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创新设计必修五WORD训练2-5习题课

习题课

数列求和

一、基础达标 1 1 1 1.数列2· , , 5 5· 8 8· 11,…, 1 ,…的前 n 项和为 ?3n-1?· ?3n+2? ( A. C. n 3n+2 B. n 6n+4 n+1 n+2 )

3n 6n+4 B 由数列通项公式,

D.

答案 解析 得

1 ? 1 1? 1 =3?3n-1-3n+2?, ?3n-1?· ?3n+2? ? ?

得前 n 项和 11 1 1 1 1 1 Sn=3(2-5+5-8+8-11+…+ 1 ? 1 1 1?1 n - )=3?2-3n+2?= . 3n-1 3n+2 ? ? 6n+4

a1+a2+a3+…+an 2. 已知数列{an}的通项 an=2n+1, 由 bn= 所确定的数列{bn} n 的前 n 项之和是 ( A.n(n+2) 1 C.2n(n+5) 答案 解析 C n a1+a2+…+an=2(2n+4)=n2+2n. 1 B.2n(n+4) 1 D.2n(n+7) )

n?n+5? ∴bn=n+2,∴bn 的前 n 项和 Sn= 2 . 3.已知数列{an}前 n 项和为 Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1(4n-3), 则 S15+S22-S31 的值是

( A.13 B.-76 C.46 D.76 答案 解析 B

)

S15=-4×7+a15=-28+57=29, S22=-4×11=-44, S31=-4×15

+a31=-4×15+121=61,S15+S22-S31=29-44-61=-76.故选 B. 4.若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为 ( A.2 B.4 C.8 答案 解析 B 由已知得 a1a2=16
1

)

D.16

①,a2a3=162

②,

a3 ②÷ ①得a =16=q2,∴q=4. 5.数列{1+2n-1}的前 n 项和为 ( A.1+2n C.n+2n-1 答案 解析 C Sn=(1+1)+(1+2)+(1+22)+(1+23)+…+(1+2n-1) B.2+2n D.n+2+2n )

?1-2n? =n+(1+2+22+…+2n-1)=n+ 1-2 =n+2n-1,故选 C. 6.数列 1, 答案 解析 1 1 , ,…的前 n 项和 Sn=________. 1+2 1+2+3

2n n+1 1 ? 1 2 ?1 由于数列的通项 an= = =2?n-n+1?, 1+2+3+…+n n?n+1? ? ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ∴Sn=2?1-2+2-3+3-4+…+n-n+1? ? ? 1 ? 2n ? =2?1-n+1?= . ? ? n+1 7.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn;

(2)令 bn= 解

1 (n∈N*),求数列{bn}的前 2 an-1

n 项和 Tn.

(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d.

?a1+2d=7, 因为 a3=7,a5+a7=26,所以? ?2a1+10d=26, ?a1=3, 解得? 所以 an=3+2(n-1)=2n+1, ?d=2. n?n-1? Sn=3n+ 2 ×2=n2+2n. 所以,an=2n+1,Sn=n2+2n. (2)由(1)知 an=2n+1, 1 1 1 1 所以 bn= 2 = =4· 2 an-1 ?2n+1? -1 n?n+1? 1 ? 1 ?1 ?n-n+1?, =4· ? ? 1 1 1 1 1 1 所以 Tn=4· (1-2+2-3+…+n- ) n+1 1 1 n = · (1- )= , 4 n+1 4?n+1? n 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= . 4?n+1? 8.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1. (1)求证:数列{an+1}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式 an 和前 n 项和 Sn. (1)证明 an+1+1 ?2an+1?+1 2an+2 2?an+1? ∵an+1=2an+1,∴ = = = =2, an+1 an+1 an+1 an+1

∴数列{an}是等比数列,公比为 2,首项为 a1+1=2. (2)解 由(1)知{an+1}为等比数列,

∴an+1=(a1+1)· 2n-1=2n, ∴an=2n-1. ∴Sn=a1+a2+…+an =(21-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1) =(21+22+…+2n)-n

2?1-2n? + = -n=2n 1-n-2. 1-2 二、能力提升 9.设{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2 且 a1,a3,a6 成等比数列,则{an}的 前 n 项和 Sn= ( n 7n A. 4 + 4 答案 解析 A 由题意设等差数列公差为 d,则 a1=2,a3=2+2d,a6=2+5d.又∵a1,
2

)

n 5n B. 3 + 3

2

n 3n C. 2 + 4

2

D.n2+n

2 2 a3,a6 成等比数列,∴a2 3=a1a6,即(2+2d) =2(2+5d),整理得 2d -d=0.

∵d≠0, n?n-1? 1 n2 7 ∴d=2,∴Sn=na1+ 2 d= 4 +4n. 1? ? 10.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln?1+n?,则 an 等于 ? ? ( A.2+ln n C.2+nln n 答案 解析 A 1? ? ∵an+1=an+ln?1+n?, ? ? B.2+(n-1)ln n D.1+n+ln n )

n+1 1? ? ∴an+1-an=ln?1+n?=ln n =ln(n+1)-ln n. ? ? 又 a1=2, ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2+[ln 2-ln 1+ln 3-ln 2+ln 4-ln 3+…+ln n-ln(n-1)]=2+ln n-ln 1=2+ln n. 1 11. 在等比数列{an}中, 若 a1=2, a4=-4, 则|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=________. 答案 解析 2n-1 2 1 ∵{an}为等比数列,且 a1=2,a4=-4,

a4 ∴q3=a =-8,∴q=-2,
1

1 ∴an=2(-2)n-1,∴|an|=2n-2, ∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| 1 n 2?1-2 ? 2n-1 = = 2 . 1-2 12.设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3· 22n-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解 (1)由已知,当 n≥1 时,an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+

a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1. 而 a1=2,符合上式, 所以数列{an}的通项公式为 an=22n-1. (2)由 bn=nan=n· 22n-1 知 Sn=1· 2+2· 23+3· 25+…+n· 22n-1, 从而 22· Sn=1· 23+2· 25+3· 27+…+n· 22n+1. ①-②得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n· 22n+1, 1 即 Sn=9[(3n-1)22n+1+2]. 三、探究与创新 13.已知数列{an}的首项 a1=5,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=2Sn+n+5,n∈N*. (1)证明数列{an+1}是等比数列; (2)求{an}的通项公式以及 Sn. (1)证明 由已知 Sn+1=2Sn+n+5,n∈N*, ① ②

可得 n≥2 时,Sn=2Sn-1+n+4. 两式相减得 Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1, 即 an+1=2an+1,从而 an+1+1=2(an+1), 当 n=1 时,S2=2S1+1+5,所以 a2+a1=2a1+6, 又 a1=5,所以 a2=11,从而 a2+1=2(a1+1), 故总有 an+1+1=2(an+1),n∈N*,

又 a1=5,a1+1≠0,从而

an+1+1 =2, an+1

即数列{an+1}是首项为 6,公比为 2 的等比数列. (2)解 由(1)得 an+1=6· 2n-1,

所以 an=6· 2n-1-1, 6· ?1-2n? 于是 Sn= -n=6· 2n-n-6. 1-2


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