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2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2学案:第一章 1.5 1.5.3 定积分的概念 Word版含解析

1.5.3 定积分的概念 预习课本 P45~47,思考并完成下列问题 (1)定积分的概念是什么?几何意义又是什么? (2)定积分的计算有哪些性质? [新知初探] 1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的概念:一般地,设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<?<xi- 1<xi<?<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i= n n 1,2,?,n),作和式 ?f(ξ i)Δx= ? i=1 i=1 b-a n f(ξ i), 当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定 积分,记作? m ? ?af(x)dx,即? ?af(x)dx=lin→∞ b b n i=1 b-a f(ξ i), n 这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做 被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式. (2)定积分的几何意义:如果在区间[a,b]上函数连续且恒有 f(x)≥0, 那么定积分? ?af(x)dx 表示由直线 x=a,x=b(a<b),y=0 和曲线 y=f(x)所 围成的曲边梯形的面积(如图中的阴影部分的面积). [点睛] 利用定积分的几何意义求定积分的关注点 (1)当 f(x)≥0 时,? ?af(x)dx 等于由直线 x=a,x=b,y=0 与曲线 y=f(x)围成曲边梯形 的面积,这是定积分的几何意义. (2)计算? ?af(x)dx 时,先明确积分区间[a,b],从而确定曲边梯形的三条直边 x=a,x= b,y=0,再明确被积函数 f(x),从而确定曲边梯形的曲边,这样就可以通过求曲边梯形的 面积 S 而得到定积分的值: 当 f(x)≥0 时,? ?af (x)dx=S;当 f(x)<0 时, b b b b ? ?af(x)dx=-S. 2.定积分的性质 (1)? ?akf(x)dx=k? ?af(x)dx(k 为常数). b b b ? (2)? f2(x)]dx=? ?a[f1(x)± ?af1(x)dx± ?af2(x)dx. (3)? ?af(x)dx=? ?af(x)dx+? ?c f(x)dx(其中 a<c<b). [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) 2 x (1)? ?02dx=1.( b b c b b b b ) ) ) (2)? ?af(x)dx 的值一定是一个正数.( (3)? ?a(x2+2x)dx=? ?ax2dx+? ?a2xdx. ( 答案:(1)√ 2 b b b (2)× (3)√ ) C.2 D.-2 2.? ?0xdx 的值为( A.1 答案:C 1 B. 2 3.已知? ?0f(x)dx=8,则( A.? ?0f(x)dx=4 B.? ?0f(x)dx=4 C.? ?0f(x)dx+? ?1f(x)dx=8 D.以上答案都不对 答案:C 1 2 2 1 2 ) 4.已知? ?0xdx=2,则? ?-txdx=________. 答案:-2 t 0 利用定义求定积分 [典例] 利用定义求定积分? ?0x2dx. 3 [解] 令 f(x)=x2, (1)分割:在区间[0,3]上等间隔地插入 n-1 个点,把区间[0,3]分成 n 等份,其分点为 xi 3i 3 = n (i=1,2,?,n-1),这样每个小区间[xi-1,xi]的长度 Δx=n(i=1,2,?,n). n n 3i?2 3 3i (2)近似代替、求和:令 ξi=xi= (i=1,2,?,n),于是有和式:?f(ξi)Δx= ? ? = n? · ? n n i=1 i=1 1 1 27 n 2 27 1 9 1+ ??2+ ?. i = 3 · n(n+1)(2n+1)= ? n n ? ? ? ? n3 i? n 6 2 =1 (3)取极限:根据定积分的定义,有? ?0x2dx= 3 i=1 ?f(ξi)Δx n = ?9?1+1??2+1 ??=9. ?2? n?? n?? 用定义求定积分的一般步骤 (1)分割:n 等分区间[a,b]; (2)近似代替:取点 ξi∈[xi-1,xi],可取 ξi=xi-1 或 ξi=xi; n b-a (3)求和: ?f(ξi)· ; n i=1 b n b-a (4)取极限:? m ?f(ξi)· . ?af(x)=lin→∞ n i=1 [活学活用] 利用定积分的定义计算? ?1(-x2+2x)dx 的值. 解:令 f(x)=-x2+2x. (1)分割 在 区 间 [1,2] 上 等 间 隔 地 插 入 n - 1 个 分 点 , 把 区 间 [1,2] 等 分 为 n 个 小 区 间 2 ?1+i-1,1+ i ?(i=1,2,?,n),每个小区间的长度为 Δx=1 . n n n? ? (2)近似代替、求和 i 取 ξi=1+n(i=1,2,?,n),则 n i? Sn= ?f? ?1+n?·Δx i=1 n i i 1 1+n?2+2?1+n??· =? ? -? ? ? ? ? ?? n i=1 1 2 =- 3[(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(2n)2]+ 2[(n+1)+(n+2)+(n+3)+…+2n] n n 1 2n?2n+1??4n+1? n?n+1??2n+1?? 2 n?n+1+2n? =- 3? - n? 2 6 6 ?+n2· 1 1 1 1 1 1 1 2+ ??4+ ?+ ?1+ ??2+ ?+3+ . =- ? n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? n 3 6 (3)取极限 ? ?1(-x2+2x)dx= 2 = . 3 2 Sn= 1 1 1 1 1 1 1 2+ ??4+ ?+ ?1+ ??

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