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(课堂设计)2014-2015高中数学 1.3.2 奇偶性学案2 新人教A版必修5


1.3.2

奇偶性(二)

自主学习

1.巩固函数奇偶性的性质,并能熟练应用. 2.能利用函数的奇偶性、单调性解决一些综合问题.

1.定义在 R 上的奇函数,必有 f(0)=0. 2.若奇函数 f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值 M,则 f(x)在[-b,-a]上是增函 数,且有最小值-M. 3.若偶函数 f(x)在(-∞,0)上是减函数,则有 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 4.下列论断正确的为________(填序号). (1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数为奇函数; (2)如果一个函数为偶函数,则它的定义域关于坐标原点对称; (3)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数为偶函数; (4)如果一个函数的图象关于 y 轴对称,则这个函数为偶函数. 答案 (2)(4) 5.函数 f(x)=|x|的奇偶性为________,单调递增区间为________,单调递减区间为 __________. 答案 偶函数 [0,+∞) (-∞,0] 6.函数 f(x)=x|x|的奇偶性为__________,单调递增区间为____________. 答案 奇函数 (-∞,+∞)

对点讲练

奇、偶函数的图象的性质

【例 1】 设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],当 x∈[0,5]时,函数 y=f(x)的图象如图 所示,则使函数值 y<0 的 x 的取值集合为________.

1

分析 利用奇函数图象的性质, 画出函数在[-5,0]上的图象, 直接从图象中读出信息. 答案 (-2,0)∪(2,5) 解析

由原函数是奇函数,所以 y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称,由 y=f(x) 在[0,5]上的图象,得它在[-5,0]上的图象,如图所示.由图象知,使函数值 y<0 的 x 的取值集合为(-2,0)∪(2,5). 规律方法 利用函数的奇偶性作图, 其依据是奇函数图象关于原点对称, 偶函数图象关 于 y 轴对称,画图象时,一般先找出一些关键点的对称点,然后连点成线.

变式迁移 1 已知 y=f(x)和 y=g(x)都是定义在[-π ,π ]上的函数,y=f(x)是偶函 数,y=g(x)是奇函数,x∈[0,π ]上的图象如图所示,则不等式 ______________. π π 答案 (- ,0)∪( ,π ) 3 3

f?x? <0 的解集为 g?x?

解析 利用图象的对称性,画出 f(x)在[-π ,0]上的图象如图所示.

f?x? <0,即 f(x)与 g(x)异号. g?x?
π π 观察图象知,符合条件的 x 的范围为- <x<0 或 <x<π . 3 3

利用奇偶性求函数解析式

2

【例 2】 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x +3x-1,求 f(x)的解 析式. 分析 由奇函数的定义知 f(0)=0,再由 f(-x)=-f(x)可得当 x<0 时 f(x)的表达式, 构成定义在 R 上的奇函数. 解 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,

2

∴f(-x)=-f(x).∵当 x<0 时,-x>0, ∴f(x)=-f(-x)=-[(-x) +3(-x)-1] =-x +3x+1. 又奇函数 f(x)在原点有定义,∴f(0)=0.
2 2

x +3x-1 ?x>0? ? ? ∴f(x)=?0 ?x=0? ? ?-x2+3x+1 ?x<0?

2

.

规律方法 (1)在哪个区间求解析式,x 就设在哪个区间里. (2)然后要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用 f(x)的奇偶性把 f(-x)写成-f(x)或 f(x),从而解出 f(x). 变式迁移 2 已知 f(x)是偶函数,且当 x∈[-1,0]时,f(x)=x+1,试求函数 f(x)在 x ∈[-1,1]上的表达式. 解 任取 x∈[0,1],则-x∈[-1,0],

f(-x)=-x+1.
又 f(x)是偶函数,所以 f(x)=f(-x)=-x+1.
? x∈?0,1], ?-x+1, 所以 f(x)=? ?x+1, x∈[-1,0]. ?

函数奇偶性与单调性的综合运用

【例 3】 设定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(m)+f(m- 1)>0,求实数 m 的取值范围. 解 由 f(m)+f(m-1)>0, 得 f(m)>-f(m-1), ∵f(x)在[-2,2]上为奇函数, ∴f(1-m)<f(m). 又∵f(x)在[0,2]上为减函数,

3

∴f(x)在[-2,2]上为减函数. -2≤1-m≤2 ? ? ∴?-2≤m≤2 ? ?1-m>m -1≤m≤3 ? ?-2≤m≤2 即? 1 ? ?m<2 1 解得-1≤m< . 2 规律方法 解 决 此 类 问题 时 一 定 要 充 分 利 用 已知 的 条 件 , 把 已 知 不 等式 转 化 成





f(x1)>f(x2)或 f(x1)<f(x2)的形式,再根据奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数的
单调性相反,列出不等式或不等式组,同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响. 变式迁移 3 设定义在[-2,2]上的偶函数 g(x),当 x≥0 时,g(x)单调递减,若 g(1-

m)<g(m)成立,求 m 的取值范围.
解 ∵g(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,

且在[0,2]上单调递减, ∴g(x)在[-2,0]上单调递增, 又∵g(1-m)<g(m), -2≤m≤2 ? ? ∴?-2≤1-m≤2 ? ?|1-m|>|m| 1 ,解得-1≤m< . 2

奇偶函数的主要性质 1.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,故可直接根据函数图象 的对称性来判断函数的奇偶性.画函数图象时首先判断奇偶性,作图比较方便. 2.(1)根据奇函数的定义,如果一个奇函数在原点处有定义,即 f(0)有意义,那么一定 有 f(0)=0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数. (2)偶函数的一个重要性质:f(|x|)=f(x),它能使自变量化归到[0,+∞)上,避免分 类讨论. 3.具有奇偶性的函数的单调性的特点:
4

(1)奇函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性. (2)偶函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性.

课时作业

一、选择题 1.对于定义在 R 上的任何奇函数 f(x)都有( A.f(x)-f(-x)>0 C.f(x)·[-f(-x)]≤0 答案 D 解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)·[-f(-x)]=f (x)≥0. 2.函数 f(x)= A.x 轴对称 C.y 轴对称 答案 B 3.若奇函数 f(x)在[1,3]上为增函数,且有最小值 0,则它在[-3,-1]上( A.是减函数,有最小值 0 C.是减函数,有最大值 0 答案 D 解析 由于奇函数的图象关于原点成中心对称, 故奇函数的图象在对称区间上具有相同 的单调性,且一侧的最小值对应另一侧的最大值,故选 D. 4. 设偶函数 f(x)的定义域为 R, 当 x∈[0, +∞)时, f(x)是增函数, 则 f(-2), f(π ), B.是增函数,有最小值 0 D.是增函数,有最大值 0 ) 3-x
2 2

)

B.f(x)-f(-x)≤0 D.f(x)·[-f(-x)]≥0

x

的图象关于(

) B.原点对称 D.直线 y=x 对称

f(-3)的大小关系是(
A.f(π )>f(-3)>f(-2) C.f(π )<f(-3)<f(-2) 答案 A

) B.f(π )>f(-2)>f(-3) D.f(π )<f(-2)<f(-3)

解析 因为当 x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,所以有 f(2)<f(3)<f(π ).又 f(x)是 R 上的偶函数,故 f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有 f(-2)<f(-3)<f(π ).

?1? 5.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f? ?的 x 的取值范 ?3?
围是( )

5

?1 2? A.? , ? ?3 3?
答案 A

?1 2? B.? , ? ?3 3?

?1 2? C.? , ? ?2 3?

?1 2? D.? , ? ?2 3?

解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(|x|).

?1? 则 f(|2x-1|)<f? ?. ?3?
又∵f(x)在[0,+∞)上单调递增, 1 1 2 ∴|2x-1|< ,解得 <x< . 3 3 3 二、填空题 6.定义在(-1,1)上的奇函数 f(x)= 答案 0、0 解析 由 f(0)=0 知 m=0.由 f(x)是奇函数知 f(-x)=-f(x),即 -x+0 =- x2-nx+1

x+m ,则常数 m、n 的值分别为________. x2+nx+1

x+0 , x +nx+1
2

∴x -nx+1=x +nx+1, ∴n=0.

2

2

? 3? 2 7.若 f(x)是偶函数,其定义域为 R 且在[0,+∞)上是减函数,则 f?- ?与 f(a -a ? 4?
+1)的大小关系是________.

? 3? 2 答案 f(a -a+1)≤f?- ? ? 4?
3 2 解析 显然 a -a+1≥ .又∵f(x)在[0,+∞)上是减函数, 4

?3? 2 ∴f(a -a+1)≤f? ?.又 f(x)是偶函数, ?4? ? 3? ?3? ? 3? 2 ∴f?- ?=f? ?,∴f(a -a+1)≤f?- ?. ? 4? ?4? ? 4?
三、解答题 8.已知函数 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(x)+g(x)=x -x+2,求 f(x),g(x) 的解析式. 解 ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
2

∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 又∵f(x)+g(x)=x -x+2,① ∴f(-x)+g(-x)=x +x+2,
2 2

6

即-f(x)+g(x)=x +x+2② 由①、②得 g(x)=x +2,f(x)=-x. 9.函数 f(x)=
2

2

ax+b ?1? 2 2 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f? ?= . 1+x ?2? 5

(1)确定函数 f(x)的解析式; (2)用定义证明 f(x)在(-1,1)上是增函数; (3)解不等式 f(t-1)+f(t)<0. (1)解 ∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数, -ax+b -ax-b ∴f(-x)=-f(x),即 2 = 2 . 1+x 1+x ∴b=-b,∴b=0. 1 a 2 1 2 2 ? ? ∵f? ?= ,∴ = ,∴a=1. 1 5 ?2? 5 1+ 4 ∴函数解析式为 f(x)= 2 (-1<x<1). 1+x (2)证明 任取 x1,x2∈(-1,1),且 x1<x2,

x

f(x1)-f(x2)=


- 2 1+x 1+x2
2 1

x1

x2

?x1-x2??1-x1x2? , 2 2 ?1+x1??1+x2?

∵-1<x1<x2<1, ∴x1-x2<0,1-x1x2>0,(1+x1)(1+x2)>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)为(-1,1)上为增函数. (3)解 ∵f(t-1)+f(t)<0,∴f(t-1)<-f(t). ∵f(x)是(-1,1)上的奇函数,∴f(-t)=-f(t),∴f(t-1)<f(-t). ∵f(x)为(-1,1)上的增函数, -1<t-1<1, ? ? ∴?-1<-t<1, ? ?t-1<-t. 1 解得 0<t< . 2
2 2

? 1? ∴不等式的解集为?t|0<t< ?. 2? ?

7


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