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2011届数学高考复习名师精品教案:第85课时:第十章 排列、组合和概率——二项式定理(2)

课时: 排列、组合和概率——二项式定理( ——二项式定理 第 85 课时:第十章 排列、组合和概率——二项式定理(2) 课题:二项式定理(2) 一.复习目标: 复习目标: 1.能利用二项式系数的性质求多项式系数的和与求一些组合数的和. 2.能熟练地逆向运用二项式定理求和. 3.能利用二项式定理求近似值,证明整除问题,证明不等式. 二.课前预习: 课前预习: 1. ( 2 + 3 )100 的展开式中无理项的个数是
( A) 84 ( B ) 85 (C ) 86
?1

3


( D ) 87

A



2.设 f ( x) = x 5 ? 5 x 4 + 10 x 3 ? 10 x 2 + 5 x + 1 ,则 f ( A) 1 + 5 x ( B) 1 ? 5 x ? 2

( x) 等于

( ( D) 1 ? 5 x

C



(C ) 1 + 5 x ? 2

1 2 n 0 1 2 n 3.如果 1 + 2C n + 2 2 C n + L + 2 n C n = 2187 ,则 C n + C n + C n + L + C n = 128.

1 1 1 2 1 1 n 4. 1 ? C n + C n ? L + (?1) n Cn = . 2 3 n +1 n +1

5. (3 x ? 2 y + z ) 9 展开式中含 x 2 y 3 z 4 的项为 ? 90720 x 2 y 3 z 4 . 6.若 (1 + 2 x)100 = a 0 + a1 ( x ? 1) + a 2 ( x ? 1) 2 + L + a100 ( x ? 1)100 , 则 a1 + a 3 + a5 + L + a 99 =
5100 ? 1 . 2

四.例题分析: 例题分析:
1 2 n 例 1.已知 {a n } 是等比数列,公比为 q ,设 S n = a1 + a 2 C n + a 3C n + L + a n+1C n (其

1 0 1 2 n 中 n > 2, n ∈ N + ),且 S n = C n + C n + C n + L + C n ,如果 lim

n →∞

Sn 存在,求公比 q 的 1 Sn

取值范围.
1 解:由题意 a n = a1 ? q n ?1 , S n = 2 n ,
1 2 n S n = a1 + a1qC n + a1 q 2 C n + L + a1 q n C n 1 2 n = a1 (1 + qC n + q 2 C n + L + q n C n ) = a1 (1 + q ) n

(q ≠ 0)



S S n a1 (1 + q ) n 1+ q n 1+ q 1+ q = = a1 ( ) .如果 lim n 存在,则 | |< 1 或 = 1, 1 n 1 n →∞ S 2 2 2 Sn 2 n

∴ ? 2 < 1 + q < 2 或 q = 1 ,故 ? 3 < q ≤ 1 且 q ≠ 0 .

例 2.(1)求多项式 (3 x 4 ? x 3 ? 2 x ? 3)102 ? (3 x ? 5) 4 ? (7 x 3 ? 5 x ? 1) 67 展开式各项系数 和. (2)多项式 x1000 ? x ? (? x 3 ? 2 x 2 + 2)1000 展开式中 x 的偶次幂各项系数和与 x 奇次 幂各项系数和各是多少? 解:(1)设 f ( x) = (3 x 4 ? x 3 ? 2 x ? 3)102 ? (3 x ? 5) 4 ? (7 x3 ? 5 x ? 1)67
= a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n (n ∈ N ) ,

其各项系数和为 a 0 + a1 + a 2 + L + a n . 又∵ f (1) = a0 + a1 + a2 + L + an = (3 ? 1 ? 2 ? 3)102 ? (3 ? 5) 4 ? (7 ? 5 ? 1)67 = 16 ? 3102 , ∴各项系数和为 16 ? 3102 . (2)设 f ( x) = x 1000 ? x ? (? x 3 ? 2 x 2 + 2)1000 = a 0 + a1 x + L + a 3001 x 3001 , ∴ f (1) = a 0 + a1 + a 2 + L + a 3001 = 0 , f (?1) = a 0 ? a1 + a 2 ? L ? a3001 = 2 , 故
a1 + a 3 + L + a 3001 = ?1 , a 0 + a 2 + L + a 3000 = 1 ,

∴ f (x) 展开式中 x 的偶次幂各项系数和为 1, x 奇次幂各项系数和为-1.

k 例 3.证明:(1) ∑ 2 k C n = 3 n (n ∈ N ) ; k =0

n

0 1 2 3 2n 2n (2) 2C 2 n + C 2 n + 2C 2 n + C 2 n + L + C 2 n ?1 + 2C 2 n = 3 ? 2 2 n ?1 (n ∈ N ) ;

1 1 2 n (3) 2 < (1 + ) n < 3(n ∈ N ) ;(4) C n ? 12 + C n ? 2 2 + L + C n ? n 2 = n(n + 1) ? 2 n ? 2 n

由(i)知

小结: 课后作业: 五.课后作业: 1 1.若 ( x 3 + 2 ) n 的展开式中只有第 6 项的系数最大,则不含 x 的项为( C ) x
( A) 462 ( B ) 252 (C ) 210 ( D ) 10

2.用 88 除 87 88 + 7 ,所得余数是
( A) 0 ( B) 1 (C ) 8 ( D ) 80





3.已知 2002 年 4 月 20 日是星期五,那么 10 90 天后的今天是星期



4. 某公司的股票今天的指数是 2, 以后每天的指数都比上一天的指数增加 0.02% ,

则 100 天后这家公司的股票指数约为 2.442(精确到 0.001). 5.已知 (3 ? 2 x) 5 = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 ,则 (1) a 2 + a 3 + a 4 + a 5 的值为 568;(2) | a1 | + | a 2 | + | a3 | + | a 4 | + | a5 |= 2882. 6.若 (ax + 1) 2 n 和 ( x + a ) 2 n +1 的展开式中含 x n 项的系数相等( n ∈ N * , a ≠ 0 ),
1 2 则 a 的取值范围为 ( , ] 2 3
0 1 2 3 n 7.求满足 C n + C n + 2C n + 3C n + L + nC n < 500 的最大整数 n .

原不等式化为 n·2n-1<499 7 7 10 ∵2 =128,∴n=8 时,8·2 =2 =1024>500. 当 n=7 时,7·26=7×64=448<449. 故所求的最大整数为 n=7.
0 1 2 n 2 8.求证: (C n ) 2 + (C n ) 2 + (C n ) 2 + L + (C n ) 2 = C 2 n
n n n 证明 由(1+x) ·(1+x) =(1+x)2 ,两边展开得:

比较等式两边 xn 的系数,它们应当相等,所以有:

9.已知(1+3x)n 的展开式中,末三项的二项式系数的和等于 121,求展开式中 系数最大的项.

∴ n=15 或 n=-16(舍)

设第 r+1 项与第 r 项的系数分别为 tr+1,tr

∴tr+1≥tr 则可得 3(15-r+1)>r 解得 r≤12 ∴当 r 取小于 12 的自然数时,都有 tr<tr+1 当 r=12 时,tr+1=tr


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