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浙江省温州中学2012-2013学年高二下学期期末数学理试题


浙 江 省 温 州 中 学 2012-2013 学 年 高 二 下 学 期 期 末 数 学 理 试 题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 2 2 1.设集合 S= ?x|x +2x=0,x ? R? , T= ?x|x -2x=0,x ? R? , 则S ? T= ( )
A. {0} A.3y<3x 3. log 2 sin B. ?0,2? ) C.log4x<log4y ) C. ?-2,0? D. ?-2,0,2? 1 x 1 y D.?4? <?4? ? ? ? ? 2.若 0<x<y<1,则(

B.logx3<logy3

?
12

? log 2 cos

?
12

的值为(

A.-4 B.4 C.2 D.-2 4. 已知函数 f ( x) ? x ? b cos x , 其中 b 为常数. “ b ? 0 ” “ f ( x ) 为奇函数” 那么 是 的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 函数 f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的图象大致为( )

)

6.已知向量 a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ),|a-b|= 1 A.. 3 2 B. 3 3 C. 5 4 D. 5

2 5.则 cos(α-β)的值为( 5

)

1 7.已知函数 f(x)= mx2+lnx-2x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围为( ). 2 A. [1,3] B. (??,1] C. (??,3] D. [1,??) ? 1 ?0,1?,B=?1,1?,函数 f(x)=?x+2(x∈A), 8. 设集合 A=? ? x0∈A, f[f(x0)]∈A, 且 2? ?2 ? ? ?2(1-x)(x∈B), 则 x0 的取值范围是( ) 1 1 3 ?0,1? ?1,1? A.? 4? B.?4 2? C.?4,2? D.?0,8? ? ? ? ? 9.在△OAB 中, 为 OA 上的一点, OC = C 且

????

P 是直线 l 上的动点, OP = l 1OB + l 2 OC ,则 l 1 - l 2 = ( A. -1 ) B. -

??? ?

??? ?

? 2 ??? OA, D 是 BC 的中点, 过点 A 的直线 l ∥OD, 3

??? ?

3 2

C. -2

D. -

5 2

10.设偶函数 y ? f (x) 和奇函数 y ? g (x) 的图象如下图所示:

1

y y 1 -2 -1 2 2 1 x

· O
-1

-1

· O
-2

1

x

集合 A= x f ( g ( x) ? t ) ? 0 与集合 B= x g ( f ( x) ? t ) ? 0 的元素个数分别为 a, b , 若

?

?

?

?

1 ? t ? 1 ,则 a ? b 的值不可能是( . 2
A.12 B.13

) C.14 D.15 ▲ .

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. 若直线 y ? 2 x ? m 是曲线 y ? x ln x 的切线,则实数 m 的值为
12.若函数 f ( x) ? ?

? x, x ? 0,

则f ( x) 的值域是▲ . 2 ? x ? 1, x ? 0,
▲ 。

13.计算:

3 tan120 ? 3 = (4 cos2 120 ? 2) sin 120

C

D

14.如右图所示,AB 是半圆 O 的直径,C , D 是弧 AB 三等分点,M , N 是线段 AB 的三等分点,若 OA = 6,则·的值是
x





A

M O N

B

?2 ,-2≤x<0 15.设函数 f(x)=? ,若 f(x)为奇函数,则 ?g?x?-log5?x+ 5+x2?,0<x≤2
当 0<x≤2 时,g(x)的最大值是___▲_____. 16. 已知 a 为 [0,1] 上的任意实数, 函数 f1(x) ? x ? a , f 2 ( x) ? ? x ? 1 , f3(x) ??x ? x . 则以下结论:
2

3

2

①对于任意 x0 ? R ,总存在 f i ( x ) , f j ( x ) ({i , j } ? { ? 1,2,3}) ,使得 fi (x0) f j (x0) ?0; ②对于任意 x0 ? R ,总存在 f i ( x ) , f j ( x ) ({i , j } ? { ? 1,2,3}) ,使得 fi (x0) f j (x0) ?0; ③对于任意的函数 f i ( x ) ,f j ( x ) ({i , j } ? { 总存在 x0 ? R , 使得 fi (x ) f j (x ) ?0; 0 0 ? 1,2,3}) , ④对于任意的函数 f i ( x ) ,f j ( x ) ({i , j } ? { 总存在 x0 ? R , 使得 fi (x ) f j (x ) ?0. 0 0 ? 1,2,3}) , 其中正确的为 ▲ . (填写所有正确结论的序号)

2

………………………………………装……………………………………………订………………………………………线…………………………………..…

温 州 中 学 2012 学 年 第 二 学 期 期 末 考 试 高 二 数 学 答 题 卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. 14. 12. 15. 13. 16.

三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
17. (本小题满分 10 分) 如图, 在△ ABC 中,B ?

姓名

? D C E C ,BC ? 2 , D 在边 A B 上,A ? D , D ? A , 点 3
A

E 为垂足.
(Ⅰ)若△ BCD 的面积为

3 3

,求 CD

的长;

(Ⅱ)若 D E ?

6 2

,求角 A 的大小.
D

E

学号

B

C

班级

3

18.(本小题满分 12 分) 如图所示, A, B 为单位圆 O 上的两点,且点 A(1,0), B( , 括 端 点 A, B ) 上 的 动 点 , 点 P(cos? , sin ? ) ,
? ?

1 2

3 ) ,点 P 为弧 AB (不包 2

OP ? AB ? C ,且 AC ? ? AB 。 (Ⅰ)求 ? (用 ? 表示) ; ? ? 1 (Ⅱ)若 OC ? AC ? ? 时,求 tan ? 的值。 16

4

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax ? b, a, b ? R 的图像记为曲线 E , 过一点 A( , ? ) 作曲线 E 的切线,这样的切线有且仅有两条, (Ⅰ)求 a ? 2b 的值; (Ⅱ)若点 A 在曲线 E 上,对任意的 x ??0,1? ,求证: f ( x) ? a ? 3b ? 1 ?

1 2

3 8

1 ? 0. 2

5

………………………………………装……………………………………………订………………………………………线…………………………………..…

温 州 中 学 2012 学 年 第 二 学 期 期 末 考 试 高 二 数 学 答 题 卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。
题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 C 5 A 6 C 7 D 8 C 9 B 10 D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11.

-e

12.

[?1,??)

13.

?4 3

14.

2

15.

3 4

16.





姓名

三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
17. (本小题满分 10 分) 如图, 在△ ABC 中,B ?

? D C E C ,BC ? 2 , D 在边 A B 上,A ? D , D ? A , 点 A 3

E 为垂足.
(Ⅰ)若△ BCD 的面积为

3 3

,求 CD

的长;
D

E

学号

(Ⅱ)若 D E ?

6 2

,求角 A 的大小.
B C

解:(Ⅰ)由已知得 S ? B C D

1 3 B C ? B D ? sin B ? 2 3 2 3 又 BC ? 2 , s i n B ? 得B D ? . 3 2 在△ BCD 中,由余弦定理得
?



班级

CD ?
所以 CD 的长为

2 1 ?2? ? 22 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 7 3 2 ?3? 3
2 3 7


2



(Ⅱ)方法 1:因为 CD

DE 6 . ? sin A 2 sin A BC CD 在△ BCD 中,由正弦定理得 ? sin ? BDC sin B 2 6 得 , ? sin 2 A 2 sin A sin 60 ? ? AD ?
6

,又 ? D ?2 , BC A

解得 c

os A ?

2 2

,所以

A ?

? 4

即为所求.

方法 2:在△ ABC 中,由正弦定理得

? AC ? 2 AE ,
所以 AE

2 AC ? ,又由已知得, E 为 AC 中点, sin A sin B

? sin A ? sin B ?

3 2



DE sin A 6 ,所以 A s AD o ? ? tan A ? Ei ?E s ?n ? A cos A c AE cos A 2 ? 2 得c o s A ? ,所以 A ? 即为所求. 4 2




18.(本小题满分 12 分) 如图所示, A, B 为单位圆 O 上的两点,且点

1 3 A(1,0), B( , ) ,点 P 为弧 AB (不包括端点 2 2 A, B ) 上 的 动 点 , 点 P(cos? , sin ? ) ,

OP ? AB ? C ,且 AC ? ? AB 。 求 ? (用 ? 表示) ; ? ? 1 (Ⅱ)若 OC ? AC ? ? 时,求 tan ? 的值。 16

?

?

(Ⅰ)已知: AC ? ? AB
? ? 1 3 ? OC ? OA ? ? (? , ) 2 2 ? ? 3 ? OC ? (1 ? , ?) 2 2 又 OP ? (cos?, sin ?) sin ? ?? ? ? s i n?( ? ) 3 ? ? ? 1 2 (Ⅱ) OC ? AC ? - ? ? ? 2 16 sin ? 1 ?? ? ? ? 4 s i n?( ? ) 3 3 即 tan? ? 7

?

?

7

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax ? b, a, b ? R 的图像记为曲线 E , 过一点 A( , ? ) 作曲线 E 的切线,这样的切线有且仅有两条, (Ⅰ)求 a ? 2b 的值; (Ⅱ)若点 A 在曲线 E 上,对任意的 x ??0,1? ,求证: f ( x) ? a ? 3b ? 1 ? 解: (I)? f ( x) ? x3 ? ax ? b, a, b ? R,? f '( x) ? 3x 2 ? a
2 设切点为 ( x0 , y0 ) ,则切线方程为 y ? y0 ? (3x0 ? a)( x ? x0 ) ,将点 A( , ? ) 代入得

1 2

3 8

1 ? 0. 2

1 2

3 8

3 1 2 3 2 ? ? y0 ? (3x0 ? a)( ? x0 ) 可化为 16x0 ?12x0 ? 4a ? 8b ? 3 ? 0 8 2 3 2 设 g ( x) ? 16 x ?12 x ? 4a ? 8b ? 3 1 ?g '( x) ? 48x2 ? 24 x ,? y ? g ( x) 的极值点为 0, 2 1 3 ? 过点A( , ? ) 作曲线 E 的切线,这样的切线有且仅有两条 2 8 1 3 ? g (0) ? 0或g ( ) ? 0 ,? a ? 2b ? ? 或a ? 2b ? ?1 2 4 (Ⅱ)因为点 A 在曲线 E 上,所以 a ? 2b ? ?1 1 1 f ( x)? | b | ? ? x 3 ? ax ? b ? | b | ? 2 2 1 1 3 3 当 b ? 0 时,左边= x ? ax ? ? x ? (?1 ? 2b) x ? 2 2 1 3 2 令函数 h( x) ? x ? (?1 ? 2b) x ? (0 ? x ? 1) ,?h '( x) ? 3x ? (1 ? 2b) 2
当 1 ? 2b ? 0 时 h '( x) ? 0 ,函数 y ? h( x) 在 [0,1] 上单调递增, h( x) ? h(0) ?

1 ?0 2

2b ? 1 3 2b ? 1 2b ? 1 ] 上单调递减,在 [ ,1] 上单调递增 ∴函数 y ? h( x) 在 [0, 3 3 2b ? 1 2b ? 1 2b ? 1 2b ? 1 1 ? h( x) ? h( )? ? (2b ? 1) ? 3 3 3 3 2 2(2b ? 1) 2b ? 1 1 2 1 1 ?? ? ?? ? ? 0; 3 3 2 3 2 2 1 3 当 b ? 0 时,左边= x ? (?1 ? 2b) x ? 2b ? 2 1 3 令函数 k ( x) ? x ? (?1 ? 2b) x ? 2b ? (0 ? x ? 1) 2 2b ? 1 ?k '( x) ? 3x2 ? (?1 ? 2b) ,由 k '( x) ? 0 得 x ? 3
当 1 ? 2b ? 0 即 0 ? b ? ? 时,由 h '( x) ? 0 得 x ?

1 2

8

2b ? 1 1 k 即 函数 y ? k ( x) 在 [0,1] 上单调递减, ( x) ? k (1) ? ? 0 ? 1 时, b ? 1 时, 2 3 2b ? 1 2b ? 1 当 0 ? b ? 1 时,函数 y ? k ( x) 在 [0, ] 上单调递减,在 [ ,1] 上单调递增 3 3 2b ? 1 2(2b ? 1) 2b ? 1 1 k ( x) ? k ( )?? ? (2b ? 1) ? 3 3 3 2 2(2b ? 1) 2b ? 1 1 令函数 m(b) ? ? ? (2b ? 1) ? 3 3 2 2b ? 1 3 1 3 设 ? t ? ( ,1) , m(t ) ? ?2t 3 ? 3t 2 ? 在 ( ,1) 上单调递增 2 3 3 3 3 ? m(t ) ? m( ) ? 0 3 1 综上所述: f ( x) ? a ? 3b ? 1 ? ? 0. 2


9


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