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必修四三角函数与平面向量高考类型经典题及答案

高考类型经典题及答案
一、选择题
1 .若 ? ?

3 7 ?? ? ? ,则 sin ? ? , ? , sin 2? = ? 8 ?4 2?
B.





A.

3 5

4 5

C.

7 4

D.

3 4
( )

2 .已知 sin ? ? cos ?

? 2 , ? ?(0,π ),则 tan ? =
B. ?

A. ? 1

2 2

C.

2 2

D.1

3.若 tan ? +

1 =4,则 sin2 ? = tan ?
B.





A.

1 5

1 4

C.

1 3

D.

1 2
( )

4.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? ?

3 ,则 cos 2? ? 3
C.

A. ?

5 3

B. ?

5 9

5 9

D.

5 3
)

5.已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数 k=( 9 A.-2 B.0 C.3 15 D. 2

6.设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a·b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 → → → → → → 7.[2014· 广东韶关一模] 已知向量AB与AC的夹角为 120°,且|AB|=2,|AC|=3.若AP=λAB → → → +AC,且AP⊥BC,则实数 λ 的值为( 3 A.7 B.13
? ?x,x≥y, ?y,x<y, ?

) C.6 12 D. 7 设 a,b 为平面向量,则( )

8. 记 max{x,y}=?

min{x,y}=?

? ?y,x≥y, ?x,x<y. ?

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|} B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|} 2 2 2 2 C.max{|a+b| ,|a-b| }≤|a| +|b| 2 2 2 2 D.max{|a+b| ,|a-b| }≥|a| +|b|

→ → → 9.如图 X19?1 所示,在三角形 ABC 中,BD=2CD.若AB=a,AC=b,则AD=(

)

图 X19?1 1 2 A.3a+3b 2 1 B.3a+3b 2 1 C.3a-3b 2 2 D.3a-3b

→ 10.在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3),C(3,0),动点 D 满足|CD| → → → =1,则|OA+OB+OD|的最大值是=( ) . A. 7 +1 B. 7 -1 C. 7 D. 2 7 11. 已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BE=λ BC,

DF=μ DC.若AE·AF=1,CE·CF=- ,则 λ +μ =(
A. 1 2 2 B. 3 5 C. 6





→ →

2 3

) 7 D. 12

→ → 2 12.已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,OA·OB=2(其 中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( A.2 二、填空题
13.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ?

) D. 10

B.3

17 2 C. 8

? ?

? ?? 4 ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为____. 6? 5 12
y P x

14.函数 f(x)=sin ( ? x ? ? )的导函数 y ? f ?( x) 的部分图像如

图 4 所示,其中,P 为图像与 y 轴的交点,A,C 为图像与 x 轴的 两个交点,B 为图像的最低点.若 ? ?

?
6

,点 P 的坐标为(0,

O A

C

3 3 ),则 ? ? ______ ; 2

B

图4

→ 1 → → → → 15. 已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若AO= (AB+AC),则AB与AC的夹角为________. 2 π 16. 设 0<θ < , 向量 a=(sin 2θ , cos θ ), b=(cos θ , 1), 若 a∥b, 则 tan θ =________. 2 三、解答题 17. (本小题满分 13 分(Ⅰ)小问 8 分(Ⅱ)小问 5 分) 设 f ? x ? ? 4 cos(? x ?

?
6

) sin ? x ? cos(2? x ? ? ) ,其中 ? ? 0.

(Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? 的值域

(Ⅱ)若 f ? x ? 在区间 ? ?

? 3? ? ? 上为增函数,求 ? 的最大值. , ? 2 2? ?

18. 函数 f ( x) ? 6 cos

2

?x
2

? 3 cos ? x ? 3(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示, A 为图

象的最高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形. (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

10 2 8 3 ,且 x0 ? ( ? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值. 3 3 5

19.函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之

间的距离为

? , 2

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

?

20.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列.

(Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值.

21. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长;

11 → → → (2)当 k=- 5 时,求(AB-kOC)·OC的值.

22.已知△ABC 中,角 A 为锐角,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.设向量 m=(cos A, π sin A),n=(cos A,-sin A),且 m 与 n 的夹角为 . 3 (1)计算 m·n 的值并求角 A 的大小; (2)若 a= 7,c= 3,求△ABC 的面积 S.

答案
一、选择

? ? ? ?[ , ]
1. 【 解 析 】 因 为

4 2

2? ? [ , ? ] 2 , 所 以 , cos 2? ? 0 , 所 以

?

c o2? s ? ? 1 ? s i2 n 2? ? ?
选 D. 2. 【答案】A

1 1 9 3 cos 2? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? ? sin 2 ? ? sin ? ? 8 ,又 8 ,所以 16 , 4,

sin ? ? cos ? ? 2,? 2 sin(? ? ) ? 2,? sin(? ? ) ? 1 4 4 【解析一】

?

?

? ? (0,? ),?? ?

3? ,? tan ? ? ?1 4 ,故选 A

【解析二】

sin ? ? cos? ? 2,?(sin ? ? cos ? )2 ? 2,?sin 2? ? ?1,
3? 3? ,?? ? ,? tan ? ? ?1 2 4 ,故选 A

? ? (0, ? ),? 2? ? (0, 2? ),? 2? ?

【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和 运算求解能力,难度适中. 3. D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.

1 sin ? cos ? sin 2 ? ? cos 2 ? 1 tan ? ? ? ? ? ? ?4 1 1 tan ? cos ? sin ? sin ? cos ? sin 2? sin 2? ? 2 2. 因为 ,所以.
tan ? ?
【点评】本题需求解正弦值 , 显然必须切化弦 , 因此需利用公式

sin ? cos ? 转化 ; 另外 ,

sin 2 ? ? cos 2 ? 在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次
分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三 角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等. 4. 答案 A

【解析】 sin ? ? cos ? ? 两边平方可得 1 ? sin 2? ?

3 , 3
1 2 ? sin 2? ? ? 3 3

?
2?

? 是第二象限角,因此 sin ? ? 0,cos ? ? 0 ,
所以 cos ? ? sin ? ? ? (cos ? ? sin ? ) ? ? 1 ?
2

2 15 ?? 3 3
5 法二 : 单位圆中函数 3

? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? ?
线+估算,因为 ? 是第二象限的角,又 sin? ? cos? ? 1 ? 1

3 2 所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故 cos2? 的“余弦线”应选 A .
5. [解析] ∵2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6),又(2a-3b)⊥c,∴(2k-3)×2+(- 6)=0,解得 k=3. 2 2 6.A [解析] 由已知得|a+b| =10,|a-b| =6,两式相减,得 4a·b=4,所以 a·b= 1. → → → → → → → → → → → → 7. D [解析] 由AP· BC=(λ AB+AC)·(AC-AB)=λ AB· AC-λ (AB)2+(AC)2-AC· AB=0, 12 得-3λ -4λ +9+3=0,解得 λ = . 7 8.D [解析] 对于 A,当 a=0,b≠0 时,不等式不成立;对于 B,当 a=b≠0 时,不等式不 → → 成立; 对于 C,D,设OA=a,OB=b,构造平行四边形 OACB,根据平行四边形法则,∠AOB 与∠OBC 至少有一个大于或等于 90°,根据余弦定理,max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2 成立,故选 D.

2 2 2 1 → → → → 2→ 2 → → → 9.A [解析] ∵BC=AC-AB=b-a,∴BD= BC= b- a,∴AD=AB+BD=a+ b- a= a 3 3 3 3 3 3 2 + b. 3 → 10. A [解析] 由|CD|=1, 得动点 D 在以 C 为圆心, 半径为 1 的圆上, 故可设 D(3+cos α , sin α ), 所以 OA+OB+OD=(2+cos α , 3+sin α ), 所以|OA+OB+OD|2=(2+cos α )2 → → → +( 3+sin α )2=8+4cos α +2 3sin α =8+2 7sin (α+φ), 所以(|OA+OB+OD|2)max → → → =8+2 7,即|OA+OB+OD|max= 7 +1. 11.C [解析] 建立如图所示的坐标系,则 A(-1,0),B(0,- 3),C(1,0),D(0, 3).设

?x1=λ, E(x1,y1),F(x2,y2).由 BE=λBC 得(x1,y1+ 3)=λ(1, 3),解得? 即点 ?y1= 3(λ-1), ?x2=μ, → → E(λ, 3(λ-1)). 由DF=μDC得(x2, y2- 3)=μ(1, - 3), 解得? 即点 F(μ, ?y2= 3(1-μ),
3(1-μ)).又∵AE· AF=(λ+1, 3(λ-1))·(μ +1, 3(1-μ))=1,①

→ → CE·CF=(λ -1, 5 ①-② 得 λ+μ=6.

3(λ -1))· (μ-1,

2 3(1-μ))=-3.②

→ → ?1 ? 2 2 2 12.B [解析] 由题意可知,F 4,0 .设 A(y2 1,y1),B(y2,y2),∴OA·OB=y1y2+y1y2=2, ? ? 解得 y1y2=1 或 y1y2=-2.又因为 A,B 两点位于 x 轴两侧,所以 y1y2<0,即 y1y2=-2. y1-y2 1 2 当 y2 (x-y2 (x-y2 1≠y2时,AB 所在直线方程为 y-y1= 2 1)= 1), y1-y2 y + y2 2 1 令 y=0,得 x=-y1y2=2,即直线 AB 过定点 C(2,0). 1 1 1 1 1 于是 S△ABO+S△AFO=S△ACO+S△BCO+S△AFO=2×2|y1|+2×2|y2|+2×4|y1|=8(9|y1|+8|y2|)≥ 1 2 2 8×2 9|y1|×8|y2|=3,当且仅当 9|y1|=8|y2|且 y1y2=-2 时,等号成立.当 y1=y2时,取 1 y1= 2,y2=- 2,则 AB 所在直线的方程为 x=2,此时求得 S△ABO+S△AFO=2×2×2× 2+ 1 1 17 2 17 2 × × 2 = ,而 2 4 8 8 >3,故选 B. 二、填空
13 【答案】

17 2. 50

【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数. 【解析】∵ ? 为锐角,即 0 < ? <

?
2

,∴

?
6

<? ?
,∴

?
6

<

?
2

?

?

2? . 6 3 =
?? 3 ? sin ? ? ? ? ? 6? 5 ?
.∴



?? 4 ? cos ? ? ? ? ? 6? 5 ?

?? ?? ?? 3 4 24 ? ? ? sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? =2 = . 3? 6? 6? 5 5 25 ? ? ? ?? 7 ? ∴ cos ? 2? ? ? ? . 3 ? 25 ?
∴ sin(2a ?

?
12

)=sin(2a ?

?

? ?? ? ?? ? ? ? ? )=sin ? 2a ? ? cos ? cos ? 2a ? ? sin 3 4 3? 4 3? 4 ? ?

=

24 2 7 2 17 ? = 2. 25 2 25 2 50

14. 【答案】(1)3;(2)

? 4

【解析】(1) y ? f ?( x) ? ? cos(? x ? ? ) ,当 ? ?

?
6

,点 P 的坐标为(0,

3 3 )时 2

? cos

?
6

?

3 3 ,?? ? 3 ; 2
? 1 ? AC ? ? ? ,设 A, B 的横坐标分别为 a , b . 2 2

2? T ? (2)由图知 AC ? ? ? ? , S 2 2 ?
设 曲 线 段

ABC

ABC 与
b a

x

轴 所 围 成 的 区 域 的 面 积 为

S



S?

?

b

a

f ?( x)dx ? f ( x)

? sin(? a ? ? ) ? sin(?b ? ? ) ? 2 , 由 几 何 概 型 知 该 点 在

△ABC 内的概率为 P ?

S

ABC

【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等,(1)利用点 P 在图像上求 ? , (2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积,代入公式即得. 15.90° [解析] 由题易知点 O 为 BC 的中点,即 BC 为圆 O 的直径,故在△ABC 中,BC 对 应的角 A 为直角,即 AC 与 AB 的夹角为 90°. 1 16 . 2 [解析] 因为向量 a∥b,所以 sin 2θ -cos θ ·cos θ =0,又 cos θ ≠0,所以 2sin 1 θ =cos θ ,故 tan θ =2. 三、解答题 17. 【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综 合题,考查学生分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列

S

? ? 2 ? . 2 4

?

? ? 3? ? ? ? ? 2 4? ? ,从而解得 ? 的取值范围,即可得 ? 的最在值. ? ? ?? ? ? ? 2 4?
解:(1) f ? x ? ? 4 ?

? 3 ? 1 cos ? x ? sin ? x ? ? 2 ? sin ? x ? cos 2? x 2 ? ?

? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 3 sin 2? x ? 1

因 ?1 ? sin 2? x ? 1 ,所以函数 y ? f ? x ? 的值域为 ?1 ? 3,1 ? 3 ?

?

?

(2) 因 y ? sin x 在 每 个 闭 区 间 ? 2k? ? ,k 2? ? ? ? k ? Z ? 上 为 增 函 数 , 故 2 2? ?

?

?

??

? k? ? k? ? ? , ? f ? x ? ? 3 sin 2? x ? 1 ?? ? 0? 在每个闭区间 ? ? ? k ? Z ? 上为增函 ? ? 4? ? 4? ? ?
数. 依题意知 ? ? 是

? 3? ? ? , ? ? 2 2? ?

? k ? ? k? ? ? 对某个 k ? Z 成立 , 此时必有 k ? 0 , 于 ? , ? ? ? ? 4? ? 4? ? ?

? ? 3? ? ?? ? 1 1 ? 2 4? ,解得 ? ? ,故 ? 的最大值为 . ? 6 6 ?? ? ? ? ? 2 4?
18. [解析](Ⅰ)由已知可得: f ( x) ? 6 cos
2

?x
2 )

? 3 cos ? x ? 3(? ? 0)

=3cosω x+ 3 sin ?x ? 2 3 sin(?x ?

?
3

又由于正三角形 ABC 的高为 2 3 ,则 BC=4 所以,函数 f ( x)的周期 T ? 4 ? 2 ? 8,即 所以,函数 f ( x)的值域为 [?2 3,2 3] (Ⅱ)因为 f ( x0 ) ?

2?

?

? 8,得 ? ?

?
4

8 3 ,由 (Ⅰ)有 5 ?

f ( x0 ) ? 2 3sin (
由 x0 ? (?

?x0
4

?
3

)?

?x ? 4 8 3 , 即sin ( 0 ? ) ? 4 3 5 5

?x 10 2 ? ? ? , ),得( 0 ? ) ? (? , ) 3 3 4 3 2 2

所以, 即cos(

?x0

? 4 3 ? ) ? 1 ? ( )2 ? 4 3 5 5
?x0
4 ?

故 f ( x0 ? 1) ? 2 3sin (

?
4

?

?
3

) ? 2 3sin[(

?x0
4

?

?
3

)?

?
4

]

? 2 3[sin(

?x0

4 3 4 4 2 3 2 ? 2 3( ? ? ? ) 5 2 5 2
? 7 6 5

?

?

) cos

?

? cos(

?x0
4

?

?
3

) sin

?
4

[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、 两角和的正(余)弦公式、 二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.
19.解析:(1)∵函数 f ( x ) 的最大值为 3,∴ A ? 1 ? 3, 即 A ? 2

? ,∴最小正周期为 T ? ? 2 ? ∴ ? ? 2 ,故函数 f ( x ) 的解析式为 y ? sin(2 x ? ) ? 1 6 ? ? (2)∵ f ( ) ? 2sin(? ? ) ? 1 ? 2 2 6 ? 1 即 sin(? ? ) ? 6 2 ? ? ? ? ∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ? ? ? 2 6 6 3 ? ? ? ∴ ? ? ? ,故 ? ? 6 6 3
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为
20. 【答案及解析】

(1)由已知 2 B =A+C ,A+B +C =? , ? B =

?
3

, cos B =

1 2 3 4

2 2 (2)解法一: b =ac ,由正弦定理得 sin A sin C = sin B =

2 解法二: b =ac ,

1 a 2 +c 2 -b2 a 2 +c 2 -ac 2 2 = cos B = = ,由此得 a +c -ac=ac, 得 a=c 2 2ac 2ac
, sin A sin C =

所以 A=B =C =

?
3

3 4

【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比 数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理 把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系 ,再来求最后的结 果. → → → → → → 21.解:(1)由题意,得AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4). 故所求两条对角线的长分别为 4 2,2 10. → → → (2)∵OC=(-2,-1),AB-kOC=(3+2k,5+k),

→ → → ∴(AB-kOC)·OC=(3+2k,5+k)·(-2,-1)=-11-5k. 11 → → → ∵k=- ,∴(AB-kOC)·OC=-11-5k=0. 5 22.解:(1)∵|m|= cos A+sin A=1,|n|= cos A+(-sin A) =1, π 1 ∴=||·cos = . 3 2 1 2 2 ∵m·n=cos A-sin A=cos 2A,∴cos 2A= . 2 π π π ∵0<A< ,∴0<2A<π ,∴2A= ,∴A= . 2 3 6 π 2 2 2 (2)方法一:∵a= 7,c= 3,A= ,且 a =b +c -2bccos A, 6 2 ∴7=b +3-3b,解得 b=-1(舍去)或 b=4, 1 故 S= bcsin A= 3. 2 π a c 方法二:∵a= 7,c= 3,A= ,且 = , 6 sin A sin C ∴sin C=
2 2 2 2

csin A 3 = . a 2 7

∵a>c, π 5 2 ∴0<C< ,∴cos C= 1-sin C= . 6 2 7 π 1 3 2 ∵sin B=sin(π -A-C)=sin +C= cos C+ sin C= , 6 2 2 7 asin B 1 ∴b= =4,故 S= bcsin A= 3. sin A 2


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