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《函数的单调性与导数》参考课件_图文

1.3.1 函数的单调性与导数 一、复习回顾:基本初等函数的导数公式 (1).常函数:(C)/ ? 0, (c为常数); (2).幂函数 : (xn)/ ? nxn?1 (3).三角函数 : / (sinx) ? cosx / (cosx) ? ?sinx (4).对数函数的导数: 1 / 1 / (lnx) ? (log a x) ? x xlna (5).指数函数的导数: (e ) ? e x / x (a ) ? a lna(a>0,a ? 1) x / x 二、复习引入 函数 y = f (x) 在给定区间 G 上,当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1< x 2 时 1)都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是增函数; 2)都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是减函数; y G=(a,b) y o a b x o a b 若 f(x) 在G上是增函数或减函数, 则 f(x) 在G上具有严格的单调性。 G 称为单调区间 x 概念回顾 画出下列函数的图像,并根据图像指出每个函数的单调区间 1 y? x y y ? x ? 2x ? x 2 y ?3 y x y o x o 1 x 1 o x 在(- ∞ ,0)和(0, +∞) 在(- ∞ ,1)上是减 函数,在(1, +∞)上 上分别是减函数。但在定 是增函数。 义域上不是减函数。 在(- ∞,+∞)上 是增函数 (1)函数的单调性也叫函数的增减性; (2)函数的单调性是对某个区间而言的,它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。 (3)单调区间:针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数,则为单调递增区间; 若函数在此区间上是减函数,则为单调递减区间。 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2的前 提下,比较f(x1)<f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情 况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来 判断函数的单调性就比较简单. 观 察:下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函 数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象 , 图(2)表示高台跳水运动员的 速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t)=-4.9t+6.5的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的 v 运动状态有什么区别? h ①运动员从起跳到最 (1) (2) 高点,离水面的高度h随时 t 间t 的增加而增加,即h(t) O a b 是增函数.相应地, t v(t ) ? h?(t ) ? 0. O a b ②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t 的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,v(t ) ? h?(t ) ? 0. 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函 数正负的关系. y y y y 3 y=x y=x 1 2 y ? y=x x O x x O 在某个区间(a,b)内,如果 f ?( x) ? 0,那么函数 y ? 在这个区间内单调递增; 如果 在这个区间内单调递减. O x O x f ( x) f ?( x) ? 0,那么函数 y ? f ( x) 如果恒有 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 是常数。 当 x > 4 , 或 x < 1时, f ?( x) ? 0; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f ?( x) ? 0. 试画出函数 f ( x) 的图象的大致形状. 解: 当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0, 可知 f ( x)在此区间内 单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f ?( x) ? 0, 可知 f ( x) 在此区 间内单调递减; y 当 x = 4 , 或 x = 1时 , 题1 已知导函数 f ?( x ) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0; f ?( x) ? 0. 综上, 函数 f ( x)图象 的大致形状如右图所示. O 1 4 x 题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f ( x) ? x ? 3x; (2) f ( x) ? x ? 2 x ? 3; 3 解: (1) 因为 f ( x) ? x ? 3x , 所以 f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x 2 ? 1) ? 0. 3 因此, 函数 f ( x) ? x ? 3x 在 x ? R 上单调递增. 3 2 (2) 因为 f ( x) ? x ? 2 x ? 3, 所以 2 f ?( x) ? 2 x ? 2 ? 2( x ? 1). 2 当 f ?( x) ? 0 , 即 x ? 1 时, 函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3单调递增; 2 当 f ?( x) ? 0 , 即 x ? 1时, 函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3单调递减. 题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: ? 1 ? 17 ? 1 ? 17 x? 或x ? 当 f ?( x) ? 0 , 即 时, 函数f ( x) 2 2 单调递增; ? 1 ? 17 ? 1 ? 17 ?x? 当f ?( x) ? 0 , 即 时, 函数 f ( x) 2 2 单调递减. (3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ); (4) f ( x) ? 2 x3 ? 3x 2 ? 24 x ? 1. 解: (3) 因为 f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ) , 所以 f ?( x) ? cos x ? 1 ? 0. 因此, 函数 f ( x) ? sin x ? x 在 x ? (0, ? ) 上单调递减. (4) 因为 f ( x

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