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2015届高考数学总复习第七章 第四节直线与圆、圆与圆的位置关系精讲课件 文


第七章 第四节 直线与圆、圆与圆的位 置关系 直线与圆的位置关系的判定 【例 1】 =0(m∈R). 已知圆 x2 + y2 - 6mx - 2(m - 1)y + 10m2 - 2m - 24 (1)求证:不论m为何值,圆心在同一直线l上; (2)与l平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离; (3)求证:任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的 弦长相等. 自主解答: (1)证明:配方得: (x-3m)2+[y-(m-1)]2=25, 设圆心为(x,y),则 l:x-3y-3=0, 则圆心恒在直线l:x-3y-3=0上. 消去m得 (2)解析:设与 l 平行的直线是:x-3y+b=0, 当-5 10-3<b<5 10-3 时,直线与圆相交; b=± 5 10-3 时,直线与圆相切; b<-5 10-3 或 b>5 10-3 时,直线与圆相离. (3)证明:对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1: x-3y+b=0,由于圆心到直线l1的距离 |3+b| d= (与 m 无关), 10 弦长=2 r2-d2且 r 和 d 均为常量. ∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. 点评: 判断直线与圆的位置关系的一般方法是:几何法 和代数法.几何法是比较圆心到直线的距离与圆的半径的大 小;代数法是把直线方程和圆的方程联立,消元得到一个一 元二次方程,根据 Δ 判断方程根的情况,从而确定有几个交 点.但当直线经过圆内一个定点时,直线与圆一定相交. 变式探究 2a 1.(1)(2012· 聊城五校期末联考)如果函数 f(x)=- b ln(x+1) ? 1? 的图象在 x=1 处的切线 l 过点?0,-b?,并且 l 与圆 C:x2+y2= ? ? 1 相离,则点(a,b)与圆 C 的位置关系是( ) A.在圆内 C.在圆上 B.在圆外 D.不能确定 (2) 圆 x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 与直线 2tx - y - 2 - 2t = 0(t∈R)的位置关系为( A.相离 C.相交 ) B.相切 D.都有可能 2a 1 解析:(1)f′(x)=- b · ,则函数图象在 x=1 的切线斜率 x+1 a a 1 为 k=-b,切线 l 方程为 y=-bx-b,即 ax+by+1=0.∵l 与圆 1 2 2 C 相离,∴ 2 > 1 ,即 a + b <1,∴点(a,b)在圆内.故选 2 a +b A. 答案:(1)A (2)C 圆的切线与弦长问题 【例2】 已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的 圆心为C,直线l:y=x+m. (1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值; (2)若直线l是圆心C下方的切线,当a在(0,4]上变化时,求m 的取值范围. 自主解答: 解析:(1)因为x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0, 所以(x+a)2+(y-a)2=4a,所以圆心为C(-a,a), 半径为 r=2 a,设直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 2t,圆心 C 到直线 l 的距离为 d,m=4 时,直线 l:x-y+4=0,圆心 C 到 |-a-a+4| 直线 l 的距离 d= = 2|a-2|, 2 t2=(2 a)2-2(a-2)2=-2a2+12a-8=-2(a-3)2+10, 又0 <a≤4, 所以当 a=3 时, 直线 l 被圆 C 所截得弦长的值最大, 其最大 值为 2 10. |-a-a+m| 2 (2)圆心

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