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高一数学培优拔高讲义第一讲


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培优拔高讲义

第一讲 集合

【知识方法导航】 知识方法导航】 1.元素与集合:集合的含义;元素的特征;集合的表示方法;常见数集的表示;元素与集合的关系;集合的分类。 1.元素与集合:集合的含义;元素的特征;集合的表示方法;常见数集的表示;元素与集合的关系;集合的分类。 元素与集合 2.集合的基本关系和基本运算:子集;集合相等;真子集;交集与并集;全集与补集。 2.集合的基本关系和基本运算:子集;集合相等;真子集;交集与并集;全集与补集。 集合的基本关系和基本运算 3.集合的性质:子集性质;交集性质;并集性质;补集性质;有限子集的相关性质。 3.集合的性质:子集性质;交集性质;并集性质;补集性质;有限子集的相关性质。 集合的性质 4.简单的不等式:一元一次不等式;简单的绝对值不等式;简单的一元二次不等式; 4.简单的不等式:一元一次不等式;简单的绝对值不等式;简单的一元二次不等式;简单的分式不等式 简单的不等式 5.一元二次方程:根与系数关系;配方法;简单的二次方程根的分布。 5.一元二次方程:根与系数关系;配方法;简单的二次方程根的分布。 一元二次方程 【题型策略导航】 题型策略导航】 1.若集合 是单元素集合, 1.若集合 A = {x | ax + 2 x + 1 = 0} 是单元素集合,则 a =
2



2 中至多一个元素, 变式: 变式:已知集合 A = {x | ax ? 3 x + 2 = 0, a ∈ R} 中至多一个元素,则 a 的取值集合是



6 ∈ N} = 6? x 8 变式: A = {x ∈ Z | 变式: ∈ Z} = 6? x
2.集合 2.集合 A = {x ∈ N |
2

。 (用列举法表示) 用列举法表示)

(用列举法表示) 用列举法表示)

3.集合 的非空真子集的个数是( 3.集合 A = { y ∈ N | y = ? x + 6, x ∈ N } 的非空真子集的个数是(



A. 6

B. 7

C. 8

D. 9


变式:1.若 变式:1.若 A ? {0,1, 2,3, 4} I {0, 2, 4,8} ,则集合 A 的个数为

2.若 的非空真子集的个数为( 2.若集合 A = {( x, y ) | 2 x + y = 5, x ∈ N , y ∈ N } ,则 A 的非空真子集的个数为( )

A.



B.



C.



D. 7


3.若 3.若 {2, 4,10} ? M ? {2, 4, 6,8,10,12} ,则集合 M 的个数为

4.已知全集 4.已知全集 U = {x ∈ N + | x ≤ 8} , A I B = {2,8}, A U B = {1, 2,3, 4, 5, 6, 7,8} ,则 A = 变式: 变式:已知全集 U = {x | x ≤ 4} ,集合 A = {x | ?2 < x < 3} ,集合 B = {x | ?3 < x ≤ 3} , 求①、 A , ②、 A I B , ③、 A I B , 。 ④、 A I B , ⑤、 A U B 。



5.若 {1, a + 2} ? {1,3, ? a 2 } ,则 a = 若

2 2 变式:1.已知集合 的取值范围。 变式:1.已知集合 P = {x | x ? 5 x + 4 ≤ 0} , Q = {x | x ? (b + 2) x + 2b ≤ 0} 且有 P ? Q ,求实数 b 的取值范围。 2 2.已知集合 2.已知集合 A = {2,8, a} , B = {2, a ? 3a + 4} ,又 A ? B ,求实数 a 的值。 又

3.已知集合 3.已知集合 A = {x | y =

2 x 2 ? 3 x + 1} , B = { y | y = x 2 ? 2 x ? 3} ,则 A I B =

。 。

4.已知集合 4.已知集合 A = x x ? a ≤ 1 , B = x x ? 5 x + 4 ≥ 0 ,若 A I B = ? ,则实数 a 的取值范围是
2

{

}

{

}

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第一讲 集合

6.已知集合 之取值范围。 6.已知集合 A = {x | ?3 ≤ x ≤ 4} , B = {x | 2m ? 1 ≤ x ≤ m + 1} ,当 A U B = A 时,求出 m 之取值范围。 当 变式: 的取值集合。 变式:已知集合 A = {x | x ? 2 x ? 8 = 0} , B = {x | x + ax + 4 = 0} ,且 A I B = B ,求实数 a 的取值集合。
2
2

【综合测评导航】 综合测评导航】 一、选择题 2 1.全集 1.全集 U = R , A = {x || x ? 1|> 2} , B = {x | x ? 6 x + 8 < 0} ,则 A I B = (



A.[?1, 4] B. (2,3] C.[2, 3] D.(?1, 4) 2 2.集合 2.集合 A = {x || x |< 1} , B = { y | y = x , x ∈ R} ,则 A I B = ( ) A.{x | ?1 ≤ x ≤ 1} B.{x | x ≥ 0} C.{x | 0 ≤ x ≤ 1} D.? 满足( ) 3.设集合 3.设集合 A = {x || x ? a |< 1} , B = {x || x ? b |≤ 2} ,若 A ? B ,则实数 a, b 必满足( A. | a + b |≤ 3 B. | a + b |≥ 3 C. | a ? b |≤ 3 D. | a ? b |≥ 3 ? P ? {a, b, c} 的集合 P 有( 4.符合条件 4.符合条件 {a} ≠ ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.全集 的取值范围是( 6.全集 U = R ,集合 A = {x | x ≤ 1或x ≥ 3} , B = {x | k < x < k + 1} ,且 A I B ≠ ? ,则 k 的取值范围是( A.k < 0或k > 3 B.2 < k < 3 C.0 < k < 3 D. ? 1 < k < 3 2 7.集合 的值为( 7.集合 A = {0, 2, a} , B = {1, a } ,若 A U B = {0,1, 2, 4,16} ,则 a 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.4
二、填空题 8.已知集合 {1, a + b, a} = {0, 8.已知集合



b , b} ,则 b 2011 ? a 2011 = a



2 9.设集合 9.设集合 A = {?1,1,3} , B = {a + 2, a + 4} , A I B = {3} ,则实数 a 的值为



10.集合 10.集合 M = {x | m ≤ x ≤ m + } , N = {x | n ?

3 4

1 ≤ x ≤ n} ,且 M , N 都是 {x | 0 ≤ x ≤ 1} 子集,如果把 b ? a 叫做 子集, 3


的长度, 集合 {x | a ≤ x ≤ b} 的长度,那么集合 M I N 的长度的最小值是

11.设 11.设 A = {x | ?3 ≤ x ≤ a} , B = { y | y = 3 x + 10, x ∈ A} , C = {z | z = 5 ? x, x ∈ A} ,且 B I C = C ,则实数 a 的 取值范围是 三、解答题 。

12.已知集合 A = {x || x ? a |< 2} , B = {x | 已知集合

2x ?1 < 1} ,若 A U B = B ,求实数 a 的取值范围。 的取值范围。 x+2

13.已知集合 A = {x | x 2 + ( p + 2) x + 1 = 0} , B = {x | x > 0} ,且 A I B = ? ,求实数 p 的取值范围。 已知集合 的取值范围。

14.已知 x + 4ax ? 4a + 3 = 0 , x 2 + ( a ? 1) x + a 2 = 0 , x + 2ax ? 2a = 0 三个方程中至少有一个方程有实数根, 已知 三个方程中至少有一个方程有实数根,
2 2

的取值范围。 求实数 a 的取值范围。
2 2 2 15.已知全集 U = R ,集合 A = {x | 2 x ? 9 x + a < 0} , B = {x | x ? 4 x + 3 < 0, 且x ? 6 x + 8 < 0} ,且 A ? B ,求 已知全集

的取值范围。 实数 a 的取值范围。
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第一讲 集合

【反思感悟导航】 反思感悟导航】 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时,尤其要注意元素的互异性 尤其要注意元素的互异性, 尤其要注意元素的互异性 如(1)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q= {a + b | a ∈ P, b ∈ Q} ,若 P = {0, 2,5} , Q = {1,2,6} ,则 P+Q 中元素的有________个。 ( 2 ) 设 U = {( x, y ) | x ∈ R, y ∈ R} , A = {( x, y ) | 2 x ? y + m > 0} , B = {( x, y ) | x + y ? n ≤ 0} , 若

P (2,3) ∈ A I B ,则 m, n 的取值范围分别是________; (3)非空集合 S ? {1,2,3,4,5} ,且满足“若 a ∈ S ,则 6 ? a ∈ S ” ,这样的 S 共有_____个 2.遇到 A I B = ? 时,你是否注意到“极端”情况: A = ? 或 B = ? ;同样当 A ? B 时,你是否忘记 A = ? 的情形?要注意到 ? 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 2 如集合 A = {x | ax ? 1 = 0} , B = { x | x ? 3 x + 2 = 0} ,且 A U B = B ,则实数 a =______.
其子集、 真子集、 非空子集、 非空真子集的个数依次为 2 , ? 1, 2 ? 1, 2 3.对于含有 n 个元素的有限集合 M ,
n n n

2 n ? 2.

如满足 {1, 2} ? M ? {1, 2,3, 4,5} 集合 M 有______个。 ≠ ⑵ A I B = B ? B ? A ;⑶ A ? B ? A ? B ;

4.集合的运算性质: ⑴ A U B = A ? B ? A ;

⑷ A I B = ? ? A ? B ; ⑸ A U B = U ? A ? B ; ⑹ A I B = A U B ;⑺ A U B = A I B 如设全集 U = {1,2,3,4,5} ,若 A I B = {2} , A I B = {4} , A I B = {1,5} ,则 A=_____ —函数的值域; {( x, y ) | y = lg x} —函数图象上的点集, 如设集合 M = {x | y = ,B=___ .
5. 研究集合问题, 一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素 如: x | y = lg x}—函数的定义域; y | y = lg x} 理解集合的意义――抓住集合的代表元素。 { { 理解集合的意义――抓住集合的代表元素

x ? 2} ,集合 N= { y | y = x 2 , x ∈ M } ,则 M I N = ___

6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空集 计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补 计算时不要忘了集合本身和空集 补 集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 集思想 2 2 如已知函数 f ( x ) = 4 x ? 2( p ? 2) x ? 2 p ? p + 1 在区间 [ ?1,1] 上至少存在一个实数 c ,使 f (c ) > 0 ,求实数 p 的 取值范围。 7. 一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法:已知关于 x 的不等式 (a + b) x + ( 2a ? 3b) < 0 的解集为 (?∞,? ) ,则关于 x 的不等

式 (a ? 3b) x + (b ? 2a ) > 0 的解集为_______ 8.一元二次不等式的解集:解关于 x 的不等式: ax ? ( a + 1) x + 1 < 0 。 一元二次不等式的解集: 一元二次不等式的解集
2

1 3

有实数解的问题。 9. 对于方程 ax + bx + c = 0 有实数解的问题 ( a ? 2 ) x + 2 ( a ? 2 ) x ? 1 < 0 对一切 x ∈ R 恒成立,则 a 的取值
2
2

范围是_______ ; 10.一元二次方程根的分布理论 一元二次方程根的分布理论。 实系数方程 x + ax + 2b = 0 的一根大于 0 且小于 1, 另一根大于 1 且小于 2, 则 ( 1)
2

b?2 的取值范围是_________ a ?1

(2)不等式 3 x ? 2bx + 1 ≤ 0 对 x ∈ [ ?1, 2] 恒成立,则实数 b 的取值范围是____
2

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