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北京2013届昌平高三二模数学文科试题及答案


昌平区 2012-2013 学年第二学期高三年级第二次质量抽测 数 学 试 卷(文科)2013.4

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、 选择题(本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 40 分. 共 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. ) 1、 i 是虚数单位,则复数 z = A.第一象限

2i ? 1 在复平面内对应的点在 i
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

2、已知集合 A ? {x | 2x ? 1}, B ? {x | x ? 1} ,则 A ? B ? A. {x | x ? 1} B. {x | x ? 0} C. {x | 0 ? x ? 1} B.命题 ?p : ?x ? R,x ? 2 D.命题 ?p : ?x ? R,x ? ?2
开始

D.

{x | x ? 1}

3、已知命题 p : ?x ? R , x ≥ 2 ,那么下列结论正确的是 A. 命题 ?p : ?x ?R,x ≤ 2 C.命题 ?p : ?x ? R,x ≤ ?2

4、 执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.102 B.81 C.39 D.21

n ? 1, S ? 0

2 5、在区间 (0, ) 上随机取一个数 x ,则事件“ tan xgcos x ? ” 2 2
发生的概率为

?

n ? 4?

S ? S ? n ? 3n



输出 S

1 1 D. 2 3 6、某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 18 %,经过 x 年,
A. B. C. 绿化面积与原绿化面积之比为 y ,则 y ? f ( x) 的图像大致为

3 4

2 3

n ? n ?1

结束

A.

B.

C.

D.

7、已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图所示,则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 A. 2 B. 3 C. 2

13
3 主视图 侧视图

D. 3 2

2
2013 昌平高三数学二模文科 第 1 页 共 8 页

3 俯视图

8、定义一种新运算:a ? b ? ? 零点,则 k 的取值范围为 A. ?1, 2?

?b,(a ? b) 4 已知函数 f ( x) ? (1 ? ) ? log 2 x ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? k 恰有两个 x ?a,(a ? b)

B. (1, 2)

C. (0, 2) 共 110 分)

D. (0,1)

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9、在△ABC 中,若 a ? 4, b ? 5, c ? 61 ,则 ?C 的大小为_________. 10、双曲线 x ?
2

y2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 3x ,则 b2
频率 组距 0.064 0.060

b?

.

11、 某高校在 2013 年的自主招生考试成绩中随机抽取 50 名学生的笔 试成绩,绘制成频率分布直方图如图所示,由图中数据可知 a = ;若要从成绩在 ?85,90? , ?90,95? ,

?95,100? 三组内
a 0.020 0.016

的学生中, 用分层抽样的方法选取 12 人参加面试, 则成绩在 ?95,100? 内 的学生中,学生甲被选取的概率为 12、设 ? .

? x ? y ? 0, 2 与抛物线 y ? ?4x 的准线围成的三角形区域(包含 ?x ? y ? 0

O

75

80

85

90

95 100 分数

边界)为 D , P( x, y) 为 D 内的一个动点,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值为 13、如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60 ,
?

_

??? ??? ? ? E 为 CD 的中点,则 AE ? BD 的值为

D

E

C

A
14、对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,给出定义:

B

设 f ' ( x) 是函数 y ? f ( x) 的导数, f '' ( x) 是函数 f ' ( x) 的导数,若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 ; x0 , 则称点( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点” 任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数 f ( x) ? 你根据上面探究结果,解答以下问题: ①函数 f ( x) ?

1 3 1 2 5 x ? x ? 3 x ? ,请 3 2 12

1 3 1 2 5 x ? x ? 3 x ? 的对称中心坐标为 3 2 12
第 2 页 共 8 页

_



2013 昌平高三数学二模文科

②计算 f (

1 2 3 2012 )? f ( )? f ( ) ??? f ( )= 2013 2013 2013 2013

__ .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15、 (本小题满分 13 分) 已知 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,且 a3 ? S3 ? 9 . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若等比数列 {bn } 满足 b1 ? a2 , b4 ? S4 ,求 {bn } 的前 n 项和公式.

16、 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin(? ? 2x) ? 2cos2 x ?1, x ? R . (Ⅰ)求 f ( ) ;

?

2

(Ⅱ)求 f (x) 的最小正周期及单调递增区间.

17、 (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧面 PAD ? 底面 ABCD ,且 PA ? PD ?

P D A F

E C

2 AD ? 2 , 2

E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. (Ⅰ) 求证: EF / / 平面 PAD ; (Ⅱ) 求三棱锥 P ? BCD 的体积;

B

(Ⅲ) 在线段 AB 上是否存在点 G, 使得 CD ? 平面EFG ?说明理由.

18、 (本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x(a ? 0). 2

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 2 处的切线与直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 平行,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [1, e] 上的最小值.

19、 (本小题满分 13 分) 已知椭圆

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 且过点 (0,1) . 2 a b 3

(I)求此椭圆的方程;
2013 昌平高三数学二模文科 第 3 页 共 8 页

(II)已知定点 E (?1,0) ,直线 y ? kx ? 2 与此椭圆交于 C 、 D 两点.是否存在实数 k ,使得以线段 CD 为直 径的圆过 E 点.如果存在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由. 20、 (本小题满分 14 分) 如果函数 y ? f (x) 的定义域为 R ,对于定义域内的任意 x ,存在实数 a 使得 f ( x ? a) ? f (? x) 成立,则称此 函数具有“ P (a ) 性质” . (I)判断函数 y ? sin x 是否具有“ P (a ) 性质” ,若具有“ P (a ) 性质” ,求出所有 a 的值;若不具有“ P (a ) 性 质” ,请说明理由; (II)设函数 y ? g (x) 具有“ P(?1) 性质” ,且当 ? 为 2013 个,求 m 的值.

1 1 ? x ? 时, g( x) ? x .若 y ? g (x) 与 y ? mx 交点个数 2 2

2013 昌平高三数学二模文科

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昌平区 2012-2013 学年第二学期高三年级期第二次质量抽测数 学 试卷(文科)2013.04

参考答案
一、 选择题(本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 40 分. 共 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. )
题 号 答案 1 A 2 C 3 B 4 A 5 C 6 D 7 D 8 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) 9、 120? ; 10、

3 ;11、0.040 ,

2 1 ; 12、3; 13、1; 14、 ( , 1) ,2012 ; 5 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15、(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d .因为 a3 ? S3 ? 9 , 所以 ?

? a1 ? 2d ? 9 ?3a1 ? 3d ? 9

解得 a1 ? ?3, d ? 6 ............................................................4 分

所以 an ? ?3 ? (n ? 1) ? 6 ? 6n ? 9 ....................................................................................6 分 (II)设等比数列 {bn } 的公比为 q ,因为 b1 ? a2 ? (?3) ? 6 ? 3, b4 ? S4 =-12+36=24, 所以 3q ? 24, 解得,q ? 2.
3

所以 {bn } 的前 n 项和公式为 Tn ?

b1 (1 ? q n ) ? 3(2n ? 1). ...................13 分 1? q

16、 (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)? f ( x) ? 3 sin(? ? 2 x) ? 2 cos x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?
2

?
6

) ??..4 分

? ? 1 ? f ( ) ? 2sin(? ? ) ? 2 ? ? 1 ??????????????.6 分 2 6 2 ? (Ⅱ) f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 的最小正周期 T ? ? ,??????????8 分 6 ? ? ? ? ? 又由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ? k? ? ? x ? k? ? (k ? Z) 可得 2 6 2 6 3 ? ?? ? 函数 f (x) 的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? (k ? Z) .???13 分 6 3? ?
17、 (本小题满分 14 分)

(Ⅰ)证明:连结 AC ? BD ? F , ABCD 为正方形, F 为 AC 中点, E 为 PC 中点. ∴在 ?CPA 中, EF // PA 且 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD ∴ EF / /平面PAD .........4 分 ........ ......... ...........2 分

P D A O G F

E C

(Ⅱ)解:如图,取 AD 的中点 O , 连结 OP . ∵ PA ? PD , ∴ PO ? AD .
2013 昌平高三数学二模文科 第 5 页 共 8 页

B

∵侧面 PAD ? 底面 ABCD ,

平面PAD ? 平面ABCD ? AD , ∴ PO ? 平面ABCD .
又 PA ? PD ?

2 AD ? 2, 所以 ?PAD 是等腰直角三角形, 2

1 AD ? 2, 2 1 1 在正方形 ABCD 中, S ?BCD ? S正方形ABCD ? ? 2 2 ? 2 2 ? 4 2 2
且 AD ? 2 2, PO ?

1 1 4 2 VP ? BCD ? S?BCD ?PO ? ? 4 ? 2 ? . ?????????????????..9 分 3 3 3
(III)存在点 G 满足条件,理由如下:设点 G 为 AB 中点,连接 EG, FG. 由 F 为 BD 的中点,所以 FG // AD , 由(I)得 EF // PA ,且 FG ? EF ? F , AD ? PA ? A, 所以 平面EFG//平面PAD . ∵侧面 PAD ? 底面 ABCD , 平面PAD ? 平面ABCD ? AD ,

CD ? AD,

?CD ? 平面PAD 所以, CD ? 平面EFG .
所以, AB 的中点 G 为满足条件的点.??????????????14 分 18、 (本小题满分 13 分)

a x2 ? a . 解: (I) f ( x ) 的定义域为 (0,??). f '( x) ? x ? ? x x
由 f ( x ) 在 x ? 2 处的切线与直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 平行,则 f '(2) ?

4?a 3 ? , a ? 1. ?.4 分 2 2

此时 f ( x) ?

1 2 x2 ?1 x ? ln x, f '( x) ? . 令 f '( x) ? 0,得x ? 1. 2 x

f (x) 与 f ?(x) 的情况如下:

x
f ?(x) f (x)

( 0,1 ) — ↘

1 0

(1, ??)
+ ↗

1 2

所以, f (x) 的单调递减区间是( 0,1 ) ,单调递增区间是 (1, ??) ………………………7 分 (II)由 f '( x) ? x ?

a x2 ? a ? . x x
第 6 页 共 8 页

2013 昌平高三数学二模文科

由 a ? 0 及定义域为 (0, ??) ,令 f '( x) ? 0, 得x ? a.
①若 a ? 1,即0 ? a ? 1, 在 (1, e) 上, f '( x) ? 0 , f (x) 在 [1, e] 上单调递增, f ( x) min ? f (1) ?

1 ; 2

② 若 1 ? a ? e,即 ? a ? e2 , 在 1, a ) 上, f '( x) ? 0 , f (x) 单调递减;在 a , e) 上, f '( x) ? 0 , f (x) 1 ( ( 单调递增,因此在 [1, e] 上, f ( x) min ? f ( a ) ?

1 a(1 ? ln a) ; 2 1 2 e ? a. 2

③ 若 a ? e,即a ? e2 , 在 (1, e) 上, f '( x) ? 0 , f (x) 在 [1, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ?

) n 综 上 , 当 0 ? a ? 1 时 , f (x m i ? f ( xm i ? ) n

1 1 2 ; ) n a( 1 ? 当 1 ? a ? e 时 , f ( xm i ? 2 2

l a当 )a;? e2 时 , n

1 2 e? a . …………………………………………………………………..13 分 2

19、 (本小题满分 13 分)

?c 6 ? ? ?a 2 ? 3 3 ?a ? x2 y2 ? , 解得,b 2 ? 1 . 所以椭圆方程为 ? ? 1 .………………………5 分 解: (1)根据题意, ?b ? 1 ? 3 1 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?c 2 ? 2 ? ? ? ?
2 2 ( II ) 将 y ? k x? 2 代 入 椭 圆 方 程 , 得 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 9 ? 0 , 由 直 线 与 椭 圆 有 两 个 交 点 , 所 以

? ? (12k )2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0 ,解得 k 2 ? 1 .
设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) , 则 x1 ? x 2 ? ?

12k 9 , x1 ? x2 ? , 若 以 CD 为 直 径 的 圆 过 E 点 , 则 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

EC ? ED ? 0 ,即 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 ,
而 y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) = k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ,所以

( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? k 2 ?1) x1x2 ? (2k ?1)( x1 ? x2 ) ? 5 ? (
解得 k ?

9(k 2 ? 1) 12k (2k ? 1) ? ?5 ? 0, 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

7 2 ,满足 k ? 1 . 6 7 所以存在 k ? , 使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点. ·····························13 分 ···························· 6
20、 (本小题满分 14 分) 解: (I)由 sin( x ? a) ? sin( ? x) 得 sin(x ? a) ? ? sin x ,根据诱导公式得 a ? 2k? ? ? (k ? Z) .? y ? sin x 具 有“ P (a ) 性质” ,其中 a ? 2k? ? ? (k ? Z) .??????4 分 (II)? y ? g (x) 具有“ P(?1) 性质” ? g (1 ? x) ? g (? x) , g (?1 ? x) ? g (? x) , ,

2013 昌平高三数学二模文科

第 7 页 共 8 页

? g ( x ? 2) ? g (1 ? 1 ? x) ? g (?1 ? x) ? g ( x) ,从而得到 y ? g (x) 是以 2 为周期的函数.
]

[来源:学,科,网 Z,X,X,K

又设

1 3 1 1 ? x ? ,则 ? ? 1 ? x ? , 2 2 2 2

g( x) ? g( x ? 2) ? g(?1 ? x ? 1) ? g(?x ? 1) ? ? x ? 1 ? x ? 1 ? g ( x ? 1) .
1 1 ? x ? n ? (n ? Z) , 2 2 1 1 1 1 当 n ? 2k ( k ? z ) 2k ? ? x ? 2k ? ,则 ? ? x ? 2k ? , , 2 2 2 2
再设 n ?

g( x) ? g( x ? 2k ) ? x ? 2k ? x ? n ;
1 1 1 3 ? x ? 2k ? 1 ? 则 ? x ? 2k ? , g( x) ? g( x ? 2k ) ? x ? 2k ?1 ? x ? n ; 2 2 2 2 1 1 1 1 ( n? z ) , 都 有 g ( x) ? x ? n , 而 n ? 1 ? ? x ? 1 ? n ? 1 ? , ? 对 于 n? ? x?n? 2 2 2 2
当 n ? 2k ? 1 (k ? Z) , 2k ? 1 ?

? g( x ? 1) ? ( x ? 1) ? (n ? 1) ? x ? n ? g( x) ,? y ? g (x) 是周期为 1 的函数.
①当 m ? 0 时,要使得 y ? mx 与 y ? g (x) 有 2013 个交点,只要 y ? mx 与 y ? g (x) 在 [0, 1006 有 2012 个 ) 交点,而在 [1006 1007 有一个交点.? y ? mx 过 ( , ] ②当 m ? 0 时,同 理可得 m ? ? ③当 m ? 0 时,不合题意. 综上所述 m ? ?

2013 , 2

1 1 ) ,从而得 m ? 2 2013

1 2013

1 ??????????14 分 2013

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