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高中数学必修2空间几何体单元测试题

第一章《空间几何体》单元测试题
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.某几何体的三视图,如图所示,则这个几何体是( )

A.三棱锥

B.三棱柱

C.四棱锥

D.四棱柱

[答案] B

2.用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是( )

[答案] B [解析] D 选项为主视图或侧视图,俯视图中显然应有一个被遮挡的圆,所以内圆是虚

线,故选 B.

3.斜四棱柱的侧面是矩形的面最多有( A.0 个 C.2 个 [答案] C

) B.1 个 D.3 个

[解析] 本题考查四棱柱的结构特征,画出示意图即可.

4.已知△ABC 是边长为 2a 的正三角形,那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面 积为( )

A. 23a2

B. 43a2

C. 46a2 [答案] C

D. 6a2

[解析] 直观图面积 S′与原图面积 S 具有关系:S′= 42S.∵S△ABC= 43(2a)2= 3a2,∴

S△A′B′C′= 42× 3a2= 46a2.

5.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,圆台的侧面积为 84π,

则圆台较小底面的半径为( )

A.7

B.6

C.5

D.3

[答案] A

[解析] 设圆台较小底面圆的半径为 r,由题意,另一底面圆的半径 R=3r.

∴S 侧=π(r+R)l=π(r+3r)×3=84π,解得 r=7.

6.正方体内切球与外接球体积之比为( )

A. 3

B.

C.

3

D.

[答案] C

[解析] 设正方体棱长为 a,内切球半径 R1,外接球半径 R2.R1=a2,R2= 23a,

V 内 V 外=(a2)3 ( 23a)3=

3.

故选 C.

7.已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为 5,菱形的对角线的长分别是 9 和 15,则

这个棱柱的侧面积是( ) A.30 34 C.30 34+135 [答案] A

B.60 34 D.135

[解析] 由菱形的对角线长分别是 9 和 15,得菱形的边长为 ?92?2+?125?2=32 34,则这

个菱柱的侧面积为 4×32 34×5=30 34.

8.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( )

A. 243πR3

B. 83πR3

C. 255πR3 [答案] A

D. 85πR3

[解析] 依题意,得圆锥的底面周长为 πR,母线长为 R,则底面半径为R2,高为 23R,

所以圆锥的体积为13×π×(R2)2× 23R=243πR3.

9.正三棱柱有一个半径为 3 cm 的内切球,则此棱柱的体积是( )

A.9 3 cm3

B.54 cm3

C.27 cm3

D.18 3 cm3

[答案] B

[解析] 由题意知棱柱的高为 2 3 cm,底面正三角形的内切圆的半径为 3 cm,∴底面

正三角形的边长为 6 cm,正三棱柱的底面面积为 9 3 cm2,∴此三棱柱的体积 V=9 3×2 3

=54(cm3).

10.已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的

面积不可能等于( )

A.1

B. 2

C.

2-1 2

D.

2+1 2

[答案] C

[解析] 水平放置的正方体,当正视图为正方形时,其面积最小为 1;当正视图为对角

面时,其面积最大为 2.因此满足棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则

2-1 该正方体的正视图的面积的范围为[1, 2].由此可知,A,B,D 均有可能,而 2 <1,

故 C 不可能. 11.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,该四棱锥侧
面积和体积分别是( ) A.4 5,8 B.4 5,83

C.4( 5+1),83 D.8,8 [答案] B [解析] 因为四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,所以该四棱锥为正四棱锥,其主
视图为原图形中的△PEF,如图.由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面长 AB=2,高 PO =2,则四棱锥的斜高 PE= 22+12= 5.所以该四棱锥侧面积 S=4×12×2× 5=4 5,体 积=13×2×2×2=83.

12.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容 器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度, 则球的体积为( )

A.5030π cm3 C.13372π cm3 [答案] A

B.8636π cm3 D.20438π cm3

[解析] 设球的半径为 R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4,球心到截面圆

的距离为 R-2,则 R2=(R-2)2+42,解得 R=5.∴球的体积为4π×3 53=5300 cm3.

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.在几何体①圆锥;②正方体;③圆柱;④球;⑤正四面体中,三视图完全一样的是 ________. [答案] ②④ 14.用斜二测画法画边长为 2 的正三角形的直观图时,如果在已知图形中取的 x 轴和正

三角形的一边平行,则这个正三角形的直观图的面积是________.

[答案]

6 4

15.棱锥的高为 16,底面积为 512,平行于底面的截面面积为 50,则截得的棱台的高

为________.

[答案] 11

[解析] 设棱台的高为 x,则有(161-6 x)2=55102,解之,得 x=11.

16.一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示,其中主视图是直角三角形,侧视图是半 圆,俯视图是等腰三角形,则这个几何体的表面积是________.

[答案] 2(1+ 3)π+4 2

[解析] 此几何体是半个圆锥,直观图如右图所示,先求出圆锥的侧面积 S 圆锥侧=πrl

=π×2×2 3=4 3π,S 底=π×22=4π,

S△SAB=12×4×2 2=4 2,

所以 S 表=4 23π+42π+4 2=2(1+ 3)π+4 2.

三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分 10 分)用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底

面的面积之比为

,截去的圆锥的母线长是 3 cm,求圆台的母线长.

[解析] 设圆台的母线长为 l cm,截得圆台的上、下底面半径分别为 r cm,4r cm.

根据相似三角形的性质得3+3 l=4rr,解得 l=9.所以,圆台的母线长为 9 cm.

18.(本小题满分 12 分)如图是一个几何体的正视图和俯视图. (1)试判断该几何体是什么几何体? (2)画出其侧视图,并求该平面图形的面积; (3)求出该几何体的体积.
[解析] (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥. (2)该几何体的侧视图如图.其中 AB=AC,AD⊥BC,且 BC 的长是俯视图正六边形对 边的距离,即 BC= 3a,AD 是正六棱锥的高,即 AD= 3a,所以该平面图形的面积为12· 3 a· 3a=32a2.
(3)设这个正六棱锥的底面积是 S,体积为 V, 则 S=6× 43a2=32 3a2, 所以 V=13×32 3a2× 3a=32a3. 19. (本小题满分 12 分)如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90°, ∠ADC=135°,AB=5,CD=2 2,AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积. [解析] 过点 C 作 CE⊥AD 于点 E,CF⊥AB 于点 F, ∵∠ADC=135°,∴∠EDC=45°. 又∵CE⊥DE,∴CE=ED=2. 易得 CF=4,BF=3,∴BC=5. 四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所形成的几何体是以 EC,AB 为底面半径,EA 为高的圆 台,去掉一个以 EC 为底面半径,ED 为高的圆锥, ∴S 表=25π+4 2π+π(10+25)=60π+4 2π, V=π3(22+ 22×52+52)×4-13π×22×2=1348π. 20.(本小题满分 12 分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同,相关的尺寸如图所示,

求这个几何体的体积.
[解析] 由三视图可知,该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱,两个圆柱高均为 1,底面 是半径为 2 和32的同心圆,故该几何体的体积为 4π×1-π(32)2×1=74π.
21.(本小题满分 12 分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示.墩的上半 部分是正四棱锥 P-EFGH,下半部分是长方体 ABCD-EFGH.如图(2)(3)所示的分别是该标 识墩的正(主)视图和俯视图.
(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积. [解析] (1)如图所示. (2)该安全标识墩的体积 V=VP-EFGH+VABCD-EFGH=13×402×60+ 402×20=32 000+32 000 =64 000(cm3). 22.(本小题满分 12 分)如图,正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a,连接 A′C′, A′D,A′B,BD,BC′,C′D,得到一个三棱锥.求:
(1)三棱锥 A′-BC′D 的表面积与正方体表面积的比值;

(2)三棱锥 A′-BC′D 的体积. [解析] (1)∵ABCD-A′B′C′D′是正方体,

∴A′B=A′C′=A′D=BC′=BD=C′D= 2a,

∴三棱锥 A′-BC′D 的表面积为

4×12× 2a× 23× 2a=2 3a2.

而正方体的表面积为 6a2,故三棱锥 A′-BC′D 的表面积与正方体表面积的比值为

2 6a32a2=

3 3.

(2)三棱锥 A′-ABD,C′-BCD,D-A′D′C′,B-A′B′C′是完全一样的.

故 V 三棱锥 A′-BC′D=V 正方体-4V 三棱锥 A′-ABD =a3-4×13×12a2×a=a33.


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