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四川省2010届高三数学(理)专题训练2:递推数列


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专题二
一、选择题 1.将整偶数按下表排成五列: 第1列 第2列 第3列 第1行 2 4 第 2 行 16 14 12 第3行 18 20 ?? ?? 28 则第 2006 在 A.第 251 行,第 1 列 C.第 250 行,第 2 列

递推数列专项训练

第4列 第5列 6 8 10 22 24 26 B.第 251 行,第 4 列 D.第 250 行,第 5 列 )

2.在数列 ?a n ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an( A. 2
n?1

?3

B. 2 ? 3
n

C. 2

n?1

?1

D. 2n ? 1

1 ? ? 2an , 0 ? an ? 2 6 ? 3.数列 {an } 满足 an ?1 ? ? ,若 a1 ? .则 a20 的值为 7 ? 2a ? 1, 1 ? a ? 1 n ? n ? 2
A.

6 7

B.

5 7

C.

3 7

D.

4.已知数列 {an } 的通项公式 an ? log 2 立的自然数 n A. 由最大值 63 B. 有最小值 63

n ?1 (n ? N *) ,设前 n 项的和为 Sn ,则使 Sn ? ?5 成 n?2
C. 有最小值 31 D. 由最大值 31

1 7

5.用数学归纳法证明 1+

1 1 1 + +?+ n ? n (n ? 1)时,由 n =k (k ? 1)不等式成立,推 2 3 2 ?1
( C. 2
k

证 n=k+1 时,左边应增加的代数式的个数是 A. 2
k?1



B. 2 -1

k

D. 2 +1

k

[来源:学,科,网]

6.正数数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2 Sn ? a n ? 1 ,则数列{an}的通项公式为( A. an ? 2n ? 3 B. an ? 2n ? 1 C. an ? 2n ? 1 D. an ? 2n ? 3



7.已知数列 {an } 满足 an?1 ? a1 ? an?1 (n ? 2) , a1 ? a, a2 ? b ,设 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ,则 下列结论正确的是 A. a100 ? a ? b , S100 ? 50a B. S100 ? 50(a ? b) C. a100 ? ?b , S100 ? 50a D. S100 ? b ? a 8.在数列 {an } 中,已知 a1 ? A . an ?

1 3n ?1

1 4 , an ? an ?1 ? n ?1 , n ? N * ,则数列 {an } 的通项公式为( 3 3 1 1 1 B. an ? n C. an ? n ? 1 D. an ? n ?1 3 3 3



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二、填空题 9.如果函数 f ( x ) 满足:对于任意实数 a 、 b ,都有 f (a ? b) ? f ( a) f (b) ,且 f (1) ? 2 ,则

f (2) f (5) f (9) f (14) f (1274) ? ? ? ?? ? ? f (1) f (3) f (6) f (10) f (1225)
10.已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

_________

.

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 =________________.
a S n 3n ? 2 , 则 10 =______. ? b10 Tn 2n ? 1

11.已知等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn, 若 12.已知数列 ?xn ? 满足 x2 ?

x1 1 , xn ? ? xn ?1 ? xn ? 2 ? , n ? 3, 4, ?.若 lim xn ? 2 ,则 n ?? 2 2

x1 ? __________________________
三、解答题 13.已 知正项数列 ?a n ? ,其前 n 项 和 Sn 满足 10S n ? an2 ? 5an ? 6 ,且 a1 , a3 , a15 成等比数列,求数 列 ?a n ? 的通项 an.

14.已知数列 {a n } 中, a1 ? 通项公式.

1 ,点 (0,2an ?1 ? an ) 在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3??,求数列 {a n } 的 2

2 * 15.设二次函数 f ( x) ? x ? x ,当 x ?[ n, n ? 1](n? N )时, f ( x ) 的所有整数值的个数为

g ( n) .

[来源:学&科&网]

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(1)求 g (n) 的表达式; (2)设 an ? (3)设 bn ?

2n3 ? 3n2 (n ? N * ) , Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ??? (?1)n?1 an ,求 Sn ; g (n)
g ( n) (n ? N * ) , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,若 Tn ? t (t ? Z ) ,求 t 的最小值. n 2

[来源:学科网]

n ?1 16.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-2=3 (? ) (n ? 3), 且S1 ? 1, S 2 ? ?

1 2

3 , 求数列{an} 2

的通项公式.
[来源:学科网 ZXXK]

[来源:Zxxk.Com]

[来源:Zxxk.Com]

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专题二

递推数列专项训练参考答案

一、选择题 1. 每行四个数据,2006 为第 1003 个数据,又 1003=4 ? 250+3,故 2006 为第 251 行第 3 个数 据.又 1003=8 ? 125+3,第 251 行的第 1 个数据是空缺的,所以 2006 在第 251 行的第 4 列.故 选 B. 评析 观察数据的特点,可以发现,每行四个数据,8 个 数据位置位置循环一次.
[来源:Z,xx,k.Com]

2.令 an?1 ? ? ? 2(an ? ? ) ,与已知 an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) 比较,得 ? ? 3 ,
? an?1 ? 3 ? 2(an ? 3)(n ? 1) , ??an ? 3? 是首项为 a1 ? 3 ? 4 、公式为 2 的等比数列,

?

an ? 3 ? (a1 ? 3) ? 2n?1 ? 2n?1 , ? an ? 2n?1 ? 3 .

6 12 5 10 3 6 12 5 , a2 ? ?1 ? , a3 ? ?1 ? , a4 ? , a5 ? ?1 ? ,?, 7 7 7 7 7 7 7 7 5 这说明数列 {an } 是周期数列, T ? 3 .而 20=3 ? 6+2,所以 a20 ? .应选 B. 7 2 3 4 n ?1 2 ? log 2 ? ?5 , 4. ? Sn ? log 2 ? log 2 ? log 2 ? ? ? log 2 3 4 5 n?2 n?2 2 1 ? ? 2?5 ? ,? n ? 2 ? 64 , n ? 62 ,? nmin ? 63 . n?2 32
3. 逐步计算,可得 a1 ? 评析 本题为对数、数列、不等式综合题,需要有较强组合知识、应用知识的能力. 5.(2
k ?1

-1)-(2 -1)=2 ,选 C;

k

k

6.解析:涉及到 an 及 Sn 的 递推关系,一般都用 an=Sn-Sn-1(n≥2)消元化归。 ∵ 2 Sn ? a n ? 1 ,∴ 4Sn=(an+1)2,∴ 4Sn-1=(an-1+1)2(n≥2) ∴ 4(Sn-Sn-1)=(an+1)2-(an-1+1)2,∴ 4an=an2-an-12+2an-2an-1 整理得:(an-1+an)(an-an-1-2)=0. ∴ {an}为公差为 2 的等差数列. 在 2 Sn ? a n ? 1 中,令 n=1,a1=1,∴ an=2n-1,选 C. 7.A 由条件可得 an?1 ? an?1 ? a, a1 ? a, a2 ? b, a3 ? 0, a4 ? a ? b, a5 ? a, a6 ? b, a7 ? 0 , ∵ an>0,∴ an-an-1=2
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

a8 ? a ? b,? , 故 此 数 列 为 周 期 数 列 , 从 而 a100 ? a4 ? a ? b , S100 ? 25 ? (a ? b ? a ? b) ? 50a .
评析 本题关键是采用列举法找出数列 {an } 的规律(周期为 4). 8. 法一:由 a1 ? B. 法二:由 an ? an ?1 ?

1 4 1 4 1 1 顺次算出 a2 ? 2 ? a1 ? 2 , a3 ? 3 ? a2 ? 3 ,所以,猜想 an ? n .选 3 3 3 3 3 3 4 1 1 1 ,得 an ? an ?1 ? (an ?1 ? an ) ,即 an ?1 ? an ? ?(an ? an ?1 ) .上式 3 3 3 3
n ?1

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对整数 n ? 2 恒成立,而 n ? 2 时, a2 ? 列,得 an ?

1 1 a1 ? 0 ,所以 an ?1 ? an ? 0 ,即数列 {an } 是等比数 3 3

1 .选 B 3n

评析 解法一叫做“归纳猜想” ,解法二叫做“构造辅助数列”.这是解决数列问题的两个通 法. 二、填空题 9. 2 ? 2 ? f (a ? b) ? f (a) f (b), f (1) ? 2,? f (n ? 1) ? f (1)?f (n) ? 2 f (n),? f (n ? 1) 是
50

2(1 ? 249 ) ? 250 ? 2 . 首项为 2,公比为 2 的等比数列,原式 ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (49) ? 1? 2
10.已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,

则 a2 ? ? 3, a3 ? 3, a4 ? 0, 有规律的重复了,故 a 20 = ? 3 。 11.因为等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn,

(2n ? 1)(a1 ? a 2 n ?1 ) (2n ? 1)(2a n ) 3n ? 2 Sn a 2 2 则 , ? ? ? n ? Tn (2n ? 1)(b1 ? b2 n ?1 ) (2n ? 1)(2bn ) bn 2n ? 1 2 2


a10 3 ?10 ? 2 4 ? = b10 2 ?10 ? 1 3
x1 1 , xn ? ? xn ?1 ? xn ? 2 ? , n ? 3, 4, ?. 2 2

12.因为数列 ?xn ? 满足 x2 ? 则 x3 ?

1 x1 1 1 ( ? x1 ) ? ( 2 ? ) x1 2 2 2 2
[来源:Zxxk.Com]

1 1 ? ) x1 , 23 2 1 1 1 x5 ? ( 4 ? 3 ? ) x1 , 2 2 2 1 1 1 x6 ? ( 5 ? 3 ? ) x1 2 2 2 1 1 1 1 x7 ? ( 6 ? 5 ? 3 ? ) x1 2 2 2 2 x4 ? (
?? 故 lim
n??

1 2 ,又 lim xn x n ? 2 x1 ? x1 n ?? 1 3 1? 4

? 2 ,故 x1 ? 3

三、解答题 13.解:?10S n ? an2 ? 5an ? 6, ①
?10a1 ? a12 ? 5a1 ? 6 ,解之,得 a1=2 或 a1=3.



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2 10Sn 1 ? an 1 ? 5an 1 ? 6 (n≥2)
_ _ _



2 2 ①-②,得 10an ? (an ? an _ 1 ) ? 5(an ? an _ 1 ) ,即 (a n ? a n _ 1 )(a n _ a n _ 1 ? 5) ? 0 (n≥2).
? ?a n ?

? ? ? 为正项数列, an ? an 1 >0(n≥2), a n ? a n _ 1 ? 5 ? 0 , ?an ? 是 d=5 的等差数列.当 a1=3
_

时,a3=13,a15=73,但 a1 , a3 , a15 不成等比数列,与题意不符,?a1 ? 3 ;当 a1=2 时, a3=12,a15=72, 且 a1 , a3 , a15 成等比数列,符合题意,∴ a1 ? 2, ∴ a n ? 5n ? 3.
1 1 n _ 14.解:由已知,得 a1 ? ,2an?1 an ? n, ? an?1 ? an ? . 2 2 2



1 xn y 1 ?x? , 设 an?1 ? x(n ? 1) ? y ? (an ? xn ? y) ,即 a n ?1 ? a n ? 2 2 2 2 1 n x 1 y 与①式 an?1 ? an ? 比较,得 _ ? , _ x _ ? 0,? x ? _ 1, y ? 2 , 2 2 2 2 2
? an?1 (n ? 1) ? 2 ?
_

1 1 _ (an n ? 2), ?{a n ? n ? 2} 是公比为 的等比数列, 2 2

[来源:Z。xx。k.Com]

3 1 3 1 _ ? a n ? n ? 2 ? (a n ? 1 ? 2) ? ( ) n ?1 ? ? ( ) n ?1 ,故 an ? n ? 2 ? , 2n 2 2 2

15.解: (1)当 x ?[n,n ?1 n ?N )* 时,函数 f ( x) ? x2 ? x 的值 随 x 的增大而增大,则 f ( x ) ]( 的值域为 [n2 ? n, n2 ? 3n ? 2] .? g (n) ? f (n ? 1) ? f (n) ? 1 ? 2n ? 3(n ? N * ) . ( 2 ) an ?

2n3 ? 3n2 ? n2 , ① 当 n 为 偶 数 时 , Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? an?1 ? an g ( n)
3 ? (2n ? 1) n ? 2 2

? (12 ? 22 ) ? (32 ? 42 ) ? ? ? [(n ? 1) 2 ? n 2 ] ? ?[3 ? 7 ? ? ? (2n ? 1)] ? ?
??

n(n ? 1) ;②当 n 为奇数时, Sn ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ? ? (an?2 ? an?1 ) ? an 2 n(n ? 1) n(n ? 1) n ?1 n( n ? 1) ? Sn ?1 ? an ? ? ? n2 ? (n ? N * ) . .? Sn ? (?1) 2 2 2 g ( n) 5 7 2n ? 1 2n ? 3 1 ( 3 ) 由 bn ? n 得 Tn ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? ① , ① ? n 2 2 2 2 2 2 5 7 2n ? 1 2n ? 3 1 5 2 ? 3 n 2 2 Tn ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ② , ① - ② 得 Tn ? ( ? n ?1 )? ( 2 ? 3 ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 2n ? 7 2n ? 7 5 2n ? 3 7 2n ? 7 2 ?t , 由 Tn ? 7 ? ? ( ? n ?1 ) ? 2 ? ? n ?1 . ?Tn ? 7 ? n 1 2 2n 2 2 2 2 1? 2 t ? Z ,可得 t 的最小值是 7.
16.分析:解答本题的思想 方法是求递归数列通项的累加法.
2 n ?1 ? ?3 ? ( ) 2 n ?1 解:方法一:先考虑偶数项有: S 2 n ? S 2 n ? 2 ? 3 ? (? )



n

2 ) 2



1 2

1 2

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1 1 S 2 n ? 2 ? S 2 n ? 4 ? 3 ? (? ) 2 n ?3 ? ?3 ? ( ) 2 n ?3 2 2
???

1 1 S 4 ? S 2 ? 2 ? (? ) 3 ? ?3 ? ( ) 3 . 2 2 1 1 1 ? S 2 n ? S 2 ? 3[( ) 2 n ?1 ? ( ) 2 n ?3 ? ? ? ( ) 3 ] 2 2 2 1 1 1 1 ? ?3[( ) 2 n ?1 ? ( ) 2 n ?3 ? ? ? ( ) 3 ? ] 2 2 2 2 1 1 1 n ? ( ) 1 1 1 ? ?3 ? 2 2 4 ? ?4[ ? ? ( ) n ] 1 2 2 4 1? 4 1 ? ?2 ? ( ) 2 n ?1 (n ? 1). 2 1 2n 1 2n 同理 考虑奇数项有: S 2 n ?1 ? S 2 n ?1 ? 3(? ) ? 3 ? ( ) . 2 2 1 1 S 2 n ?1 ? S 2 n ?3 ? 3 ? (? ) 2 n ? 2 ? 3 ? ( ) 2 n ? 2 2 2
???

1 1 S 3 ? S1 ? 3 ? ( ? ) 2 ? 3 ? ( ) 2 . 2 2
1 1 1 1 ? S 2 n ?1 ? S1 ? 3[( ) 2 n ? ( ) 2 n ? 2 ? ? ? ( ) 2 ] ? 2 ? ( ) 2 n (n ? 1). 2 2 2 2 1 1 1 ? a 2 n ?1 ? S 2 n ?1 ? S 2 n ? 2 ? ( ) 2 n ? (?2 ? ( ) 2 n ?1 ) ? 4 ? 3 ? ( ) 2 n (n ? 1). 2 2 2 1 1 1 a 2 n ? S 2 n ? S 2 n ?1 ? ?2 ? ( ) 2 n ? (2 ? ( ) 2 n ?1 ) ? ?4 ? 3 ? ( ) 2 n ?1 (n ? 1). 2 2 2 a1 ? S1 ? 1.

1 n ?1 ? ?4 ? 3 ? ( 2 ) , n为奇数, ? 综合可得 a n ? ? ?? 4 ? 3 ? ( 1 ) n ?1 , n为偶数. ? 2 ?

[来源:学科网 ZXXK]

n ?1 方法二:因为 S n ? S n ?2 ? an ? an ?1所以 an ? an ?1 ? 3 ? (? ) (n ? 3),

1 2

两边同乘以 (?1) ,可得:

n

1 1 (?1) n a n ? (?1) n ? 1 a n ? 1 ? 3 ? (?1) n ? (? ) n ? 1 ? ?3 ? ( ) n ? 1 . 2 2
n n ?1 令 bn ? (?1) a n ,? bn ? bn ?1 ? ?3 ? (? ) (n ? 3).
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

1 2

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n ?1 所以 bn ? bn ?1 ? ?3 ? (? ) ,

1 2

1 bn ?1 ? bn ? 2 ? ?3 ? (? ) n ? 2 , 2
???

1 b3 ? b2 ? ?3 ? (? ) 2 , 2

1 1 1 n?2 ? ?( ) 1 n ?1 1 n ?2 1 2 ? bn ? b2 ? 3[( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? b2 ? 3 ? 4 4 2 1 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 ? b2 ? ? 3 ? ( ) (n ? 3). 2 2
3 5 又 ? a1 ? S1 ? 1, a 2 ? S 2 ? S1 ? ? ? 1 ? ? , 2 2 5 ? b1 ? (?1)1 a1 ? ?1, b2 ? (?1) 2 a 2 ? ? . 2 5 3 1 1 ? bn ? ? ? ? 3 ? ( ) n ?1 ? ?4 ? 3 ? ( ) n ?1 (n ? 1). 2 2 2 2 1 ? a n ? (?1) n bn ? ?4(?1) n ? 3 ? (?1) n ? ( ) n ?1 2 1 n ?3 ? ?4 ? 3 ? ( 2 ) , n为奇数, ? ?? ?? 4 ? 3 ? ( 1 ) n ?1 , n为偶数. ? 2 ?

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