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(北师大版)数学必修四:1.3《弧度制》ppt课件(2)_图文

写出满足下列条件的角的集合. () 1 锐角 (2) 0 到90 的角 (3) 第一象限的角 (4) 小于90 的角
o o o

引入
我们在平面几何中研究角的度量,当时是用 度做单位来度量角,1°的角是如何定义的?
1 。 规定周角的 360 为1 的角。

我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制。

弧度制定义
我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角.

这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度
制,它的单位是弧度,单位符号是rad. 若弧是一个半圆,则其圆心角的弧度数是 多少?若弧是一个整圆呢?

为什么可以用弧长与其半径的比值来度 量角的大小呢?即这个比值是否与所取的圆 的半径大小无关呢?

一般地有:正角的弧度数是一个正数,负角

的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0;角 ?
的弧度数的绝对值

l | ? |? r
其中 l是以角? 作为圆心角时所对的弧长,

r是圆的半径。

角度制与弧度制的换算
1 把角度换成弧度 2 把弧度换成角度

360 ? 2? rad
o

2?

rad=360。 rad=180。

180 ? ? rad ? 1 ? rad ? 0.01745rad 180

?

? 180 ? 1rad ? ? ? ? 57.30 ? 57 18' ? ? ?

写出一些特殊角的弧度数
角 度

0

?

30? 45? 60? 90? 120? 135? 150 ?180 ? 270? 360?

弧 度

0

? ? 6 4

? 3

? 2

2? 3? 5 ? 3 4 6

?

3? 2? 2

注:今后我们用弧度制表示角的时候,“弧度”二 字或者“rad”通常省略不写,而只写这个角所对应 。 的弧度数。但如果以度( )为 单位表示角时,度 。 ( )不能省略。

例1 把 67?30? 化成弧度.

? 1? 解:∵ 67 30? ? ? 67 ? ? 2?
?

?

? 1 3 rad ? 67 ? ? rad ∴ 67 30? ? 180 2 8
?

4 例2 把 ? rad 化成度. 5
4 4 ? ? ? rad ? ? 180 ? 144 解: 5 5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 ? ? 弧度这个关键.

角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度,角度制 是以“度”为单位度量角的制度; ②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧) 的大小,而 1o 是圆的 的大小;
1 360

所对的圆心角(或该弧)

③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大 小都是一个与圆的半径大小无关的定值.

例3 计算:
? tan 1.5 . (1) sin ;(2) 4

? ? 2 ? ? 解:(1)∵ ? 45 ∴ sin ? sin 45 ? 4 2 4
(2)∵

57.30 ?1.5 ? 85.95 ? 85 57?
? ? ?

? tan 1 . 5 ? tan 85 57? ? 14.12 ∴

角的集合与实数集之间的一一对应关系:
正角 零角 负角 正实数 零 负实数

1 lR 例4利用弧度制证明扇形面积公式 S ? ,其中 是扇形 l 2
的弧长,R是圆的半径。
弧长公式:l

? ? ? r即弧长等于弧所对的圆

心角的弧度数的绝对值与半径的乘积。

例5
把下列各角化成 2k? ? ??0 ? ? ? 2?,k ? Ζ?的形式:

16? 11? ? (1 ) ;(2)? 315 ;(3) ? . 3 7

例6 求图中公路弯道处弧

的长

l

(精确到1m,图中长度单位:m).

练习
(1)若三角形的三个内角之比是2:3:4,求
其三个内角的弧度数. (2)已知扇形的周长为8cm,面积为4cm2,求扇 形的中心角的弧度数.

(3)下列角的终边相同的是(

).

? ? A. k? ? 与 2k? ? ,k ? Ζ 4 4 ? 2? B. 2k? ? 与 ? ? ,k ? Ζ 3 3

k? ? 与 k? ? ,k ? Ζ C. 2 2
D.

?2k ? 1??与 3k?,k ? Ζ

小结
(1) 180
?

? ? 弧度;


? ( 2)“角化弧”时,将n 乘以 ;“弧化角”时, 180 180
将 ?乘以 (3)弧长公式: l

?

? ? ?r
r 为圆半径.)

1 1 2 扇形面积公式: S ? lr ? r ?(其中 l为圆心角? 所 2 2
对的弧长,? 为圆心角的弧度数,


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