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吉林省东北师范大学附属中学2016届高三数学第一轮复习 指数与指数函数教案 文


指数与指数函数 一、知识梳理:
1、分数指数幂与无理指数幂 (1) 、如果,那么 x 就叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1,且;当 n 是正奇数时,正数的 n 次方 根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两 个是互为相反数,负数没有偶次方程,0 的任何次方根都是 0 (2)、叫根式,n 叫根指数,a 叫被方数。 在有意义的前提下,=,当 n 为奇数时,=a ;当 n 是偶数时, =| a | (3) 、规定正数的正分数指数幂的意义是= (a>0,m,n1) ,正数的负分数指数幂的意义为= (a>0,m,n1) ,0 的正分数指数幂是 0,0 的负分数指数幂没有意义。 (4) 、一般地,无理数指数幂 (a>0,k 是无理数) ,是一个确定的实数。 2、指数幂的运算性质 = (a>0,r,s) = = 3、指数数函数及性质 (1)指数函数的定义:

(2) 、指数函数的图象及性质 图象的性质主要指①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线 图象分 a1 与 a<1 两种情况。

指数函数不具有奇偶性与周期性,从而,指数函数最为重要的性质是单调性,对单调性的考 查,一方面是利用自变量的大小比较函数值的大小 ,反映在题目上就上比较大小,另一方 面是利用函数值的大小比较自变量的大小 ,反映在题目上就是解不等式。 二、题型探究 [探究一]、根式、指数幂的运算 例 1:计算: 3 27 25 0 -( π ) - ; 4 8 1.5 -1.5 -5 0.5 0.5 3 (2).a ·a ·(a ) ·(a ) (a>0). 5 3 1 解析:(1)原式=0.5+ -1- = . 2 2 2 1 1.5-1.5-2.5+1.5 -1 (2)原式=a =a = . 4 (1). 0.062 5+

a

1

[探究二]、利用指数函数的单调性比较大小 例 2:已知,试用“<”或“>”填入下列空格: ; ( ; ( ; ; ( ( [探究三]、利用指数函数的单调性解方程不等式问题 例 3:解关于 x 的不等式

[探究四]、考察指数函数的图象的变换 例 4:已知函数 存在实数 a, b(a<b) ,满足, 的取值范围。

三、方法提升: 1、指数函数是种重要的基本初等函数,因为它在定义域内只是单调增函数(1)或者是单调 减函数(),所以涉及指数函数的单调性问题比较简单,在高考中,通常考查指数函数与二 次函数的复合函数,指数函数与其它函数进行各种运算后的函数等,多与导数结合,主要考 察函数的单调性; 2、本节复习的内容多数都是在小题中考察的,比如指数幂、指数值的比较大小问题、函数 图象的应用问题。 四、反思感悟:

五、课时作业:指数与指数函数同步练习 一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1、化简 ?1 ? 2

? ?

?

1 32

1 1 1 1 ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? 16 8 4 2 1 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 ?? ?? ?? ?? ? ,结果是( ?? ? ?? ?? ??
1 ? ? ? B、 ?1 ? 2 32 ? ? ? ?1



1 ? ? 1? A、 ?1 ? 2 32 ? 2? ?

?1

C、 1 ? 2

?

1 32

D、

1 ? ? 1? 32 1 ? 2 ? ? 2? ?

? 3 6 a9 ? ? 6 3 a9 ? 等于( 2、 ? ? ? ? ? ? ? ?
A、 a
16

4

4


4 2

B、 a
b

8

C、 a
?b

D、 a

3、若 a ? 1, b ? 0 ,且 a ? a A、 6 B、 ?2

? 2 2 ,则 ab ? a ?b 的值等于(
C、 ?2 D、2



2

4、函数 f ( x) ? a ? 1 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(
2

?

?

x



A、 a ? 1

B、 a ? 2

C、 a ?

2
)

D、 1 ? a ? 2

5、下列函数式中,满足 f ( x ? 1) ?

1 f ( x ) 的是( 2
C、 2
x

A、

1 ( x ? 1) 2

B、 x ?

1 4

D、 2

?x

6、下列 f ( x) ? (1 ? a x )2 ? a ? x 是( A、奇函数 B、偶函数

) C、非奇非偶函数
2 2

D、既奇且偶函数
1 1 1 1 ? ;(4) a 3 ? b 3 ; a b

a b 7、已知 a ? b, ab ? 0 ,下列不等式(1) a ? b ;(2) 2 ? 2 ;(3)

?1? ?1? (5) ? ? ? ? ? 中恒成立的有( ? 3? ? 3?
A、1 个 8、函数 y ? A、奇函数 9、函数 y ? A、 ? ??,1? B、2 个

a

b

) C、3 个 D、4 个

2x ? 1 是( 2x ? 1

) C、既奇又偶函数 ) C、 ? ?1, ?? ?
x

B、偶函数

D、非奇非偶函数

1 的值域是( 2 ?1
x

B、 ? ??,0? ? ? 0, ???

D、 (??, ?1) ? ? 0, ??? )

10、已知 0 ? a ? 1, b ? ?1 ,则函数 y ? a ? b 的图像必定不经过( A、第一象限 11、 F ( x) ? ?1 ? B、第二象限 C、第三象限

D、第四象限 )

? ?

2 ? ? ? f ( x)( x ? 0) 是偶函数,且 f ( x) 不恒等于零,则 f ( x) ( 2 ?1 ?
x

A、是奇函数 B、可能是奇函数,也可能是偶函数 C、是偶函数 D、不是奇函数,也不是偶函数 12、一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b % ,则 n 年后这批设备 的价值为( ) A、 na(1 ? b%) B、 a(1 ? nb%) C、 a[1 ? (b%) ]
n

D、 a(1 ? b%)

n

二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请把答案填写在答题纸上) 13、若 10 ? 3,10 ? 4 ,则 10
x y

x? y

?



3

?1? 14、函数 y ? ? ? ? 3?

?2 x2 ?8 x ?1

(?3 ≤ x ≤1) 的值域是
2



15、函数 y ? 32?3x 的单调递减区间是 16、若 f (52 x?1 ) ? x ? 2 ,则 f (125) ?

。 。

三、解答题: (本题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17、设 0 ? a ? 1 ,解关于 x 的不等式 a2 x
2

?3 x ? 2

? a2 x

2

? 2 x ?3



18、已知 x ?? ?3, 2? ,求 f ( x) ?

1 1 ? ? 1 的最小值与最大值。 4x 2x

a ? 2x ? a ? 2 ( x ? R) ,试确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数。 19、设 a ? R , f ( x) ? 2x ? 1

?1? 20、已知函数 y ? ? ? ? 3?

x 2 ? 2 x ?5

,求其单调区间及值域。

21、若函数的值域为 ?1,7? ,试确定 x 的取值范围。

22、已知函数 f ( x) ?

a x ?1 (a ? 1) , ax ?1

(1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明 f ( x) 是 R 上的增函数。 指数与指数函数同步练习参考答案 一、选择题
4

题号 答案 二、填空题

1 A

2 C

3 C

4 D

5 D

6 B

7 C

8 A

9 D

10 A

11 A

12 D

3 13 、 4

?? 1 ?9 9 ? 14 、 ?? ? , 3 ? , 令 U ? ?2 x2 ? 8x ? 1 ? ?2( x ? 2)2 ? 9 , ∵ ?? 3 ? ? ? ?
U

1? ?1? 9 ?3 ≤ x ≤1,??9 ≤ U ≤ 9 ,又∵ y ? ? ? ? 为减函数,∴ ? ? ≤ y ≤ 3 。 ? 3? ? 3?
15、 ? 0, ?? ? ,令 y ? 3U ,U ? 2 ? 3x 2 , ∵ y ? 3U 为增函数,∴ y ? 32?3x 的单调递减区间
2

9

为 ? 0, ?? ? 。 16、 0, f (125) ? f (53 ) ? f (52?2?1 ) ? 2 ? 2 ? 0 三、解答题 17 、 ∵ 0 ? a ? 1 , ∴

y ? a x 在 ? ??, ??? 上 为 减 函 数 , ∵ a2 x

2

?3 x ? 2

? a2 x

2

? 2 x ?3

, ∴

2 x 2 ? 3x ? 2 ? 2 x 2 ? 2 x ? 3 ? x ? 1
18、 f ( x) ?

1 1 1? 3 ? ? x ? 1 ? 4? x ? 2? x ? 1 ? 2?2 x ? 2? x ? 1 ? ? 2? x ? ? ? , x 4 2 2? 4 ?
1 ≤ 2? x ≤ 8 . 4

2

∵ x ?? ?3, 2? , ∴

则当 2

?x

?

1 3 ?x ,即 x ? 1 时, f ( x) 有最小值 ;当 2 ? 8 ,即 x ? ?3 时, f ( x) 有最大值 57。 4 2

19、要使 f ( x) 为奇函数,∵ x ? R ,∴需 f ( x) ? f (? x) ? 0 , ∴ f ( x) ? a ?

2 2 2 x ?1 , f ( ? x ) ? a ? ? a ? ,由 2x ? 1 2? x ? 1 2x ? 1

a?

2 2 x ?1 2(2 x ? 1) 2 a ? ? 0 ,? a ? 1 。 ? a ? ? 0 , 得 2x ? 1 2x ? 1 2x ? 1
U

?1? 2 20、 令 y ? ? ? , U ? x ? 2x ? 5 , 则 y 是关于 U 的减函数, 而 U 是 ? ??, ?1? 上的减函数, ? 3?

?1? ∴ y ?? ? ? ?1, ??? 上的增函数, ? 3?

x 2 ? 2 x ?5

在 ? ??, ?1? 上是增函数, 而在 ? ?1, ?? ? 上是减函数,

5

?1? 又∵ U ? x ? 2x ? 5 ? ( x ? 1) ? 4 ≥ 4 , ∴ y ? ? ? ? 3?
2 2

x 2 ? 2 x ?5

的值域为 ? 0, ? ? ? 。 ?

? ? 1 ?4 ? ? ?3? ? ?

21、 y ? 4x ? 3 ? 2x ? 3 ? 22 x ? 3 ? 2x ? 3 ,依题意有
x 2 x x ? ?(2 ) ? 3 ? 2 ? 3 ≤ 7 ? ??1 ≤ 2 ≤ 4 即? x ,∴ 2 ≤ 2x ≤ 4或0 ? 2x ≤1, ? x 2 x x ? ?(2 ) ? 3 ? 2 ? 3 ≥ 1 ? ?2 ≥ 2或2 ≤ 1

由函数 y ? 2x 的单调性可得 x ? (??,0] ? [1, 2] 。 22、 (1)∵定义域为 x ? R ,且 f (? x) ?

a? x ?1 1 ? a x ? ? ? f ( x),? f ( x) 是奇函数; a? x ? 1 1 ? a x

(2) f ( x) ?

ax ?1? 2 2 2 ? 1? x ,∵a x ? 1 ? 1,? 0 ? x ? 2, 即 f ( x) 的值域为 ? ?1,1? ; x a ?1 a ?1 a ?1

(3)设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

a x1 ? 1 a x2 ? 1 2a x1 ? 2a x2 ? ? ? 0 (∵分母大于零,且 a x1 ? a x2 ) ∴ x1 x2 x1 x2 a ? 1 a ? 1 (a ? 1)(a ? 1)

f ( x) 是 R 上的增函数。

6


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