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2019高三一轮复习创新设计文科数学第四章 第1节.

第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数 最新考纲 1.了解任意角的概念和弧度制的概念;2.能进行弧度与角度的互化; 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 知 识 梳 理 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所 成的图形. ?按旋转方向不同分为正角、负角、零角W. (2)分类? ?按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合 S={β|β=α+k· 360° ,k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,弧度记作 rad. (2)公式 角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 3.任意角的三角函数 l |α|=r(弧长用 l 表示) π ?180? ①1° =180 rad;②1 rad=? π ?° ? ? 弧长 l=|α|r 1 1 S=2lr=2|α|r2 三角函数 正弦 余弦 正切 设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那 么 定义 y 叫做 α 的正弦, 记作 sin α Ⅰ 各象 限符 号 Ⅱ Ⅲ Ⅳ + + - - x 叫做 α 的余弦, 记作 cos α + - - + y x叫做 α 的正切, 记作 tan α + - + - 三角函数 线 有向线段 MP 为正 有向线段 OM 为余 弦线 [常用结论与微点提醒] 1.三角函数值在各象限的符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦. π? ? 2.若 α∈?0,2?,则 tan α>α>sin α. ? ? 3.角度制与弧度制可利用 180° =π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制 度必须一致,不可混用. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)小于 90° 的角是锐角.( ) ) ) ) 弦线 有向线段 AT 为正 切线 (2)锐角是第一象限角,反之亦然.( (3)将表的分针拨快 5 分钟,则分针转过的角度是 30° .( (4)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.( π? ? 解析 (1)锐角的取值范围是?0,2?. ? ? (2)第一象限角不一定是锐角. (3)顺时针旋转得到的角是负角. (4)终边相同的角不一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.角-870° 的终边所在的象限是( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限 解析 由-870° =-3× 360° +210° ,知-870° 角和 210° 角终边相同,在第三象限. 答案 C ? ? ? π π 3.集合?α?kπ+4≤α≤kπ+2,k∈Z?中的角所表示的范围(阴影部分)是( ? ? ? ) π π π π 解析 当 k=2n(n∈Z)时,2nπ+4≤α≤2nπ+2,此时 α 表示的范围与4≤α≤2表 示的范围一样; 5π 3π 5π 3π 当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+ 4 ≤α≤2nπ+ 2 ,此时 α 表示的范围与 4 ≤α≤ 2 表 示的范围一样. 答案 C 4.(必修 4P15T2 改编)已知角 θ 的终边过点 P(-12,5),则 cos θ=________. x 解析 ∵角 θ 的终边过点 P(-12,5),∴x=-12,y=5,r=13,∴cos θ=r =- 12 13. 12 答案 -13 5.已知在半径为 120 mm 的圆上,有一段弧长是 144 mm,则该弧所对的圆心角的 弧度数为________rad. l 144 解析 由题意知 α=r=120=1.2 rad. 答案 1.2 考点一 角的概念及其集合表示 α 【例 1】 (1)若角 α 是第二象限角,则2是( A.第一象限角 C.第一或第三象限角 ) B.第二象限角 D.第二或第四象限角 (2)终边在直线 y= 3x 上,且在[-2π,2π)内的角 α 的集合为________. π 解析 (1)∵α 是第二象限角,∴2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z, π α π ∴4+kπ<2<2+kπ,k∈Z. α 当 k 为偶数时,2是第一象限角; α 当 k 为奇数时,2是第三象限角. (2)如图,在坐标系中画出直线 y= 3x,可以发现它与 x 轴的夹角 π π 4 是3,在[0,2π)内,终边在直线 y= 3x 上的角有两个:3,3π;在 2 5 [-2π,0)内满足条件的角有两个:- π,- π,故满足条件的角 3 3 ? 5 2 π 4 ? α 构成的集合为?-3π,-3π,3,3π?. ? ? ? 5 2 π 4 ? 答案 (1)C (2)?-3π,-3π,3,3π? ? ? 规律方法 1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角:先写出与这个角的 终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需的角. α 2.确定 kα, k (k∈N*)的终边位置的方法 α 先用终边相同角的形式表示出角 α 的范围,再写出 kα 或 k 的范围,然后根据 k 的 α 可能取值讨论确定 kα 或 k 的终边所在位置. ? ? ? k 180° +45° ,k∈Z?, 【训练 1】 (1)(一题多解)设集合 M=?x?x=2· ? ? ? ? ? ? k 180° +45° ,k∈Z?,那么( N=?x?x=4· ) ? ? ? A.M=N B.M?N C.N?M D.M∩N=? (2)已知角 α 的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界),则角 α 用集合可 表示为________. 解析 (1)法一 225° ,…}, ? ? ? k 180° +45° ,k∈Z?={…,-45° 由于 M=?x?x=2· ,45° ,135° , ? ? ? ? ? ? k 180° +45°

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