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2013自主招生数学讲义05

不及硅步,无以至千里

2013 自主招生考试专题四: 三角与三角函数
【知识要点】 1. 三角恒等变换; 2. 三角函数的图像与性质; 3. 三角形中的三角函数问题; 4. 三角函数有关的最值问题; 5. 三角与不等式。 常用恒等式: 1) sin 3a = 3sin a - 4sin a =
3

2) 3) 4) 5)

1 ?p ? ?p ? sin a sin ? - a ÷ sin ? + a ÷ ; 4 è3 ? è3 ? 1 ?p ? ?p ? cos 3a = 4 cos3 a - 3cos a = cos a cos ? - a ÷ cos ? + a ÷ ; 4 è3 ? è3 ? A B C sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos ; 2 2 2 A B C cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin ; 2 2 2 2 2 2 sin A + sin B + sin C = 2 + 2 cos A cos B cos C ;
2 2 2

6) cos A + cos B + cos C = 1 - 2 cos A cos B cos C ;

A B C A B C + sin 2 + sin 2 = 1 - 2 sin sin sin ; 2 2 2 2 2 2 B C A B C 2 A 8) cos + cos 2 + cos 2 = 2 + 2 sin sin sin ; 2 2 2 2 2 2 9) tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C ;
7) sin
2

10) cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1 ;

A B C A B C + cot + cot = cot cot cot ; 2 2 2 2 2 2 A B B C C A 12) tan tan + tan tan + tan tan = 1 ; 2 2 2 2 2 2 b n -1 ? ? n ? ? 13) sin sin a + sin (a + b ) + L + sin (a + ( n - 1) b ) = sin ? a + b ÷ sin ? b ÷ 。 2 2 è ? è2 ?
11) cot

(

)

【例题讲解】 1. (2003,同济)已知 y =

sin q cos q , q ? [0, 2p ) ,求 y 的最小值及相应的 q 的值。 2 + sin q + cos q

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2. (2010,北大)是否存在 0 < x <

p ,使得 sin x, cos x, tan x, cot x 的某种排列为等差数列。 2

3. (2011,清华)求 sin 10 + sin 50 + sin 70 的值。
4 o 4 o 4 o

4. (2005,交大)是否存在三边为连续自然数的三角形,使得: (1)最大角是最小角的 2 倍; (2)最大角是最小角的 3 倍。 若存在,求出该三角形,若不存在,说明理由。

5. 给定曲线族 2(2sin q - cos q + 3) x 2 - (8sin q + cos q + 1) y = 0 ,q 为参数,求该曲线族在直 线 y = 2 x 上所截得的弦长的最大值。

6. 已知 x ? R ,试比较 f ( x) = cos ( cos x ) , g ( x ) = sin ( sin x ) 的大小。

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7. (2003,江苏)已知函数 f ( x) = sin ( w x + j )(w > 0, 0 ? j ? p ) 是 R 上的偶函数,其图像 关于点 M ? p , 0 ÷ 对称,且在区间 ? 0,

?3 è4

? ?

? p? ÷ 上是单调函数,求 w , j 的值。 è 2?

8. 已知 sin 2 2a + sin 2a cos a - cos 2a = 1, a ? ? 0,

? è

p? ÷ ,求 sin a , tan a 的值。 2?

9. (2000,CMO)已知 DABC 中, a ? b ? c , R, r 分别为外接圆和内切圆的半径。 令 f = a + b - 2 R - 2r ,试用角 C 的大小来判定 f 的符号。

10. 已知 q1 , q 2 , q 3 , q 4 ? R + ,且 q1 + q 2 + q3 + q 4 = p ,求

? ? 2sin
i =1

4

? è

2

qi +

1 sin 2 qi

? ÷ 的最小值。 ?

11. 已知 a, b, c > 0 ,证明:若 a 2 + b 2 + c 2 + abc = 4 ,则 a + b + c ? 3 。

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【巩固练习】 1. (2010,华约) y = cos x + sin x - cos x 的最大值为(
3 2



A.

28 27

B.

32 27

C.

4 3

D.

40 27

2. (2012,南开)实数 A, B, C 满足 A + B + C = p , cos A + cos B + cos C = 1 ,则 (1 - cos A )

? (1 - cos B ) ? (1 - cos C ) =______________。
3. 设 a ? 0 ,且函数 f ( x ) = ( a + cos x )( a + sin x ) 的最大值为
2 o 2 o o o

25 ,则 a = ___________ 。 2

4. cos 11 + sin 56 - 2 sin 79 cos 34 = ___________ 。 5. (2007,交大)设函数 f ( x ) =| sin x | + | cos x | ,试讨论 f ( x ) 的性态(有界性,奇偶性, 单调性,周期性等) ,求其极值,并作出其在 [0, 2p ] 的图像。

6. (2006,复旦)解三角方程: a sin( x +

p ) = sin 2 x + 9 , a 为一实常数。 4

7. (法国入学考)解方程 cos x - sin x = 1, n ? N + 。
n n

8. (2010,五校)在 DABC 中, 2 sin (1)求 C; (2)求 S DABC 的最大值。

2

A+ B - cos 2C = 1 ,外接圆半径 R = 2 。 2

9. (2012,北约)求使得 sin 4 x sin 2 x - sin x sin 3 x = a 在 [ 0, p ) 内有唯一解的 a 。

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