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2018-2019学年人教版高中数学选修2-1课件:第二章 2.3 2.3.1 双曲线及其标准方程_图文

双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程 预习课本 P52~55,思考并完成以下问题 1. 平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线?双曲线的焦点、 焦距分别是什么? 2.什么是双曲线的标准方程? [新知初探] 1.双曲线的定义 把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的 差的绝对值 等于非 零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这 两个定点 叫做双 曲线的焦点, 两焦点间的距离 叫做双曲线的焦距. [点睛] 平面内到两定点 F1,F2 的距离的差的绝对值为非零 常数,即||MF1|-|MF2||=2a,关键词“平面内”. 当 2a<|F1F2|时,轨迹是双曲线; 当 2a=|F1F2|时,轨迹是分别以 F1,F2 为端点的两条射线; 当 2a>|F1F2|时,轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 x y 2- 2=1 a b __________ (a>0,b>0) 2 2 y2 x2 2- 2=1 a b _________ (a>0,b>0) 焦点坐标 a,b,c 的关系 F1(-c,0),F2(c,0) F1(-c,0),F2(c,0) 2 2 c2= a +b [点睛] (1)标准方程的代数特征: 方程右边是 1, 左边是 关于 x,y 的平方差,并且分母大小关系不确定. (2)a,b,c 三个量的关系: 标准方程中的两个参数 a 和 b,确定了双曲线的形状和 大小,是双曲线的定形条件,这里 b2=c2-a2,与椭圆中 b2 =a2-c2 相区别,且椭圆中 a>b>0,而双曲线中,a,b 大小 不确定. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的 点的轨迹是双曲线 ( ) ) ) x2 y2 (2)在双曲线标准方程 2- 2=1 中,a>0,b>0 且 a≠b ( a b (3)双曲线标准方程中,a,b 的大小关系是 a>b 答案:(1)× (2)× (3)× ( 2.已知 F1(3,3),F2(-3,3),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=4,则 P 点的轨迹是 A.双曲线 C.不存在 B.双曲线的一支 D.一条射线 ( ) 答案:B 3.已知双曲线的 a=5,c=7,则该双曲线的标准方程为 ________. x2 y2 y2 x2 答案: - =1 或 - =1 25 24 25 24 双曲线标准方程的认识 [典例] x2 y2 已知方程 - =1 对应的图形是双曲线, k-5 |k|-2 ( B.k>5 或-2<k<2 D.-2<k<2 ) 那么 k 的取值范围是 A.k>5 C.k>2 或 k<-2 [解析] ∵方程对应的图形是双曲线, ∴(k-5)(|k|-2)>0. ? ?k-5>0, 即? ? ?|k|-2>0, ? ?k-5<0, 或? ? ?|k|-2<0. 解得 k>5 或-2<k<2. [答案] B 将双曲线的方程化为标准方程的形式,假如双曲线的 x2 y2 方程为 m + n = 1,则当 mn<0 时,方程表示双曲线.若 ?m>0, ?m<0, ? 则方程表示焦点在 x 轴上的双曲线;若? ?n<0, ?n>0, 则方程表示焦点在 y 轴上的双曲线. [活学活用] 若 k>1,则关于 x,y 的方程(1-k)x2+y2=k2-1 所表示的曲线是 ( A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 y 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的双曲线 D.焦点在 x 轴上的双曲线 y2 x2 解析:选 C 原方程化为 2 - =1, k -1 k+1 ∵k>1,∴k2-1>0,k+1>0. ∴方程所表示的曲线为焦点在 y 轴上的双曲线. ) 求双曲线的标准方程 [典例] 求适合下列条件的双曲线的标准方程. ? 4 ? A?1,- ? (1)a=4,经过点 10? ? ; 3 ? ? (2)经过点(3,0),(-6,-3). [解] (1)当焦点在 x 轴上时, x2 y2 设所求标准方程为 - 2=1(b>0), 16 b 16 160 把 A 点的坐标代入,得 b =- × <0,不符合题意; 15 9 2 当焦点在 y 轴上时, y2 x2 设所求标准方程为 - 2=1(b>0), 16 b 把 A 点的坐标代入,得 b2=9, y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 16 9 (2)设双曲线的方程为 mx2+ny2=1(mn<0), ∵双曲线经过点(3,0),(-6,-3), 1 ? ? ?m=9, ?9m+0=1, ∴? 解得? ? 36 m + 9 n = 1 , ? ?n=-1, 3 ? x2 y2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 9 3 1.双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的 a,b,c,再写出双 曲线的标准方程. x2 y2 y2 x2 (2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程 2- 2=1 或 2- 2= a b a b 1(a,b 均为正数),然后根据条件求出待定的系数代入方程即可. 2.求双曲线标准方程的两个关注点 (1)定位:“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在“标准方 程”的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式; (2)定量:“定量”是指确定 a2,b2 的具体数值,常根据条件列 方程求解. [活学活用] 根据下列条件,求双曲线的标准方程. x2 y2 (1)与椭圆 + =1 有共同的焦点,且过点( 15,4); 27 36 (2)c= 6,经过点(-5,2),焦点在 x 轴上. x2 y2 解:(1)椭圆 + =1 的焦点坐标为 F1(0,-3), 27 36 y2 x2 F2(0,3),故可设双曲线的方程为 2- 2=1. a b ?a2+b2=9,

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