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湖北省武汉市第二中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学(文word含答案)试题


武汉二中 2014-2015 学年度下学期期末联考

高一文科数学试卷
命题学校: 武汉二中
考试时间:2015 年 7 月 2 日上午 9:00—11:00

命题教师: 周尤芳
试卷满分:150 分

第I卷 一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.
只有一项是符合题目要求的.) 1.设集合 A ? {x | ?1 ≤x≤2},B= {x | x ? 4 x ? 0, x ? R} ,则 A ? (CR B) = A.[1,2] B.[0,2] C. [1,4] D.[0,4]
2

在每小题给出的四个选项中,

? 2 ?? , x ? 0 2. f ?x ? ? ? x ,则 f ? f ?? 1??等于 ? ?3 ? log2 x, x ? 0
A、 ? 2 B、 2 C、 ? 4 D、 4 3.下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? A. y ? sin( 2 x ? C. y ? sin( 2 x ?

?

? ?
6 3

) )

B. y ? sin( 2 x ? D. y ? sin( 2 x ?

?
3

3

对称的是

) )

?
6

sin47° -sin17° cos30° 4. = cos17° A.- 3 2 1 B.- 2 1 C. 2 D. 3 2

5.若向量 a ? 2 , b ? 2 , ? a ? b ? ? a ,则 a 、 b 的夹角是 A.

5 ? 12

B.

? 3

C. ?

1 6

D.

1 ? 4

6.设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 , 则 a11 ? a12 ? a13 ? A、75 B、90 C、105 D、120

7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1 cm,某空 间几何体 的三视图如右图所示,则该几何体的体积为
]

A. 2 cm3

B. 4 cm3

第 1 页 (共 1 页)

C. 6 cm3

D.8 cm3

8.已知向量 a ? ?2,3? , b ? ??1,2? ,若 ma ? 4b 与 a ? 2b 共线,则 m 的值为

A.

1 2

B.2

C. ?

1 2

D. ? 2

9.不等式 x 2 ? 2 x ? A. (?2,0)

a 16b 对任意 a, b ? (0, ??) 恒成立,则实数 x 的取值范围是 ? b a B. ( ??, ?2) (0, ??) C. (?4, 2) D. ( ??, ?4) (2, ??)
[来源:学科网]

10.已知数列{an}满足 a1=0,an+1=an+2n,则 a2 016 等于 A.2 016×2 017 C.2 014×2 015 B.2 015×2 016 D.2 016×2 016
2 2

11.若直线 ax+by-1=0 与圆 x +y =1 相交,则点 P(a,b)的位置是 A、在圆上 B、在圆外 C、在圆内 D、以上皆有 可能

12.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F, 1 且 EF= ,则下列有四个结论:① .AC⊥BE 2 ③ .三棱锥 A-BEF 的体积为定值 其中错误 的结论个数 是 .. ..... A.0 B.1 C. 2 D.3 ② .EF∥平面 ABCD

④ .△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 .

第 II 卷 二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡 对应题 ... ...
号 的位 置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ) . 13.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3、4、5,且它的 8 个顶点都在同一球面上, 则这个球的表面 积是 ▲ 14.已知点 A(-1,2) , B(2,-2) , C(0,3) , 若点 M (a, b) 是线段 AB 上的一点 ( a ? 0) , 则直线 CM 的斜率的取值范围是 ▲
2 2 ? ??x-3? +?y-2? ≤1, y ? 15.已知实数 x,y 满足条件 则 z= 的最小值为 x - 2 ?x-y-1≥0, ?



16.已知 m、n 是直线, ? , ? , ? 是平面,给出下列命题

第 2 页 (共 2 页)

(1)若 ??? , ??? ,则 ? // ? (3)若 ? 内不共线三点

(2)若 n?? , n?? , 则 ? // ?

A,B,C 到 ? 的距离都相等,则 ? // ?

(4)若 n ? ? , m ? ? , 且 n // ? , m // ? , 则? // ? (5)若 m,n 为异面直线,且 n ? ? , n // ? , m ? ? , m // ? , 则? // ? . 则其中正确命题的序号是 ▲ .

三.解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.) 17.(本小题满分 12 分)已知直线 l 的方程为: (2 ? m) x ? (1 ? 2m) y ? (4 ? 3m) ? 0. (1)求证:不论 m 为何值,直线必过定点 M; (2)过点 M 引直线 l1 ,使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小,求 l1 的方程。

[来源:学科网]

18.(本小题满分 12 分)已知△ ABC 的三内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,向量 1 m=(sinB,1-c osB)与向量 n=(2,0)的夹角 θ 的余弦值为 . 2 (1)求角 B 的大小 (2)若 b= 3,求 a+c 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分)已知圆错误!未找到引用源。与直线 l:x+2y-3=0. (1)若直线 l 与圆 C 没有公共点,求实数 m 的取值范围; (2)若直线 l 与圆 C 相交于 P,Q 两点,O 为原点,且 OP⊥ OQ,求实数 m 的值.

20 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 直 四 棱 柱 ABCD—A1B1C1D1 的 底 面 是 菱 形 , 且
?DAB ? 60?, AD ? AA1 ,F 为棱 BB1 的中点 M 为线段 AC1 的中点.

(1)求证: 直线 MF//平面 ABCD; (2)求证:平面 AFC1⊥ 平面 ACC1A1。

第 3 页 (共 3 页)

21.(本小题满分 12 分)已知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)是否存在正整数 m,使得 + +…+ ≥1?若存在,求 m 的最小值;若不存在, a1 a2 am 说明理由. 22. (本小题满分 10 分)设不等式 求实数 a 的取值范围? 的解集为 M,如果 M ? [1,4] ,

第 4 页 (共 4 页)

武汉二中 2014-2015 学年度下学期期末联考

高一文科数学参考答案
一、 选择题 1 B 2 D 3 D 4 C 5 D 6 C 7
[来源:学_科_网

8 D

9 C

10 B

11 B

12 B

Z_X_X_K]

B

二、 填空题 13

50?

14

_ _ ? ? ?,? ? ? ?1,??? __ 2

? ?

5? ?

15

3 4

16

(2) (5)

三、 解答题 17. (1)证明:原方程整理得: ( x ? 2 y ? 3)m ? 2 x ? y ? 4 ? 0.

由?

? x ? 2 y ? 3 ? 0, ?2 x ? y ? 4 ? 0.

? x ? ?1, ∴不论 m 为何值,直线必过定点 M(-1,-2) ?? ? y ? ?2.

(2)解:设直线 l1 的方程为. y ? k ( x ? 1) ? 2(k ? 0). 令 y ? 0, x ? ∴ S? ?

k ?2 , ?k

令x ? 0, y ? k ? 2.

1 k ?2 1 4 1 | || k ? 2 |? [(?k ) ? ? 4] ? (4 ? 4) ? 4. 2 ?k 2 ?k 2

当且仅当 ? k ?

4 , 即 k ? ?2 时,三角形面积最小. ?k

则 l1 的方程为 2 x ? y ? 4 ? 0. 18. (1)∵m=(sinB,1-cosB),n=(2,0),∴m· n=2sinB,
[来源:学。科。网]

B |m|= sin2B+ -cosB2= 2-2cosB=2|sin |. 2

B π B B ∵0<B<π,∴0< < .∴sin >0. ∴|m|=2sin .又∵|n|=2, 2 2 2 2 ∴cosθ= m· n 2sinB B 1 = =cos = . |m|· |n| B 2 2 4sin 2 B π 2 ∴ = ,∴B= π. 2 3 3

(2)由余弦定理,得 a+c 2 3 2 b2=a2+c2-2accos π=a2+c2+ac=(a+c)2-ac≥(a+c)2-( ) = ( a+c)2, 3 2 4 当且仅当 a=c 时,取等号.∴(a+c)2≤4,即 a+c≤2. 又 a+c>b= 3,∴a+c∈( 3,2].

第 5 页 (共 5 页)

37-4m 1 19. (1)圆的方程为(x+ )2+(y-3)2= , 2 4 37-4m 37 故有 >0,解得 m< . 4 4 将直线 l 的方程与圆 C 的方程组成方程组,
? ?x+2y-3=0, 得? 2 2 ?x +y +x-6y+m=0, ?

3-x 2 3-x 消去 y,得 x2+( ) +x-6× +m=0. 2 2 整理,得 5x2+10x+4m-27=0.①∵直线 l 与圆 C 没有公共点,∴方程①无解. 37 故有 Δ=102-4× 5(4m-27)<0,解得 m>8.∴m 的取值范围是(8, ). 4 (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2), → → 由 OP⊥OQ,得OP· OQ=0,即 x1x2+y1y2=0.② 由(1)及根与系数的关系,得 4m-27 x1+x 2=-2,x1x2= .③ 5 又∵P,Q 在直线 x+2y-3=0 上, 3-x1 3-x2 1 ∴y1y2= × = [9-3(x1+x2)+x1x2]. 2 2 4 m+12 将③代入上式,得 y1y2= ,④ 5 将③④代入②,得 x1x2+y1y2= 4m-27 m+12 + =0, 解得 m=3. 5 5

代入方程①检验得 Δ>0 成立,∴m=3. 20. (Ⅰ)延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N,连结 AN.因为 F 是 BB1 的中点,所以 F 为 C1N 的中点,B 为 CN 的中点.又 M 是线段 AC1 的中点,故 MF//AN.

又? MF ? 平面ABCD, AN ? 平面ABCD.
? MF // 平面ABCD.
(Ⅱ) 证明: 连 BD, 由直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 可知: A1 A ? 平面 ABCD, 又∵BD ? 平面 ABCD,? A1 A ? BD.

? 四边形 ABCD 为菱形,? AC ? BD .

又 ? AC ? A1 A ? A, AC, A1 A ? 平面ACC1 A1 ,

? BD ? 平面A C C 1A 1.

在四边形 DANB 中,DA∥BN 且 DA=BN,所以四边形 DANB 为平行四边形.
第 6 页 (共 6 页)

故 NA∥BD,? NA ? 平面 ACC1A1. 又 ? NA ? 平面AFC1

? 平面AFC1 ? 平面 ACC1A1.
21. (1)设等比数列{an}的公比为 q,
3 3 ? ?a1q =125, ? 则由已知可得 2 ?|a1q-a1q |=10, ?

5 ? ? ?a1=3, ?a1=-5, 解得? 或? ?q=-1. ? ? ?q=3 5 n-1 - 故 an= · 3 ,或 an=-5· (-1)n 1. 3 5 n-1 1 3 1 n-1 (2)若 an= · 3 ,则 = · ( ) . 3 an 5 3
[来源:Z。xx。k.Com]

1 3 1 故{ }是首项为 ,公比为 的等比数列. an 5 3 3 1 · [1- m] 5 3 1 9 1 9 从而 ∑ = = · [1-( )m]< <1. = 1 10 3 10 n 1 an 1- 3
m

1 1 - - 若 an=-5· (-1)n 1,则 =- (-1)n 1. an 5 1 1 故{ }是首项为- ,公比为-1 的等比数列 . an 5
* ? 1 1 ?-5,m=2k- k∈N , 从而 ∑ =? n=1 an ?0,m=2kk∈N* ? m m m

故∑ =

n 1

1 <1. an

综上,对任何正整数 m,总有 ?

n=1

1 <1. an

1 1 1 故不存 在正整数 m,使得 + +…+ ≥1 成立. a1 a2 am 22. M ? [1,4]有两种情况:其一是 M= ? ,此时 Δ<0;其二是 M≠ ? ,此时 Δ=0 或 Δ>0,分三种情况计算 a 的取值范围。 设 f(x)=x2 -2ax+a+2,有 Δ=(-2a)2-(4a+2)=4(a2-a-2) 当 Δ<0 时,-1<a<2,M= ? ? [1,4] ; 当 Δ=0 时,a=-1 或 2; 当 a=-1 时 M={-1} ? [1,4] ;当 a=2 时,m={2} ? [1,4] 。 当 Δ>0 时,a<-1 或 a>2。 设方程 f(x)=0 的两根 x1,x2,且 x1<x2,

第 7 页 (共 7 页)

? f (1) ? 0, 且f (4) ? 0 那么 M=[x1,x2] ,M ? [1,4] ? 1≤x1<x2≤4 ? ? , ?1 ? a ? 4, 且? ? 0
?? a ? 3 ? 0 ?18 ? 7a ? 0 18 ? 即? ,解得 2<a< , 7 ?a ? 0 ? ?a ? ?1或a ? 2

∴M ? [1,4]时,a 的取值范围是(-1,

18 )。 7

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