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《流体力学实验》PPT课件_图文

流体力学实验
学 总 学 课 堂 讲 实 分 时 授 验 1.5 32 8学时 24学时
流体力学研究室 卞永宁
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材:《应用流体力学实验》
毛根海 主编

毛根海,章军军,陈少庆,胡卫红 编著 高等教育出版社 定 价: 14.10元

其它材料:fluidexp_2009@126.com, student 实验报告要求及实验指导书 流体力学实验教学安排-2010年 实验轮流表(空白)
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主要内容
(一)实验流体力学绪论
1.实验流体力学的发展简史及其研究内容 2.实验流体力学的研究方法和面临的问题

(二)基本理论及其方法
1. 相似理论 2. 水电比拟(略) 3. 数值模拟 4. 误差分析与数据处理
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(三)流体力学实验设备简介
1. 循环水槽 2. 风洞 3. 小型流体力学实验设备 4. 流动显示设备及技术

(四)流体力学测试仪器
1. 压力的测量 2. 液体式压力机 3. 压力传感器 4. 速度的测量 5. 流量的测量 6.温度及湿度的测量
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(五)绕流问题
1. 势流理论中的圆柱绕流 2. 机翼绕流

(六)边界层
1. 边界层基本理论

2. 边界层的测量

(七)管道流动
1. 管流基本理论 2. 管道流动实验
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(八)实验教学环节
演示实验 第6周
1.流谱流线显示 2.水击原理 3.紊动机理 4.流场显示

操作实验

第7-16周
2. 动量定律 4. 沿程阻力 6. 毕托管 8. 能量方程

1. 孔口管嘴 3. 雷诺实验 5. 局部阻力 7. 文丘里

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第1章 实验流体力学绪论
1.1 实验流体力学及其发展简史
基础理论+测试系统及方法+数据处理和误差分析 实验流体力学 理论流体力学 计算流体力学 实验流体力学

流体力学

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实验流体力学贯穿于流体力学研究的各个领域 !!!

精细的观察和测量
揭示流动过程中流场各处的流动状态和特征 流动参数的直接测量 提供了各种特定流动的物理模型 关键性作用
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实验流体力学的发展历程
自然灾害,生产实践,社会发展---实验流体力学

? 秦朝,李冰父子--都江堰1,都江堰2
利用岷江出山口的山麓弧形,运用弯道环流原理,采用疏导型无坝引水方 式,建成由鱼嘴(自动分水)、飞沙堰(泄洪、排沙)、宝瓶口(引水口) 三大主体相辅相成的系统水利工程,至今仍然发挥着作用。

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? 古罗马,大规模供水管道系统
较为完整的给排水体系,大型喷水池。铅制供水管道,直接通到私人住宅。
因“铅中毒”而衰亡? (中国最早“城市供水系统” :1879年,旅顺北郊水师营三八里村开始修建龙 引泉水源,当时是为了解决向清朝北洋水师基地旅顺港供水问题,李鸿章上奏 ‘凿石引泉’,这成就了我国历史上第一个“城市供水系统”。)

? 古希腊,阿基米德--包括浮力定律和浮体稳定性的液体平衡 理论,奠定了流体静力学基础
此后千余年,流体力学停滞,没有重大发展!

? 15世纪,达· 芬奇--谈到水波、管流、水力机械、鸟的飞翔 原理等,正确推导了一维不可压流动的质量守恒方程
在达芬奇和梵高的绘画作品中,旋涡图案及光与影的模式与流体力学理论惊 人相符 。
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梵高的《星夜》

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? 17世纪,帕斯卡--静止流体中压力的概念
最基本的流体力学理论已经建立,但是流体力学作为一门严谨的学科,是 在经典力学建立了速度、加速度、力和流场等概念,以及动量、质量和能量 三个守恒定律之后才逐步形成。
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17世纪,牛顿--Fr∝ ? Au ,牛顿粘性定律 皮托--测量流速的皮托管 达朗贝尔--船只阻力与船体运动速度之间的平方 关系 欧拉—连续介质概念,建立了欧拉方程,用微分 方程组描述了无粘流体的运动 伯努力—能量守恒,管道流动,得到了流体定常 运动下的流速、压力与管道扬程之间的关系,即伯努力方 程
欧拉方程和伯努力方程的建立,标志着流体力学学科的形成,从此开始了 利用数学方法和实验测量进行流体运动定量研究的新阶段。
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? 18世纪,势流理论(理想流体)快速发展
揭示了水波、潮汐、涡旋运动、声学等方面的许多规律。

拉格朗日--无旋运动 亥姆霍兹--漩涡运动 ? 19世纪,工程中的粘性流问题 纳维--总结出粘性流体的基本运动方程 斯托克斯--基于更合理的理论推导出该方程
流体力学的理论基础

N-S方程

普朗特--通过推理、数学论证和实验测量,建立边界层理论
计算简单情形下边界层内的流动状态和流固间的粘性力。

? 20世纪初,空气动力学飞速发展
航空事业的发展要求揭示飞行器周围的压力分布、受力状况和阻力等问题, 促进了流体力学在实验和理论分析方面的发展。
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? 20世纪初,儒科夫斯基、恰普雷金、普朗克--机翼理论
以无粘性不可压缩势流理论为基础,阐明了机翼升力产生的机理。机翼理 论的正确性,使人们重新认识到了无粘流体理论对指导工程设计的重大意义。

20时40年代开始,航天飞行--气体动力学
随着喷气式发动机和火箭技术的应用,满足超音速飞行的需要。

爆炸波理论,爆炸力学
研究原子弹、炸药爆炸后激波在空气或水中的传播等的需要。

流体力学的分支—高超声速空气动力学、超声速空气动力 学、稀薄空气动力学、电磁流体力学等 ? 20世纪60年代起,与其它学科交叉渗透形成新的学科或边 缘学科--物理—化学流体动力学、磁流体力学、生物流变 学等 随着社会的发展和技术的进步,实验流体力学的理论和 方法必将得到完善,解决更多的实际问题!!!
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1.2 实验流体力学的研究内容
流体=气体+液体(颗粒悬浊液,非牛顿)

1. 大气运动、海水运动、岩浆流动
最常见的两种流体--大气、水。

2. 空气动力学、气体动力学 3. 渗流力学

(最活跃、成果丰富的领域)

飞机及各种新型飞行器、航空航天。
石油和天然气的开采、地下水的开发利用--多孔介质或缝隙介质中的流体 流动。

4. 物理—化学流体动力学
具有化学反应和热能变化的流体力学问题--燃烧过程。

5. 爆炸力学
猛烈的瞬间能量变化及传递过程,涉及到气体动力学 。
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6. 多相流体力学
沙漠迁移、河流中的泥沙流动、管道中煤粉输送、化工单元操作中催化 剂的运动等,涉及到流体中携带固体颗粒或者液体中带有气泡等问题。

7. 等离子体动力学和电磁流体力学
等离子体是自由电子、带等量正电荷的离子及中性粒子的集合体,常见 于受控热核反应、磁流体发电等过程中。在磁场的作用下等离子体有特殊的 运动规律。

8. 环境流体力学(环境空气动力学、建筑空气动力学)
风对建筑物、桥梁、电缆等作用使他们承受载荷并激发振动;废气、废 水的排放造成环境污染;河床冲刷迁移 和海岸遭受侵蚀—研究这些流体本身 与人类和自然界间的相互作用。

9. 生物流变学
研究与人体或其它动植物有关的流体力学问题。如血液在血管中的流动、 心、肺中生理流体的运动和植物中营养液的输送;鸟类在空中的飞翔、动物 在水中的游动等等。 本研究室:低剪切速率下热量质量传递过程强化技术、机理研究--人工肺、换 热器、反应器

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1.3 实验流体力学的研究方法
1. 现场观测
对自然界固有的流动现象或工程全尺寸实物,利用各种仪器进行系统观测, 总结出流体运动规律,预测流动现象的演变。(气象观测、预报) 问题:对现场的流动现象不能控制,发生条件不可能完全重复出现;花费 大量的人力、物力、财力。

2. 实验室模拟
根据数学、物理和流体力学基本理论的指导以及实验室条件,改变研究对 象的尺度建立模型,根据模型实验结果依据相似理论推算出原型的数据。 现场观测是对已有事物已有工程的观测,实验室模拟则可以对还没有出现 的事物及现象进行观察、预测,是一种研究流体力学问题的重要方法。

3. 理论分析
根据流体运动的普遍规律如质量守恒、动量守恒及能量守恒等,利用数学 分析、物理学和基础力学等手段,观测和研究流体的运动规律,解释已知现 象、预测可能发生的现象。
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理论分析步骤 1)建立力学模型
针对实际的流体力学问题,分析主要矛盾,对问题进行适当简化,使得建 立的力学模型能够反映问题的本质。

2)建立连续性方程、动量方程和能量方程
针对流体运动特点,应用质量、动量、能量守恒定律得到方程组,此外还 要加上某些联系流动参量的关系式或其它方程。

3)求解方程组
结合具体流动,回归解的物理意义,解释流动机理。通常还需将求解结果 与实验结果进行比较,确定解的准确程度及所建力学模型的适用范围。 从基本概念到基本方程的一系列定量研究均涉及到很深的数学问题,因此 流体力学的发展是以数学的发展为前提。对于进行流体力学研究的人来说, 数学基础十分重要!

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4. 数值计算
流体力学基本方程组非常复杂特别是考虑粘性流动时,几乎很少能够得到 解析解。 随着数学的发展和计算机的不断进步,各种数值计算方法不断涌现,这使 得原来无法求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性。流体流动的 数值模拟促进了流体力学研究的深入,并形成了一门新的学科分支:“计算 流体力学”。数值模拟和实验模拟相互配合,使得 流体相关的科学研究和工 程设计的速度大大加快,并节省了大量开支。 近年来数值计算方法发展迅速,重要性与日俱增! 虽然流体力学的研究手段和方法在飞速发展、不断进步,但是自然界及人 们日常成活中仍然有大量的实际问题仍然没有被解决,相对于其它学科,实 验流体力学的新任务和面临的新问题仍然十分艰巨,有待于依赖科学技术的 进步得到更深入的发展!

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1.4 实验流体力学的任务和面临的问题
1.实验流体力学的任务
(1)不断观察、研究流体的新现象和探索相应的基本规律
流体力学在许多分支中的新发现和重大研究成果不断涌现,更多的研究 领域和课题还有待于发掘,这些工作远非单纯的理论分析和数值方法能够 胜任。

(2)研究各种流动现象的本构关系
运动流体的本构关系随流体的流动状态、可压缩性、外力的作用以及边 界条件的不同或者变化而异。 例如: 物体绕流问题,远离物体的流体运动 忽略粘性影响,只有法向力; 物体附近,看作粘性流体,切向应力随流态变化。 流体流速接近声速时,流体的应力和应变之间的关系必须考虑可压缩性。 稀薄气体中粘性的影响区大大超出通常的边界层概念的数量级。 对于大量的实际流体来说,其本构关系大多有待于研究和确定。
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(3)利用模拟技术解决工程实际问题和研究流动规律
例如: 将对某些对流体运动过程起主要作用的力(如惯性力、粘性力、浮力、或 重力等)组成无量纲参数来确定这些相似性参数和流动状态及流场特性的定 量关系,最大限度地精简实验内容,使大尺度流体运动的原型可以在实验室 简单的条件下得到重现。 利用模拟技术以最小的代价和最少的实验条件来发现、证实有价值的物理 规律或工程问题,具有重要意义! 大型化工设备在设计制造过程中要在数十或数千分之一的模型中进行实验。 实验结果决定某一设计方案的取舍。 新型号的飞机、舰船设计需要做大量的模型实验: 飞机的气动力学实验--风洞实验 ; 舰船阻力拖曳、自航及耐波性实验、操纵性实验--方形水池

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(4)研制新型实验仪器及其设备系统,发展新的测量方法
实验仪器及设备系统--实验研究的重要手段 利用或购买现有的专门产品,正确和熟练地使用仪器, 根据仪器和设备 的性能来设计实验放案、实现确定的目标。 自行研究、设计和开发新的仪器或测量方法。 各学科的实验研究方法通常可以相互借鉴,要熟知其中的一些方法和技巧。

计算机技术的发展和应用在实验流体力学中产生了巨大的影响,加速了测 量仪器的智能化和自动化,特别是在流速测量和流场显示技术方面
激光多普勒测速仪 LDV 激光流场显示仪 PIV

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2. 实验流体力学面临的问题
流体力学或实验流体力学在工程技术中的应用有目共睹: 超声速飞行、航空航天、海上石油天然气钻井平台、大型水利枢纽的设计 建造、大型建筑物及大跨度桥梁风载破坏实验……, 总之,没有流体力学的 发展,21世纪的许多工程技术、个别是高新技术的发展是不可能的. 流体力学或实验流体力学在取得巨大进展的同时,也留下了大量亟待解决 的问题:

(1)湍流的形成机制及其内在规律
虽然经过几代人的努力,对湍流的认识已经大为深入,但是随着高新技术 的发展,过去的经验局限性逐渐显露,因此在湍流的研究上亟待突破。 (NSFC支持的重点!)

(2)各种涡系的生成、消长及流动分离的过程机理
各种飞行器、船舶在流体中运动特别是作非定常运动时会产生包括漩涡、 分离流动在内的非线性复杂流场。相关机理的解明对未来空中及水中航行器 的研制具有重大意义。

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(3)吸气式发动机在超声速流动状态下的混合、点火;超声速流动边界 层的控制、减阻及降噪控制
新一代航天飞机和超声速民航机的开发将取决于流体力学研究的进展,必 须考虑高温空气动力学中放弃原先的热力学平衡的假定之后新的替代方法。

(4)高性能船舶在各种海况下的波浪载荷计算(未定的自由表面、表面边
界的非线性、波浪的随机性、流体与船舶运动的耦合等) 贴近水面航行、必要时可升空飞行或降落在水面上的船艇,如果波浪载荷 计算不准会导致在恶劣海况下失事。

(5)风浪的相互作用机制,旋流对波浪的影响
天气预报的重要环节,遥测水面波参数以测量近水面风速;海面波浪的遥 测参数还可以用来探测潜航的潜艇及海流。

(6)渗流机理的定量研究,多相流及非牛顿流体在典型化工装置中的流 动特性
渗流机理的定量研究有助于了解多孔介质内液体的运动规律,对尽可能多 开采地下油气有直接的现实意义。深入了解化工装置中流动的复杂性,发挥 装置的最大效益。
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(7)改善计算方法和理论,开发新的计算机硬件和软件
各种复杂流场的出现、精确捕捉激波和分辨漩涡运动、处理非线性自由表 面及湍流问题等,对现有的计算方法及软硬件都提出了更高的要求。

实验室—国家的科学技术水平 实验流体力学研究—流体力学学科的水平
我国建造了大量用于尖端科学研究的设备,试制并引进了大量先进 的科学仪器,实验流体力学的研究有良好的条件。但是总体上看,实 验研究工作的状况和水平与实际需求还有很大差距。 大连理工大学—流体力学学科的研究和实验水平 薄弱

前途光明,道路曲折!
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第2章 基本理论及其方法
2.1 相似理论
各种流体流动现象的规律性,通常表现为描述该现象特征的各个物 理量之间所存在的一定的函数关系。 实验研究 揭示客观现象的规律性 理论研究 可以解决许多理论分析无法解决的复杂问题! 参量多:速度、压力、密度、温度等等 各自具有不同的边界条件和初始条件 依靠相似理论,通过模型实验还原实物的实际状况
流体力学实验 不完全相同 模型实验,比实物小得多,实验条件与实物运动条件

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进行流体力学实验必须要考虑的问题:

1. 合理安排实验,使得模型实验的流动状态和实际流动相似,
使模型实验的结果符合实际。 2. 能够把在保持相似条件下进行的模型实验所得的数据应用

到实际问题中去(还原到实物)
相似理论作为流体力学实验的理论基础之一,为解决上述问题提供 了科学依据!

2.1.1 相似的概念
流体流动问题研究中物理现象的相似包括: 几何相似、运动相似、动力相似以及热相似等。
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1. 几何相似
" 两个空间物体的几何图形中对应的线段长度用 li 和 li( i=1,2,3, …, k)表示, " ' 对应角用 ?i 和?i 表示(i=1,2,3, …, k),几何相似的条件是: 各对应线段的比例相等,且对应角相等,即: '

' ? l1' l2 l3' li' ? " ? " ? " ? ??? ? " ? Cl li ? l1 l2 l3 ?? ' ? ? " , ? ' ? ? " , ???? ' ? ? " 1 2 2 i i ? 1

(2-1)

导出量

li'2 S1' l1'2 Cs ? " ? "2 ??? ? "2 ? Cl2 S1 l1 li

(2-2) (2-3)

CV ? Cl3
式中:Cl — 长度相似常数 CS — 面积相似常数 CV — 体积相似常数

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对应边长之比相

等的正方形和菱形,
由于对应角不同, 不满足几何相似; 如图所示的两个 机翼模型要满足相 似,至少他们的弦 长之比、厚度之比 和弯度之比要相等, 而且相应的夹角也

要相等。
保持几何相似是 模型实验的最基本 要求。下面的讨论

均满足几何相似条
件。

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2. 运动相似
两个流场中,如果流经任意两条对应途径所需的时间之比是常数 ' ' t2 实物:线段 l1' ,l2' , ,t3' ,…; l3' ,…,时间 t1 , " " " " " t3 t2 模型:对应 l1" ,l2 , ,…,时间 t1 , , ,…; l3 如果两个流场运动相似,则必有如下关系:
' ' ? v 1' v 2 v3 v i' ? " ? " ? " ? ??? ? " ? Cv vi ? v1 v 2 v 3 ? ? ' ? ? " , ? ' ? ? " , ???, ? ' ? ? " 1 2 2 i i ? 1

运动相似。

(2-4)

Cv (速度相似常数)与 Cl 、 Ct (时间相似常数)的关系为:
?l ' ?l ' lim " Cl v ' ?t ' ?0 ?t ' ? l Cv ? " ? ? lim ? ?l " ?t"' ?0 ?t ' Ct v lim " ?t ?0 " ?t " ?0 ?t ?t

(2-5)

C? (加速度相似常数)与 Cl 、 Ct 的关系为:
? ' Cv Cl C? ? " ? ? 2 ? Ct Ct

(2-6)

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?

两个几何相似的物体,流场上各对应点的速度成比例,且对应点的速度矢量 的方位角相等 两物体或流场的运动为运动相似

3. 动力相似
两个流场中的任意对应点上,如果各种作用力的力多边形几何相似 则这两个流场动力相似。
即如果作用于各对应微元上的微力彼此成比例,且各个力的矢量方位角也相等,那 么这两个流场为动力相似

运动相似系统中,对应点上同名动力学量成比例,而且方向相同,可表示 为:
? F1' F2' F3' Fi ' ? " ? " ? " ? ??? ? " ? CF Fi ? F1 F2 F3 ?? ' ? ? " , ? ' ? ? " , ???, ? ' ? ? " 1 2 2 i i ? 1

(2-7)

CF --为力相似常数
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在动力相似条件下有:
?m' ' ? ' ?lim V ' ? 0 ?V C? ? " ? ? lim " ?V ' ? 0 ?m ? ?V "?0 lim " ?V " ? 0 ?V ?G ' g ' ?m' " " ?m" ? lim ?G g ' ?V ' ? 0 ?V ' ? ? V V "?0 " ?V ?V "

CF C? CF Ct CF Ct2 ? ? = CV CV Cv Cl4
C? --为密度相似常数,即对应点上密度成同一比例
动力系数: CF p" CF p' p" ' Cp ? ? ? ? 2 1 ' '2 ' 1 1 " "2 " C C C " 2 "2 " ? v S ?v S C? ? Cv v CS S ?v S 2 2 2

(2-8)

CF Ct2 " " ? C ? C p p C? Cl4

(2-9)

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Cp –为压力常数

结论: 相似系统间,对应动力系数是相等的。在相似系统中,可通过模 型实验得到动力系数,然后再将其换算到实物上去。 4. 热相似
对于几何相似的两个流场,对应点的温度成比例,并且在对应点上通过 其对应微元上的热流量方向相同及大小成比例,即满足温度场和热流量相似 热相似。

以θ

表示温度,以q表示热流量,则有:

?1' ?1 ? ?2' ?2 ? ?3' ?3 ? ??? ? ?i' ?i ? ?? ? Constant
' ' ' q1 q1 ? q2 q2 ? q3 q3 ? ??? ? qi' qi ? ?q ? Constant

(2-10)
完全相似

满足几何相似、运动相似、动力相似,且对应点同类物理量成比例 部分满足比例关系 部分相似

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2.1.2 由基本方程推导流场相似的充分必要条件
1. 基本方程组
不同系统中的流体流动都必须遵循流体运动的基本方程,根据这个 原则,可以得到各相似常数之间的制约关系。从非定常粘性不可压缩 流体流动的基本方程出发,考察x方向的运动。 原型:
(2-11)

模型:
" " " " ?v x " ?v x " ?v x " ?v x ?vx " ?vy " ?vz " ? " ?t ?x ?y ?z

X" ?

?v ?v ?v 1 ?p ? v ( ? ? ) ? " ?x" ?x ?y ?z
" 2 " x "2 2 " x "2 2 " x "2

(2-12)

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两系统相似,各物理量之间有如下关系:
? x ' ? Cl x" , y ' ? Cl y" , z ' ? Cl z " ? ' " ' " ' " ?v x ? Cv v x , v y ? Cv v y , v z ? Cv v z ? ' " ' " ' " ? X ? CF X , Y ? C F Y , Z ? C F Z " ?' " ' " ' t ? C t , ? ? C ? , p ? C p t ? p ? ? ' " v ? C v v ?

(2-13)

代入原型方程 ( 2-11 ) 得:

(2-14)

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在同一坐标系中,模型方程 (2-12) 和式 (2-14) 的表达式应该相同, 因此, 式(2-14)中由相似常数组成的各项系数应该保持相等,即:
Cp CC Cv Cv2 ? ? CF ? ? v 2v Ct Cl C? Cl Cl
① ② ③ ④ ⑤ (2-15)

上式中的每一项均代表一种作用力,其中: ① -- 局部惯性力 ② -- 变位惯性力 ③ -- 质量力 ④ -- 压力 ⑤ -- 附加粘性表面力 根据这一系列等式,将其中每两种作用力相比,即可得到一系列无 因次数,既相似准数。
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由于流体运动的加速,使变位惯性力 ② 在各种流动问题中都赞有 重要地位,故通常都是以变位惯性力与所选择的作用力相比,得到无 因次准数,即用 Cv2 Cl 去除以各项得:
Cp Cl CC Cv ? 1 ? l 2F ? ? Cv Ct Cv C? Cv2 Cl Cv
(2-16)

由上述结果可以得到如下的相似准数:
St ? l vt

--斯特劳哈尔数(Strouhal number)

v 2 ?v 2 --弗劳德数(Froude number) Fr ? ? gl ? gl
Eu ?
Re ?

?p ?v 2
lv v

--欧拉数(Eular number)
--雷诺数 (Reynolds number)
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2. 流场相似的充分必要条件
做模型实验时,模型和实物首先要满足几何相似的条件; 对已经无量纲化的方程组,只要使上述无量纲参数对于模型和实验流动完全 相同,那么它们的方程就完全一致。 经过无量纲化以后,两流场既有相同的边界条件又有完全一致的方程组,那 么其无量纲化的解就完全相同!!!

综上,流场Ⅰ和Ⅱ完全力学相似的充分必要条件为: St(Ⅰ)= St(Ⅱ) Re(Ⅰ)= Re(Ⅱ) Fr(Ⅰ)= Fr(Ⅱ) Eu (Ⅰ)= Eu (Ⅱ) 此外针对具体流动过程还有: Pr (Ⅰ)= Pr (Ⅱ) ? (Ⅰ)= ? (Ⅱ) Ma (Ⅰ)= Ma (Ⅱ) Nu (Ⅰ)= Nu (Ⅱ)

(2-17)

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无量纲的组合量 相似参数(或相似准则、相似判据) 所以,相似参数相等是确定两个同类流动相似的充分必要条件!
无量纲化的解则是这些相似参数的函数, 既: u* = u*( St, Re, Fr, Pr, Ma, Nu, x/L, y/L )
(2-18)

p* = p*( St, Re, Fr, Pr, Ma, Nu, x/L, y/L )

基于上述结果,对于两个相似流场,模型实验所得的数据怎样才能 转换到实物上去呢?

2.1.3 相似准数
1. 粘性相似准则(雷诺相似准则)
Re ? lv / v

(2-19)

Re 数的物理意义—惯性力与粘性力之比
粘性力的作用使流体产生一个负加速度,代表粘性力对流体运动的影响。
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Re较小时 粘性力起主导作用,流体微团受粘性力约束 层流状态 Re较大时 惯性力起主导作用,粘性力不足以约束流体微团的运动 紊流状态 此外,Re还与流速以及流体所处空间的特征尺寸有关! 同一种粘性流体,在小空间范围内缓慢流动时的粘性作用远比在大空间范围内高速 流动时大得多!!! 模型实验—使雷诺数相等,有时较困难! 例如低速绕流实验,普通风洞实验段的静压接近大气压,满足粘度相似常数和密度 相似常数近似为1的条件(C? ? 1, C? ? 1 )。 当模型缩小时(Cl ? 1),要求来流速度成比例增大,与低速绕流发生矛盾! 因此实验雷 诺数总比实际雷诺数要小。 如何解决这一矛盾? 理论分析 “自模区 ” 实验研究 当雷诺数小到某一定值(即第一临界值Rec1)时流动呈现层流状态,此时流速分布彼 此相似,几乎不依赖于雷诺数的变化—“自模性”, Re< Rec1的区域----“第一自模区”。 对于管流, Re> Rec1时,层流向湍流过渡,逐渐进入湍流状态,此时Re对于流动状态 及流速分布都有较大影响。 当Re再增大超过某一定值(即第二临界值Rec2)时流动进入充分发展的湍流阶段,此 时流态和流速分布又不再变化而彼此相似,即 Re> Rec2的区域----“第二自模区”。
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Re=52

Re=79

Re=158

Re=237

三维波壁管内的流动结构
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wall

centerline

Re=10

Re=52

Re=79

Re=158

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找到流动的自模区给模型实验带来了极大的方便! 根据上述结果,当模型 和实物处于同一自模区时,模型和实物的Re数就不必保持相等,模型实验 的结果稍加修正就可应用到实物中去。 对实验设备的要求大大降低,节省开支!

实际流动中湍流占大多数,如何确定第二自模区?
绕流表面的粗糙度越大、流道几何形状越复杂,进入第二自模区越早。 进入自模区后,绕流物体或流道的阻力系数CD、Eu数不再发生变化---实 验测出CD或Eu数随Re数的变化曲线,以不再变化时的Re值作为流动进入 “第二自模区”的标志。 一般的模型实验都可以在“第二自模区”中进行并达到相似 条件相似

也可以在全尺寸风洞(Cl ? 1 )或者变密度风洞中(C? ? 1)进行,使得实际流 动与模型实验的雷诺数相等。

粘性相似准则(雷诺准则):
如果两个几何相似的流场在粘性力作用下动力相似,则它们的雷诺数必 相等;反之,如果两个流场的雷诺数相等,则这两个流场一定是在粘性作 用下动力相似!
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2. 时间相似准则
斯特劳哈尔数 St 表达式为:
St ? l /(v t ) = (l / v ) / t

(2-20)

尺寸l 所需要的时间,而t可以理解为整个系统流动过程中所需要的时间。 两流场的 St 数相等----两个不定常流动中速度场随时间的变化情况相似。

St 数的物理意义--- l /v可以理解为速度为v的流体质点通过系统中某特定

特征时间的选定:周期性运动—频率的倒数
圆周运动—转数的倒数 例:脉动流场, St ? 2? fL / u ? 2? L /(ut ) 对定常或者运动参数随时间变化很小的准定常流动,St数可以忽略不计。

时间相似准则(非定常流动相似准则)
如果两个几何相似的流场在非定常流动下动力相似,则它们的斯特 劳哈尔数必相等;反之,如果两个流场的斯特劳哈尔数相等,则这两个 流场一定是在非定常流动下动力相似!
44

3. 重力相似准则(弗劳德相似准则)
弗劳德数 Fr 表达式为:

Fr ? v 2 /( gl )
变形后有: Fr ? ( ?v 2 / l ) /( ? g ) = 惯性力/重力

(2-21)

Fr 数的物理意义—重力与惯性力之比的度量
在重力起主导作用的流场中重力的作用是重要的,比如具有自由表面的流 体运动。具体像: 船舶等水上运动物体的波浪阻力实验 堰流和水工建筑的模型实验等

保证Fr 数相等,即重力相似

Fr 数的大小反映了重力在运动方程中的相对重要性! 注意: Re数相等和Fr数相等是互相矛盾的,除非模型与实物一样大小! Fr数相等 Re数相等 模型尺寸l 减小后,实验流速v应该减小 模型尺寸l 减小后,实验流速v应该增大
45

船模实验: 阻力=粘性力+波浪阻力 粘性力 波浪阻力 水工建筑模型实验: 一般由于实验的Re 数比较高,流动大多进入到“第二自模区”,只要 模型的相对粗糙度与实物大致相同就可满足粘性相似要求,所以可不要求 Re 数相等,只要求Fr 数相等即可。 由经验公式算出 在保证Fr 数相等的条件下测量

重力相似准则(弗劳德相似准则)
如果两个几何相似的流场在重力作用下动力相似,则它们的弗劳德 数必然相等;反之,如果两个流场的弗劳德数相等,则这两个流场一定 是在重力作用下相似。
46

4. 压力相似准则(欧拉相似准则)
欧拉数的表达式为:

Eu ? ?P / ?v 2

(2-22)

Eu 数的物理意义— 表面压力的作用和影响
一般情况下,物体表面压力差的出现是由于流动的结果(没有流动就不会出 现压力差),所以欧拉准则不是决定性的判据,只有在水击和空泡等问题的实验 研究中才需要满足欧拉准则的条件。

压力相似准则(欧拉相似准则)
如果两个几何相似的流场在压力表面里作用下动力相似,则它们的欧

拉数必相等;反之,如果两个流场的欧拉数相等,则这两个流场一定是
在压力表面里作用下动力相似。
47

5. 压缩型相似准则(马赫相似准则)
气体的压缩效应 Ma=v/c ,流体速度与当地声速之比

6. 比热比 ?
粘性摩擦力作功与导热的影响

气体流动

? 是定压比热与定容比热之比
7. 普朗特数
流体的物理特性

Pr ? ?Cp / ? ,对气体,Pr 数 只与组成分子的原子数有关
8. 努塞尔准则
Nu ? ? l / ? ,表征了流体与壁面之间的对流热与内部的传导热之比

以上为常用的相似准则,对特殊问题还有其它的相似准则
48

相似准则的最主要应用:模型实验及还原到实物的结
果换算 模型实验的一般步骤:
(1)导出并分析有关的相似准数

(2)在相似条件下进行实验得到满足流动现象的相似准数
(3)测量包括在相似准数和流体动力系数中的物理量

(4)将实验结果用相似准数和其它无因此数来表示
(5)还原到实物的实验结果换算

49

例2.1 一直径为d的圆球在水中以1.5m/s的速度运动时阻力为4.5N;用 另一直径为2d 的圆球在风洞中做实验,若风洞中空气密度为1.28kg/m3,空 气的运动粘性系数是水的13倍,为满足动力相似,风洞中的空气流速应为多 大?此时圆球所受的气动阻力是多少?(不考虑表面重力、压力变化及压缩 性的影响) 解:依题意,该风洞实验只要满足Re数相同即可,即:Rew=Rea v wd w v a da ? vw va ∴风洞中空气流速为 v a ? v w

d w va d 13v ? 1.5 ? ? w ? 9.75 (m / s) da vw 2d vw

1 2 2 由圆球运动的阻力公式可得,在水中 Fw ? CR ? ? wv w d w 2

Fw 1 2 2 2 2 ∴气动阻力为 Fa ? CR ? 1 ?av a da ? ? ?a v a da ? 0.973 ( N ) 1 2 2 2 2 ?wv w dw 2
50

例2.2 水流作用于桥墩的力主要受重力控制,所以设计模型实验时应满 足重力相似准则。设有矩形桥墩,宽度by=0.8m, 建筑在水深Hy=3.5m的河流中, 水流速度uy=1.9m/s。选定模型比实物缩小10倍,即Cl=10(原型/模型)进行模 型实验。测得水流在模型中经过桥墩的时间为tm=5s,桥墩受到的冲击力为 Fm=6.8N。求模型实验的相关设计参数并推算原型桥墩所受的冲击力(下标y— 原型,m—模型)。 解:根据几何相似准则,由Cl=10得, 模型桥墩的宽度 bm=by/Cl=0.8/10=0.08m 模型水深 Hm=Hy/Cl=3.5/10=0.35m 根据重力相似准则,Fry=Frm 可得: 2 2 uy Cu2 um ?1 ? 或者写成 Cg Cl g y l y g m lm 由于原型和模型中水流的重力加速度相同,故Cg=1,带入上式得:
1 2 l

Cu ? C



u y ? umC
? 1 2

1 2 l ? 1 2

∴模型实验的水流速

um ? u yCl ? 1.9 ?10

? 0.6 m / s
51

由 Cu ? C
即 Ct ? C

1 2 l

1 Cl 可得: Cu ? ? Cl2 Ct

1 2 l

,或者

t y ? tmC

1 2 l

∴原型中水流由桥墩前端流至末端所需的时间为:

t y ? tmC ? 5 ?10 ? 15.8s
1 2 根据桥墩阻力计算公式: F ? CD ? ? u A 2

1 2 l

1 2

可得:

Fy Fm

?

2 uy Ay 2 um Am

? C Cs ? (C ) Cl2 ? Cl3
2 u

1 2 2 l

∴原型中桥墩所受的冲击力为:

Fy ? FmCl3 ? 6.8?103 ? 6800N

52

例2.3

在空气动力学实验室研究螺旋桨飞机的迎风阻力时要求满

足斯特劳哈尔(时间)相似准则。如果模型缩小10倍,实验室中可以保 证流速达到飞行速度的一半。已知飞机螺旋桨转数为3000 r/min,那么模

型的转数应为多少?
解:依据题意,模型与飞机的斯特劳哈尔数应保持相等,Sty=Stm 此时 Cl=ly/lm=10, Cu=uy/um=2 (均为原型/模型)

ly u yt y

?

lm umtm

对于圆周运动,时间取转数的倒数,即t=1/n, 带入上式可得:

l y ny uy

l n ? m m um

得:

nm ? ny ?

um l y 1 ? ? ny ? ? Cl u y lm Cu

1 ∴模型螺旋桨转数为: nm ? 3000 ? ?10 ? 15000 r / min 2
53

2.1.4 相似理论在实验中的应用
相似理论是流体力学实验的重要理论基础,上一节对描述流体运动的方程进行 无量纲化后得到的相似参数均有明确的物理意义。当实际研究和设计工作中遇到的问 题过于复杂时,则不能利用分析的方法列出其微分方程,这时找相似参数就要用到量 纲分析法。

1. 基本概念
(1)基本量纲和导出量纲
无量纲物理量:弧度=弧长/曲率半径,圆周率=周长/直径=3.14159... 有量纲物理量:长度[l]=L, 时间[t]=T, 质量[m]=M, 温度[T]= ? , 速度 [v]=L/T, 加速度[a]=L/T2等
与有量纲相比,无量纲的物理量更能深刻地解释事务的本质。当改变测量单 位时,无量纲的数值不发生变化 重要特点

54

从上述量纲的表达式看出,一些物理量的量纲与另一些物理量的量纲是有联系 的。即有的量纲是由其它量纲组成的,如速度、加速度;同样也有一些量纲与其它的 量纲无任何联系。

在研究中,一些物理量会涉及到另外一些物理量,对于这些物
理量,可以取其中那些不存在任何相互联系的量纲作为基本量纲; 其它的量纲均可由基本量纲导出,这种可以由基本量纲导出的

量纲称为导出量纲。

实践证明,对于一般工程技术问题,采用 3个基本量纲!!! 长度[ l ]=L, 时间[ t ]=T, 质量[ m ]=M, 流体力学中,基本量纲有4个,除了上述3 个以外,再加上一个温度[ T ]= ?
55

导出量纲的表示:用基本量纲的组合表示
例力学的某物理量A, 有量纲形式 [ A ] =Lc1Mc2Tc3? 速度的量纲 [ v ] = LT-1 力的量纲 [ F ] = LMT-2 导热系数的量纲 [ ? ] = MLT-3 压力的量纲 [ P ] =ML-1T-2 雷诺数的量纲 [ Re ] = L0T0M0 ,为无量纲数
c4,当c 1、c2、c3、c4全为零时,A

为无量纲数。

把若干个物理量量纲公式中的指数按量纲一一对应排列 而成的矩阵 量纲矩阵
56

(2)量纲和谐
量纲分析法的物理本质,在于描述一个流动现象的微分方程中各项量纲的和谐 性。利用量纲和谐性的原则可以进行各种单位之间的换算,检查物理方程的正确性 以及寻找相似准则和准则方程 流体力学实验研究的有力工具!

如果用来描述一个物理现象的方程式是正确和有意义的话,必须保证 方程式中各项的量纲相同。如果方程式中各项量纲不相同的话,则肯定该 方程是错误的 量纲和谐性原理

例如:不可压缩理想流动的伯努利方程为

p0 ? p ? ?u 2 / 2

p0和p都是压力,具有压力的量纲[p0]=[p] =ML-1T-2; 再看ρu2, [ρu2] =ML-3L2T-2 = ML-1T-2

因此伯努利方程满足量纲和谐性原理

57

(3)基本物理量
一群物理量A1,A2,A3,……,An,有k个基本量纲B1,B2,B3,……, Bk。当k ≤n时,如果其中有k个物理量A1,A2,A3,……,Ak,能同时满足下 列两个条件,就称这k个物理量为基本物理量。 ① 在这群物理量中,除A1,A2,A3,……,Ak以外的任何一个物理量的量纲 公式都可以用基本物理量的量纲指数组合形式来表示,即存在量纲公式:

? Am ? ? ? A1 ? ? A2 ?
?1 m

?2 m

??? ? Ak ?

?km

其中 ?1m , ?2m , ?3m , ???, ?km 为不全为零的常数。 ②基本物理量不可能组成一无量纲的组合量,即不可能存在下式:

? A1 ?? A2 ? ??? ? Ak ? ? ? B1 ? ? B2 ? ? B3 ?
?1 ?2

?3

??? ? Bk ?

?k

或者说,不可能存在一组不全为零的 ?1 , ?2 , ???, ?k 值使上式成立。
58

2. 因次分析法
(1)因次(量纲),基本因次(基本量纲),导出量纲
因次:任何物理量都有单位,根据单位可以将其归属到某一类,物理量种类即 称之为因次(量纲),如时间T,长度L,质量M等。 基本因次:指相互独立的因次,如M,T,L等,基本因次的选择视具体的物理 过程而定,可以是3个,也可以多于或少于3个。具有基本因次的物理量称为基 本量。 导出量纲:通过基本量纲导出来的量纲,一般用基本因次的指数乘积形式来表 示,如[x] =LaTbMc

(2)流体力学中常用物理量的因次及因次方程式
因次方程式就物理量用基本因次来表示的关系式。下表就是用基本因次

T,L,M表示的因次方程式。
59

60

3.

? 定理
如果描述一物理现象的函数关系式 f ( A1, A2, …, Am, …, An )=0 中有n个 项的关系式 ?

独立变量,而这群变量中包括了k个基本量( k ≤ n ),那么这n个变量之间的关系 可以用( n - k )个无量纲的

F (?1, ? 2 , ? 3 , ???, ? m , ???, ? n?k ) ? 0
来表示,而 ? 可以表示为

(2-23)

?m ?

Am ?2 m A1?1m A2 ??? Ak?km

(2-24)

其中 A1, A2, A3, …, Ak 为基本物理量, ?1m , ?2m , ???, ?km 为不全为零的常数,Am是这 群变量中除基本物理量外的任一物理量。

?

定理
61

? 定理把与物理现象有关的物理量之间的函数关系 变成了由相似准则组成的函数关系,因此应用 ? 定理也能确定相似准则以及
的无量纲参数是一致的。 原型与模型之间流动参数的换算关系。

理论和实验证明,用 ? 定理导出的无量纲参数与通过方程无量纲化后得到

应用 ? 定理的具体步骤:
(1) 分析所研究物理现象涉及到的基本影响因素,确定n个独立变量。
(2) 由这些变量的基本量纲出发列出量纲矩阵。 (3) 找出一组最有代表性和最容易测量的量作为基本物理量。 (4) 列出( n – k )个? 项。 (6) 将 ? 项进行整理。 (5) 从 ? 项的量纲和谐性原则出发,求出 ? 项分母上各项的指数值。 必要时可将各 ? 项相乘除或者对? 项自身开n次方,尽量使? 项化成一般

所熟悉的无量纲数,如Re数、 Fr数或者Ma数等。最后便可得到一个简单的? 项表示的函数关系式,即相似准则的函数关系式。
62

例2.4

当潜艇在水下航行时,潜艇受到的阻力R取决于航行速度u、水的密

度ρ、运动粘度v和潜艇长度l。试确定阻力系数CR的表达式。 解:(1) 遵循应用 ? 定理的具体步骤,根据问题的影响因素,确定独立变量。

R=φ(ρ,u,l,v) 或者 f (R,ρ,u,l,v) = 0,一共5个独立变量(n=5)
(2) 从独立变量的基本量纲出发列出量纲矩阵,基本量纲选L、M、T,则:

L M T

[R ] 1 1 2

[ρ ] -3 1 0

[u ] 1 0 -1

[l ] 1 0 0

[v ] 2 0 -1

(3) 选择一组有代表性且易于测量的量作为基本物理量。如选择ρ、u、l,其 对应的行列式(绿色部分)的值为-1(不等于零), 即这三个变量相互独立, 故选其为基本物理量(即k=3,也可以选其它量)。 (4) 列出(n-k)即(5-3)=2个 ? 项。

63

?1 ?

R , ? ?11 u ?12 l ?13

?2 ?

v ? ?21 u ?22 l ?23

(5) 根据量纲和谐原理,求出 ? 项分母上 ?11, ?12 , ?13 , ?21, ?22 , ?23 的数值。

[ R] ? [ ? ]?11 [u ]?12 [l ]?13 ? LMT ?2 ? L?3?11 ??12 ??13 M ?11 T ? ?12 [v] ? [ ? ]?21 [u ]?22 [l ]?23 ? L2T ?1 ? L?3?21 ??22 ??23 M ?21 T ? ?22
解待定系数方程:
? ?3?11 ? ?12 ? ?13 ? 1 ??11 ? 1 ? ? ? ??12 ? 2 ??11 ? 1 ? ? ? ? ?2 ?? ? 2 ? 13 ? 12
??3?21 ? ?22 ? ?23 ? 2 ??21 ? 0 ? ? ? ??22 ? 1 ??21 ? 0 ? ? ? ? ?1 ? ??23 ? 1 ? 22

∴得到2个 ? 项为:

?1 ?

R v , ? ? 2 ? u 2l 2 ul
64

(6) 根据需要对 ? 项进行整理。

CR ? ?1' ?

R 1 22 ?u l 2

, Re ?

1

?2

?

ul v

阻力系数表达式可写为: CR ? f ( Re) 例2.5 研究机翼在粘性不可压缩流动中的阻力特性时,根据经验,机翼

的阻力D与无穷远处的来流速度u∞、空气密度ρ、动力粘度μ、机翼弦长b、攻角 α(用弧度表示)有关。试用π定理证明机翼阻力系数

CD ? D /( ?u 2 / 2) / S ? f ( Re, ? )
证明:依据题意可得 f (u? , ? , b, ?, ? , D) ? 0 ,共6个独立变量,即n=6 列出基本量纲的矩阵见下表:

65

L M T

[u ∞ ] 1 0 -1

[ρ ] -3 1 0

[b ] 1 0 0

[μ ] -1 1 -1

[α ] 0 0 0

[D ] 1 1 -2

看绿色部分对应的行列式, 其值为1(不等于零),即该三个物理量互相 独立,因此可以取u∞、ρ、 b作为一组基本物理量,即k=3。所以应该有(nk)=(6-3)=3个 项,下面分别求出。 ? 机翼阻力: 用量纲关系式表示:

[ D] ? [u? ]?1 [ ? ]?2 [b]?3
LMT ?2 ? L?1 ?3?2 ??3 M?2 T-?1

解待定系数方程:

??1 ? 3?2 ? ?3 ? 1 ??1 ? 2 ? ? ? ??2 ? 1 ??2 ? 1 ? ? ? ? ?2 ?? ? 2 ? 3 ? 1

∴机翼阻力系数表示为: [D] ? [u? ]2[ ? ][b]2
66

整理得:

?1 ?

D D ' , ? ? ? ? CD 1 2 2 1 ?u?b 2 ?u? S 2

同理可得:

[? ] ? [u? ][ ? ][b]

即:
类似: 因此: 即:

?2 ?

? 1 u? ? b ' ? ?2 ? ? ? Re u? ? b ?2 ?

[? ] ? [u? ]0[ ? ]0[b]0 ? ? 3 ? ?
' ?1' ? f (? 2 ,?3 )

D 1 2 ?u? S 2

? f(

u? ?b

?

,? )

用阻力系数表示: CD ? f ( Re,? )
由上式可以看出,机翼的阻力系数主要与飞行Re数及攻角α有关。
67

例2.6

试用 ? 定理分析粘性流体在光滑等直径圆管中做均匀流动的问题。

解:(1)分析得到相关的运动变量。 流体物性:动力粘度μ,液体密度ρ

圆管几何参数:长度l,圆管内径d
运动参数:平均流速u,压力降Δp 总共n=6个变量 ∴描述该流动过程的函数关系可以写成: f (?p, l , d , ? , ? , u) ? 0 则

? ? ?p? l ? d ? ? ? ? ? u?
1 2 3 4 5

6

(2)列出量纲矩阵
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 λ6

L M T

[△p ] -1 1 -2

[l ] 1 0 0

[μ ] -1 1 -1

[ρ ] -3 1 0

[u ] 1 0 -1

[d ] 1 0 0

最右面ρ、 μ、 d影响流动最明显,也最容易测量,其组成的量纲矩阵值 为1不等于零,故可取其为基本物理量,即k=3,所以 ? 项应为3项。
68

(3)根据量纲和谐原则,写出各指数的联立方程。
???1 ? ?2 ? ?3 ? 3?4 ? ?5 ? ?6 ? 0 ? ??1 ? ?3 ? ?4 ? 0 ??2? ? ? ? ? ? 0 1 3 5 ?

令 ?1 ? 1, ?2 ? 0, ?3 ? 0 ,解得 ?4 ? ?1, ?5 ? ?2, ?6 ? 0 令 ?1 ? 0, ?2 ? 1, ?3 ? 0 ,解得 ?4 ? 0, ?5 ? 0, ?6 ? ?1 令 ?1 ? 0, ?2 ? 0, ?3 ? 1 ,解得 ?4 ? ?1, ?5 ? ?1, ?6 ? ?1 (4)根据上述结果,列出 ? 项矩阵。
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 λ6

△p
π π π
1 2 3

l 0 1 0

μ 0 0 1

ρ -1 0 -1

u -2 0 -1

d 0 -1 -1
69

1 0 0

(5)写出 ? 项表达式:

?1 ?
整理得:

?p l ? ; ? ? ; ? ? 2 3 ?u 2 d ?ud
1 2

? 1' ? ? 1 / 2 ? ?p /( ? u 2 ); ? 3' ? 1/ ? 3 ? ? ud / ? ? Re

' ' (6)根据相似准数的函数关系: ?1 ? f (? 2 , ? 3 )

最后得:

1 l ?p /( ? u 2 ) ? f ( , Re) 2 d

从上式可以看出,光滑圆管流动中的压力降取决于Re数和长径比l/d 。
在实际工程问题中需要通过实验确定出经验公式时,可以利用上述方法,根据 量纲分析得到一组无量纲的相似准数,然后在该关系指导下进行一系列实验,便可 以得到一系列近似的描述某流动规律的经验公式。 例如根据上式,可以通过实验得到圆管内流动的(摩擦系数)压力降公式:
f ? 1 1 (d / L)?P /( ? u 2 ) 4 2

70

例2.7

搅拌槽中功率消耗的量纲分析。已知搅拌桨的功率消耗取决于桨叶

的直径D、转速N、液体密度ρ、粘度μ, 试用量纲分析法建立功率消耗的函数关

系。 解: 本问题共有搅拌浆功率P、桨叶直径D、转速N、液体密度ρ、粘度μ共5个 独立变量,即n=5;根据前面的例题,可以选择三个基本变量,即k=3。所 以本问题最后应得到(n-k)=2个 项。 ?
设搅拌浆功率与其它独立变量之间有如下的函数关系:

P ? aDb N c ? d ? e 式中各物理量的量纲为:
P: [ ML2T-3 ] D: [ L ]



N: [ T-1 ]
ρ: [ ML-3 ] μ: [ ML-1T-1 ]
71

将上述量纲带入搅拌功率的表达式①得: [ ML2T-3 ]=a [ L ]b [ T-1 ]c [ ML-3 ]d [ ML-1T-1 ]e =a [ Md+eLb-3d-eT-c-e ] 根据量纲和谐性原理可得:
?d ? e ? 1 ? ?b ? 3d ? e ? 2 ? ? c ? e ? ?3 ?



该式有4个未知数,这里用e表示其它 三个未知数,解得:
?b ? 5 ? 2 e ? ?c ? 3 ? e ?d ? 1 ? e ?



将③代入①式可得:
72

P ? aD b N c ? d ? e ? aD 5? 2 e N 3?e ? 1?e ? e ? aD 5 D ?2 e N 3 N ? e ?? ? e ? e ? a(

? ? ND
2

)e ( ? N 3 D5 )

令:

P ? ND2 ?1 ? ? NP , ? 2 ? ? Re ? N 3 D5 ?

这里π1通常称之为功率准数,π2为搅拌雷诺数。 最后得到的搅拌浆功率消耗的函数关系为:

P ? ND 2 ? f( ) 3 5 ?N D ?
或者写成:

NP ? aRee

式中的系数a和e可以通过实验数据回归得到。
73

例2.7 核反应堆冷却管中的压降计算。在核反应堆中(原型),用熔融 的金属钠作冷却剂,在实验中(模型)用水作为工作流体,在比例尺为3/5的 模型管道中进行研究。设管截面为环形,R1、R2分别为管的内外半径,l为管 长, ρ、μ分别为流体的密度、粘度,管内平均流速为u。试用量纲分析法证明 压力损失△P可以表示为:

?P ? R2 l ? f ( , , ) ?u 2 ?uR1 R1 R1
如果原型中冷却剂的流速为6.10m/s,求模型中相应的速度。在该速度下,模 型中的压降为82.7kN/m2,计算反应堆中的压降。如果反应堆每根管的环隙面 积是1.86×10-3m2,试决定克服每一根管中的压降所需要的功率。已知水的密 度ρw=1000kg/m3,运动粘度vw=1.163×10-6m2/s;液态钠的密度 ρ=0.836×103kg/m3,运动粘度v=2.709×10-7m2/s。 解: 总结该问题包含的独立变量,共有R1、R2、 l、 ρ、μ、 u及△P共7个, 即n=7。 应用 ? 定理,选ρ、μ、 R1 作为基本变量,即k=3,则可得(n-k)=4个 如下(过程略):

? 项
74

?1 ?

R2 ?P ? l , ? ? , ? ? , ? ? ?u 2 2 ?uR1 3 R1 4 R1 ?P ? R2 l ? f ( , , ) ?u 2 ? uR1 R1 R1

所以压力损失△P可以表示为:

由题意知,模型实验在动力相似条件下进行,即Re=Rew,且Cl=lw/l=3/5 ul uwlw ? v vw

l vw 5 1.163 ?10?6 模型实验速度为:uw ? ? ? u ? ? ? 6.10 ? 42.4m / s ?7 lw v 3 2.790 ?10
又根据动力相似条件下,Cp=Cpw 可得:

?Pw ?P ? 2 ? u 2 ? wu w

? u 2 0.836 ?103 6.1 2 反应堆压降:?P ? ? ( ) ? ?Pw ? ?( ) ? 82.7 ? 1.431kN / m 2 ? w uw 1000 42.4
75

流过反应堆环隙管的冷剂流量为:

Q ? A ? u ? 1.86 ?10?3 ? 6.10 ? 11.35 ?10?3 m3 / s
则克服每一根管中的压降所需功率为:

Power ? ?P ? Q ? 1.431?103 ?11.35 ?10?3 ? 16.24W

4. 相似理论和因次分析方法的应用
指导模型实验,巨大的优越性

(1)借助模型实验的结果,可以预测大型实验装置的性能。
核反应堆例题

(2)应用廉价易得的工作介质进行实验,可预测实际工作介质所发生的现象 和过程。
流动阻力实验,只要Re数相等,则△P/(ρu2)也相等,因此可以用空气、水作为工 作流体,通过选择适当的流速满足所需要的Re数值,这样模型中得到的实验结果便可应 用于Re数相等时的原型。
76

(3)当用流体力学实验来寻求某些实际流动问题的一般规律时,可大大减少 实验工作量。
流动阻力问题,在未经无因次化处理前共有5个自变量,实验中必须固定其中4个

自变量改变1个自变量来获得其对流动阻力的影响关系。如此排列组合所需实验次数很
多。经无因次化(量纲分析)处理后,自变量变为2个,此时得到同样的实验结果所需 实验次数大大减少。

注意:
使用因次分析(量纲分析)方法只能估算出有关物理问题有几个无因次 数群( ? 项),但不能确定它们之间的具体函数关系,故此可以减少实验工 作量,不能代替实验本身。 在模型实验中,某些参数可能被误认为不重要而被忽略,而在原型中它 们却有相当大的影响。这时用模型实验的结果来推算原型中的规律就会产生 很大误差甚至错误结论。 应用 ? 定理做因次分析时,必须谨慎分析有关影响因素!
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