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江苏如东高级中学2011届高三数学综合试卷


201 高三数学综合试卷 2010-2011 年高三数学综合试卷
小题, 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸指定位置上. 一、填空题:本题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸指定位置上. 填空题: 1.已知集合 A = { x | x > 0} , B = { x | ?1 ≤ x ≤ 2} ,则 A U B = ▲ . ▲ ”. .

2.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( ?2) + f (0) + f (3) = 2 ,则 f (2) ? f (3) = 3. “直线 ax + 2 y + 1 = 0 和直线 3x + (a ? 1) y + 1 = 0 平行”的充要条件是“ a = 4.若复数 z 满足 z (1 + i ) = 1 ? i ( i 是虚数单位),则其共轭复数 z = ▲ . ▲

5. 某产品在连续 7 天中,不合格品的数据分别为 4,2,1,0,0,0,0,则这组数据的标准差= 6.顶点在原点且以双曲线 7.将函数 y = sin(2 x +





x ? y 2 = 1 的右准线为准线的抛物线方程是 3

2





π

3 则平移的最小单位是 ▲ . 8.设 a, b 为不重合的两条直线, α , β 为不重合的两个平面,给出下列命题:

) 的图像沿坐标轴右移,使图像的对称轴与函数 y = cos(2 x +

π
3

) 的对称轴重合,

(1)若 a ? α , b ? α , a, b 是异面直线,那么 b // α ; (2)若 a ∥ α 且 b ∥ α ,则 a ∥ b ; (3)若 a ? α , b // α , a, b 共面,那么 a // b ; (4)若 a ⊥ α 且 a ⊥ β ,则 α ∥ β . 上面命题中,所有真命题的序号是 ... ▲ . 开始 输入 n
?

9.已知有序数对 (a, b) 满足 a ∈ [ 0,3] , b ∈ [ ?2, 2] ,关于 x 的一元二次方 程 x 2 + 2ax + b 2 = 0 有实根的概率 ▲ .

10.已知 {an } 是等差数列,设 S n =| a1 | + | a2 | + L + | an | (n ∈ N ) .某 ,图中空白处理框中是用 学生设计了一个求 Sn 的部分算法流程图(如图) n 的表达式对 Sn 赋值,则空白处理框中应填入: Sn ← ▲ 11.已知 x, y ∈ [? .

n≤5 Y Sn←-n2+9n

N

, ] , x3 + sin x ? 2a = 0, 4 y 3 + sin y cos y + a = 0 , 4 4 则 tan( x + 2 y ) = ▲ .

π π

输出 Sn 结束 (第 10 题图)

12.函数 f ( x) 满足 ln x = 则 f ( x1 x2 ) 的最小值为

1 + f ( x) ,且 x1 , x2 均大于 e , f ( x1 ) + f ( x2 ) = 1 , 1 ? f ( x)
▲ .
0

13. 已知 O 为 ?ABC 外心, AB=2, AC=1, BAC = 120 , AO = λ1 AB + λ2 AC , λ1 + λ2 = ∠ 若 则

uuur

uuu r

uuur





14.在平面直角坐标系中,定义 d ( P, Q ) = x1 ? x2 + y1 ? y2 为两点 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) 之间的“折线距 离”. 则圆 x 2 + y 2 = 1 上一点与直线 2 x + y ? 2 5 = 0 上一点的“折线距离”的最小值是____▲___. 小题, 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答 解答题: 题纸的指定区域内 的指定区域内. 题纸的指定区域内.
1

15. (本小题满分 14 分) 已知:正方体 ABCD-A1B1C1D1 , AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点. (Ⅰ) 求证: B1D1 ⊥ AE ;(Ⅱ) 求证: AC // 平面 B1 DE ; (Ⅲ)求三棱锥 A-BDE 的体积.

16. (本小题满分 14 分) 已知 a =(1+cos α ,sin α ), b =( 1-cos β ,sinβ ), c = (1, 0) , α ∈ (0, π ), β ∈ (π , 2π ) ,向量 a 与 c 夹角为 θ1 , 向量

r

r

r

r

r

r r π b 与 c 夹角为 θ 2 ,且 θ1 - θ 2 = ,若 ?ABC 中角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且角 A= β ? α . 6
求(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 ?ABC 的外接圆半径为 4 3 ,试求 b+c 取值范围.

2

17.(本题满分 15 分) 国家加大水利工程建设,某地区要修建一条灌溉水渠,其横断面为等腰梯形(如图) ,底角 A 为 600 ,考虑 到坚固性及用料原因, 要求其横断面的面积为 6 3 平方米, 记水渠深为 x 米, 用料部分的周长 (即渠底 BC 及两腰长的和)为 y 米, ⑴.求 y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域; ⑵.当水渠的腰长 x 为多少米时,水泥用料最省(即断面的用料部分 的周长最小)?求此时用料周长的值 ⑶.如果水渠的深限制在 ?3, 3 ? ? ? 最小值是多少米? 范围内时,横断面用料部分周长的

18.(本小题满分 15 分) 如图,在直角坐标系中,中心在原点,焦点在 X 轴上的椭圆 G 的离心率为 e =

15 ,左顶点 A(-4,0) ,圆 4

O′ : ( x ? 2)2 + y 2 = r 2 是椭圆 G 的内接 ?ABC 的内切圆.
(Ⅰ) 求椭圆 G 的方程; (Ⅱ) 求圆 O′ 的半径 r; (Ⅲ)过 M (0,1) 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E,F 两点,判断直线 EF 与圆 O′ 的位置关系,并证明.

y

M

B
F

A

0
E

o′

x
C

3

19.(本小题满分 16 分) 数列 {bn } 定义如下:对于正整数 m , bm 是使不等式 an ≥ m 成立中的所有 n 中的最小值 (Ⅰ)若正项数列 {an } 前 n 和为 Sn , S n 是

1 与 (an + 1) 2 的等比中项,求 an 及 bn 通项; 4

(Ⅱ)若数列 {an } 通项为 an = pn + q (n ∈ N ? , p > 0) , 是否存在 p 和 q , 使得 bm = 3m + 2( m ∈ N ? ) , 如果存在, 求出 p 和 q 的取值范围,如果不存在,请说明理由.



20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) = ln x ? ax +

1? a ? 1 (a ∈ R) . x

(Ⅰ) 当 a ≥ 0 时,讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 g ( x) = x 2 ? 2bx + 4. 当 a =

1 时, 4

( i )若对任意 x1 ∈ (0, 2) ,存在 x2 ∈ [1, 2] ,使 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围. ( ii ) 对于任意 x1 , x2 ∈ (1, 2] 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ λ

1 1 ? ,求 λ 的取值范围. x1 x2

4

附加题部分
21. . 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1 几何证明选讲 . 如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙O 上一点,AE=AC, DE 交 AB 于点 F.求证:△PDF∽△POC.
E A

· O
C

F

B D

P

B.选修 4-2 矩阵与变换 .

(第 21-A 题)

1 已知矩阵 A = ? a b ? ,若矩阵 A 属于特征值 3 的一个特征向量为 α1 = ? ? ,属于特征值-1 的一个特征向量 ?1? ?c d ? ?? ? ?

? 1? 为 α 2 = ? ? ,求矩阵 A . ? ?1?

C.选修 4-4 坐标系与参数方程 .
π 已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合, 极轴与 x 轴的正半轴重合, 曲线 C1:ρ cos(θ + ) = 2 2 4

? x = 4t 2 , 与曲线 C2: ? (t∈R)交于 A、B 两点.求证:OA⊥OB. ? y = 4t

5

D.选修 4-5 不等式选讲 .
y 已知 x,y,z 均为正数.求证: x + + z ≥1+ 1+ 1 . yz zx xy x y z

【必做题】第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 22.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 是棱 BC 的中点, Q 在棱 CD 上.
且 DQ = λ DC ,若二面角 P ? C1Q ? C 的余弦值为

14 ,求实数 λ 的值. 7
A1 D1

B1

C1

A Q B P C

D

23.已知 ( x + 1) = a0 + a1 ( x ? 1) + a2 ( x ? 1) + a3 ( x ? 1) + ... + an ( x ? 1) , (其中 n ∈ N )
n 3 n
*

(1)求 a0 及 S n =

∑a ;
i =1 i

n

(2) 试比较 Sn 与 (n ? 2)2 + 2n 的大小,并说明理由.
n
2

6

参考答案
一、填空题: 填空题:
1、 [ ?1, +∞ ) 8、③④ 9、 2 、 ?2 3、 ?2 4、 i 5、

2
5 7

2 6、 y = ?6 x

7、

π
4

2 3

10、 10、 n ? 9n + 40
2

11、 11、0

12、 12、

13、 13、

13 6

14、 14、

5 2

二、解答题: 解答题:
15.解:(Ⅰ)证明:连结 BD ,则 BD // B1 D1 , ∵ ABCD 是正方形,∴ AC ⊥ BD .∵ CE ⊥ 面 ABCD ,∴ CE ⊥ BD . 又 AC I CE = C ,∴ BD ⊥ 面 ACE . --------------------------------3 分 ∵ AE ? 面 ACE ,∴ BD ⊥ AE ,∴ B1 D1 ⊥ AE .--------------------5 分 (Ⅱ)证明:作 BB1 的中点 F,连结 AF、CF、EF . ∵ E、F 是 CC1、BB1 的中点,∴ CE

B1 F ,

∴四边形 B1 FCE 是平行四边形,∴ CF// B1 E . ∵ E , F 是 CC1、BB1 的中点,∴ EF //BC ,又 BC // AD ,∴ EF // AD . ∴四边形 ADEF 是平行四边形,∴ AF // ED ,∵ AF I CF = C , B1 E I ED = E , ∴平面 ACF // 面 B1 DE . (Ⅲ) S ?ABD = 又 AC ? 平面 ACF ,∴ AC // 面 B1 DE .---------------------------10 分

1 AB ? AD = 2 . 2 1 1 2 VA? BDE = VE ? ABD = S ?ABD ? CE = S ?ABD ? CE = ---------------------------------------------------14 分 3 3 3 r r a?b α 16. (Ⅰ)据题设,并注意到 α、β 的范围, cos θ1 = r r = cos ---------------------------------2 分 2 a b

cos θ 2 =

1 ? cos β (1 ? cos β ) 2 + sin 2 β

= sin

β
2

= cos(

β

? ) ,-------------------------------------------4 分 2 2

π

7

由于 θ1、 2 为向量夹角,故 θ1、 2 ∈ [ 0,π ] , θ θ



α

π β π π α β π 2π ∈ (0, ), ? ∈ (0, ), 故有 = θ1 , ? = θ 2 , 得 A = β ? α = .-----------7 分 2 2 2 2 2 2 2 2 3
a sin

(Ⅱ) (2)由正弦定理

π
3

=

b c = = 8 3 ,--------------------------------------------------10 分 sin B sin C

得 b + c = 8 3(sin B + sin C ) = 8 3[sin B + sin( 注意到 B +

π

π

π 2π ∈ ( , ) ,从而得 b + c ∈ (12,8 3]. -----------------------------------------------------14 分 3 3 3
x 1 ,及 S = ( AD + BC ) x = 6 3 , 2 3

? B)] = 8 3 sin( B + ) -----------------------12 分 3 3

π

17.解: (1)由 AD = BC + 2

?x ≥ 0 6 3 x ? ? ,又 ? ,得 0 < x < 3 2 ,------------------------------4 分 得 BC = 6 3 x x >0 3 ? BC = x ? 3 ?
所以 y = BC + 2 AB =

6 3 + 3 x ,定义域为 (0,3 2) x

-------------------------------6 分

(2) y =

6 3 6 3 + 3x ≥ 2 ? 3 x = 6 2 ,当且仅当,即 x = 6 ∈ ( 0,12 ) 时等号成立, x x
------------------------------10 分

所以用料周长最少为 6 2 米,此时腰长为 6 米.

(3) x ∈ ?3, 2 3 ? , y = 3( x + ) 递增,所以 x = 3 时, ymin = 5 3 米 -------------------------------15 分

?

?

6 x

18.解: (Ⅰ) e =

15 c x2 = , a = 4 得 c = 15, b = 1 ,椭圆 G 方程为 + y 2 = 1 -----------------------5 分 4 a 16

( ,过圆心 o′ 作 O′D ⊥ AB 于 D , BC 交长轴于 H (Ⅱ)设 B 2 + r , y0)


O′D HB y r 得 = = 0 ,即 AD AH 36 ? r 2 6 + r
2

y0 =

r 6+r 6?r

(1)---------------------------7 分

而点 B 2 + r , y0) ( 在椭圆上, y0 = 1 ?

(2 + r ) 2 12 ? 4r ? r 2 ( r ? 2)( r + 6) = =? 16 16 16

(2)-------------9 分

由(1)、 (2)式得 15r 2 + 8r ? 12 = 0 ,解得 r = (2) 直线 EF 与圆 O′ 的相切 设过点 M(0,1) 与圆 ( x ? 2) 2 + y 2 =

2 6 或 r = ? (舍去)-------------------------------------------11 分 3 5
(3)

4 相切的直线方程为: y ? 1 = kx 9

8



2 2k + 1 2 = ,即 32 k + 36 k + 5 = 0 2 3 1+ k
?9 + 41 ?9 ? 41 , k2 = 16 16

(4)

解得 k1 =

将(3)代入

x2 32k + y 2 = 1 得 (16k 2 + 1) x 2 + 32kx = 0 ,则异于零的解为 x = ? ----------------------13 分 16 16k 2 + 1
32k1 32k 2 , x2 = ? 2 16k1 + 1 16k 2 2 + 1

设 F ( x1 , k1 x1 + 1) , E ( x2 , k2 x2 + 1) ,则 x1 = ?

则直线 FE 的斜率为: k EF =

k2 x2 ? k1 x1 k +k 3 = 1 2 = x2 ? x1 1 ? 16k1k2 4
即y=

于是直线 FE 的方程为: y +

32k12 3 32k1 ?1 = (x + ) 2 16k1 + 1 4 16k12 + 1

3 7 x? 4 3

3 7 ? 2 2 3 = 故结论成立. ---------------------------------------------15 分 则圆心 (2, 0) 到直线 FE 的距离 d = 3 9 1+ 16
19.解:(Ⅰ)由于 S n 是 当 n = 1 时, S1 =

1 1 与 (an + 1) 2 的等比中项,∴ S n = (an + 1)2 4 4

1 (a1 + 1)2 ,∴ a1 = 1 , ------------------------------2 分 4 1 1 当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = (an + 1) ? (an ?1 + 1) ,由 an > 0 ,化简有 an ? an ?1 = 2 4 4
所以 {an } 是等差数列, an = 2n ? 1 ,检验当 n = 1 时也适合,即 an = 2n ? 1 ---------------------5 分

对于正整数,由 an ≥ m ,得 n ≥

m +1 .根据 bm 的定义可知 2

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

当 m = 2k ? 1 时, bm = k k ∈ N * ;当 m = 2k 时, bm = k + 1 k ∈ N * .

(

)

(

)

? n +1 ? 2 , n是奇数 ? ∴ bn = ? ? n + 1, n是偶数 ?2 ?

--------------------------------------------9 分

(Ⅱ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn + q ≥ m 及 p > 0 得 n ≥

m?q . p

∵ bm = 3m + 2( m ∈ N ? ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

9

3m + 1 <

m?q ≤ 3m + 2 ,即 ?2 p ? q ≤ ( 3 p ? 1) m < ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立. p p+q 2p+ q (或 m ≤ ? ) , 3 p ?1 3 p ?1
-------------------------------13 分

当 3 p ? 1 > 0 (或 3 p ? 1 < 0 )时,得 m < ? 这与上述结论矛盾! 当 3 p ? 1 = 0 ,即 p =

1 2 1 2 1 时,得 ? ? q ≤ 0 < ? ? q ,解得 ? ≤ q < ? . 3 3 3 3 3 1 2 1 ,? ≤q<? , 3 3 3

∴ 存在 p 和 q,使得 bm = 3m + 2( m ∈ N ? ) ; p 和 q 的取值范围分别是 p =

----------------------------16 分 20.解:(Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 ( 0,+∞ ) ,因为 f ′( x ) = 所以当 a = 0 时, f ′( x ) = 数,在 ( 0, 是减函数; 1)

1 1 ? a ? ax 2 + x + a ? 1 ?a? 2 = , x x x2

x ?1 x ?1 ,令 f ′( x ) = 2 > 0 得 x > 1 ,所以此时函数 f ( x ) 在 (1,+∞ ) 上是增函 2 x x
-----------------------------------------2 分

1 ? x 2 + 2 x + ?1 ?( x ? 1) 2 当 a = 时, f ′( x ) = = ≤ 0 ,所以此时函数 f ( x) 在 ( 0,+∞ ) 是减函数; 2 2 x2 2 x2
当0 < a <

1 ? ax 2 + x + a ? 1 1 ? 1 ? 时,令 f ′( x ) = > 0 ,解得 1 < x < ? 1 ,此时函数 f ( x) 在 ?1, ? 1? 是增函 2 2 x a ? a ?

数,在 (0,1)和( ? 1, +∞) 上是减函数;

1 a

--------------------------------------------------------------4 分

1 ? ax 2 + x + a ? 1 1 ?1 ? 当 < a < 1 , f ′( x ) = 令 > 0, 解得 ? 1 < x < 1 , 此时函数 f ( x ) 在 ? ? 1,1 ? 是增函数, 2 2 x a ?a ?
在 (0,

1 ? 1)和(1, +∞) 上是减函数; a

--------------------------------------------------------------6 分

当 a ≥ 1 ,由于

1 ? ax 2 + x + a ? 1 ?1 ≤ 0 , ,令 f ′( x ) = > 0 ,解得 0 < x < 1 ,此时函数 f ( x) 在 ( 0,1) 是 a x2
--------------------------------------------------------------8 分

增函数,在 (1, +∞) 上是减函数. (Ⅱ) ( i )当 a =

1 时, f(x) 在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意 x1 ∈ (0, 2) , 4 1 1 有 f(x1 ) ≥ f(1)=- ,又已知存在 x2 ∈ [1, 2] ,使 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) ,所以 ? ≥ g ( x2 ) , x2 ∈ [1, 2] , 2 2 9 1 9 17 11 2 2 即存在 x ∈ [1, 2] ,使 g ( x ) = x ? 2bx + 4 ≤ ? ,即 2bx ≥ x + ,即 2b ≥ x + 2 ∈ [ , ] , 2 2 x 4 2 17 17 17 ,解得 b ≥ ,即实数 b 取值范围是 [ , +∞ ) . ----------------------------12 分 所以 2b ≥ 4 8 8
10

( ii )不妨设 1 < x1 ≤ x2 ≤ 2 ,由函数 f ( x ) 在 (1, 2] 上是增函数,函数 y =

1 在 (1, 2] 是减函数, x

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ λ
设 h( x) = f ( x) +

1 1 1 1 1 1 ? 等价于 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ≤ λ ( ? ) ,所以 f ( x2 ) + λ ≤ f ( x1 ) + λ x1 x2 x1 x2 x2 x1

1 3 λ x+ + 是减函数, x 4 4x x 3 1 1 1 所以 h′( x) ≥ 0 在 (1, 2] 上恒成立,即 + λ ≥ x ? x 2 = ? ( x ? 2) 2 + 1 ,解得 λ ≥ .-------------16 分 4 4 4 4 = ln x ?

λ

附加题部分
A.选修 4-1 几何证明选讲 . 证明:∵AE=AC,∠CDE=∠AOC, ---------------------------------------------------3 分 又∠CDE=∠P+∠PDF,∠AOC=∠P+∠OCP, 从而∠PDF=∠OCP. ---------------------------------------------------8 分 在△PDF 与△POC 中, ∠P=∠P,∠PDF=∠OCP, 故△PDF∽△POC. ---------------------------------------------------10 分 B.选修 4-2 矩阵与变换 . 解:由矩阵 A 属于特征值 3 的一个特征向量为 α1 = ? ? 可得 ?

?1? ?1?
----------------------------------------------------4 分

? a b ? ?1? ?1? ?a + b = 3 ? ?1? =3 ?1? ,即 ?c + d = 3 ; ?c d ? ? ? ?? ?

由矩阵 A 属于特征值 2 的一个特征向量为 α 2 = ?

? 1? ?a b ? ? 1? ? 1? ? ,可得 ?c d ? ? ?1? =(-1) ? ?1? , ? ?1? ? ? ? ? ? ?
----------------------------------------------------6 分

即?

?a ? b = ?1 ?c ? d = 1
=1 = 2 = 2 =1

?a 解得 ? b ? ? ?c ?d ?

即矩阵 A = ?

?1 2 ? ? ? 2 1?

---------------------------------------------------10 分

C.选修 4-4 坐标系与参数方程 . 解:曲线 C1 的直角坐标方程 x ? y = 4 ,曲线 C2 的直角坐标方程是抛物线 y 2 = 4 x ,…4 分 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,将这两个方程联立,消去 x , 得 y 2 ? 4 y ? 16 = 0 ? y1 y2 = ?16 , y1 + y 2 = 4 . ---------------------------------6 分

∴ x1 x 2 + y1 y 2 = ( y1 + 4)( y 2 + 4) + y1 y 2 = 2 y1 y 2 + 4( y1 + y 2 ) + 16 = 0 .----------------8 分
uuu uuu r r ∴ OA ? OB = 0 ,∴ OA ⊥ OB . -------------------------------------------------10 分

D.选修 4-5 不等式选讲 .
11

证明:因为 x,y,z 都是为正数,所以
同理可得

x y 1 x y 2 + = ( + ) ≥ .-------------------------4 分 yz zx z y x z

y z 2 z x 2 + ≥ , + ≥ , zx xy x xy yz y

当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立. --------------------------------------7 分 x y z 1 1 1 将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得 + + ≥ + + . --------------------------- 10 分 yz zx xy x y z

22.解:以 AB, AD, AA1 为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,
设正方体的棱长为 4,则各点的坐标分别为 A(0, 0, 0) ,

uuu uuur uuur r

B (4, 0, 0) , C (4, 4, 0) , D (0, 4, 0) ; A1 (0, 0, 4) ,

z
A1 D1

B1 (4, 0, 4) , C1 (4, 4, 4) , D1 (0, 4, 4) , P(4, 2, 0) , Q(4λ , 4, 0) ----------------------------------------2 分 uuuu r r 设平面 C1 PQ 法向量为 n = (1, b, c ) ,而 PC1 = (0, 2, 4) , uuu r PQ = (4λ ? 4, 2, 0) , ? 2b + 4c = 0 所 以 ? , 可 得 一 个 法 向 量 ?(4λ ? 4) + 2b = 0 r n = (a, b, c) = (1, ?2(λ ? 1), (λ ? 1)) ,------------6 分 r 设面 C1 PQ 的一个法向量为 u = (0,1, 0) ,
r r 则 cos < n, u > =
即: (λ ? 1) =
2

B1

C1

A Q B P C

D

y

x

?2(λ ? 1) 1 + 4(λ ? 1) + (λ ? 1)
2 2

=

14 , 7

-----------------------------------8 分

1 2 ,又因为点 Q 在棱 CD 上,所以 λ = .--------------------------------10 分 9 3
n

23.解: (1)令 x = 1 ,则 a0 = 2 ,令 x = 2 ,


∑a
i =0

n

i

= 3n ,∴ S n = 3n ? 2 n ;
n 2
n

----------------------3 分

(2)要比较 Sn 与 (n ? 2)2 + 2n 的大小,即比较: 3 与 ( n ? 1)2 + 2n 的大小,
n

2

当 n = 1 时, 3 > ( n ? 1)2 + 2n ;当 n = 2,3 时, 3 < ( n ? 1)2 + 2n ;
n n

2

n

n

2

当 n = 4, 5 时, 3 > ( n ? 1)2 + 2n ;
n n

2

-----------------------------------5 分
n

猜想:当 n ≥ 4 时 n ≥ 4 时, 3 > ( n ? 1)2 + 2n ,下面用数学归纳法证明:
n

2

由上述过程可知, n = 4 n = 4 时结论成立, 假设当 n = k ( k ≥ 4) n = k , ( k ≥ 4) 时结论成立,即 3 > ( n ? 1)2 + 2n ,
n n

2

两边同乘以 3 得: 3
k

k +1

> 3[(k ? 1)2k + 2k 2 ] = k 2k +1 + 2(k + 1)2 + [(k ? 3)2k + 4k 2 ? 4k ? 2]
k

而 ( k ? 3)2 + 4k ? 4k ? 2 = ( k ? 3)2 + 4( k ? k ? 2) + 6 = ( k ? 2)2 + 4( k ? 2)( k + 1) + 6 > 0
2 2
k

12

∴3

k +1

> [(k + 1) ? 1]2k +1 + 2(k + 1) 2

即 n = k + 1 时结论也成立, ∴当 n ≥ 4 时, 3 > ( n ? 1)2 + 2n 成立.
n n 2

综上得,当 n = 1 时, 3 > ( n ? 1)2 + 2n ;
n n 2

当 n = 2,3 时, 3 < ( n ? 1)2 + 2n ;当 n ≥ 4, n ∈ N 时, 3 > ( n ? 1)2 + 2n
n n 2 n n

?

2

------10 分

13


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