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高考数学 冲刺60天解题策略 专题三 数列与不等式 第一节 数列及其应用

数列及其应用
数列是高中数学重要内容, 是高考命题的热点.纵观近几年的高考试题,对等差和等比数 列的概念、通项公式、性质、前 n 项和公式,对增长率、分期付款等数列实际应用题多以客 观题和中低档解答题为主,对数列与函数、方程、不等式、三角函数、解析几何等相结合的 综合题的考查多属于中高档题,甚至是压轴题,难度值一般控制在 0.3 ~ 0.7 之间. 考试要求(1)数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、 图像、 通项公式) .②了解数列是自变量为正整数的一类函数. (2) 等差数列、 等比数列① 理 解等差数列、 等比数列的概念.② 掌握等差数列、 等比数列的通项公式与前 n 项和公式. ③ 能在具体的问题情境中, 识别数列的等差关系或等比关系, 并能用有关知识解决相应的问题. ④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 题型一 等差、等比数列的概念与性质 例 1.已知等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 a1 、 a 3 、2 a2 成等差数列,求

1 2

a9 ? a10 ; a7 ? a8

【点拨】依据等差中项的概念先求等比数列的公比,再利用等比数列的性质

a9 ? a10 ? q 2 (a7 ? a8 ) 求值.
【解】依题意可得: 2 ? ( a3 ) ? a1 ? 2a2 ,即 a3 ? a1 ? 2a2 ,则有 a1q2 ? a1 ? 2a1q 可 得

1 2

q 2 ? 1 ? 2q , 解 得 q ? 1 ? 2



q ? 1? 2

( 舍 )

所 以

a9 ? a10 a1q8 ? a1q9 q 2 ? q3 ? ? ? q2 ? 3 ? 2 2 ; a7 ? a8 a1q6 ? a1q7 1? q
【易错点】 (1)等差数列与等比数列只有一字之差,部分同学经常出现审题不仔细的现象; (2)等差中项与等比中项的性质混淆,概念模糊不清; (3)对等差数列与等比数列的性质 及公式的变式不熟悉,往往要先计算 a1 , d , q 等量,一旦计算量大一点,解题受阻. 变式与引申 1:等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,公差 d ? 0, S3 ? S8 . (1)求 S11 的值; (2)当 S n 为最小时,求 n 的值. 题型二:数列的通项与求和 例 2. ( 2011 年 全 国 卷 理 科 第 17 题 ) 等 比 数 列 ?an ? 的 各 项 均 为 正 数 , 且

2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式. (Ⅱ )设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ?

?1? ? 的前项和. ? bn ?

【点拨】 (1)等比数列中,已知两条件可以算出两个基本量 a1 , q ,再进一步求通项.(2)分 组求和、 倒序相加、 错位相减、 裂项相消等是常用的求和方法, 这里利用 (1) 的结论以及 a n , bn 的关系求 bn 的通项公式,根据裂项相消求数列 ? 【解】
2 3 2 (Ⅰ) 设数列{an}的公比为 q, 由 a3 所以 q ? ?9 a2a6 得 a3 ? 9a4
2

?1? ? 前 n 项和 . ? bn ?

1 。 有条件可知 a>0, 9

故q ?

1 。 3 1 1 。故数列{an}的通项式为 an= n 。 3 3

由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? (Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a1 ? ... ? log3 a1

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2


1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

2n 1 } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

【易错点】 (1)没有注意条件 a>0,公比计算错; (2)在求 ?bn ? 的通项公式时,遗漏了负号; 不会将

1 2 1 1 1 化为 ?? ? ?2( ? ). bn n(n ? 1) bn n n ?1

变式与引申 2 已知 S n 是数列{ an }的前 n 项和, 并且 a1 =1, 对任意正整数 n, S n?1 ? 4an ? 2 ; 设 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,3,?). (1)证明数列 {bn } 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式;

(2)设 C n ? 3.

bn 1 , Tn为数列 { }的前 n 项和,求 Tn . 3 log2 Cn?1 ? log2 Cn? 2
?

等比数列 { an } 的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N ,点 (n , Sn ) ,均在函数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记

bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

题型三:数列的实际应用 例 3. 为了解某校高三学生的视力情况,随 机地抽查了该校 100 名高三学生的视力情 况,得到频率分布直方图,如右图所示;由 于不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频 数从左到右依次是等比数列 ?an ? 的前四项, 后 6 组的频数从左到右依次是等差数列 ?bn ? 的前六项. (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)求视力不小于 5.0 的学生人数; (3)设

c c1 c2 ? ? ? ? n ? bn?1 ?n ? N ? ? ,求数列 ?cn ? 的通项公式. a1 a2 an

【点拨】 (1)频率分布直方图是解决问题的关健; (2)已知前两项的频数,前 4 组的频数从 左到右依次是等比数列 ?an ? 的前四项, 可求 an , 后 6 组的频数从左到右依次是等差数列 ?bn ? 的前六项, b1 ? a 4 , ?bn ? 的前六项和可求,得 bn , (3)求得 an 、 bn 后,根据题设条件, 按递推公式求通项公式方法求出 cn . 【解】(1)由题意知 a1 ? 0.1? 0.1? 100 ? 1, a2 ? 0.3 ? 0.1? 100 ? 3
n ?1 因此数列 ?an ? 是一个首项 a1 ? 1 .公比为 3 的等比数列,所以 an ? 3

,b1 ? a 4 ? 27 又

b1 ? b2 ? ? ? b6 ? 100? ?a1 ? a2 ? a3 ? =100—(1+3+9) ,
d ? ?5,
因此数列 ?bn ? 是一个首项 b1 ? 27 ,公差为—5 的等差数列,

所 以 6b1 ?

6?5 d =87, 解 得 2

所以 bn ? 32 ? 5n,

(2) 求视力不小于 5.0 的学生人数为 b5 ? b6 ? (32 ? 5 ? 5) ? (32 ? 5 ? 6) ? 9 (3) 由

c c1 c2 ? ? ? ? n ? bn?1 (n ? N ? ) a1 a2 an











n?2





c c1 c2 ? ? ? ? n?1 ? bn ② a1 a2 an?1
①-②得, 当 n ? 2 时,

cn ? bn?1 ? bn ? ?5 , ? cn ? ?5an ? ?5 ? 3n?1 ?n ? N ? , n ? 2? , an



c1 ? b2 ? 22, c1 ? 22, 因此数列 ?cn ? 是一个从第 2 项开始的公比为 3 的等比数列, a1

数列 ?cn ? 的通项公式为 cn ? ?

? 22(n ? 1) . n ?1 ?? 5 ? 3 (n ? 2)

【易错点】 (1)不理解 b1 ? a 4 的意义,解题找不到切入点; (2)计算数列 ?bn ? 的通项公式 时忽略“全校 100 名学生”这个重要的已知条件, 导致前两问的结果都不正确; (3) 求出 an 、 (4) 计算 cn 由①式变为②式时, 缺少 n ? 2 bn 后,由题设条件不能正确地找出求 cn 的方法; 这个条件. 变式与引申 4: 某地为了防止水土流失,植树造林,绿化荒沙地,每年比上一年多植相同 亩数的林木,但由于自然环境和人为因素的影响,每年都有相同亩数的土地沙化,具体情况 为下表所示: 2008 年 新植亩数 沙地亩数 1000 25200 2009 年 1400 24000 2010 年 1800 22400

而一旦植完,则不会被沙化. 问: (1)每年沙化的亩数为多少; (2)到那一年可绿化完全部荒沙地. 题型四:数列综合题 例 4 根据如图所示的程序框图,将输出的 x、y 值依次分别记为 x1 , x2 ,?, xn ,?, x2008 ,

y1 , y2 ,?, yn ,?, y2008 .
(1)求数列 ?xn ? 的通项公式 xn ; (2)写出 y1 , y 2 , y3 , y 4 ,由此猜想出数列 ?y n ?;

的一个通项公式 y n ,并证明你的结论; (3)求

zn ? x1 y1 ? x2 y2 ?

? xn yn (x ? N ?,n ? 2008) .

【点拨】 (1)程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物,因为程序框图中循环,与 数列的各项一一对应,所以,这方面的内容是命题的新方向,应引起重视; (2)由循环体写 出数列的递推公式,再由递推公式求出数列的通项公式是解决问题 的关健; (3)掌握错位 相减法求数列的前 n 项和及数列求和的一般方法. 【 ∴ 解 】 ( 1 ) 由 框 图 , 知 数 列

{xn } 中

x1 ? 1, xn?1 ? xn ? 2

xn ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1(n ? N*, n ? 2008)
由此,猜想 yn ? 3n ? 1, (n ? N ?, n ? 2008 ) , y1 ? 1 ? 3

(2)y1=2,y2=8,y3=26,y4=80.

证明:由框图,知数列{yn}中, y n?1 ? 3 y n ? 2 ,? yn?1 ? 1 ? 3( yn ? 1)

∴数列{yn+1}是以 3 为首项,3 为公比的等比数列, ? yn ? 3n ? 1, (n ? N ? , n ? 2008 ) (3) z n ? x1 y1 ? x2 y2 ? ? ? ? ? xn yn ? 1? (3 ? 1) ? 3 ? (32 ? 1) ? ? ? ? ? (2n ? 1)(3n ? 1) =1×3+3×3 +…+(2n-1)·3 -[1+3+…+(2n-1)] 2 n 2 3 n+1 记 Sn=1×3+3×3 +…+(2n-1)·3 ,① 则 3Sn=1×3 +3×3 +…+(2n-1)×3 ② 2 3 n n+1 2 n n+1 ①-②, 得-2Sn=3+2·3 +2·3 +…+2·3 - (2n-1) ·3 =2 (3+3 +…+3 ) -3- (2n-1) ·3
n ?1 3(1 ? 3n ) 3n?1 ? 2(1 ? n)· 3n?1 ? 6 ? 3 ? (2n ? 1) ? 3n?1 = 3 ? 6 ? (2n ? 1)· 1? 3
2

n

? 2?



S n ? (n ? 1)· 3n?1 ? 3.
2

又 1+3+…+(2n-1)=n



zn ? (n ?1) ? 3n?1 ? 3 ? n2 (n ? N*, n ? 2008) .

【易错点】 (1)根据框图不能正确写出数列的递推公式,解题受阻, (2)对数列 求和的方法及每种方法所适合的题型认识不清,盲目求和; (3)对指数运算不够 熟悉,导致利用错位相减法计算出的结果不正确. 变式与引申 5:已知数列 {an } 中, a1 ? 中 n=1,2,3…. (1)令 bn ? an?1 ? an ? 1, 求证数列 ?bn ? 是等比数列; (2)求数列 {an } 的通项;

1 ,点(n, 2an ?1 ? an) 在直线 y=x 上,其 2

?bn ?的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得 ⑶ 设 S n、Tn 分别为数列?a n ? 、

数列 ?

? Sn ? ?Tn ? ? 为等差数列?若存在,试求出 ? .若不存在,则说明理由. ? n ?

本节主要考查: (1)数列的有关概念,递推公式;等差数列和等比数列的定义、判定方法、 性质、通项公式和前 n 项和公式,数列求和及数列的应用(2)数列是一类特殊的函数,而 函数又是高中数学的重要内容,所以数列常与导数、不等式、三角、解析几何、概率及算法 等知识点交融命题,解决数列的通项公式及前 n 项和、证明不等关系等问题(3)简单的递 推公式求通项公式的方法,分组求和、倒序相加、裂项求和、错位相减等数列求和方法(4) 着重考查函数与方程思想、数形结合、等价转化、分类讨论等重要的数学思想. 点评: (1)“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算问题中非常重要,树立“目 标意识”, “需要什么, 就求什么”, 既要充分合理地运用条件, 又要时刻注意解题的目标; (2)数列中 S n 与 an 的关系一直是高考的热点,求数列的通项公式是最为常见的题型,要

?S , (n ? 1) n an ? ? n 切实注意 sn 与 an 之间关系的转化.如: , = a ? (ak ? ak ?1 ) a S ? S , ( n ? 2 ) ? 1 n n ?1 ? n
k ?2

等; (3)等差、等比数列的基本知识是必考内容,这类考题既有选择题,填空题,又有解答题; 有容易题、中等题,也有难题,在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式的基础上, 充分理解公式的变式及适用范围, 深化数学思想方法在解题实践中的指 导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题; (4)求和问题也是常见的试题,等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问 题应掌握,还应该掌握一些特殊数列的求和方法,如公式法、裂项相消法、错位相减法、倒 序相加法等; (5)在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的 认识,沟通各类知识的联系,形成更完整的知识网络, 进一步培养阅读理解和创新能力, 综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力; (6)解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例 分析法,一般递推法,数列求和及求通项等方法来分析、解决问题.数列与解析几何的综合 问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分, 先利用解析几何的知识以及数形结合得到 数列的通项公式,然后再利用数列知识和方法求解. 习题 3-1 1. (2011 安徽文数).若数列 an ? 的通项公式是 an ? (??)g (?n ? ?) ,则 a? ? a? ? L a?? ? (A) 15 (B) 12 (C )

?

???

(D) ???

2.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若

Sn a 2n = ,则 11 =_________. b11 Tn 3n ? 1

, 2, 3, ) 3. 数列 ?an ? 中,a1 ? 2 ,an?1 ? an ? cn( c 是不为零的常数,n ? 1 , 且 a1,a2,a3
成等比数列. (1)求 c 的值; (2)求 ?an ? 的通项公式;

(3)求数列 {

an ? c } 的前 n 项之和 Tn . n ? cn

5 . 已 知 数 列

?xn ?

3 1 ? 1? 满 足 xn?1 ? xn ? ? ? ? , n ? N * , 且x1 ? 1.设an ? xn ? , 且 4 2 ? 2?

n

T2n ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (2n ? 1)a2n?1 ? 2na2n .
(1)求 xn 的表达式; (2)求 T2 n ; 【答案】 变式与引申 1【解析】根据题意,点 (n, S n ) 适合抛物线有以下特点①开口向上,②过原点,

3?8 ? 5.5 , ,0) , (1) 由对称性可知, 另一交点为 (11 表明 S11 ? 0 . (2) 当 Sn 2 为最小时, n ? 5或6 .
③对称轴 x ? 变式与引申 2 【 解 析 】 ( 1 ) ? S n?1 ? 4an ? 2,? S n ? 4an?1 ? 2(n ? 2), 两 式 相 减 :

an?1 ? 4an ? 4an?1 (n ? 2),
? a n ? 1 ? 4(a n ? a n ? 1 )(n ? 2),? b n ? a n ? 1 ? 2a n , ? b n ? 1 ? a n ? 2 ? 2a n ? 1 ? 4(a n ? 1 ? a n ) ? 2a n ? 1 , b n ? 1 ? 2(a n ? 1 ? 2a n ) ? 2b n (n ? N *),

?

bn?1 ? 2, bn

?{bn } 是以 2 为公比的等比数列,

? b1 ? a2 ? 2a1 , 而a1 ? a2 ? 4a1 ? 2,? a2 ? 3a1 ? 2 ? 5, b1 ? 5 ? 2 ? 3,

?bn ? 3 ? 2 n?1 (n ? N*)

(2) C n ?

bn ? 2 n ?1 , 3

?

1 1 1 ? ? , n n ?1 log2 C n?1 ? log2 C n? 2 log2 2 ? log2 2 n(n ? 1)



1 1 1 ? ? , n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? . 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1
3.解 (1)因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常 数)的图像上.所以得 Sn ? bn ? r , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 , 又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 , 则 Tn ? 相 所以 an ? (b ?1)bn?1
?

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 ? ? ? 22 23 24
减 ,

?

n ?1 2n ?1


1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? n ?1 ? n ? 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n ?1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2

=

1 1 ? (1 ? n ?1 ) 1 23 n ?1 3 1 n ?1 2 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 4 2 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2
变式与引申 4 变式与引申 5 解: (1)由已知得

1 , 2an ?1 ? an ? n, 2 3 3 1 3 a2 ? , a2 ? a1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? , 4 4 2 4 a1 ?

又 bn ? an?1 ? an ?1, bn?1 ? an?2 ? an?1 ? 1,

bn ?1 an ? 2 ? an ?1 ? 1 ? ? bn an ?1 ? an ? 1 an ?1 ? an ? 1 1 2 ? ? an ?1 ? an ? 1 2

an ?1 ? (n ? 1) an ? n ? ?1 2 2 an ?1 ? an ? 1

?{bn } 是以 ?

3 1 为首项,以 为公比的等比数列. 4 2

3 1 n ?1 3 1 ?( ) ? ? ? n , 4 2 2 2 3 1 3 1 ? an ?1 ? an ? 1 ? ? ? n , ? a2 ? a1 ? 1 ? ? ? , 2 2 2 2 3 1 3 1 a3 ? a2 ? 1 ? ? ? 2 , ?????? ? an ? an ?1 ? 1 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2
(2)由(I)知, bn ? ? 将以上各式相加得:

3 1 1 1 ? an ? a1 ? (n ? 1) ? ? ( ? 2 ? ??? ? n ?1 ), 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 3 2 1 3 1 3 2 ? an ? a1 ? n ? 1 ? ? ? ? (n ? 1) ? (1 ? n ?1 ) ? n ? n ? 2. 1 2 2 2 2 2 1? 2 3 ? an ? n ? n ? 2. 2 S ? ?Tn } 是等差数列. (3)存在 ? ? 2 ,使数列 { n n 1 1 1 Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an ? 3( 1 ? 2 ? ??? ? n ) ? (1 ? 2 ? ??? ? n) ? 2n 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 2 2 ? n(n ? 1) ? 2n ? 3(1 ? 1 ) ? n ? 3n ? ? 3 ? n ? 3n ? 3. ? 3? 2 1 2n 2 2n 2 2 1? 2 3 1 ? (1 ? n ) 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 . Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 4 1 2 2n 2 2n ?1 1? 2 S ? ?Tn S ? ?Tn } 是等差数列的充要条件是 n ? An ? B, ( A 、 B 是常数 ) 数列 { n n n
即 Sn ? ?Tn ? An2 ? Bn, 又 Sn ? ?Tn ? ?

3 n2 ? 3n 3 3 n2 ? 3n ? 1 ? ? 3 ? ? ( ? ? ) ? ? 3(1 ? )(1 ? n ) n n ?1 2 2 2 2 2 2 2
2 ? 0 ,即 ? ? 2 时,数列 { S n ? ?Tn } 为等差数列. n

? 当且仅当 1 ?

?

习题 3-1 1. 【答案】A 【解析】法一:分别求出前 10 项相加即可得出结论; 法二: a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 2. 【答案】

? a9 ? a10 ? 3 ,故 a? ? a? ? L a?? ? ??? ??? .故选 A.

21 ; 32

(a1 ? a 21 ) 21(a1 ? a 21 ) a11 S 2 ? 21 21 2 2 ? ? 【解析】 = = 21 ? . b11 (b1 ? b21 ) 21(b1 ? b21 ) T21 3 ? 21 ? 1 32 2 2
3. 【解析】 (1) a1 ? 2 , a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c , 因为 a1 , a2 , a3 成等比数列, 所以 (2 ? c)2 ? 2(2 ? 3c) , (2)当 n ≥ 2 时,由于 所以 an ? a1 ? [1 ? 2 ? 解得 c ? 0 或 c ? 2 . ∵c≠0,∴ c ? 2 .

a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c ,
? (n ? 1)]c ? n(n ? 1) c. 2

an ? an?1 ? (n ?1)c ,

又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 an ? 2 ? n(n ?1) ? n2 ? n ? 2(n ? 2, 3, ) .当 n ? 1 时,上式也成立, 所以 an ? n2 ? n ? 2(n ? 1 , 2, ) . (3)令 bn ?

an ? c 1 ? (n ? 1)( ) n n 2 n?c

1 1 1 1 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?bn ? 0 ? ( ) 2 ? 2( ) 3 ? 3( ) 4 ? ? (n ? 1)( ) n ……① 2 2 2 2 1 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 Tn ? 0 ? ( ) ? 2( ) ? ? ? (n ? 2)( ) ? (n ? 1)( ) ……② 2 2 2 2 2 1 n ?1 n ? 1 ①-②得: Tn ? 1 ? ( ) ? n 2 2
4. 【分析】 (1)根据函数的导数求切线方程,然后再求切线与 x 轴的交点坐标; (2)尝试求出 通项 | P nQn | 的表达式,然后再求和.

? 【解】 (Ⅰ)设 P k ?1 ( xk ?1 ,0) ,由 y ? e 得 Qk ?1 ( xk ?1 , e
x

xk ?1

)点

处切线方程为

y ? exk?1 ? exk?1 ( x ? xk ?1 )
由 y ? 0 得 xk ? xk ?1 ?1(2 ? k ? n) 。 ( Ⅱ) x1 ? 0, xk ? xk ?1 ? ?1 ,得 xk ? ?(k ? 1) ,

xk P ? e?(k ?1) k Qk ? e

Sn ? PQ 1 1 ? PQ 2 2 ? PQ 3 3 ? ... ? P nQn

? 1 ? e?1 ? e?2 ? ... ? e? ( n?1) ?

1 ? e? n e ? e1?n ? 1 ? e?1 e ?1

①—②,得

3 ? 1? ? 1? ? 1? T2n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2? ? 2? ? 2?

2

3

2 n ?1

? 1? ? 2n? ? ? ? 2?

2 n? 2

2n 1 ? ? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? 2n?2 2n 2n 4? ? ? 2? ? ? 3 1 1? 1? n? 1? ? 1? ? T2 n ? ? 2n? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? . 1 2 2? 6 6? 2? 2? 2? ? 1? 2

1 1? 1? T2n ? ? ? ? ? 9 9? 2?

2n

n? 1? ? ?? ? 3 ? 2?

2n

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