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导数、切线、极值、最大值练习题


一、切线基础练习 3 2 1.曲线 y=x -3x +1 在点(1,-1)处的切线方程为( ) A.y=3x-4 B.y=-3x+2 C.y=-4x+3 D.y=4x-5 2 2.函数 f(x)=(x+1) (x -x+1)的导数是( ) 2 2 2 A.x -x+1 B.(x+1) (2x-1) C.3x D.3x +1 3.曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0) )处的切线方程为 3x+y+3=0,则( ) ? ? ? ? A. f (x0)>0 B. f (x0)<0 C. f (x0)=0 D. f (x0)不存在 4. 曲线 f ( x) ? ln x ? x 在点(1,-1)处的切线的倾斜角为_______________.
2

5.曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为___
x

______



6、 ?1? 已知 lim

f ( x0 ? 2△x) ? f ( x0 ) ? 1 ,求 f ?( x0 ) △ x ?0 3△x f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? 2 ? 设函数 f ( x) 在点 x0 处可导,求 lim h ?0 2h

6、 已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) . 若函数 f ( x) 的图象过原点,
3 2

且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a, b 的值;

7、运动曲线的方程为: S (t ) ?

t ?1 ? 2t 2 ,求 t=3 时的速度,加速度。 t2

8、求曲线 y ? 3 x ? x 的过点 A(2,-2)的切线方程。
3

1

9、求曲线 y=x 过点(0,-1)的切线方程

2

10、 如图, 函数 y ? f ( x) 的图象在点 P 处的切线方程是 y ? ? x ? 8 , 则 f (5) ? f ?(5) = .

11、已知曲线 y ? x ? 1 。求: (1)求曲线在点 P(1, 2) 处的切线方程;
2

(2)求曲线过点 Q(1,1) 的切线方程;

12、已知函数 f(x)=x +bx +cx+d 的图象过点 P(0,2),且在点 M 处(-1,f(-1))处的切线方程 为 6x-y+7=0,求函数的解析式

3

2

13、已知函数 f ( x) ? 数 y=f(x)的解析式;

ax ? 6 的图象在点 M(-1,f(x))处的切线方程为 x+2y+5=0。求函 x2 ? b

2

二、巩固练习 1. 曲线 y ?

x 在点 (1, ?1) 处的切线方程为 x?2

.

2、已知曲线 y ?

x ?1 在点 (3, 2) 处的切线与直线 ax ? y ?1 ? 0 垂直,则 a ? x ?1

.

3、 曲线 y ? x ? x ? 2 在点 P 处的切线与直线 y ? ?
3

1 x ?1 垂直, 则点 P 坐标为 4

.

4、已知曲线 C : y ? x ? 1 ,过曲线 C 上点 P 的切线,直线 y ? 0, x ? 1, x ? 2 围成的梯形
2

面积取得最大值时 P 的坐标为

.

5、设 P 为曲线 C : y ? x ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为
2

[0, ] ,则点 P 横坐标的取值范围为 4

?

.

6、若点 P 在曲线 y ? x ? 3 x ? (3 ? 3) x ?
3 2

3 上移动,经过点 P 的切线的倾斜角 ? ,则 4

角 ? 的取值范围为

.

3

7、已知点 P 在曲线 y ? 是 .

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围 e ?1
x

8、过点 P (1,0) 作曲线 y ? ? x 的切线 l ,则 l 的方程为
3

.

9、 曲线 y ? e 在点 (2, e ) 处的切线与坐标轴所围成的面积为
x
2

.

10、函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x ) ? 2 f (2 ? x ) ? x ? 8 x ?8 ,则曲线 y ? f ( x ) 在点
2

(1, f (1)) 处的切线方程是

.

11、对正整数 n ,设曲线 y ? x (1 ? x ) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点纵坐标为 a n ,则数列
n

{

an } 的前 n 项和的公式是 n?1

.

4

12、点 P 是曲线 y ? x ? ln x 上任意一点, P 则到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值
2



.

13、曲线 y=x +1 上过点 P 的切线与曲线 y=-2x -1 相切,求点 P 的坐标.

2

2

14、曲线 f ( x ) ? x ? ax ? b ln x 过 P (1,0) ,且在 P 点处的切斜线率为 2 ,求 a, b 的值.
2

15、已知函数 f ( x ) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ?1 x

x ? 2 y ? 3 ? 0 ,求 a, b 的值.

13.设 f(x)=

( x ? 1)( x ? 2) ? ? ? ( x ? n) ,求 f′(1) . ( x ? 1)( x ? 2) ? ? ? ( x ? n)

5

三、单调性与极值、最大值 1、已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(-1,f(-1) )
3 2

处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 .求: (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调区间.

2、已知函数 f (x) = x +ax +bx +c,当 x = -1 时取得极大值 7,当 x = 3 时取得极小值, 求极小值及此时的 a、b 值。

3

2

3、已知函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 9 x ? a. 求: (1)求 f ( x) 的单调减区间;
3 2

(2)若 f ( x) 在区间[-2,2].上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.

6

4.已知

的最大值为 3,最小值为-29,求

的值;

5.水以 20 米 3/分的速度流入一圆锥形容器,设容器深 30 米,上底直径 12 米, 试求当水深 10 米时,水面上升的速度.

6.证明方程 sinx=x 只有一个实根.

7


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