 2 ? R) = r 1 ? r2 =4, 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为 3 的椭圆

(左顶点除外),其方程为

x2 y2 ? ? 1( x ? ?2) . 4 3

(Ⅱ)对于曲线C上任意一点 P ( x , y ),由于|PM|-|PN|= 2 R ? 2 ≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. ∴当圆P的半径最长时,其方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,
2 2

当 l 的倾斜角为 90 时,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 当 l 的倾斜角不为 90 时, 由 r1 ≠R知 l 不平行 x 轴, 设 l 与 x 轴的交点为Q, 则
0

0

| QP | R = , | QM | r1

可求得Q (-4, 0) , ∴设 l :y ? k ( x ? 4) , 由 l 于圆M相切得

| 3k | 1? k
2

解得 k ? ? ? 1,

2 . 4

当k =

x2 y2 2 2 ? 1( x ? ?2) 并整理得 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 , x ? 2 代入 ? 时,将 y ? 4 3 4 4
18 ?4 ? 6 2 2 ,∴|AB|= 1 ? k | x1 ? x2 | = . 7 7

解得 x1,2 =

37

当 k =-

18 2 时,由图形的对称性可知|AB|= , 7 4 18 或|AB|= 2 3 . 7

综上,|AB|=

2014 年新课标 10.已知抛物线 C : y 2 ? 8 x 的焦点为 F , 准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若 FP ? 4FQ ,则 QF ? A.

7 2

B. 3

C.

5 2

D. 2

解 析 : 由 已 知 xP ? ?2 x ,F ?

2又 , FP ? 4FQ , 则

?4 ? 4 ? xQ ? 2 ? ,? xQ ? 1 ,过 Q 作 QD 垂直于 l,垂足为 D,
所以 QF ? QD ? 3 ,故选 B

x2 y 2 20. (本小题满分 12 分) 已知点 A (0,-2),椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 a b


2 3 3 , F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为 , O 为坐标原点. 3 2

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

?c 3 , ? ? ? x2 ?a ?a ? 2 2 解析: (Ⅰ)由已知得 ? 解得 ? ? 椭圆E的方程: ? y 2 ? 1 4 ? ?c ? 3 ?2 ? 2 3 ? 3 ?c
(Ⅱ)当直线 l 垂直于 x 轴时, ?OPQ 不存在 令直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 与
2

x2 ? y 2 ? 1联立消去 y 有: ? 4k 2 ? 1? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 4
3 4

? ? ? ?16k ? ? 4 ? ? 4k 2 ? 1? ?12 ? 64k 2 ? 48 ? 0 ? k 2 ?

38

令 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ?

16k ? x1 ? x2 ? 2 , ? ? 4k ? 1 ? ? x x ? 12 1 2 ? 4k 2 ? 1 ?

2 PQ ? ?1 ? k ? ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ? ? 2

?? 16k ?2 48 ? ? ?1 ? k ? ?? ? ? 2 2 ?? 4k ? 1 ? 4k ? 1? ? ?
2

4 1 ? k 2 4k 2 ? 3 2 整理得 PQ ? ,令点 O 到直线 l 的距离为 d,则 d ? 2 4k ? 1 k 2 ?1
1 4 4k 2 ? 3 2 所以 ?OPQ 的面积 S ? k ? ? PQ d ? ,令 4k ? 3 ? t ? t ? 0 ? 2 2 4k ? 1
S ?k ? ? ? ? 4 4k 2 ? 3 4t 4 7 ? 2 ? ? 1? 当且仅当 t ? 2, 即 k ? ? 时取到 ? 2 ? ? 4k ? 1 t ?4 t? 4 2 ? ? t

此时直线 l 的方程为 y ?

7 7 x?2 或 y ? ? x?2 2 2

39


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