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河南省濮阳市2016-2017学年高一数学下学期期末试卷(含解析)


2016-2017 学年河南省濮阳市 高一(下)期末数学试卷(A 卷)

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={x|x>2},B={x|1<x<3},则 A∩B=( A. {x|x>2} <3} B. {x|x>1} ) D. {x|1<x

C. {x|2<x<3}

2.已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 cosα=( A. B. C. ﹣

) D. ﹣

3. 某单位有职工 750 人, 其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样 本中的中年职工为 5 人,则样本容量为( A. 7 B. 15 ) C. 25 D. 35

4.回归直线方程的系数 a,b 的最小二乘法估计中,使函数 Q(a,b)最小,Q 函数指( A. ) (yi﹣a﹣bxi)2 B. |yi﹣a﹣bxi|

C. (y1﹣a﹣bx1)2

D. |y1﹣a﹣bx1|

5.已知向量 =(2,4) , =(﹣1,1) ,则 2 ﹣ =( A. (5,7) B. (5,9) C. (3,7)

) D. (3,9)

1

6.从五件正品,一件次品中随机取出两件,则取出的两件产品中恰好是一件正 品,一件次品的概率是( A. 1 B. ) C. D.

7.设函数 f(x) ,g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函 数,则下列结论中正确的是( A. f(x)g(x)是偶函数 C. f(x)|g(x)|是奇函数 ) B. |f(x)|g(x)是奇函数 D. |f(x)g(x)|是奇函数

8.已知直线 l 过点(﹣2,0) ,当直线 l 与圆 x2+y2=2x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范围是( A. C. D. ) B.

9.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(



A. 1

B. 3

C. 7

D. 15

10.若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的 是( )

2

A.

B.

C.

D.

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



A. 54

B. 60

C. 66

D. 72

12.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2﹣3x,则函数 g (x)=f(x)﹣x+3 的零点的集合为( A. {1,3} ﹣ ,1,3} ) ,1,3} D. {﹣2

B. {﹣3,﹣1,1,3} C. {2﹣

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
3

13.在正方形内有一扇形(见阴影部分) ,点 P 随意等可能落在正方形内,则这 点落在扇形外且在正方形内的概率为 .

14.用辗转相除法求得 459 和 357 的最大公约数是



15.方程 sinx+

cosx=1 在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于



16.已知单位向量 ﹣



的夹角为 α,且 cosα= ,向量 =3 .

﹣2

与 =3

的夹角为 β,则 cosβ=

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.为了了解初三学生女生身高情况,某中学对初三女生身高进行了一次测量, 所得数据整理后列出了频率分布表如下: 组 别 频数 1 4 20 15 8 m M 频率 0.02 0.08 0.40 0.30 0.16 n N

[145.5,149.5) [149.5,153.5) [153.5,157.5) [157.5,161.5) [161.5,165.5) [165.5,169.5) 合 计

(1)求出表中 m,n,M,N 所表示的数; (2)画出频率分布直方图.

4

18.已知 A(2,0) ,B(0,2) ,C(cosα,sinα) (0<α<π) . (1)若| (2)若 + ⊥ |= (O 为坐标原点) ,求 与 的夹角;

,求 tanα 的值.

19.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,点 P 为 DD1 的中点 (1)求证:直线 BD1∥平面 PAC (2)求证:直线 PB1⊥平面 PAC.

20.已知函数 f(x)=sin(3x+ (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 α 是第二象限角,f( 的值.

) .

)= cos(α+

)cos2α,求 cosα﹣sinα

5

21.掷甲、乙两颗骰子,甲出现的点数为 x,乙出现的点数为 y,若令 P(A)为 |x﹣y|>1 的概率,P(B)为 y 的概率,试求 P(A)+P(B)的值.

22.如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区, 规划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆,且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m,经测量, 点 A 位于点 O 正北方向 60m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸) , tan∠BCO= . (1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?

6

2016-2017 学年河南省濮阳市高一(下)期末数学试卷(A 卷) 参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={x|x>2},B={x|1<x<3},则 A∩B=( A. {x|x>2} <3} B. {x|x>1} ) D. {x|1<x

C. {x|2<x<3}

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接利用交集运算求得答案. 解答: 解:∵A={x|x>2},B={x|1<x<3}, ∴A∩B={x|x>2}∩{x|1<x<3}={x|2<x<3}.

故选:C. 点评: 本题考查交集及其运算,是基础的计算题.

2.已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 cosα=( A. B. C. ﹣

) D. ﹣

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cosα 的值. 解答: 解:∵角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,∴x=﹣4,y=3,r= ∴cosα= = =﹣ ,
7

=5.

故选:D. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属 于基础题.

3. 某单位有职工 750 人, 其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样 本中的中年职工为 5 人,则样本容量为( A. 7 B. 15 ) C. 25 D. 35

考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 利用分层抽样知识求解. 解答: 解:设样本容量为 n,由题意知: , 解得 n=15. 故选:B. 点评: 本题考查样本容量的求法,是基础题,解题时要注意分层抽样知识的合 理运用.

4.回归直线方程的系数 a,b 的最小二乘法估计中,使函数 Q(a,b)最小,Q 函数指( A. ) (yi﹣a﹣bxi)
2

B.

|yi﹣a﹣bxi|

C. (y1﹣a﹣bx1)2

D. |y1﹣a﹣bx1|

考点: 线性回归方程. 专题: 规律型;概率与统计.

8

分析: Q (a, b) 是指所求的回归直线方程在 x1, ?xn 各点的值与真实值 y1, ?yn 的误差的平方和,可得结论. 解答: 解:Q(a,b)是指所求的回归直线方程在 x1,?xn 各点的值与真实值 y1,?yn 的误差的平方和, 即 Q(a,b)﹣ 故选:A. 点评: 本题考查回归直线方程,考查基本概念,比较基础. (yi﹣a﹣bxi)2,

5.已知向量 =(2,4) , =(﹣1,1) ,则 2 ﹣ =( A. (5,7) B. (5,9) C. (3,7)

) D. (3,9)

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案. 解答: 解:由 =(2,4) , =(﹣1,1) ,得: 2 ﹣ =2(2,4)﹣(﹣1,1)=(4,8)﹣(﹣1,1)=(5,7) . 故选:A. 点评: 本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算,是基础的计算题.

6.从五件正品,一件次品中随机取出两件,则取出的两件产品中恰好是一件正 品,一件次品的概率是( A. 1 B. ) C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题.

9

分析: 根据已知中五件正品,一件次品,我们易得共有 6 件产品,由此我们先 计算出从中任取出两件产品的事件个数,及满足条件“恰好是一件正品,一件 次品”的基本事件个数,然后代入古典概型概率公式,可求出答案. 解答: 解:由于产品中共有 5 件正品,一件次品,故共有 6 件产品 从中取出两件产品共有:C62= =15 种

其中恰好是一件正品,一件次品的情况共有:C51=5 种 故出的两件产品中恰好是一件正品,一件次品的概率 P= 故选 C 点评: 本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式,计算出满足条件的基 本事件总数及其满足条件的基本事件个数是解答此类题型的关键. =

7.设函数 f(x) ,g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函 数,则下列结论中正确的是( A. f(x)g(x)是偶函数 C. f(x)|g(x)|是奇函数 ) B. |f(x)|g(x)是奇函数 D. |f(x)g(x)|是奇函数

考点: 函数奇偶性的判断;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得,|f(x)|为偶函数,|g(x)|为偶函数.再根据两个奇函 数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积 是奇函数,从而得出结论. 解答: 解:∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, ∴|f(x)|为偶函数,|g(x)|为偶函数. 再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与 一个偶函数的积是奇函数, 可得 f(x)|g(x)|为奇函数, 故选:C.

10

点评: 本题主要考查函数的奇偶性, 注意利用函数的奇偶性规律, 属于基础题.

8.已知直线 l 过点(﹣2,0) ,当直线 l 与圆 x2+y2=2x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范围是( A. C. D. ) B.

考点: 直线与圆的位置关系;直线的斜率. 分析: 圆心到直线的距离小于半径即可求出 k 的范围. 解答: 解:直线 l 为 kx﹣y+2k=0,又直线 l 与圆 x2+y2=2x 有两个交点 故 故选 C. 点评: 本题考查直线的斜率,直线与圆的位置关系,是基础题. ∴

9.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(



A. 1

B. 3

C. 7

D. 15

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图.

11

分析: 算法的功能是求 S=1+21+22+?+2k 的值,根据条件确定跳出循环的 k 值, 计算输出的 S 值. 解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 S=1+21+22+?+2k 的值, ∵跳出循环的 k 值为 3, ∴输出 S=1+2+4=7. 故选:C. 点评: 本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能 是解题的关键.

10.若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的 是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 a=3,由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可. 解答: 解:由题意可知图象过(3,1) ,
12

故有 1=loga3,解得 a=3, 选项 A,y=a﹣x=3﹣x=( )x 单调递减,故错误; 选项 B,y=x3,由幂函数的知识可知正确; 选项 C,y=(﹣x)3=﹣x3,其图象应与 B 关于 x 轴对称,故错误; 选项 D,y=loga(﹣x)=log3(﹣x) ,当 x=﹣3 时,y=1, 但图象明显当 x=﹣3 时,y=﹣1,故错误. 故选:B. 点评: 本题考查对数函数的图象和性质,涉及幂函数的图象,属基础题.

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



A. 54

B. 60

C. 66

D. 72

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥,根据三视图判断各面的形状及 相关几何量的数据,把数据代入面积公式计算. 解答: 解:由三视图知:几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥,如图: 三棱柱的高为 5,消去的三棱锥的高为 3, 三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为 3 和 4 的等腰直角三角形, ∵AB⊥平面 BEFC,∴AB⊥BC,BC=5,FC=2,AD=BE=5,DF=5 ∴几何体的表面积 S= ×3×4+ ×3×5+ (5+2)×4+ (5+2)×5+3×5=60. 故选:B.

13

点评: 本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状 及数据所对应的几何量是解题的关键.

12.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2﹣3x,则函数 g (x)=f(x)﹣x+3 的零点的集合为( A. {1,3} ﹣ ,1,3} ) ,1,3} D. {﹣2

B. {﹣3,﹣1,1,3} C. {2﹣

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先根据 f(x)是定义在 R 上的奇函数,求出函数在 R 上的解析式,再 求出 g(x)的解析式,根据函数零点就是方程的解,问题得以解决. 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2﹣3x, 令 x<0,则﹣x>0, ∴f(﹣x)=x2+3x=﹣f(x) ∴f(x)=﹣x2﹣3x, ∴ ∵g(x)=f(x)﹣x+3 ∴g(x)= 令 g(x)=0,

14

当 x≥0 时,x2﹣4x+3=0,解得 x=1,或 x=3, 当 x<0 时,﹣x2﹣4x+3=0,解得 x=﹣2﹣ , ,1,3}

∴函数 g(x)=f(x)﹣x+3 的零点的集合为{﹣2﹣ 故选:D.

点评: 本题考查函数的奇偶性及其应用,考查函数的零点,函数方程思想.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.在正方形内有一扇形(见阴影部分) ,点 P 随意等可能落在正方形内,则这 点落在扇形外且在正方形内的概率为 .

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 确定正方形、扇形的面积,结合几何概型的计算公式即可求得点落在扇 形外且在正方形内的概率. 解答: 解:令正方形的边长为 a,则 S 正方形=a2, 则扇形所在圆的半径也为 a,则 S 扇形= πa2 则黄豆落在阴影区域内的概率 P=1﹣ 故答案为: . = .

点评: 本题主要考查扇形面积公式、 几何概型等基础知识, 考查运算求解能力, 考查数形结合思想.解题的关键是要求出阴影部分的面积及正方形的面积,属 于基础题.

14.用辗转相除法求得 459 和 357 的最大公约数是

51



15

考点: 辗转相除法. 专题: 计算题. 分析: 用大数除以小数,得到商和余数,再用上面的除数除以余数,又可以得 到商和余数,继续做下去,知道刚好能够整除为止,得到两个数的最大公约数. 解答: 解:∵459÷357=1?102, 357÷102=3?51, 102÷51=2, ∴459 和 357 的最大公约数是 51, 故答案为:51 点评: 本题考查辗转相除法,这是一个算法案例,还有一个求最大公约数的方 法是更相减损法,这种题目出现的比较少,但是要掌握题目的解法.

15.方程 sinx+

cosx=1 在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于



考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由三角函数公式可得 sin(x+ x+ =2kπ+ )= ,可知 x+ =2kπ+ ,或

,k∈Z,结合 x∈[0,2π],可得 x 值,求和即可. cosx=1,

解答: 解:∵sinx+ ∴ sinx+ 即 sin(x+ 可知 x+ cosx= , )= ,

=2kπ+

,或 x+

=2kπ+

,k∈Z,

又∵x∈[0,2π], ∴x= ∴ + ,或 x= = ,

16

故答案为:



点评: 本题考查两角和与差的三角函数公式,属基础题.

16.已知单位向量 ﹣



的夹角为 α,且 cosα= ,向量 =3 .

﹣2

与 =3

的夹角为 β,则 cosβ=

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 转化向量为平面直角坐标系中的向量,通过向量的数量积求出所求向量 的夹角. 解答: 解:单位向量 = =3 ﹣2 =( , ) , =3 ﹣ =( ) , 与 的夹角为 α,且 cosα= ,不妨 =(1,0) ,

∴cosβ=

=

=



故答案为:



点评: 本题考查向量的数量积,两个向量的夹角的求法,考查计算能力.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.为了了解初三学生女生身高情况,某中学对初三女生身高进行了一次测量, 所得数据整理后列出了频率分布表如下: 组 别 频数 1 4 20
17

频率 0.02 0.08 0.40

[145.5,149.5) [149.5,153.5) [153.5,157.5)

[157.5,161.5) [161.5,165.5) [165.5,169.5) 合 计

15 8 m M

0.30 0.16 n N

(1)求出表中 m,n,M,N 所表示的数; (2)画出频率分布直方图.

考点: 频率分布直方图;频率分布表. 专题: 计算题;应用题. 分析: (1)由[145.5,149.5)组内频数是 1,频率是 0.02,求出频数 M;各 组频数之和等于 M,求出 m,继而求得 n,显然 N=1 (2)根据样本的频率分布表,计算出每组的纵坐标= 图. 解答: 解: (1)由[145.5,149.5)组内频数是 1,频率是 0.02,则 M= 各组频数之和等于 M,所以 m=50﹣(1+4+20+15+8)=2, n= =0.04, =50, ,画出频率分布直方

各组频率之和 N=1

18

(2)根据样本的频率分布表,计算出每组的纵坐标= 图.

,画出频率分布直方

点评: 本题主要考查频率分布直方图和表,还考查同学们通过已知数据作出频 数直方图、表的能力.属于基础题.

18.已知 A(2,0) ,B(0,2) ,C(cosα,sinα) (0<α<π) . (1)若| (2)若 + ⊥ |= (O 为坐标原点) ,求 与 的夹角;

,求 tanα 的值.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1) 由
2

= (2+cosα, sinα) , 利用向量模的计算公式可得 (2+cosα) ,又 0<α<π,即可解得 α.设 与 的

+sin2α=7,化简整理可得

夹角为 θ,θ∈[0,π].利用向量夹角公式即可得出. (2) 即可. 解答: 解: (1)由 =(2+cosα,sinα) ,| + |= , ,可得 =0,cosα+sinα= ,又 sin2α+cos2α=1,联立解得

∴(2+cosα)2+sin2α=7,

19

∴4+4cosα+cos2α+sin2α=7, 化为 , . 与 , . =(cosα,sinα﹣2) . 的夹角为 θ,θ∈[0,π].

又 0<α<π,解得 ∴ = ,设 = 与

则 cosθ= ∴ (2)∵ ∵ ∴ ⊥ .即

的夹角为

=(cosα﹣2,sinα) , ,

=cosα(cosα﹣2)+sinα(sinα﹣2)=1﹣2cosα﹣2sinα=0,

∴cosα+sinα= , 又 sin2α+cos2α=1, ∵0<α<π, 联立解得 ∴ = , =﹣ . .

点评: 本题考查了向量模的计算公式、向量夹角公式、向量垂直与数量积的关 系、同角三角函数基本关系式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

19.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,点 P 为 DD1 的中点 (1)求证:直线 BD1∥平面 PAC (2)求证:直线 PB1⊥平面 PAC.

20

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)直接利用三角形的中位线,得到线线平行,进一步利用线面平行 的判定定理得到结论. (2)利用线面垂直的判定和性质定理和勾股定理得逆定理得到线线垂直,进一 步利用线面垂直的判定得到结论. 解答: 证明: (1)长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,点 P 为 DD1 的中 点 连接 AC 和 BD,相较于 O,连接 OP, 所以:OP∥BD1 BD1?平面 PAC,OP? 平面 PAC 所以:直线 BD1∥平面 PAC (2)连接 OB1,由于四边形 ABCD 是正方形,所以 AC⊥BD BB1⊥平面 ABCD 所以:AC⊥平面 BB1D1D 则:AC⊥PB1 由于: 所以:PB1⊥OP 直线 PB1⊥平面 PAC

点评: 本题考查的知识要点: 线面平行的判定, 线面垂直的判定和性质的应用, 属于基础题型.

21

20.已知函数 f(x)=sin(3x+ (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 α 是第二象限角,f( 的值.

) .

)= cos(α+

)cos2α,求 cosα﹣sinα

考点: 两角和与差的余弦函数;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)令 2kπ﹣ 的增区间. (2)由函数的解析式可得 f( cos2α,可得 sin(α+
2

≤3x+

≤2kπ+

,k∈z,求得 x 的范围,可得函数

)=sin(α+

) ,又 f(

)= cos(α+



)= cos(α+

)cos2α,化简可得 (cosα﹣sinα)

= .再由 α 是第二象限角,cosα﹣sinα<0,从而求得 cosα﹣sinα 的值. ) ,令 2kπ﹣ ≤3x+ ≤2kπ+ ,

解答: 解: (1)∵函数 f(x)=sin(3x+ k∈Z, 求得 ﹣ ≤x≤ +

, 故函数的增区间为[ )=sin(α+





+

], k∈Z. )

(2)由函数的解析式可得 f( cos2α, ∴sin(α+ ﹣sin2α) , ∴sinαcos +cosαsin ) = cos(α+

) ,又 f(

)= cos(α+

)cos2α,即 sin(α+

)= cos(α+

) (cos2α

= (cosαcos

﹣sinαsin

) (cosα﹣sinα)

(cosα+sinα) 即 (sinα+cosα)= ?(cosα﹣sinα)2(cosα+sinα) , 又∵α 是第二象限角,∴cosα﹣sinα<0, 当 sinα+cosα=0 时,此时 cosα﹣sinα=﹣ .

22

当 sinα+cosα≠0 时,此时 cosα﹣sinα=﹣ 综上所述:cosα﹣sinα=﹣ 或﹣ .



点评: 本题主要考查正弦函数的单调性,三角函数的恒等变换,体现了分类讨 论的数学思想,属于中档题.

21.掷甲、乙两颗骰子,甲出现的点数为 x,乙出现的点数为 y,若令 P(A)为 |x﹣y|>1 的概率,P(B)为 y 的概率,试求 P(A)+P(B)的值.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 根据题意,用(x,y)表示同时投掷两枚骰子可能出现的点数情况,列 举可得全部情况,由等可能事件的概率公式,计算可得答案. 解答: 解:同时投掷两枚骰子,用(x,y)表示出现的点数情况, 有(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) , (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) , 共有 36 种情况, 事件 A“|x﹣y|>1”所包含的基本事件有 20 种, 满足 y , ,

则当 x=1 时,y=1,2, 当 x=2 时,y=1,2, 当 x=3 时,y=1,2,3 当 x=4 时,y=1,2,3,4

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当 x=5 时,y=1,2,3,4,5 当 x=6 时,y=1,2,3,4,5,6,共有 2+2+3+4+5+6=22, 则. 则 点评: 本题考查等可能事件的概率,利用列举法是解决古典概型的概率的基本 方法,关键是正确列举同时投掷两枚骰子所得点数的全部情况. ,

22.如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区, 规划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆,且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m,经测量, 点 A 位于点 O 正北方向 60m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸) , tan∠BCO= . (1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?

考点: 圆的切线方程;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)在四边形 AOCB 中,过 B 作 BE⊥OC 于 E,过 A 作 AF⊥BE 于 F,设 出 AF,然后通过解直角三角形列式求解 BE,进一步得到 CE,然后由勾股定理得 答案;
24

(2)设 BC 与⊙M 切于 Q,延长 QM、CO 交于 P,设 OM=xm,把 PC、PQ 用含有 x 的代数式表示,再结合古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m 列式求得 x 的范围,得到 x 取最小值时圆的半径最大,即圆形保护区的面积最 大. 解答: 解: (1)如图,

过 B 作 BE⊥OC 于 E,过 A 作 AF⊥BE 于 F, ∵∠ABC=90°,∠BEC=90°, ∴∠ABF=∠BCE, ∴ .

设 AF=4x(m) ,则 BF=3x(m) . ∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°, ∴OE=AF=4x(m) ,EF=AO=60(m) , ∴BE=(3x+60)m. ∵ ∴CE= ∴ ∴ 解得:x=20. ∴BE=120m,CE=90m, 则 BC=150m; (2)如图, , , (m) . (m) .

25

设 BC 与⊙M 切于 Q,延长 QM、CO 交于 P, ∵∠POM=∠PQC=90°, ∴∠PMO=∠BCO. 设 OM=xm,则 OP= ∴PC= 设⊙M 半径为 R, ∴R=MQ= m= m. m,PM= m,PQ= m. m.

∵A、O 到⊙M 上任一点距离不少于 80m, 则 R﹣AM≥80,R﹣OM≥80, ∴136﹣ ﹣(60﹣x)≥80,136﹣ ﹣x≥80.

解得:10≤x≤35. ∴当且仅当 x=10 时 R 取到最大值. ∴OM=10m 时,保护区面积最大. 点评: 本题考查圆的切线,考查了直线与圆的位置关系,解答的关键在于对题 意的理解,是中档题.

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